第4章 冲量和动量2

冲量定理和动量定理1. 引言物理学是研究物质和能量之间相互作用的科学，其中力和运动是重要的概念。

在力学中，冲量定理和动量定理是描述物体运动的基本原理。

2. 冲量定理冲量定理是描述物体受到外力作用后产生的运动变化的原理。

它表明，当一个物体受到一个外力作用时，它的运动状态将发生变化，并且与外力大小、作用时间以及物体质量有关。

冲量可以用下式表示：I=∫Fdt其中，I表示冲量，F表示外力，dt表示作用时间。

根据牛顿第二定律F=ma，我们可以将冲量表达式改写为：I=∫madt，我们可以进一步改写为：由于加速度a=ΔvΔtI=∫mdv这个积分可以看作是速度变化dv对时间的累加。

根据积分定义，我们可以将其改写为：I=mΔv这个式子表示冲量等于物体速度的变化量乘以物体质量。

根据力学基本定理，冲量等于动量的变化，即：Δp=I3. 动量定理动量定理是描述物体受到外力作用后动量变化的原理。

它表明，当一个物体受到一个外力作用时，它的动量将发生变化，并且与外力大小、作用时间以及物体质量有关。

动量可以用下式表示：p=mv其中，p表示动量，m表示物体质量，v表示物体速度。

根据牛顿第二定律F=ma，我们可以将动量表达式改写为：F=Δp Δt这个式子表示力等于单位时间内动量的变化率。

根据冲量定理Δp=I，我们可以进一步改写为：F=I Δt由于冲量I等于速度变化Δv乘以质量m，我们可以将其改写为：F=m Δv Δt根据加速度定义a=ΔvΔt，我们可以进一步改写为：F=ma这个式子即为牛顿第二定律，它表明物体受到的力等于物体质量乘以加速度。

4. 应用和例子冲量定理和动量定理在物理学中有广泛的应用。

下面是一些例子：4.1 球类运动在篮球、足球等球类运动中，运动员通过给球一个冲量来改变球的动量，使其发生位移或改变运动方向。

冲量定理和动量定理可以帮助我们分析球与运动员之间的相互作用，并预测球的轨迹和速度变化。

4.2 汽车碰撞在汽车碰撞事故中，两辆车之间会产生冲击力，导致车辆发生形变或位移。

x 轴正向相同． 方向与 O 轴正向相同．
= m sin α −m sin α = 0 v v
F' = −F
y
2. 物体系统的动量定理 对两质点分别应用质 点动量定理： 点动量定理：
质点系
v F1
v v F21 F12
m1
v F2
m2
v v v v ∫t1 ( F1 + F12 )dt = m1v1 −m1v10 v t2 v v v ∫ ( F2 + F21 )dt = m2v2 −m2v20
1. 完全弹性碰撞
r r r r m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20
1 2 1 2 1 2 1 2 m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20 2 2 2 2
碰后速度
碰前
v m v m1 v10 2 v 20 A B
碰后
(m −m2)v10 +2m2v20 v1 = 1 m +m2 1
v 讨论 (1) 当 ∑i外 ≠ 系统总动量不守恒，但 F ， 系统总动量不守恒， 0
i=1
n
0 ∑F外x＝ i
i =1
n
∑F
i= 1 n
n
i外 y
＝ 0
∑mv ∑mv
i ix
= ∑ ivi0x m = ∑ ivi0y m = ∑ ivi0z m
i iy
∑F
i= 1
i外 z
＝ 0
∑mv
i iz
若系统内力>>外力， >>外力 (2) 若系统内力>>外力，以致外力可以忽略不计 时，可以应用动量守恒定律处理问题。 可以应用动量守恒定律处理问题。 式中各速度应对同一参考系而言。 (3) 式中各速度应对同一参考系而言。

讨论
1. 能量守恒定律可以适用于任何变化过程
2. 功是能量交换或转换的一种度量 3. 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围 内的体现
第4章 冲量和动量
4.1 质点动量定理
4.2 质点系动量定理
4.3 质点系动量守恒定律 4.4 质心 质心运动定理
空气动力学家、火箭专家钱学森
4.1 质点动量定理
dm m L dl
m
L
dl
l N
dl 在落地时的速度 v 2 g(l h)
根据动量定理
N vdm dt v m dl L dt
Ndt 0 vdm
v
2
h
l
m L

2m(l h) g L m L
dl
G
地面受力 F N '(l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m L
N′
(3l 2h) g
)g
t2 t1
动量定理的投影形式
mv 2 x mv1x mv 2 y mv1 y mv 2 z mv1z

t2 t1 t2 t1 t2 t1
Fx dt Fy dt Fz dt
冲量的任何分量等 于在它自己方向上 的动量分量的增量
在力的整个作用时间内，平均 力的冲量等于变力的冲量
求 子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动 ？ 解 子弹穿过第一木块时，两木块速 度相同，均为v1
Ft1 m1 m2 v1 0
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
Ft2 m2v 2 m2v1
解得
v1
Ft1 m1 m2
v2
Ft1 m1 m2

注意
内力不改变质点系的动量
初始速度
v g 0 v b 0 0 m b 2m g
且方向相反
推开后速度 v g 2 v b
推开前后系统动量不变 p p0
则 p0 0 则 p 0
例1: 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平 面上的木块,已知两木块的质量分别为 m1, m2 ，子弹 穿过两木块的时间各为 t1, t2 ，设子弹在木块中所 受的阻力为恒力F 求: 子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动 解: 子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为v1
解：车固定：S1 (v cos )t1
车动：v球地 v球车 v车地
水平方向动量守恒：
v

水平方向：v v cos V
V
m(v cos V ) MV 0
mv cos S 2 vt2 (v cos )t2 mM
mv cos V mM
在有限时间t-t0内：
d( m1v1 ) ( F1 f12 )dt
F1
m2
f 21
F2
m1
f12

t
t0
F1 F2 dt (m1v1 m2v2 ) (m1v10 m2v20 )
质点系由N个质点组成则有： n in 外力 内力 Fi 0
C A D B C A
D B
思考
1、质点系的动量守恒，是否意味着该系统中，一 部分质点的速率变大时，另一部分质点的速率一定 会变小？ 2、假使你处在摩擦可略去不计的覆盖着冰的湖 面上，周围无其它可利用的工具，你怎样依靠自身 的努力返回湖岸呢？能否用步行、滚动、挥舞双臂 或踢动两脚而到达岸边？