八年级数学下册1.4第2课时角平分线的性质定理的逆定理习题课件(新版)湘教版

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例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
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合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
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例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
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自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;

(3)CD＋AB＝AD. 理由：如图，∵ME⊥AD，MC⊥CD， ∴∠C＝∠DEM＝90°. 在Rt△DCM和Rt△DEM中， ∵DM＝DM，MC＝ME， ∴Rt△DCM≌Rt△DEM， ∴CD＝ED.同理AE＝AB. ∵ED＋AE＝AD，∴CD＋AB＝AD.
1.4 角平分线的性质
【归纳总结】应用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题的 步骤 (1)根据角找出平分线及平分线上的点； (2)过这点找出表示距离的两条线段(或构造垂线段)； (3)得出距离相等(或角相等)的结论．
1.4 角平分线的性质
目标突破
目标一 能运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题
例1 教材补充例题 如图1－4－4，∠B＝∠C＝90°，M是BC的
中点，DM平分∠ADC.
(1)求证：AM平分∠BAD；
(2)试说明线段DM与AM之间有怎样的位置关系；
(3)线段CD，AB，AD之间有怎样的数量关系？
并说明理由．
1.4 角平分线的性质
知识点二 利用角平分线的性质作图
点到角的两边的距离相等的作图转化为作这个角的 ___平__分_线____．
1.4 角平分线的性质
反思
王芳说：一个三角形两个外角的平分线的交点一定在另一个内 角的平分线上．你是否同意王芳的观点？
1.4 角平分线的性质
解：我同意王芳的观点．如图所示，P是△ABC两个外角的平分线的交点，过点 P分别作AB，AC，BC的垂线段PD，PE，PG，可证PD＝PG＝PE，由角平分线性质 定理的逆定理可得点P在另一个内角∠A的平分线上．
图1－4－4
1.4 角平分线的性质
[解析] (1)首先要作辅助线ME⊥AD，则利用角平分线上的点到角两边的 距离相等可知ME＝MC，再利用中点的条件可知ME＝MB，然后利用角平分 线性质定理的逆定理即可证明AM平分∠BAD.(2)根据平行线的性质得出 ∠CDA＋∠BAD＝180°，求出∠ADM＋∠DAM＝90°，根据三角形内角和定 理求出∠AMD的度数即可．(3)证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD＝ED，同理 得出AE＝AB，即可得出答案．

O E ②PD、PE分别是点P到OA、OB的距离；
C P B
③PD=PE.
则OC是∠AOC的平分线.
3.转化方法在几何问题中应用，往往是先通过条 件得出相等的线段或相等的角，然后把问题中的 线段或角换成与之相等的线段或角，从而将所求
或需证明的问题转化为其它的问题，完成解答或
证明.转化是一种重要的数学思想.
作法： A B P C 1.作∠A的平分线； 2.作∠B的平分线,与∠A的平分
线相交于点P.
则点P到△ABC三边的距离相等.
方 法 小 结：
转化是数学中是一种重要的数学思想.在几何问 题中，先通过条件得出相等的线段或相等的角， 然后将所求或需证明的问题转化为其它的问题，
从而一点，EC⊥OA
图1-27
如图 1-29 ，已知 EF⊥CD ， EF⊥AB ， MN⊥AC ， M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM， AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
C N A 分析：根据角平分线的性质定理的逆 D 定理可知：已知ME⊥CD，MN⊥CA， 还需补充条件 MN=ME ，才能 M 得出CM为∠ACD的平分线. 因为MF=ME，所以 MN=MF ， F B 同理可得AM为∠ACD的平分线. E
A E
∴ ∠ECD=∠EDC.
O D B
（2） 在Rt△OCE和Rt△ODE中，
∵ EC=ED，
OE=OE， ∴ Rt△OCE≌Rt△ODE. ∴ OC=OD.
2.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC， BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. A B
如图 1-29 ，已知 EF⊥CD ， EF⊥AB ， MN⊥AC ， M 是 EF 的中点 . 需添加一个什么条件，就可使 CM ， AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？

(2)①BD与ED有什么关系?为什么? 提示:BD=2ED.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 又∵∠B=30°,∴BD=2ED. ②请结合CD的长,以及CD与ED的关系确定BD的长. 提示:∵ED=CD=1,∴BD=2ED=2.
【总结提升】角平分线图形结构中的两种数量关系 如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F, 可以得到以下结论: 1.角之间的相等关系: ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF; ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP;∠DPO=∠EPO =∠ODF=∠OEF. 2.线段的相等关系: OD=OE,DP=EP,DF=EF.
【证明】过点P作PE⊥OA于E,PF⊥OD于F,
∵S△PAB=S△PCD,
∴ A1 B·PE=1 CD·PF.
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∵AB=CD,∴PE=PF.
∴点P在∠AOD的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这
个角的平分线上).
∴OP平分∠AOD.
6.如图,△ABC中,BP,CP分别是∠B,∠C的外角平分线. 求证:点P在∠A的平分线上.
( ×)
知识点 1 角平分线的性质 【例1】(2013·温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分 ∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证:△ACD≌△AED. (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
【解题探究】(1)①CD与ED有什么关系?为什么? 提示:CD=ED.∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED. ②由CD与ED的关系能判定△ACD≌△AED吗?为什么? 提示:能.∵在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=ED,∴由“HL” 定理可得Rt△ACD≌Rt△AED.