2016年5月厦门市高中毕业班第二次质量检查(理)

厦门2016届高三第二次质量检查（理）满分150分，考试时间90分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合A={}N x x x ∈<且4,B={}022>-x x x ，则B A ⋂=A .{}2B . {}3C . {}3,2D . {}43，2.“互联网+”时代，全民阅读的内涵已经多元化，倡导读书成为一种生活方式，某校为了解高中学生的阅读情况，拟采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进行调查，已知该校有高一学生600人，高二学生400人，高三学生200人，则应从高一学生抽取的人数为 .A . 10B . 20C .30D . 40 3.已知命题p :⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，sinx<x,则 . A .p 是真命题，:p ⌝⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，sinx ≥x B . p 是真命题，:p ⌝⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,00πx ，sinx ≥0x C . p 是假命题，:p ⌝⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，sinx ≥x D . p 是假命题，:p ⌝⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,00πx ，sinx ≥0x4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 .A .21-B .0C .21D .1 5.在ABC ∆中，BC BQ AB AP 31,31==,记===PQ b AC a AB 则,, .A .b a 3131+B . b a 3132+C . b a 3232+D . b a 3231- 6.从6名女生中选4人参加4⨯100米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参赛，如果甲、乙两人同时参赛，他们的接力顺序就不能相邻，不同的排法种数为 .A .144B .192C .228D . 264 7.将函数()()02cos >⎪⎭⎫⎝⎛-=ωπωx x f 的图像向右平移4π个单位长度，所得的图像经过点⎪⎭⎫⎝⎛0,43π，则ω的最小值是 . A .31 B . 1 C .35D . 2 8.《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的侧面积为 .A . 2B . 224+C . 244+D . 246+9. 已知y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，若不等式1≥-y ax 恒成立，则实数a 的取值范围是. A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，527 B . ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，511 C . ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，53 D . [)∞+，2 10.直线kx y l =：与曲线x x x y C 3423+-=：顺次相交于C B A ，，三点，若BC AB =，则=k .A . 5-B . 59-C . 21-D . 2111.已知点B A M ，，，)01(是椭圆1422=+y x 上的动点，且0=∙MB MA ，则BA MA ∙的取值范围是.A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡132，B . []91，C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡932， D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡336， 12.已知平面四点D C B A ，，，满足，，322====AD CD BC AB 设BCD ABD ∆∆，的面积分别为S S 21，，则S S 2221+的取值范围是. A .(]141238，- B .(]381238，- C . (]1412，D . (]2812，二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡相应位置。

13.若复数z 满足，i z i 2)1(=-则z 在复平面内对应的点在第 象限. 14.若函数)2()(12)(2∞++-∞∈-+=，，，b b x x ax x f 是奇函数，则=+b a . 15.已知双曲线），，：00(12222>>=-b a by a x C 以C 的一个顶点为圆心，a 为半径的圆被C 截得劣弧长为a 32π，则双曲线C 的离心率为 . 16.已知等边三角形ABC 的边长为34，N M ，分别为AC AB ，的中点，沿MN 将ABC ∆折成直二面角，则四棱锥MNCB A -的外接球的表面积为 .三、解答题：本大题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为35138,14,a a a s s n =⋅=，数列{}n b 的前n 项和为n n n n a b b T 21log ,=++. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n T 2.18.（本小题满分12分）如图，等腰梯形ABCD 的底角A 等于60，其外接圆圆心O 在边AD 上，直角梯形PDAQ 垂直于圆O 所在平面，42,90===∠=∠AQ AD PDA QAD 且 （1）证明：平面PBD ABQ 平面⊥；（2）若二面角的体积。

，求多面体的平面角等于PQABCD C PB D 45--19.（本小题满分12分）2015年7月31日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季运动会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办，某中学为了普及冬奥会知识，举行了一次奥运会知识竞赛，随机抽取20名学生的成绩（满分为100分）如下： 男生：93 91 90 86 83 80 76 69 67 65 女生：96 87 85 83 79 78 77 74 73 68（1）根据两组数据完成男、女生成绩的茎叶图，并比较男、女生成绩的平均值及分散程度； （2）从成绩80分以上（含80分）的学生中抽取4人，要求4人中必须既有男生又有女生，用X 表示所选4人中男生与女生人数的差，求X 的数学期望。

20.（本小题满分12分）已知直线点，轴交于与：：A y l ,m my x l ,m y mx l 121022022=-+-=--+轴与x l 2交于B点,的外接圆是点，圆交于与ABD C D l l ∆21。

（1）判断面积的最小值；的形状并求圆C ABD ∆（2）若是使得线上是否存在点的公共点，问：在抛物与圆是抛物线P 22C py x E ,D =PDE ∆是等腰三角形？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）设函数处的切线方程为在曲线))(,1()(,ln )(x f x f y be x ax x f x =+=- 11211----+=e x e y ）（. （1）求b a ,；（2）求证：221)(--->e x f ；22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，的切线外接圆是的中线和高线，分别是O ABC PC PB ABC CF AD ∆∆,,，的交点。

与圆是点O PA E（1）求证：PC AF CD AC ⋅=⋅；（2）求证：ADE DC ∠平分。

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系,0222=+-y x x C xoy 的方程为中，曲线以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线）（的极坐标方程为R l ∈=ρπθ4。

（1）写出C 的极坐标方程，并求的极坐标；的交点与N M C l ,（2）设面积的最大值。

上的动点，求是椭圆PMN y x P ∆=+132224.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|3|)(-=x x f .（1）求不等式的解集；|1|2)(++<x x f （2）已知6)()(,211,≥-+=+∈+m nf n mf mn nm R n m 求证且.F EDM B CN AO 厦门市2016届高中毕业班第二次质量检查数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1-5：BCBDA 6-10：DDCAB 11-12： CA12.解析：在△ABD 中，2222cos 1683cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅⋅=-，在△BCD 中，2222cos 88cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅⋅=-， 所以3cos cos 1A C -=， 所以221211sin 1212cos ,sin 44cos ,44S AB AD A A S BC CD C C ==-==- ()2222222121212cos 44cos 164cos 14cos 8cos 8cos 12S S A C C C C C +=-+-=-+-=--+因为2324BD -<<，所以()288cos 1683,16C BD -=∈-，解得1cos 31C -<<-，所以(222128cos 8cos 128312,14S S C C ⎤+=--+∈-⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 二 14.1- 15. 210516. 52π16.解析：由3M B C π∠=，取BC 的中点E ，则E 是等腰梯形M NCB 外接圆圆心。

F是△AMN 外心，作OE ⊥平面M NCB ，OF ⊥平面AMN ，则O 是四棱锥A M NCB -的外接球的球心，且32OF DE AF ===，.设四棱锥A MNCB -的外接球半径R ，则22213R AF OF =+=，所以表面积是52π.三、解答题：本大题共6小题，共70分.17. 本小题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式、基本性质及求数列前n 项和，考查运 算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分． 解法一：（Ⅰ）215338,0n a a a a a ⋅==> ， ·········································································· 1分 38a ∴=， ········································································································· 2分又312814S a a =++=，122886a a q q∴+=+=， ···································· 3分 解得2q =或23q =-（舍去）, ······································································· 5分 所以332n nn a a q -=⋅=. ···················································································· 6分 （Ⅱ）122log log 2nn n n b b a n ++=== ,································································ 8分 21234212()()()n n n T b b b b b b -∴=++++++ ··········································· 10分13(21)n =+++- ··········································································· 11分 2n =. ······································································································· 12分解法二：（Ⅰ）由已知得21218(1)14a q a q q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩， ··································································· 2分解得122a q =⎧⎨=⎩或11823a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍去）， ······························································ 4分 所以112n nn a a q -=⋅=. ··················································································· 6分AzxCQOPyDBAx z CQOPyDB（Ⅱ）同解法一.18. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角平面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）证明：由题可知AB BD ⊥， ·························································· 1分 ∵梯形PQAD 垂直于圆O 所在的平面, 90PDA ∠= ，∴PD ⊥平面ABCD , ∴AB PD ⊥，·········································· 2分 又∵,BD PD D AB =⊥∴ 平面PBD ， ·································· 3分 ∵AB ABQ ⊂平面，∴ABQ PBD ⊥平面平面 ． ···················· 4分 （Ⅱ）如图，过点B 作射线BZ ∥,DP BA BD BZ ，，两两垂直.以B 为原点, BA BD BZ ，，所在直线分别为,,x y z 轴建立坐标系,设PD h =，则(0,0,0),(0,23,0),(0,23,),C(1,3,0)B D P h -,从而(130),(0,23,)BC BP h =-=，，， ······························································· 5分 设面PBC 的一个法向量为(x )n y z =，，，0,0,n BC n BP ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 即30,230,x y y hz ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩取1y =，则23(31)n h =- ，，，··············· 7分 由（1）已证BA ⊥平面PBD ,则平面PBD 的一个法向量为(200)BA =，，， 8分2232cos ,21224n BA n BA n BAh⋅∴<>===+，解得6h =， ······················ 9分 多面体PQABCD 是由三棱锥P BCD -和四棱锥B ADPQ -构成的组合体，126434322323B ADPQ V -+=⋅⋅⋅=+，···················································· 11分 13623P BCD V -=⋅⋅=，∴多面体PQABCD 的体积43323V =+. ························································ 12分 解法二:（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）如图，在平面ABCD O AD OX 中过点作的垂线，过O 作射线OZ ∥DP , ,,OX OD OZ 两两垂直.以O 为原点, ,,OX OD OZ 所在直线分别为x y z ，， 轴建立坐标系,设PD h =,则(3,1,0),(0,2,0),(0,2,),C(3,1,0)B D P h ---,从而(020),(3,3,)BC BP h ==，，， ···································································· 5分 设面PBC 的法向量为()n x y z =，，，0,0.n BC n BP ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 即20,330,y x y hz =⎧⎪⎨++=⎪⎩取1x =则3(10)n h =- ，，， ················· 7分 平面PBD 的法向量为(310)BA =-，，, ····························································· 8分 232cos ,2321n BAn BA n BAh⋅∴<>===+,解得6h =, ······························· 9分 下同解法一.AEC Q PDBF解法三:（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）取BD 中点E ,过E 作EF 垂直于PB 交线段PB 于点F ,连接,CE CF , ·········································································································· 5分 可证CE PBD ⊥平面,∴PB CE ⊥,又∵,EF PB ⊥EF CE E = , ∴PB CEF ⊥平面,PB CF ⊥, ····················· 6分 ∴CFE ∠为二面角D PB C --的平面角, ························································· 7分 即CFE ∠=45°，1EF CE ==,由Rt BEF ∆∽Rt PBD ∆，可求得6PD =. ···················································· 9分 以下同解法一.19. 本小题主要考查茎叶图的画法和理解，古典概型，随机变量的数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）茎叶图如图所示.···················································· 2分男生的平均成绩为1(3903807036013366579)8010x =⨯+⨯++⨯++++++++=， 女生的平均成绩为1(90380570606753987438)8010y =+⨯+⨯+++++++++++=， 所以男、女生的平均成绩一样. ···························································· 5分 由茎叶图可以看出，男生的成绩比较分散，女生的成绩比较集中. ·············· 6分 （Ⅱ）成绩在80分以上（包括80分）的学生共有10人，其中男生6人，女生4人，X 的所有可能取值为 – 2，0，2， ························································· 7分136413223164646412(2)97C C P X C C C C C C =-==++， ··········································· 8分 226413223164646445(0)97C C P X C C C C C C ===++， ············································· 9分 316413223164646440(2)97C C P X C C C C C C ===++， ············································· 10分 所以12454056()20297979797E X =-⨯+⨯+⨯=. ········································· 12分 20.本小题考查对含参直线方程的理解，抛物线的基础知识，探究存在性问题，考查学生的数学思维能力及逻辑运算能力，考查数形结合、函数方程、分类与整合的数学思想. 满分12分. 解：（Ⅰ）由于12l l ⊥ ，所以ABD ∆是直角三角形， ············································· 1分A (0，2m +2),B (2-2m ，0），D (2,2)， ···················································· 2分则ABD ∆外接圆圆心直径是AB ，228(1)AB m =+， ····························· 3分要使ABD ∆外接圆C 面积最小，则2min8AB=，当且仅当m =0时成立， ···· 4分所以外接圆C 面积的最小值为2π. ······················································· 5分 （Ⅱ）由D （2,2）点在抛物线22x py =上，则22x y =， ································ 6分 圆C 过原点，则抛物线与圆的公共点是D(2，2),E (0，0)， ······················ 7分假设存在点P 00(,)x y 满足条件，则2002x y =，（1） 当DE 是底时，DE 中点Q （1,1），DE 中垂线方程：y =-x +2,代入抛物线22x y =得：2240x x +-=，200∆=>，所以存在两个满足条件的P 点.8分（2）当PE 是底时，PE 中点M 00(,)22x y ，则DM ⊥PE ， 即3000000(2)(2)0,416022x yx y x x -+-=--= ， ·························· 9分 设32()416,()34f x x x f x x '=--=-，则()f x 在23(,)3-∞-，23(,)3+∞递增，在2323(,)33-递减， 因为23()0,(0)1603f f -<=-<，(3)10,(4)320f f =-<=>， 所以()f x 在(3,4)有唯一零点，存在一个满足条件的P 点. ·················· 10分（3）当PD 是底时，PD 中点N 00(1,1)22x y++，则EN ⊥PD ，00(1,1)22x y EN =++ ,00(2,2)DP x y =-- ,0EN DP ⋅= ，即000022()(2)()(2)022x y x y ++-+-=， 所以222000444()()()0242x x x -+-+=，则2040x -=或2080x +=， 只有1解02x =-. ······································································ 11分综上所述：以上零点不重复，共有4个满足条件的P 点. ···································· 12分yxE DOyxE DOyxE DO说明：若只画出以上三图，说明DE 作为底或腰的等腰三角形有4个，最多给2分，若不完整给1分；若只有结果4个等腰三角形，给1分．21. 本小题主要考查学生利用导数研究函数的单调性、解决与不等式有关的参数范围和证明问题；考查运算求解能力、推理论证能力，创新意识；考查函数与方程、转化与化归思想，分类与整合思想．满分12分． 解法一： （Ⅰ）依题意()f x 定义域为()0,+∞，()()'1ln xf x a x be -=+-， ························ 1分()()111,'11f e f e --=-=+，解得1a =，1b =-. ············································ 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()ln xf x x x e -=-，()'ln 1xf x ex -=++，设()ln 1xg x e x -=++，则()1'x xxe xg x e x xe--=-+=， ······························ 4分 设()x h x e x =-，则()'10xh x e =->，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，所以()0h x >，()'0g x >，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， ··················· 5分 又因为()110e g ee ---=>，()2210e g e e ---=-<，即()()120g e g e --⋅<，所以()g x 恰有一个零点()210,x e e --∈； ···························································· 6分即()000ln 10x g x ex -=++=，即00ln 1x e x -=+， ········································ 7分 当()00,x x ∈时，()0g x <，()f x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，()f x 单调递增， 所以()()0000000ln ln ln 1x f x f x x x ex x x -≥=-=++， ······························ 8分 设()ln ln 1x x x x ϕ=++，因为()21,x e e --∈，所以()1'1ln 120x x e xϕ=++>-+>， ························································· 10分 所以()x ϕ在()21,e e --上单调递增，所以()()22012x e e ϕϕ-->=--，所以()()()20012f x f x x e ϕ-≥=>--，综上可知，()212f x e ->--． ··········································································· 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）由（Ⅰ）知()ln x f x x x e -=-，()'ln 1x f x e x -=++，设()ln 1xg x e x -=++，则()1'x xxe xg x e x xe --=-+=， ···························· 4分设()x h x e x =-，则()'10x h x e =->，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，所以()0h x >，所以()'0g x >，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， ········· 5分 又因为()110e g ee---=>，()2210e g ee ---=-<，即()()120g e g e --⋅<，所以()g x 恰有一个零点()210,x e e --∈； ·························································· 6分即()000ln 10x g x ex -=++=，即00ln 1x e x -=+， ······································ 7分 且当()00,x x ∈时，()0g x <，()f x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，()f x 单调递增， 所以()()0000000ln ln ln 1x f x f x x x e x x x -≥=-=++， ···························· 8分 设()ln ln 1x x x x ϕ=++，因为()21,x e e --∈，所以()1'1ln ,x x xϕ=++设()11ln ,u x x x =++则()22111',x u x x x x-=-=所以当()0,1x ∈时，()'0u x <，()u x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()'0u x >，()u x 单调递增，所以()()120u x u ≥=>，即()'0x ϕ> ························································· 10分所以()x ϕ在()21,e e --上单调递增，则()()22012x ee ϕϕ-->=--， 所以()()()20012f x f x x e ϕ-≥=>--，即()212f x e ->--． ··············· 12分22. 本小题考查相似三角形、圆心与半径、切割线、角平分线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想. 满分10分． 解：(Ⅰ) 由PC 为圆O 切线，知CAF DCP ∠=∠, 1分∵PB ,PC 是圆O 的切线，D 为BC 中点， ∴O ,D ,P 三点共线，且OP BC ⊥, ······················································ 2分 ∴90AFC CDP ∠=∠=︒，AFC CDP △∽△, ································· 3分。