初中数学七年级下学期(初一下册) 因式分解

七年级因式分解知识点因式分解是初中数学中的重要知识点之一，也是中考考试中必考的内容之一。

在七年级的学习中，学生需要掌握因式分解的基本方法和技巧，以便能够正确地解决相关的数学问题。

一、概念解析因式分解是指将一个多项式分解成若干个能够整除它的因式相乘的形式。

因式分解中，需要掌握的概念有：1. 多项式：由常数、变量和它们的乘积所构成的式子，例如，3x^2-2xy+5是一个多项式。

2. 因式：能够整除多项式的式子，例如，x+2是多项式3x^2+7x+6的一个因式。

3. 因式分解：将一个多项式分解成若干个能够整除它的因式相乘的形式。

二、基本方法因式分解的基本方法是先找出多项式的公因式，然后利用因式分解公式或因式分解的方法进行分解。

具体步骤如下：1. 找出多项式的公因式。

2. 利用因式分解公式或因式分解的方法进行分解。

例如，对于多项式2x^2+6x，我们可以先找到它的公因式2x，将它提出来，然后进行分解：2x(x+3)。

三、常用因式分解公式在因式分解过程中，我们还需要掌握一些常用的因式分解公式，包括：1. 平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

例如，16-9可以分解为(4+3)(4-3)。

2. 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2。

例如，x^2+6x+9可以分解为(x+3)^2。

3. 二次差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

例如，4x^2-9可以分解为(2x+3)(2x-3)。

四、解题技巧在进行因式分解的过程中，还需要掌握一些解题技巧，例如：1. 省略步骤：对于一些简单的多项式，不需要进行完整的因式分解，可以直接写出因式。

2. 细心观察：观察题目中的条件，有时可以直接得出因式分解的结果。

3. 综合运用：将多种因式分解方法结合起来，综合运用，得出正确的结果。

五、例题讲解1. 因式分解多项式3x^2+12x。

解：首先，我们可以把3x和12x除以3，得到3x(x+4)，即3(x+4)x。

北京课改版数学七年级下册8.1《因式分解》教学设计一. 教材分析《因式分解》是北京课改版数学七年级下册8.1的内容，因式分解是初中的重要知识点，也是初中数学中的一种基本解题方法。

通过因式分解，可以将一个多项式转化成几个整式的乘积形式，从而便于求解和化简。

本节课的主要内容有：因式分解的定义、因式分解的方法和技巧以及因式分解的应用。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了整式的乘法、多项式与多项式的乘法等知识，具备了一定的代数基础。

但是，因式分解作为一种独立的解题方法，对学生来说还是较为抽象和难以理解的。

因此，在教学过程中，需要从学生的实际出发，采用生动有趣的教学手段，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，从而理解和掌握因式分解的方法。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握因式分解的定义、方法和技巧，能够运用因式分解解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等学习方式，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受到数学的趣味性和实用性。

四. 教学重难点1.重点：因式分解的定义、方法和技巧。

2.难点：因式分解的灵活运用和解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

3.案例教学法：通过典型的例子，讲解因式分解的方法和技巧，使学生易于理解和掌握。

4.启发式教学法：教师引导学生思考，激发学生的思维，培养学生的问题解决能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的教学课件，帮助学生理解和掌握因式分解的知识。

2.教学案例：准备一些典型的因式分解例子，用于讲解和示范。

3.练习题：准备一些因式分解的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣。

七下整式乘法与因式分解知识点归纳小结整式乘法与因式分解是初中数学七年级上学期的一个重要知识点。

整式乘法是指两个或多个多项式相乘的运算，而因式分解则是指将一个多项式分解成两个或多个因式的过程。

下面将通过归纳总结的方式来介绍整式乘法与因式分解的基本概念和方法。

一、整式乘法的基本概念与性质：1.多项式的基本概念：多项式是由常数项、含有未知数的项及它们的系数的乘积相加或相减得到的代数式。

例如：3x²-2x+12.单项式与多项式：只有一个项的代数式称为单项式，例如：4x³；含有两个或两个以上项的代数式称为多项式，例如：5x²+2x+33.多项式的乘法规则：多项式A和多项式B相乘得到的结果是一个多项式C，其每一项是A和B的对应项乘积的和。

例如：(3x+2)(2x-1)=6x²-3x+4x-2=6x²+x-2二、整式乘法的展开：1.一般情况下，多项式的乘积可以通过分配律展开。

例如：(2x+3)(x+4)=2x(x+4)+3(x+4)=2x²+8x+3x+12=2x²+11x+122. 特殊情况下，有一些常见的乘积公式可以直接应用，如(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab+b²等。

三、因式分解的基本概念与性质：1.因式分解的定义：将一个多项式分解成两个或多个因式相乘的形式，其中每一个因式都是原多项式的一个因数。

2.公因式提取法：当一个多项式的每一项都有一个公因式时，可以提取公因式。

例如：4x+2y=2(2x+y)。

3. 分组分解法：将多项式的项按照其中一种规则进行重新排列分组，然后进行提取公因式的操作。

例如：4xy+2x+3y+6=2x(2y+1)+3(y+2)。

4.差平方公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

5. 公式的应用：多项式的因式分解常常会用到如(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab等常见公式。

七下第九章整式乘法与因式分解知识点归纳小结知识点归纳：一、幂的运算：1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+∙+2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4==3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙-4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷5、多项式按字母的升（降）幂排列：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列： 按x 的降幂排列：按y 的升幂排列： 按y 的降幂排列：例.已知x 2＋x －1＝0，求x 3＋2x 2＋3的值．二、单项式、多项式的乘法运算：6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

如：=∙-xy z y x 3232 )2()3(22xy xy -⋅= ? 2232)()(b a b a ⋅-=?7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)。

如：)(3)32(2y x y y x x +--= 。

8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。

国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。

奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。

下⾯是⽆忧考为⼤家带来的初⼀年级数学公式：因式分解公式，欢迎⼤家阅读。

初中数学公式a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)( 1 )请写出图 3 所表⽰的代数恒等式.( 2 )试画出⼀个⼏何图形，使它的⾯积能表⽰：( a + b )( a + 3b )= a2 + 4ab + 3b2 .( 3 )请仿照上述⽅法另写⼀个含有 a ， b 的代数恒等式，并画出与之对应的⼏何图形.解：( 1 )( 2a + b )( a + 2b )= 2a2 + 5ab + 2b2 .( 2 )答案不唯— ，如( a + 2b )( a + b )= a2 + 3ab + 2b2 ，与之对应的⼏何图形如图 5 所⽰.因式分解的技巧已知 a 、 b 、 c 为有理数，且 a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ，试说出 a 、 b 、 c 之间的关系，并说明理由.解：∵ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca∴ a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 0∴ 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0∴ ( a2 - 2ab + b2 )+ ( a2 - 2ca + c2 )+( b2 - 2bc + c2 )= 0∴ ( a - b ) 2 +( a - c ) 2 +( b - c ) 2 = 0∴ a - b = 0 且 a - c = 0 且 b - c = 0∴ a = b = c因式分解的应⽤若a+b=4,则2a2+4ab+2b2-6的值为( )A.36B.26C.16D.2思路分析：2a2+4ab+2b2-6=2(a+b)2-6=2×42-6=26答案：B1 . 下列四个式⼦中与多项式 2x2 - 3x 相等的是( )A. 2B. 2C. D.2 . 要使式⼦ 25a2 + 16b2 成为⼀个完全平⽅式，则应加上( ).A. 10abB. ±20abC. - 20abD. ±40ab3 . 多项式 2a2 + 4ab + 2b2 - 8c2 因式分解正确的是( ).A. 2 ( a + b - 2c )B. 2 ( a + b + c )( a + b - c )C. ( 2a + b + 4c )( 2a + b - 4c )D. 2 ( a + b + 2c )( a + b - 2c )4 . 下列计算中，正确的是( )A. an + 2÷an - 1 = a3B. 2a2 + 2a3 = 4a5C. ( 2a - 1 ) 2 = 4a2 - 1D. ( x - 1 )( x2 - x + 1 )= x3 - 15 . 将 4a - a2 - 4 分解因式，结果正确的是( ).A. a ( 4 - a )- 4B. -( a + 2 ) 2C. 4a -( a + 2 )( a - 2 )D. -( a - 2 ) 26.不论 x ， y 取什么实数， x2 + y2 + 2x ⼀ 4y + 7 的值( ).A. 总不⼩于 7B. 总不⼩于 2C. 可为任何实数D. 可能为负数。

沪科版初中数学初一数学下册《整式乘除与因式分解》教案及教学反思一、前言《整式乘除与因式分解》是初中数学下册的第五章。

本章主要涉及到整式的基本概念和运算、整式的乘法、整式的除法和因式分解，这是初中数学学科中的重要内容。

对于初中生而言，初步掌握整式的基础概念，掌握基本的运算方法，以及能够灵活运用整式的乘、除、因式分解等基本技能，将对他们后续学习数学有很大的帮助。

在我们的教学过程中，既要求学生的基础知识扎实，也需要提供给他们良好的学习方法和策略。

因此，本文将结合我们的教学实践，介绍一份教案并反思教学效果。

二、教案内容第1课时整式的定义和运算1. 整式的定义•整式是由有理数和变量经过加、减、乘、幂运算构成的代数式，其中变量的次数均为非负整数。

•整式中，有理数和常数项均可看作是次数为0、无变量的整数次幂项。

2. 整式的运算•加法和减法：将同类项合并，然后再进行加、减运算。

•乘法：将每一个乘数依次与另一个整式相乘，然后将所得到的结果相加，最终得到的就是原来的两个整式的积。

•幂运算：将一个整式乘以自己任意多次，这样的运算方式叫做幂运算。

第2课时整式的乘法1. 整式的乘法•乘法运算的基本要点是先用第一个整数的每一个单项式去乘以第二个整式的所有单项式，然后将所有所得的结果相加，最终得到乘积。

•乘法中的交换律和结合律与初中数学中的普通数学的运算法则相似。

2. 整式的乘法法则•乘积法则：将两个单项式相乘，就是将它们的系数相乘，同时将它们的字母部分相乘。

•同底数幂相乘是，底数不变，指数相加。

•单项式与多项式相乘时，就是将单项式中的每一项依次与多项式中的各项相乘，然后将所得结果相加。

•根据乘法分配律，一个整式乘以整式和多项式时，可以先分配后相乘。

第3课时整式除法1. 整式的除法•除法运算中，被除式是可以整除除式的，而整除结果则是叫做商。

•整数除法可以转化为十进制小数除法。

•整式除法的步骤是：先确定商的首项和被除式的首项有关，然后将商的首项乘以除式，将所得积从被除式中减去，然后在下一个步骤中再求商的下一个项。

青岛版七下数学12.3用公式法进行因式分解说课稿一. 教材分析大家好，今天我要给大家说课的是青岛版七年级下的数学，第12.3节内容，用公式法进行因式分解。

本节内容是在学习了整式的乘法、完全平方公式和平方差公式的基础上进行学习的，是初中数学中的重要内容。

因式分解是解决代数方程和不等式的重要方法，也是后续学习多项式乘法、分式乘法等知识的基础。

二. 学情分析在进入本节课的学习之前，学生已经掌握了整式的乘法、完全平方公式和平方差公式，对因式分解有了初步的认识。

但是，对于如何灵活运用这些公式进行因式分解，还需要进一步的引导和训练。

此外，因式分解的思路和方法还需要学生在实践中去感悟和掌握。

三. 说教学目标本节课的教学目标有三点：一是让学生掌握因式分解的基本方法，能够运用公式法进行因式分解；二是培养学生观察、分析、解决问题的能力；三是培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

四. 说教学重难点本节课的重难点是如何灵活运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解。

其中，如何判断和运用公式法进行因式分解是教学的难点。

五. 说教学方法与手段为了突破教学的重难点，我采用了启发式教学法和小组合作学习法。

在教学过程中，我将以学生为主体，引导学生观察、分析、解决问题，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

同时，我还会利用多媒体教学手段，展示因式分解的过程，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程教学过程分为五个环节：导入、新课、练习、总结、布置作业。

1.导入：我会通过一个简单的例子，引导学生回顾整式的乘法，为新课的学习做好铺垫。

2.新课：我会引导学生观察、分析完全平方公式和平方差公式的特点，引导学生发现因式分解的规律，然后讲解如何运用公式法进行因式分解。

3.练习：我会设计一些练习题，让学生运用公式法进行因式分解，巩固所学知识。

4.总结：我会引导学生总结因式分解的思路和方法，帮助学生形成知识体系。

5.布置作业：我会布置一些课后练习题，让学生进一步巩固所学知识。

七年级下册因式分解公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：七年级下册因式分解公式因式分解是数学中的一个基础概念，也是代数中的重要内容之一。

在七年级下册的学习中，因式分解也成为了我们学习的一部分。

因式分解是指把一个多项式按照其因式进行乘法分解，从而简化表达式，使计算更加方便。

掌握因式分解的方法和技巧，对于解题起到事半功倍的效果。

在本文中，我们将主要讨论七年级下册中常见的因式分解公式。

一、提取公因式把4a+8b的因式分解公式中，4a和8b都能被4整除，所以提取出4，得到4(a+2b)。

二、因式分解的基本原理在因式分解中，我们经常会用到几个基本的公式，这些公式是因式分解的基石。

下面是七年级下册常见的因式分解公式：1. 二次三项式的因式分解公式：二次三项式就是指有三项的二次多项式，常见的形式是ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是系数。

当二次三项式的系数a不为1时，通常我们采用求解二次方程的方法来因式分解，公式为(mx + n)(px + q)。

把4x^2 + 12x + 8的公式因式分解为(2x + 2)(2x + 4)。

完全平方式是指一个多项式可以写成两个平方式之和的形式，常见的形式是a^2 + 2ab + b^2，其中a、b为变量。

3. 因式分解的常见技巧：除了以上基本原理，我们在因式分解中还需要掌握一些常见的技巧，以便更快、更准确地进行计算。

（1）合并同类项：在因式分解中，我们经常需要合并同类项，即把相同变量的项合并在一起。

把2x + 3x的合并同类项为5x。

（2）利用减法求和差：有时候，我们可以通过利用减法求差来进行因式分解。

把x^2 - 9的因式分解为(x+3)(x-3)。

在七年级下册的学习中，因式分解是一个非常重要的内容，不仅仅是代数中的一部分，也是思维训练的一部分。

掌握因式分解的方法和技巧，不仅可以解决各种数学问题，还可以提升我们的数学思维能力。

希望通过本文的介绍，大家能更好地掌握七年级下册因式分解的相关知识，取得更好的学习成绩。

定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式因式分解的意义与整式乘法的关系：互逆提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++因式分解的主要方法 平方差公式：()()b a b a b a -+=-22 因式分解 公式法完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±因式分解的一般步骤：先看能否用提取公因式，再看能否用公式法因式分解的应用4.1 因式分解知识点：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。

考点①:判断因式分解。

关键：1、等式右边是几个整式乘积的形式2、是否分解彻底；3、用整式乘法来检验因式分解的正确性。

例1：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A. ()2132-22+-=+x x x B. ()()111222-+=-+xy xy xy y x C. ()x x y xy y x -=-2233 D. ()()y x y x y x 32329422++-=+- 例2：检验下列因式分解是否正确.(1) ()()1212122+-=-a a a(2) ()()3393-+=-x x x x x(3) ()()3824112++=+-m m m m(4) ()()y x y x y xy x +-=-+2222 考点②：已知因式或其中一个因式，求原多项式的系数。

关键：1、将因式的乘积用整式乘法做化简，再与原多项式一项一项对比。

2、若只知一个因式，则将另一个因式设为类似mx-n 的形式，再与已知因式相乘做化简，最后与原多项式对比。

例1：若()()43--x x 是多项式122+-ax x 分解因式的结果，则a 的值是______. 例2：若()3-x 是多项式122+-ax x 分解因式的结果，则a 的值是______. 例3：若()3-x 是多项式a x x +-72分解因式的结果，则a 的值是______.例4：甲、乙两名同学分解因式b ax x++2时，甲看错了b ，分解结果为()()42++x x ；乙看错了a ，分解结果为()()91++x x ，则.____=-b a考点③：将考点②反过来，已知原多项式和它的因式分解的其中一个因式，求另一个因式.例1：()ab aby abx ab 749147-=+--，括号里应填（）A ． y x 721++- B. y x 72-1+- C. y x 7-2-1 D. y x 721-+例2：已知将122-+x x 因式分解得到的一个因式是()3-x ，另一个因式是_________.考点④：利用因式分解简单计算.例1：（1）2012012- （2）223565-4.2 提取公因式法知识点一：公因式1. 一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.2. 多项式各项的公因式应是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.知识点二：提取公因式法3. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解，这种方法叫做提取公因式法。

七年级数学下册12.4用公式法进行因式分解说课稿一. 教材分析《七年级数学下册》第12.4节“用公式法进行因式分解”是初中数学的重要内容，是学生掌握因式分解方法的转折点。

这一节的内容是在学生已经掌握了多项式的基本概念、运算法则和提公因式法等知识的基础上进行学习的。

教材中通过公式法来进行因式分解，让学生感受数学的规律性和美感，培养学生对数学的兴趣和探究精神。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对数学的学习有了一定的基础。

但是，学生对于新知识的学习还是以形象思维为主，对于抽象的数学公式和定理的理解和运用还需要通过具体的例子和实际操作来进行。

在因式分解的学习中，学生可能会对于公式的推导和运用存在困难，需要通过多次的练习和教师的引导来逐步掌握。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生会掌握公式法进行因式分解的方法，能够运用公式法解决一些实际问题。

2.过程与方法：学生会通过观察、猜想、验证、总结等过程，体验数学的探究过程，培养学生的探究能力和思维能力。

3.情感态度价值观：学生会感受数学的规律性和美感，培养对数学的兴趣和探究精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够掌握公式法进行因式分解的方法，并能够运用公式法解决一些实际问题。

2.教学难点：学生对于公式的推导和运用，以及对于因式分解的理解。

五. 说教学方法与手段在这一节课中，我会采用问题驱动的教学方法，通过提问和引导，让学生主动去探究和发现公式法进行因式分解的方法。

同时，我会运用多媒体教学手段，通过动画和图形的展示，帮助学生直观地理解因式分解的过程。

六. 说教学过程1.导入：通过复习多项式的基本概念和运算法则，引导学生进入新课。

2.探究：通过具体的例子，引导学生观察和猜想公式法进行因式分解的方法，然后进行验证和总结。

3.讲解：通过讲解和示范，让学生理解和掌握公式法进行因式分解的方法。

4.练习：通过布置一些实际的练习题，让学生运用公式法进行因式分解，巩固所学知识。

苏科版初中数学七年级下册第9章整式乘法与因式分解知识拓展与归纳01因式分解、公因式、提公因式法、公式法把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解（factorization），也叫做把这个多项式分解因式．公因式：一个多项式中的每一项都含有的相同的因式，称之为公因式（common factor）．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法，如ma＋mb ＋mc＝m(a＋b＋c)．公式法：将乘法公式反过来应用，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法，叫做公式法．例如1，乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，反过来就是平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，用文字语言来表达就是：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．例如2，乘法公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，反过来就是完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2，用文字语言来表达就是：两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方．02关于因式分解的结果，在表述上有什么要求？主要是两条：1．分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；2．相同的、不能再分解的多项式因式的积，要写成幂的形式；3．至于数字系数，不要求进行因数分解．高等代数可以证明，在这样的规定下，在同样的数的范围内，因式分解的结果是唯一的．03有趣的“自守数”1776年，美国第一任总统华盛顿宣布建立美利坚合众国．1976年，美国举行了建国200周年纪念活动．在某中学的黑板报《一日一题》栏中有一道有趣的题目：1776200的最后两位数字是什么？学生马克看完题不假思索地说：“很简单，是76．”如果不用计算器，你知道马克是用什么办法很快“算”出来的吗？事实上，“76”是一个很特殊的数．任何两个自然数，只要它们的最后两位数是76的话，那么其乘积的最后两位数字也必然是76．例如276×476＝131376；576×676＝389376等等．人们称这样的数为“自守数”．这有什么道理吗？ 设两个数分别为1OO a ＋76与100b ＋76．这里a 、b 是任意自然数，则 (100a ＋76)(100b ＋76)＝10000ab ＋7600a ＋7600b ＋5776＝10000ab ＋7600a ＋7600b ＋5700＋76＝100(100ab ＋76a ＋76b ＋57)＋76．由于a 、b 是自然数，显然最后两位数字一定是76．自然数中这样的自守数还很多，比如5、6、376、625等等．04关于“因式分解”教学中的几个问题一、什么叫做因式如果多项式f (x )能够被非零多项式g (x )整除，即可以找出一个多项式q (x )，使得f (x )＝q (x )·g (x )，那么g (x )就叫做f (x )的一个因式．当然，这时q (x )也是f (x )的一个因式，并且q (x )、g (x )的次数都不会大于f (x )的次数． 注意：g (x )≠0，但q (x )可以等于0（当f (x )＝0时）．例如，因为(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，把左边、右边交换，得到x 2－1＝(x ＋1)(x －1)，所以x ＋1，x －1都是x 2－1的因式．由于任何一个多项式f (x )都可以写成一个非零数a 及多项式1af (x )的积，即 f (x )＝a ·1a f (x )，所以任何一个非零数a 及多项式1a f (x )也都可以看成f (x )的因式．我们把这种因式看作平凡因式，并规定在分解因式时都不予考虑．例如，因为x 2－1＝1·(x 2－1)＝2(x 22 －12 )＝12 (2 x 2－2)．可知1，x2－1，2，x22－12，12，2x2－2也都是x2－1的因式，这种因式都看作平凡因式，在分解因式时不予考虑．如果把x2－1因式分解，就只能得到唯一的结果x2－1＝(x＋1)(x－1)（因为有乘法交换律，所以x2－1＝(x－1)(x＋1)与x2－1＝(x＋1)(x－1)是同样的结果），其中x＋1，x－1都不是平凡因式．在高等代数中可以证明，如果对平凡因式都不予以考虑，那么任何一个一元多项式在每个确定的数的范围内，其分解因式的结果是唯一的．二、什么叫做多项式中各项的公因式多项式的公因式是指这个多项式中各项都具有的公共因式．它可以是一个单项式，也可以是一个多项式，还可以是一个单项式与一个多项式的积（这里我们为了叙述上的方便，把单项式与多项式区别对待）．如果公因式是单项式，那么公因式可能不止一个．当多项式中各项的系数是正整数时，在有理数范围内谈到它各项的公因式，是指寻找这样的公因式：它的系数必须是这个多项式中各项系数的最大公约数，它所具有的字母必须是这个多项式中各项都具有的公共字母，每个字母的指数必须是这个多项式中各项所含的同一字母的最低次幂的指数．一句话，就是各项系数的最大公约数与各项所含的相同字母的最低次幂的积．如果公因式是多项式，那么这个多项式一定是原多项式中各项的一个公因式．这个多项式的项数、各项所含的字母及其指数、各项的系数等，在原多项式的各项中一定都是相同的，所以能够寻找出来．三、在用提公因式法分解因式时，除了教科书上提到的以外，还要注意什么当多项式中各项的系数不都是整数时，在有理数范围内提取各项的公因式，其系数也可以不是整数（这时当然不能说取“各项系数的最大公约数”）．例如1 2a 3＋2a2b＋2b2＝a2(a2＋4ab＋4b2)．我们知道，这里把12提出来，有一个好处，就是(a2＋4ab＋4b2)＝(a＋2b)2，所以原式＝12a(a＋2b)2．如果不提出这个12，那么因式12a2＋2ab＋2b2在有理数范围内就不能用完全平方公式进行分解，而用十字相乘法将其分解为(12 a ＋b )(a＋2b )却不是那么容易想得到的．四、在运用乘法公式把多项式分解因式时，要注意些什么1．必须让学生熟记教科书上给出的公式．2．从所给多项式的项数入手，分辨运用哪一个乘法公式：如果原多项式是二项式，那么可考虑是否能运用平方差公式来分解；如果原多项式是三项式，那么可考虑是否能运用完全平方公式来分解．3．学生初学时，在运用公式前，可以让他们先将要分解的多项式去“套”公式的原形．例如要把14 a 2－23 ab ＋49 b 2分解因式，先将其写成：(12 a )2－2·12a ·23b ＋(23 b )2形式，这样就能比较清晰地看出，应该用完全平方公式把它分解成(12 a －23 b )2．4．运用公式前，还要先将原多项式中各项的公因式提出，使各项不含公因式．5．运用公式后，应注意将结果化简，并看看能否再分解下去，要一直分解到不能再分解为止．例如多项式(y 2－1)2－16(y 2－1)＋64用完全平方公式分解为[(y 2－1)－8)2]后，必须继续将其分解下去，即原式＝(y 2－1－8)2＝(y 2－9)2＝(y ＋3)2(y －3)2．6．如果学生学有余力，可以让他们再做一些补充题，学习怎样通过运用公式法进行因式分解，来简化某些计算，从而加深对公式的理解．7．为了解题迅速、正确，应要求学生熟记1～20这20个自然数的平方数，并能立即从这些平方数中说出它们是哪一个数的平方．五、分组分解法的指导思想是什么当一个多项式的各项没有公因式可提出，并且对它不能直接运用公式时，我们往往想到能否利用分组分解的办法．这里“分组”只是因式分解的一个步骤，它的目的在于分组后，或者在有的组的内部，或者在组与组之间，造成新的情况，例如，可以提公因式，可以运用公式等等，从而使原先不易解决的问题变成了比较容易解决的问题．可以利用分组分解法分解因式的情况大体分为三种：第一种是分组后能直接提公因式；第二种是分组后能直接运用公式．教科书上没有专门对这两种情况做介绍，至于第三种情况，可以叫做“拆项后能够分组分解”，如，要把x2－11x＋24的一次项“－11x”拆成两项“－3x”和“－8x”，再用分组分解法；既要“添项”（这里是添“0”），又要“拆项”（即把“0”拆成两个系数互为相反数的二次项，目标是分组后运用公式），然后再用分组分解法．正如我们在运用“拆项”“添项”方法的题目中所指出的，“拆项”具有“一分为二”的思想，它正好与“合并同类项”相反，显示出“有分必有合，有合必有分”的互逆过程．至于“添项”，则具有“添加辅助元素”的思想，与学生学习几何时在图形上“添加辅助线”一样，都是架设一座桥，从而实现未知到已知的“化归”．“拆项”“添项”的方法，在代数中经常用到，要尽可能让学有余力的学生了解一些基本的应用．05因式分解中的数学思想一、整体思想所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解．例1把多项式（x2－1）2＋6（1－x2）＋9分解因式．分析：把（x2－1）看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的．解：（x2－1）2＋6（1－x2）＋9＝（x2－1）2－6（x2－1）＋9＝[（x2－1）－3]2＝（x2－4）2＝[（x＋2）（x－2）]2＝（x＋2）2（x－2）2．例2把多项式（a＋b）2－4（a＋b－1）分解因式．分析原式两项既无公因式可提，又无公式可套用，但由此结构特点可采取视a＋b为一个整体，局部展开后或许能运用完全平方公式．解：（a＋b）2－4（a＋b－1）＝（a＋b）2－4（a＋b）＋4＝（a＋b－2）2．二、类比思想类比思想在因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比．例3把多项式6x3y 2＋12x2y3－6x2y2分解因式．分析：对比整式的乘法和乘法的分配律可知，6、12、6的最大公约数是6，字母x、y的最低指数均为2，所以多项式6x3y2＋12x2y3－6x2y2的公因式是6x2y2．解6x3y2＋12x2y3－6x2y2＝6x2y2（x＋y－1）．例4分解因式：（1）x3y－xy3；（2）abx2－2abxy＋aby 2．分析：（1）对比平方差公式可先提取xy．（2）对比完全平方公式可先提取ab．解：（1）x 3y－xy3＝xy（x 2－y 2）＝x y（x＋y）（x－y）；（2）abx 2－2abxy＋aby2＝ab（x2－2xy＋y2）＝ab（x－y）2．三、转化思想转化思想就是对于某些多项式从表面是无法利用因式分解的一般步骤进行的，必须通过适当的转化，如经过添项、拆项等变形，才能利用因式分解的有关方法进行．例5把多项式6x（x－y）2＋3（y－x）3分解因式．分析考虑到（y－x）3＝－（x－y）3，则多项式转化为6x（x－y）2－3（x －y）3，因此公因式是3（x－y）2．解：6x（x－y）2＋3（y－x）3＝6 x（x－y）2－3（x－y）3＝3（x－y）2[2 x－（x－y）]＝3（x－y）2（x＋y）．例6把多项式x4＋x2y2＋y4分解因式．分析：从表面上看此题不能直接分解因式，但仔细观察发现若x2y2转化成2x2y2，即可先运用完全平方公式，再利用平方差公式．解：x4＋x2y2＋y4＝x4＋2x2y2＋y4－x2y2＝（x2＋y2）2－x2y2＝（x2＋y2＋xy）（x2＋y2－xy）＝（x2＋xy＋y2）（x2－xy＋y2）．四、换元思想所谓的换元就是将多项式的某些项用另一个新的字母去代换，通过换元可以将复杂的多项式转变成简单的，将陌生的转换成熟悉的，使之得以顺利地分解因式．例7把多项式（x＋y）（x＋y＋2xy）＋（xy＋1）（xy－1）分解因式．分析：这个多项式形式上比较复杂，但考虑x＋y与xy重复出现，利用这一特点，可以将这两个因式通过换元后再分解因式．解：设x＋y＝a，xy＝b，则（x＋y）（x＋y＋2xy）＋（xy＋1）（xy－1）＝a（a＋2b）＋（b＋1）（b－1）＝（a2＋2ab＋b2）－1＝（a＋b）2－1＝（a＋b＋1）（a＋b－1）＝（x＋y＋xy＋1）（x＋y＋xy－1）＝（x＋1）（y＋1）（x＋y＋xy－1）．06关于(a＋b)2的推广对于公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，可以从两方面推广：一是从指数推广；一是从项数推广．我们知道，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．①由多项式的乘法，可以得到(a＋b)3＝(a＋b)2(a＋b)＝(a2＋2ab＋b2)(a＋b)＝a3＋2a2b＋ab2＋a2b＋2ab2＋b3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3．②从展开式①，②中，可以看出如下规律：项数与次数：项数比次数多1；展开式中的字母a按降幂排列，第一项的字母a的指数就是二项式的次数；而字母b则按升幂排列，末项b的指数也是二项式的次数；各项中a、b指数的和都等于二项式的次数．系数：首末两项的系数都是1；②式中第二项的系数是①式中第一、二项系数的和；②式中第三项的系数是①式中第二、三项系数的和．上述规律，从下面的表中可以很清楚地展示出来．1(a＋b) 1 1 a＋b(a＋b)2 121a2＋2ab＋b2(a＋b)3 1331a3＋3a2b＋3ab2＋b3按上述规律，(a＋b)4展开式各项的系数为1、4、6、4、1．再结合项数与次数的规律，可得(a＋b4)＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4．③由多项式的乘法验证，③的结果是对的．事实上，由③可以推出(a＋b)5展开式各项的系数，等等．当二项式的次数不大时，我们利用项数与次数以及系数的规律可以将展开式写出来．例如(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5．如果你有兴趣，不妨按照上述规律写出(a＋b)6的展开式．上述二项式展开式的系数表在我国宋朝数学家杨辉著《详解九章算法》（1261年）一书时用过．杨辉在注释中提到，贾宪也用过上述办法．因此，我们称上述系数表为杨辉三角或贾宪三角．下面看一看(a＋b)2项数推广的情形．我们用语言表述公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2①为：两数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数积的2倍．我们曾用多项式的乘法计算，得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac．②上式同样可用语言表述为：三数和的平方，等于这三个数的平方和，加上这三个数中每两个数的积的2倍．下面，我们用多项式的乘法计算4个数和的平方． (a＋b＋c＋d)2＝[(a＋b)＋(c＋d)]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)(c＋d)＋(c＋d)2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋c2＋2cd＋d2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd．③同样，上式用语言表述为：4个数和的平方，等于这4个数的平方和，加上这4个数中每两个数的积的2倍．同学们如有兴趣，可利用公式②、③计算下列各题：1．(a＋2b－c)2；2．(2x－y＋3z)2；3．(a＋b－c－d)2；4．(x－2y－z＋2w)2．。

因式分解概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

数学初一下册《因式分解的应用》解答题专题训练（附答案）1．已知x2﹣x﹣1＝0，求代数式﹣x3+2x2+2022的值．2．在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，若a2﹣2ab+b2＝ac﹣bc且∠C ＝60°．试证明△ABC是等边三角形．3．常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x2+2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2+2xy+y2﹣16＝（x+y）2﹣42＝（x+y+4）（x+y ﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：（1）分解因式：2a2﹣8a+8；（2）请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2+3x﹣3y；（3）若△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．4．如图1，六个小图形拼成一个大长方形，大长方形面积＝长×宽＝（a+2b）（a+b），六个小图形面积和为：a2+ab+ab+ab+b2+b2＝a2+3ab+2b2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）仿照上面的方法，由图2可得等式；（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．5．下面是某同学对多项式（x2﹣3x+4）（x2﹣3x+6）+1进行因式分解的过程．解：设x2﹣3x＝m原式＝（m+4）（m+6）+1（第一步）＝m2+10m+25（第二步）＝（m+5）2（第三步）＝（x2﹣3x+5）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式；B．平方差公式；C．完全平方公式（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+6）+9进行因式分解．（3）因式分解：（x2﹣4x+6）（x2﹣4x+2）+4＝（在横线处直接写出因式分解的结果）．6．王老师在黑板上写下了四个算式：①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1；②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2；③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3；④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4；…认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题：（1）112﹣92＝；132﹣112＝．（2）小华发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n+1和2n﹣1（n为正整数），请你用含有n的算式验证小华发现的规律．7．第一环节：自主阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：x2﹣4y2+2x﹣4y＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式这种分解因式的方法叫分组分解法．第二环节：利用这种方法解决下列问题．因式分解：x2y﹣4y﹣2x2+8．第三环节：拓展运用．已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab＝c2+2ac，试判断△ABC的形状并说明理由．8．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式＝x2+2x﹣3＝（x²+2x+1）﹣4＝（x+1）²﹣2²＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）例如．求代数式2x²+4x﹣1的最小值．原式＝2x²+4x﹣1＝2（x²+2x+1﹣1）﹣1＝2（x+1）²﹣3．可知当x＝﹣1时，2x²+4x﹣1有最小值，最小值是﹣3．（1）分解因式：a²﹣2a﹣3＝．（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式x2+y²﹣4x+2y+6的值总为正数．（3）当m，n为何值时，多项式m²﹣2mn+2n²﹣4m﹣4n+25有最小值，并求出这个最小值．9．在现今”互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x3﹣x2因式分解的结果为x2（x﹣1），当x＝5时，x2＝25，x﹣1＝04，此时可以得到数字密码2504或0425；如多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝10时，x﹣1＝09，x+1＝11，x+2＝12，此时可以得到数字密码091112．（1）根据上述方法，当x＝12，y＝5时，求多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码；（写出三个）（2）若一个直角三角形的周长为12，斜边长为5，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码；（只需一个即可）（3）若多项式x2+（m﹣3n）x﹣6n因式分解后，利用本题的方法，当x＝25时可以得到一个密码2821，求m、n的值．10．如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解因式为；（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15．①则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为；②试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和．11．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，AB＝CD＝a，AD＝b，BD＝c，且满足a2+2ab ＝c2+2bc，AE是△ABD的中线．（1）判断△ABD的形状，并说明理由；（2）求证：AD是∠EAC的平分线．12．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．（2）若图中空白部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为30厘米，求图中阴影部分的面积．13．如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．请你结合以上知识，解答下列问题：（1）写出图2所示的长方形所表示的数学等式．（2）根据图3得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求代数式a2+b2+c2的值．（3）小华同学用图4中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（6a+5b）的长方形，求代数式x+y+z的值．14．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．②利用配方法求最小值：求a2+6a+8最小值．解：a2+6a+8＝a2+2a⋅3+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1．因为不论x取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当x＝﹣3时，a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．根据上述材料，解答下列问题：（1）填空：x2﹣8x+＝（x﹣）2；（2）将x2﹣10x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+2的最小值；（3）若M＝6a2+19a+10，N＝5a2+25a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由．15．如果一个自然数M能分解成p2+q，其中p与q都是两位数，p与q的个位数字相同，十位数字之和为10，则称数M为“方加数”，并把数M＝p2+q的过程，称为“方加分解”，例如：236＝122+92，12与92的个位数字相同，十位数字之和等于10，所以236是“方加数”．（1）判断212是否是“方加数”？．并说明理由；（2）把一个四位“方加数”M进行“方加分解”，即M＝p2+q，并将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位数字之和能被3整除，求出所有满足条件的M．16．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．②拆项法：例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1；②（拆项法）x2﹣6x+8；（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长．17．七年级教材下册“第九章整式乘法与因式分解”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式；逆向思考，得到了多项式因式分解的方法，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本77页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形（如图），通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的结论：．其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理．活动材料：如图，4张A型直角三角形纸片、1张B型正方形纸片．活动要求：利用这两种纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式．活动内容：（1）根据要求，小腾拼出了如图的大正方形，请你根据此图说明a2+b2＝c2成立的理由．（2）利用（1）的结论计算：若b﹣a＝，c2＝，求b2﹣a2的值．18．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．现在用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为（用含a，b的代数式表示）；（2）小敏用图1中的A、B、C三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；（3）如图3，C为线段AB上的动点，分别以AC，BC为边在AB的两侧作正方形ACDE 和正方形BCFG．若AB＝6，记正方形ACDE和正方形BCFG的面积分别为S1，S2，且S1+S2＝20，利用（1）中的结论求图中三角形ACF的面积．19．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片张，3号卡片张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是；（4）请你依照该同学的方法，在指定位置画出拼图并利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝．20．【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．例如：求1+2+3+4+…+n的值（其中n是正整数）．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即1+2+3+4+⋯+n＝．【问题提出】求13+23+33+⋯+n3的值（其中n是正整数）．【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结合法，借助图形进行推理获得结论．探究1如图2，13可以看成1个1×1的正方形的面积，即13＝1×12＝12．探究2如图3，A表示1个1×1的正方形，其面积为：1×12＝13；B表示1个2×2的正方形，其面积为：1×22；C，D分别表示1个1×2的长方形，其面积的和为：2×1×2＝1×22；B，C，D的面积和为1×22+1×22＝（1+1）×22＝23，而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝（1+2）2＝32．探究3请你类比上述探究过程，借助图形探究：13+23+33＝＝．（要求自己构造图形并写出推证过程）【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：13+23+33+⋯+n3＝＝．（要求直接写出结论，不必写出推证过程）【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6的正方体的个数，再求总和．例如：棱长是1的正方体有：6×6×6＝63个，棱长是2的正方体有：5×5×5＝53个，…棱长是6的正方体有：1×1×1＝13个；然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为．【逆向应用】如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100个，那么棱长为1的小正方体的个数为．【拓展探究】观察下列各式：13＝1；23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19；⋯⋯若m3（m为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则m的值．参考答案1．解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴﹣x3+2x2+2022＝﹣x•x2+2x2+2022＝﹣x（x+1）+2（x+1）+2022＝﹣x2﹣x+2x+2+2022＝﹣x2+x+2024＝﹣（x+1）+x+2024＝﹣x﹣1+x+2024＝2023．2．证明：∵a2﹣2ab+b2＝ac﹣bc，∴（a﹣b）2＝c（a﹣b），∴（a﹣b﹣c）（a﹣b）＝0，在△ABC中，∵b+c＞a，∴a﹣b﹣c＜0，∴a﹣b＝0，a＝b，∴△ABC是等腰三角形，∵∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形．3．解：（1）原式＝2（a2﹣4a+4）＝2（a﹣2）2；（2）原式＝（x+y）（x﹣y）+3（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y+3）；（3）△ABC是等腰三角形或等边三角形．理由如下：∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c∴△ABC是等腰三角形．4．解：（1）如图2，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为（a+b+c）2＝a2+c2+b2+2（ab+bc+ac）．故答案为：（a+b+c）2＝a2+c2+b2+2（ab+bc+ac）；（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝121﹣76＝45．5．解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式．故答案为：C；（2）设x2+2x＝y，原式＝y（y+6）+9＝y2+6y+9＝（y+3）2＝（x2+2x+3）2；（3）设x2﹣4x+2＝z，原式＝z（z+4）+4＝z2+4z+4＝（z+2）2＝（x2﹣4x+2+2）2＝（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4．6．解：（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝8×5＝40；132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝8×6＝48．故答案为：40；48；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n，∵n为正整数，∴两个连续奇数的平方差是8的倍数．7．解：第二环节：x2y﹣4y﹣2x2+8＝y（x2﹣4）﹣2（x2﹣4）＝y（x﹣2）（x+2）﹣2（x﹣2）（x+2）＝（y﹣2）（x﹣2）（x+2）；第三环节：△ABC是等腰三角形，理由：∵b2+2ab＝c2+2ac，∴b2﹣c2+2ab﹣2ac＝0，（b﹣c）（b+c）+2a（b﹣c）＝0，（2a+b+c）（b﹣c）＝0，∵2a+b+c≠0，∴b﹣c＝0，即b＝c，∴△ABC是等腰三角形．8．解：（1）a²﹣2a﹣3＝a²﹣2a+1﹣4＝（a﹣1）2﹣4＝（a﹣1﹣2）（a﹣1+2）＝（a﹣3）（a+1）；（2）多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数，理由：x²+y²﹣4x+2y+6＝x²﹣4x+4+y²+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1，∴多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数；（3）m²﹣2mn+2n²﹣4m﹣4n+25＝m2﹣2m（n+2）+（n+2）2+n2﹣8n+16+5＝（m﹣n﹣2）2+（n﹣4）2+5，当m﹣n﹣2＝0，n﹣4＝0时代数式有最小值，解得m＝6，n＝4，最小值为5．9．解：（1）x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y），当x＝12，y＝5时，x﹣y＝07，x+y＝17，可得数字密码是120717；也可以是121707，171207；（2）由题意得：，解得xy＝12，而x3y+xy3＝xy（x2+y2），∴可得数字密码为1225．（3）∵密码为2821，∴当x＝25时，∴x2+（m﹣3n）x﹣6n＝（x+3）（x﹣4），即：x2+（m﹣3n）x﹣6n＝x2﹣x﹣12，∴，解得．10．解：（1）如图，∵矩形ABCD由2块边长为a的小正方形，5块长为b，宽为a的小长方形，2块边长为b的大正方形组成，＝2a2+5ab+2b2，∴S矩形ABCD又∵矩形ABCD的长为（a+2b），宽为（2a+b），＝（a+2b）（2a+b），∴S矩形ABCD∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），故答案为：（a+2b）（2a+b）；（2）①∵这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15，∴2a2+5ab+2b2＝177，ab＝15，∴2（a2+b2）+5ab＝177，2（a2+b2）+5×15＝177，2（a2+b2）＝177﹣75，2（a2+b2）＝102，a2+b2＝51，即1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为51，故答案为：51；②通过平移的性质可知，图中所有剪裁线（虚线部分）长的和即为矩形ABCD的周长，2[（2a+b）+（a+2b）]＝2（2a+b+a+2b）＝2（3a+3b）＝6a+6b，又∵a2+b2＝51，∴（a+b）2﹣2ab＝51，又∵ab＝15，∴（a+b）2﹣2×15＝51，∴（a+b）281，∵a+b＞0，∴a+b＝9，∴6a+6b＝54，∴图中所有剪裁线（虚线部分）长的和为54．11．（1）解：△ABD是等腰三角形，理由如下，∵a2+2ab＝c2+2bc，∴（a﹣c）（a+c+2b）＝0，∵a+c+2b≠0，∴a＝c，∴△ABD是等腰三角形．（2）证明：如图，取AB的中点F，连接DF，则由（1）得，a＝c，∴AB＝BD，∠FAD＝∠EDA，∵点E是BD的中点，F是AB的中点，∴DE＝BD，AF＝AB，DF∥AC，∴DE＝AF，∠ADF＝∠DAC，在△ADF和△DAE中，，∴△ADF≌△DAE（SAS），∴∠ADF＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAC，∴AD是∠EAC的平分线．12．解：（1）由题意得，大正方形的面积为a2平方厘米，小正方形的面积为b2平方厘米，小长方形的面积为ab平方厘米，∴2a2+5ab+2b2为大长方形的面积，∵大长方形的长为（2a+b）厘米，宽为（2b+a）厘米，∴大长方形的面积为（2a+b）（2b+a）平方厘米，∴2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（2b+a），故答案为：（2a+b）（2b+a）．（2）∵空白部分的面积为20平方厘米，大长方形的周长为30厘米，∴5ab＝20，2（2a+b+2b+a）＝30，解，得：，∴阴影部分的面积为2a2+2b2＝2×42+2×12＝34（平方厘米），答：图中阴影部分的面积为34平方厘米．13．（1）拼成的大矩形面积之和＝（a+b）（a+2b），各个小图形面积之和＝a2+3ab+2b2，∴图2所表示的数学等式是（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．（2）图（3）中大正方形的面积＝（a+b+c）2，各个小图形面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38．∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝102，即a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）＝100，∴a2+b2+c2＝100﹣2×38＝24．（3）大长方形的面积为（2a+3b）（6a+5b）＝12a2+10ab+18ab+15b2＝12a2+28ab+15b2，小图形的面积分别为a2，b2，ab，∴x＝12，y＝15，z＝28．∴x+y+z＝12+15+28＝55．14．解：（1）∵x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，故答案为：16，4．（2）x2﹣10x+2＝x2﹣10x+25﹣23＝（x﹣5）2﹣23．∵（x﹣5）2≥0，∴当x＝5时，原式有最小值﹣23．（3）M﹣N＝6a2+19a+10﹣5a2﹣25a＝a2﹣6a+10＝a2﹣6a+9+1＝（a﹣3）2+1．∵（a﹣3）2≥0，∴M﹣N＞0．∴M＞N．15．解：（1）212＝11²+91，∴212是“方加数”；（2）设p的十位数是m，个位数是n，则q的十位数是10﹣m，个位数是n，∴N的各位数字之和是m+n+10﹣m+n＝10+2n，∵N能被3整除，∴n＝1或n＝4或n＝7，当n＝1时，N＝1000m+100+100﹣10m+1＝990m+201，∵N能被7整除，∴m＝3，∴M＝31²+71＝1032；当n＝4时，N＝1000m+400+100﹣10m+4＝990m+504，∵N能被7整除，∴m＝7，∴M＝74²+34＝5510；当n＝7时，N＝1000m+700+100﹣10m+7＝990m+807，∵N能被7整除，∴m＝4，∴M＝47²+67＝2276；综上所述：满足条件的M有1032和5510和2276．16．（本题满分10分）解：（1）①4x2+4x﹣y2+1＝（4x2+4x+1）﹣y2＝（2x+1）2﹣y2＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）；②x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3﹣1）（x﹣3+1）＝（x﹣4）（x﹣2）；（2）∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，∴a＝2，b＝2，c＝3，∴a+b+c＝2+2+3＝7．故△ABC的周长为：7．17．解：第一图的阴影部分面积为：a2﹣b2，第二图阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），重要的结论a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；活动内容：（1）由图象可知，，∴a2+b2+2ab﹣2ab＝c2，∴a2+b2＝c2；（2）∵b﹣a＝，∴，∴，∵a2+b2＝c2，c2＝，∴，解得ab＝3，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴，∴a+b＝，∴．18．解：（1）根据题意得，a2+2ab+b2＝（a+b）2，故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片5张；（3）设AC＝a，BC＝CF＝b则a+b＝6，∵S1+S2＝20，∴a2+b2＝20，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，＝ab＝4．∴S阴影19．解：（1）大长方形的面积＝（a+b）2．也等于各部分面积之和即：a2+2ab+b2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）把（a+2b）（a+b）展开得：a2+3ab+2b2．∴2号卡片数量是2张，3号卡片数量是3张．故答案为：2、3．（3）由图③根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积，∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．故答案为：（a+2b）（a+b）．（4）如图所示：∴a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b）．故答案为：（a+2b）（a+3b）．20．解：探究3，如图，A表示1个1×1的正方形，其面积为：1×12＝13；B表示1个2×2的正方形，其面积为：1×22；C，D分别表示1个1×2的长方形，其面积的和为：2×1×2＝1×22；B，C，D的面积和为1×22+1×22＝（1+1）×22＝23；E表示1个3×3的正方形，其面积为：1×32；F，G分别表示1个2×3的长方形，其面积的和为：2×2×3，H，I分别表示1个1×3的长方形，其面积的和为：2×1×3＝1×2×3，F，G，H，I的面积和为2×2×3+1×2×3＝3×2×3＝2×32；E，F，G，H，I的面积和为1×32+2×32＝（1+2）×32＝33，而A，B，C，D，E，F，G，H，I恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形．由此可得：13+23+23＝（1+2+3）2＝62．【结论归纳】13+23+33+⋯+n3＝（1+2+3+•••+n）2＝．【结论应用】图4中大小正方体的个数为13+23+33+43+53+63＝（1+2+3+4+5+6）2＝441．【逆向应用】设大正方体的棱长为x，根据这个大正方体中的大小正方体一共有13+23+33+⋯+x3＝（1+2+3+•••+x）2＝36100，由此得出1+2+3+•••+x＝190，由此得出x（x+1）＝380，相邻的两个整数的乘积是380，分析出x＝19，由此得出大正方体的体积为193＝6859，棱长为1的小正方体的个数为6859．【拓展探究】13＝1；23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19；则13+23+33+43＝1+3+5+7+9+11+13+15+17+19，由【结论归纳】可知，13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝102，观察得出19＝2×10﹣1．若m3（m为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数．当2×（1+2+3+⋯+m）﹣1＝2021，得出m（m＝1）＝2022，求得m不是正整数，说明等式右边还有大于2021的数；由相邻的两个正整数的乘积大于2022，则m最小是45，由此得出m≥45．。