人教版八年级数学上册-专训-三角形三边关系的巧用

三角形的三边关系知识点专项训练习题一．选择题（共4小题）1．三角形的两边分别为6，10，则第三边的长可能等于（）A．3B．11C．16D．172．给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3cm，4cm，5cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，25 cm D．5cm，5cm，11cm 3．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2，n+6，3n，则满足条件的n值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个4．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c），那么（）A．M＞0B．M≥0C．M＝0D．M＜0二．填空题（共6小题）5．若三角形有两边长分别为2和5，第三边为a，则a的取值范围是．6．△ABC三边的长a、b、c均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有个．7．已知三角形三边长为整数，其中两边的差为5，且周长为奇数，则第三边长的最小值为．8．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于．9．a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|+2a结果是．10．若△ABC的三边的长AB＝5，BC＝2a+1，AC＝3a﹣1，则a的取值范围为．三．解答题（共7小题）11．已知a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6．（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为12，求c的值．12．在△ABC中，AB＝9，BC＝2，AC＝x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC的周长为偶数，则△ABC的周长为多少？13．已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小．（1）求x的取值范围；（2）当x为何值时，组成三角形周长最大？最大值是多少？14．已知a，b，c是三角形的三边长．（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；（2）在（1）的条件下，若a＝10，b＝8，c＝6，求这个式子．15．已知△ABC中，三边长a、b、c，且满足a＝b+2，b＝c+1（1）试说明b一定大于3；（2）若这个三角形周长为22，求a、b、c．16．“五一”黄金周，小梦一家计划从家B出发，到景点C旅游，由于BC之间是条湖，无法通过，如图所示只有B﹣A﹣C和B﹣P﹣C两条路线，哪一条比较近？为什么？（提示：延长BP交AC于点D）17．如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP．参考答案一．选择题（共4小题）1．解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系得：10﹣6＜x＜10+6，即4＜x＜16，则第三边的长可能等于：11．故选：B．2．解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A中，3+4＝7＞5，能组成三角形；B中，8+7＝15，不能组成三角形；C中，13+12＝25，不能够组成三角形；D中，5+5＝10＜11，不能组成三角形．故选：A．3．解：①若n+2＜n+6≤3n，则，解得：3≤n＜8，∴正整数n有5个：3，4，5，6，7；②若n+2≤3n≤n+6，则，解得：＜n≤3，∴正整数n有2个：2和3；综上所述，满足条件的n的值有6个，故选：C．4．解：∵△ABC的三边长分别为a、b、c，且M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c），∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴M＜0．故选：D．二．填空题（共6小题）5．解：5﹣2＜a＜5+2，∴3＜a＜7．故答案为：3＜a＜7．6．解：根据已知条件和三角形的三边关系，得当a＝8，b＝7时，则c＝6或5或4或3或2；当a＝8，b＝6时，则c＝5或4或3；当a＝8，b＝5时，则c＝4．则满足条件的三角形共有9个．故答案为：9．7．解：∵三角形三边中某两条边长之差为5，∴设其中一边为x，则另一边为x+5，第三边为y，∴此三角形的周长为：x+x+5+y＝2x+y+5，∵三角形周长为奇数，∴y是偶数，∵5＜y＜x+x+5，∴y的最小值为6．故答案为：6．8．解：当3为腰，6为底时，3+3＝6，不能构成等腰三角形；当6为腰，3为底时，3+6＞6，能构成等腰三角形，周长为3+6+6＝15．故答案为：15．9．解：∵a，b，c为△ABC的三边，∴a+b＞c，b+c＞a，∴原式＝c+b﹣a﹣（a+b﹣c）+2a＝c+b﹣a﹣a﹣b+c+2a＝2c．故答案为：2c．10．解：∵△ABC的三边的长AB＝5，BC＝2a+1，AC＝3a﹣1，∴①，解得1＜a＜7；②，解得a＞1，则2a+1＜3a﹣1．∴1＜a＜7．故答案为：1＜a＜7．三．解答题（共7小题）11．解：（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6，∴，解得：2＜c＜6．故c的取值范围为2＜c＜6；（2）∵△ABC的周长为12，a+b＝3c﹣2，∴a+b+c＝4c﹣2＝12，解得c＝3.5．故c的值是3.5．12．解：（1）由题意知，9﹣2＜x＜9+2，即7＜x＜11；（2）∵7＜x＜11，∴x的值是8或9或10，∴△ABC的周长为：9+2+8＝19（舍去）．或9+2+9＝20或9+2+10＝21（舍去）即该三角形的周长是20．13．解：（1）由三角形的构造条件，得2＜x＜10，∵x为最小，∴x的取值范围是2＜x≤4．（2）当x＝4时，三角形的周长最大，且最大值是4+6+4＝14．14．解：（1）∵a，b，c是三角形的三边长，∴b+c＞a，c+a＞b，a+b＞c，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|＝b+c﹣a+c+a﹣b+a+b﹣c＝a+b+c，（2）把a＝10，b＝8，c＝6，代入a+b+c＝10+8+6＝24．15．解：（1）∵a＝b+2，b＝c+1，∴b＝a﹣2，b＝c+1，∴a﹣2＝c+1，a﹣c＝3，∴b一定大于3；（2）∵b＝c+1，∴c＝b﹣1，∴b+2+b+b﹣1＝22，解得b＝7，∴a＝b+2＝9，c＝b﹣1＝6．16．解：如图，延长BP交AC于点D．∵△ABD中，AB+AD＞BD＝BP+PD，△CDP中，PD+CD＞CP，∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+CP，即AB+AD+CD＞BP+CP，∴AB+AC＞BP+CP，∴B﹣P﹣C路线较近．17．证明：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△PDC中，CD+PD＞PC，∴AB+AD+CD+PD＞BD+PC∴AB+AC＞BP+CP．1234。

11.1 与三角形有关的线段（2）----三角形三边关系教学目标：理解三角形三边之间的关系，并能用于解决相关的问题；提高自主探究的能力，增强学好数学的信心.重点：三边之间的关系的探究与归纳，发展推理能力及表达能力.难点：三角形三边关系的应用.教学过程课堂引入有人说，自己步子大，一步能走3米多，你相信吗？说说你的理由！小组活动准备5根纸棒长分别为3cm，4cm，5cm，6cm，9cm，任意取出3根首尾相接搭三角形，并填表：小组探究：①是不是任意三条线段都能够组成三角形②三条线段满足什么条件才能组成一个三角形进一步探究：③上述判断的依据是什么④从而得出三角形三边有什么关系再进一步探究：⑤三角形两边之差与第三边的关系结论：三角形三边的关系：当堂检测：1、课本P4练一练第2 题2、下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗?（1）5cm，8cm，2cm □能□不能（2）5cm，8cm，13cm □能□不能（3）3㎝, 3㎝, 3㎝□能□不能（4）3.5㎝, 7.5㎝, 4.5㎝□能□不能3、①等腰三角形中有两边分别为5cm、8cm，则这个等腰三角形的周长为：②等腰三角形中有两边分别为5cm、10cm，则这个等腰三角形的周长为：4、已知三角形两边长分别为4、7，求第三边取值范围教师释疑练习巩固：1、三条线段的长度分别为：（1）3、8、10；（2）5、2、7 ；（3）5、5、11 ；（4）13、12、20。

能组成三角形的有（）组。

2.三角形ABC的三边a、b、c中,a=2,b=9，(1)c的取值范围是 ;(2)若c为奇数，则c= ;(3)若三角形ABC周长为奇数，则c= ；(4)若三角形ABC是等腰三角形，则c= 。

3、有3、5、7、10的四根彩色线形木条，要摆出一个三角形，有哪几种摆法。

4.在等腰三角形中（1）两边长分别为3、5，则这个三角形的周长为；（2）两边长分别为2、5，则这个三角形的周长为；（3）周长为26，AB=6 , 则这个三角形的腰长为 .5.等腰三角形ABC的周长为18，(1)腰长是底边的2倍，求三角形各边长;(2)能围出一边为4的等腰三角形吗？自我提升：1.下列条件中，能构成三角形的条件是（）A.三条线段分别为3，8，5B.三条线段分别为a,b,c，且a+b>cC.三条线段分别为a+1,a+2,a+3(a>0)D.三条线段比7：8：152.已知a，b，c为三角形的三边，化简│a-b+c│ + │b-c-a│+ │b+c-a│3.如图，线段AB、CD相交于O点，能否确定 AB+CD与AD+BC的大小，并加以说明．课堂小结：1.三角形的三边关系 2.三角形三边关系的运用课后挑战：1.等腰三角形中 (1)若底边长为b,腰a的范围是（用b表示）(2)若腰长为a,底边b的范围是（用a表示）(3)若周长为c,腰a的范围是；底边b的范围是 .(用c表示)2.某等腰三角形的周长为11，三边长均为整数，求这个等腰三角形的三边长.3.如图，点P是△ABC内任意一点，试说明PB+PC＜AB+AC．作业布置。

三角形三边关系定理在初中数学中的应用三角形是最简单的多边形，是研究和学习几何的基础，而三角形三边关系定理是研究三角形的基础，可见三角形三边关系定理的重要之处，笔者针对三角形三边关系定理在初中数学中的应用做一一的总结，希望能够给学习这个定理的人有一定的帮助。

一、定理及其推论定理：三角形任意．．两边之差小于第三边。

定理．．两边之和大于第三边；推论：三角形任意分析：无论是定理还是推论都有“任意”二字，所以定理和推论都包含三项内容，用a，b，c表示三角形的三边，则定理可以表示为：a+b>c,a+c>b,b+c>a;推论则表示为：a-b<c,b-c<a,c-a<b.而我们在实际应用时往往不需要考虑那么多，只需将定理和推论简化为：a-b<c<a+b（假设a>b），应用时只需抓住两条边来验证第三边即可。

具体的应用参考下面的例题。

三：定理的应用1、判断三条线段是否可以构成三角形例题1 下列几组线段中，不能构成三角形的是：（）A.3，4，5B.2，4，6C.5，6，8D.7,10,15解法分析：下面我们以A选项为列来详细说明定理的使用，首先我们任意的取出两条线段，不妨我们取3和4.然后根据定理我们做出4-3<c<3+4,结果为1<c<7，最后我们来验证第三条边是否在c的范围内，如果在则能构成三角形，如果不在范围内则不能构成三角形，此题显然1<5<7,因此可以构成三角形。

答案为B。

例题2 以4cm,8cm,10cm,12cm四根木条中的三根组成三角形，可以构成的三角形的个数是：（）A．1 B. 2 C. 3 D. 4解法分析：四根木条选3根有四种情况：4cm,8cm,10cm;4cm,8cm,12cm;4cm,10cm,12cm;8cm,10cm,12cm.由三角形三边关系定理知以12cm，8cm，4cm不能构成三角形，其它三种情况均符合题意，因此能构成三个三角形，故选择C。

教师姓名汪晓平单位名称阿克苏市第三中学填写时间2020.7.28 学科数学年级/册八年级上册教材版本人教版课题名称第十一章三角形的三边关系难点名称1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三角形.2.能从图中找出三角形.理解三角形三边间的不等关系.难点分析从知识角度分析为什么难1.会按三边的关系对三角形进行分类.2.了解三角形三边关系的定理及推论,并会初步应用它们来解决问题. 从学生角度分析为什么难培养方程、分类讨论的思想,渗透逻辑推理的训练.难点敎學方法在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯。

敎學环节敎學过程导入一、回顾旧知识:（1）什么叫三角形？（2）用图片展示,让学生体会三角形的特点。

三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,叫做三角形。

三角形的边:AB、BC、CA 三角形的顶点:点A、点B、点C 三角形的内角（角）:∠ A、∠B、∠ C上图的三角形记作:△ABC （或△BCA或△CBA 等）三角形的分类（1）把三角形按角的大小分类可分为、和（2）三角形按边的相等关系可分为三类:三边都相等的三角形叫做；有两条边相等的三角形叫做；三边都不相等的三角形叫做不等边三角形.1:填空（1）:图中有 个三角形,它们分别表示为（2）:一个三角形有两边长相等,周长为20cm,三角形的一边长为6cm,则其它的两边长为 （3）:等腰三角形一边长等于5,一边长等于6,则它的周长为 （4）:等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,则它的周长为 （5）:已知在 ABC 中,AB,BC 的长分别是6cm 和9cm,则边AC 的取值范围是 2:选择:（1） 如图:为估计池塘岸边A 、B 的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15mOB=10m。

则A、B的距离不可能是（）（A ） 20米 （B ） 15米 （C ） 10米 （D ） 5米 （2）以下各组线段为边,能组成三角形的是（ ） （A ）1cm 2cm 4cm （B ） 8cm 6cm 4cm （C ）12cm 5cm 6cm （D ） 2cm 3cm 6cm（3）现有2cm,4cm,5cm,8cm 长的4根木棒,任意选取三根组成一个三角形,那么可组成的三角形的个数为（ ）（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个3:如图中的规律摆放三角形:则第（4）堆的三角形的个数为 ；第（n ）堆的三角形的个数为EDCBA(3)(2)(1)三、课堂小结:。