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数学建模介绍1.1 数学模型及其分类数学建模作为用数学方法解决问题的第一步，它与数学本身有着同样悠久的历史。
一个羊倌看着他的羊群进入羊圈，为了确信他的羊没有丢失，他在每只羊进入羊圈时，则在旁边放一颗小石子，如果每天羊全部入圈而他那堆小石子刚好全部放完，则表示他的羊和以前一样多。
究竟羊倌数的是石子还是羊，那是毫无区别的，因为羊的数目同石子的数目彼此相等。
这实际上就使石子与羊“联系”起来，建立了一个使石子与羊一一对应的数学模型。
（1）什么是数学模型人们在认识研究现实世界里的客观对象时，常常不是直接面对那个对象的原形，有些是不方便，有些甚至是不可能直接面对原形，因此，常常设计、构造它的各种各样的模型。
如各式各样的玩具模型、展览厅里的三峡大坝模型、化学上的分子结构模型等。
这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原形替代物，集中反映了原形中人们需要的那一部分特征，因而有利于人们对客观对象的认识。
数学模型也是反映客观对象特征的，只不过它刻画的是事物在数量方面的特征或数学结构及其变化规律。
数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。
建立数学模型的过程称为数学建模。
(2) 数学模型的重要作用进入20世纪以来，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，作为数学的应用，数学建模也越来越受到人们的重视。
在一般工程技术领域，数学模型仍是工程技术人员定量研究有关工程技术问题的重要工具；而随着数学与其他学科领域诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生；计算机的发展给数学及作为数学应用的数学建模带来了前所未有的机遇和挑战。
计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式，极大地提高了人们的计算能力、搜索和分析海量数据和信息的能力。
一、数学建模概述1.1 什么是数学建模通常我们把现实问题的一个模拟称为模型，如交通图、地质图、航空模型等。
利用数学的语言、公式、图、表、或符号等来模拟现实的模型称为数学模型。
我们知道，对于一个现实问题的研究，一般不需要甚至不可能直接研究现实问题的本身，而是研究模拟该现实问题的模型。
举个简单例子：某司机欲把某货物从甲地运往已地，应如何选择运输路线使总路程最短？该司机不会开着车去试探，而是利用交通图来确定自己的行车路线。
从这个简单的例子中我们可以看到数学建模的重要性。
1.2 数学建模包含哪些步骤数学建模主要包含模型建立、求解以及对结果的分析与检验等步骤。
模型建立 模拟现实问题建立数学模型，不仅要有一定的数学知识与技巧，还要有敏锐的洞察力与理解力，善于抓住问题的内在联系，作出合理的假设与简化，找出影响问题的各种因素及其相互关系。
建立数学模型，不仅要有一定的数学知识与技巧，还要具备其他学科的一些知识，另外还要有一定的编程能力。
一般来说，模型建立的方法不止一种。
如最短路线问题，可以用图论方法，也可以用线性规划方法，有时还可用动态规划的方法。
模型求解 在建立模型之后，就要求解模型，给出有效的计算方法。
例如旅行推销员问题：一个推销员要到n 个城市去推销，如何安排行程？如果用简单的组合算法，其计算步骤是!n 的倍数，随着n 的增大，计算量之大以至无法得到结果。
如30n ，即使以每秒以2410步的速度来计算，也需要8年多，况且现在的计算机还没有达到上述速度。
结果的分析与检验 有些问题需要对解的现实意义作出解释，检验模型的正确性，并对模型的稳定性进行分析。
如种群的相互竞争问题需要对解的现实意义作出解释，并对模型的稳定性进行分析。
二、基本知识微分方程在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。
大量的实际问题需要用微分方程来描述。
首先，我们要对实际研究现象作具体分析，然后利用已有规律、或者模拟，或近似的得到各种因素变化率之间的关系，从而建立一个微分方程。
数学建模的主要内容当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
本期学习数学建模的主要内容如下：一、数学建模的简介二、MATLAB入门——MATLAB是MathWorks公司于1984年推出的一套数值计算软件，分为总包和若干个工具箱，可以实现数值分析、优化、统计、微分方程数值解、信号处理、图像处理等若干领域的计算和图形显示功能。
它将不同数学分支的算法以函数的形式分类成库，使用时直接调用这些函数并赋予实际参数就可以解决问题，快速而且准确。
MATLAB建立在向量、数组和矩阵的基础上，使用方便，人机界面直观，输出结果可视化，深受用户欢迎，应用范围十分广泛。
本章主要学习了MATLAB的进入与运行方式、变量与函数、数组与矩阵、MATLAB 程序设计、MATLAB作图。
三、线性规划——这章主要学习线性规划模型、运用MATLAB优化工具箱解线性规划、运用LINGO解线性规划等。
四、非线性规划——目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数的最优化问题叫做非线性规划问题。
本章主要学习的是非线性规划的数学模型、非线性规划问题的解、用MATLAB优化工具箱解非线性规划等。
五、微分方程——微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。
建立微分方程模型要对研究对象作具体分析。
一般有一下三种方法：一是根据规律建模；二是用微元法建模；三是用模拟近似法建模。
在这章主要学习微分方程模型、微分方程的定性理论、微分方程的稳定性理论、微分方程数值解、用MATLAB解微分方程等。
六、最短路问题——对某些较复杂的多阶段决策问题，可以通过构造适当的图，将它转化成最短路问题，从而使问题变得清晰、直观。
数学建模是怎么回事一提起数学竞赛，人们脑海里就会浮想起这样的场面：考场里鸦雀无声，监考老师警惕的目光扫视全场．年轻的数学尖子们坐在各自的书桌前，时而冥思苦想，时而奋笔疾书，希望能找到那一道道数学难题的正确答案．而那正确答案早已经由出题的专家们做出来，正锁在某—个保险柜里．数学建模竞赛，或称数学模型竞赛，是不是也是这样的场面呢？你最好还是先到它的考场去见识见识吧．且慢！它并没有一个固定的考场．那么，参赛的选手们在哪里做题呢？到哪里去找他们呢？你可以到图书馆去试试，他们也许正在那里查阅资料，在那堆积如山的书堆中翻来翻去，希望从浩瀚的书海中打捞到自己需要的宝贝，你也可以到计算机房去看看，或许他们正在熟练地操纵着键盘，聚精会神地注视着计算机屏幕，屏幕上闪烁着的那些枯燥无味的数字和符号，简直就像侦探片、武打片或世界怀足球赛那样能抓住他们的心，让他们或欣喜若狂，或目瞪口呆，或颓丧万分．旁边居然还有一个选手在打瞌睡，小心别吵醒他，他已经连熬了两个通宵了！那边是谁在吵架？不，那是另外一队的选手在讨论问题，七嘴八舌，各有各的主意，要把这些互相冲突的意见统—在同一份答卷里可真是不容易，交卷的时间快到了，不再有争吵的声音，打印机均匀的嚓嚓声在选手们的耳朵里好像是世界上最美妙的音乐，他们打着哈欠检查着打印机吐出的—页页印刷精美的作品．你要是他们现在最想干的事情是什么，他们一定异口同声地回答：“睡觉！”这像是考试吗？像数学竞赛吗？又是翻书查资料，又是相互讨论，到处跑来跑去也没人管，哪里还有一点考试的体统呢？不像考试像什么？也许你会想到，这有点像是一个科研课题组在突击完成一项任务．这算说对了．参赛选手们自己也这样说：“这不像是在考试，而像是在干活．”但它确实也是考试，是另一种形式的考试，姑且说是干活的考试吧，就是考一考谁千活干得更好．再来看一看竞赛的题目吧，看它出了些什么样的数学题．以1993年我国大学生数学建模竞赛为例，它出了两个题，让每个参赛队选作其中一个．一个题是要为我国12支甲级足球队排名次，做这个题的选手们面对这些足球劲旅的比赛成绩评头品足，俨然是国家体委的官员或体育界的专家．另一个题目是卫星通讯的频率设计，你会怀疑是不是把无线电知识竞赛题误寄到这里来当数学竞赛题了．再翻一翻以前各届国内外竞赛试题，就更是五花八门了．有动物保护、施肥方案、通讯网络，昆虫分类、药物扩散的规律、抓走私船的策略、飞机场的管理、蛋白质分子的结构、供电系统的修复、堆肥的制作、运煤车场的计划安排、应急设施的选址等等．你说这是数学竞赛题呢，还是物理、化学、电子、生物、医学、农业、企业管理的竞赛题呢？数学建模竞赛就是这样．它名曰数学，当然要用到数学知识，但却与以往所说的那种数学竞赛（那是纯数学竞赛）不同．它要用到计算机，甚至离不开计算机，但却不是纯粹的计算机竞赛，它涉及物理、化学、生物、医学、电子、农业、管理等各学科、各领域的知识，但也不是这些学科、领域里的纯知识竞赛，它涉及各学科、各领域，但又不受任何一个具体的学科、领域的局限．它要用到各方面的综合的知识，但还不限于此．选手们不只是要有各方面的知识，还要有驾驭这些知识，应用这些知识处理实际问题的能力．知识是无止境的，你还必须有善于获得新的知识的能力．总之，数学建模竟赛，既要比赛各方面的综合知识，也要比赛各方面的综合能力．它的特点就是综合，它的优点也就是综合．在这个意义上看，它与任何一个学科领域内的纯知识竞赛都不相同的特点就是不纯，它的优点也就是不纯，综合就是不纯．纯数学竞赛，如中学生的国际数学奥林匹克竞赛，或美国大学生的普特南数学竞赛，已经有很长的历史，也为大家所熟悉．特别是近若干年来我国选手在中学生国际数学奥林匹克竞赛中年年取得好成绩，更使这项竞春在我国有很高的知名度，在全国各地的质量较高的中学中广泛开展．纯数学竞赛主要考核选手对数学基础知识的掌握情况、逻辑推理及证明的能力和技巧、思维是否敏捷、计算能力的强弱等．试题都是纯数学问题，考试方式是闭卷考试．参赛学生在规定的时间（一般每试为三小时）内独立做题，不准交头接耳相互讨论，不准看任何书籍和参考资料，不准用计算机或计算器．考题都有标准答案．当然，选手的解答方法可以与标准答案不同，但其解答方法的正确与否也是绝对的，特别是计算题的得数一定要与标准答案相同．考试结果，对每个选手的答卷给出分数，按分数高低来判定优劣．尽管也要对参赛的团体（代表一个国家、地区或学校）计算团体总分，但这个团体总分也是将每个团体的选手得分加起来得到的，在比赛过程中同一团体的选手们绝对不能互相帮助．因此，这样的竞赛从本质上说是个人赛而不是团体赛．团体要获胜，主要先靠每名选手各自的水平高低，而不存在互相配合的问题（当然在训练过程中可以互相帮助）．这样的竞赛，对于吸引青年人热爱数学从而走上数学研究的道路，对干培养数学家和数学专门人才，起了很大的作用．随着社会的发展，数学在社会各领域中的应用越来越广泛，作用越来越大，不但运用于自然科学各学科、各领域，而且渗透到经济、军事、管理以至于社会科学和社会活动的各领域．但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益．他们不是为了应用数学知识而寻找实际间题（就像在学校里做数学应用题），而是为了解决实际问题而需要用到数学．而且不止是要用到数学，很可能还要用到别的学科、领域的知识，要用到工作经验和常识．特别是在现代社会，要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机．可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的．你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题，不是“干净的”数学，而是“脏”的数学．其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现．也就是说，你要对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这就称为数学模型，建立数学模型的这个过程就称为数学建模．模型这个词对我们来说并不陌生，它可以说是对某种事物的一种仿制品．比如飞机模型，就是模仿飞机造出来的．既然是仿造，就不是真的，只能是“假冒”．是“假冒”，但不能是“伪劣”，必须真实地反映所模仿的对象的某一方面的属性．如果只是模仿飞机的模样，这样的飞机模型只要看起来像飞机就行了，可以摆在展览馆供人参观、照相，但不能飞．如果要模仿飞机的飞行原理，就得造一个能飞起来的飞机模型，比如航空模型比赛的作品，它在空气中的飞行原理与飞机有相似之外，但当然不像飞机那样靠烧燃料来飞行，外观上也不必那么像飞机、至少不必有真的飞机那么大．可见，模型所模仿的都只是真实事物的某一方面的属性．而数学模型，就是用数学语言（可能包括数学公式）去描述和模仿实际问题中的数量关系、空间形式等．这种模仿当然是近似的，但又要尽可能逼真．实际问题中有许多因素，在建立数学模型时你不可能、也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑，只能考虑其中的最主要的因素，舍弃其中的次要因素．数学模型建立起来了，实际问题化成了数学问题，就可以用数学工具、数学方法去解答这个实际问题．如果有现成的数学工具当然好．如果没有现成的数学工具，就促使数学家们（也包括建立数学模型的人）寻找和发展出新的数学工具去解决它，这又推动了数学本身的发展．例如，开普勒由行星运行的观测数据总结出开普勒三定律（这就是行星运行的数学模型），牛顿试图用自己发现的力学定律去解释它，但当时已有的数学工具是不够用的，这促使了微积公的发明．求解数学模型，除了用到数学推理以外，通常还要处理大量数据，进行大量计算，这在电子计算机发明之前是很难实现的．因此，很多数学模型，尽管从数学理论上解决了，但由于计算量太大而没法得到有用的结果，还是只有束之高阁．而电子计算机的出现和迅速发展，给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路．而在现在，要真正解决一个实际问题，离了计算机几乎是不行的．数学模型建立起来了，也用数学方法或数值方法求出了解答，是不是就万事大吉了呢？不是．既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律，到底反映得好不好，还需要接受检验，如果数学模型建立得不好，没有正确地描述所给的实际问题，数学解答再正确也是没有用的．因此，在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的检验，看它是否合理，是否可行，等等．如果不符合实际，还应设法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较合理可行，才能算是得到了一个解答，可以先付诸实施．但是，十全十美的答案是没有的，已得到的解答—定还有改进的余地，还可以根据实际情况，或者继续研究和改进；或者暂时告一段落，待将来有新的情况和要求后再作改进．上面所说的建立数学模型来解决实际问题的过程，是各行各业各领域大量需要的，也是我们的学生在走上工作岗位后常常要做的工作．做这样的事情，所需要的远不只是数学知识和解数学题的能力，而需要多方面的综合知识和能力．社会对具有这种能力的人的需求，比对数学专门人才的需求要多得多．因此，作为教育部门，在学校里就应当努力培养和提高学生在这方面的能力．当然有多种形式来达到这个目的．比如开设数学模型方面的课程；让学生多接触实际工作，得到锻炼，等等．但是，既然开展数学竞赛能促进数学研究专门人才的培养，那么为什么不可以开展一项竞赛来促进数学应用人才的培养呢？数学建模竞赛就是这样的竞赛．正是由于认识到培养应用型数学人才的重要性，而传统的数学竞赛不能担当这个任务，从1983年起，在美国就有一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性．经过论证、争论、争取资助的过程，终于在1985年开始有了美国的第一届大学生数学建模竞赛，简称MCM（1987年以前的全称是Mathematical Competition in Modeling，1987年改为Mathematical Contest in Modeling，其缩写均为MCM）．竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运筹学会联合主办．从1985年起每年举行一届，在每年的二月下旬或三月初的某个星期五到星期日举行，到1996年已举行了12届．这项竞赛的宗旨是鼓励大学生运用所学的知识（包括数学知识及其他各方面的知识）去参与解决实际问题的全过程．这些实际问题并不限于某个特定领域，可以涉及非常广泛的、并不固定的范围．这样来促进应用人才的培养．比赛的形式：比赛是真正的团体赛，每个参赛队由三人组成，在规定的三天时间内共同完成一份答卷．每个参赛队有一个指导教师，在比赛前负责培训并接受考题，将考题在规定的时间发给学生，然后由学生自行做题，教师不得参赛．每次的考题只有两个题，都是来自实际的问题或有强烈实际背景的问题，没有固定的范围，可能涉及各个非常不同的学科、领域．每个参赛队从这两个考题中任意选做一个题．参赛队的三名队员可以相互讨论，可以查阅资料，可以使用计算机和计算机软件．一言以蔽之：可以使用任何非生命的资源，但不允许三人以外的其他人（包括指导教师）帮助做题．参赛队的答卷应是，一篇完整的论文，包括对所选问题的重新阐述、对问题的条件和假设的阐明和必要补充甚至修改、对为什么要用所述模型的分析、模型的设计、对模型的测试和检验的讨论、模型的优缺点等，还要有一个不超过一页的论文内容的摘要．比赛的结果：专家们在评卷时并不对论文给出分数，也不采用“通过”、“失败”这种记分，而只是将论文分成一些等级：Outstanding（中国人称它为特等奖）、Meritorious（一等奖〕、Honorable Mention（二等奖）、Successful Participation（成功参赛奖）．评卷的标准并不是看答案对不对，而主要看论文的思想方法好不好，以及论述是否清晰．Outstanding的论文作为优秀论文在专业杂志上发表．而所有参赛的队员和教练都能得到一张奖状．翻开已发表的MCM的优秀论文，你会发现：同一个考题的几篇优秀论文甚至连答数都不一样，却同样都优秀；优秀论文甚至被专家的评阅意见指出一大堆毛病，却仍不失为优秀．在这里，正确和错误是相对的，优秀和不优秀也是相对的．这在纯数学竞赛中是不可思议的．但既然数学建模赛是考察解决实际问题的能力，那就一切都以解决实际问题的过程为准．解决实际问题需要查资料，需要使用计算机，需要课题组的人相互交流和讨论，因此数学建模竞赛也就允许使用这些“非生命的资源”．同样，实际问题的解决，常常没有绝对的正确与错误，也没有绝对的优秀，数学建模竞赛也就这样，但这并不是说数学建模竞赛就没有是非和好坏的标准．论文中各种不同意见、不同答案可以并存，只要能够言之成理．但如果你像解答纯数学题那样去做，只有数学公式和计算，而不讲清实际问题怎么变成数学公式，也不让计算结果再接受实际检验，即使答案正确，论文也很难评上好的等级．这是因为，它不是数学竞赛，而是数学建模竞赛，它看重的是三个步骤：1、建立模型：实际问题→数学问题；2、数学解答：数学问题→数学解；3、模型检验：数学解→实际问题的解决．如果你只重视中间一个步骤（一般初参赛的时候容易犯这个错误），而对第一和第三这两个步骤不予重视，那就违背了数学建模竞赛的宗旨，当然就不能得到好的结果了．为什么要叫数学建模竞赛？就是因为它赛的是建立数学模型，而不只是比赛解答数学模型．—般也把它叫做数学模型赛，这也没有什么不对．但“模型”是“建模”的结果，而“建模”是建立模型的过程．竞赛的宗旨更强调的是建立数学模型这个过程，认为过程比结果更重要．所以，在竞赛中允许将未能最后完成的建模过程、未能最后实现的想法写成论文，参加评卷．虽然你的模型还没能最后建立起来，但只要想法有价值，己经开始了的建模过程有合理性，就仍然是有可取之处的论文．这充分体现了竞赛对建模过程的重视．从这点上说，把它称为“数学建模竞赛”比“数学模型竞赛”更贴切些．何况，它的英文名称MCM中的最后一个M是Modeling而不是Model．如果用Model，是名词，是指建立起来的模型．而Modeling是由动词Model变成的动名词，是指建立模型的过程，因此翻译成建模也更恰当些．（注：关于“模型”与“建模”的区别，这里采用的是北京理工大学叶其孝教授的观点．）美国的MCM虽然只是美国的国内赛，但它欢迎其他国家的大学组队参加，而且有越来越多的国家的大学参加这一竞赛．因此，在某种意义上它已经是国际性的竞赛，我国最早是在1989年有北京的三所大学组队参加美国的MCM竞赛．到后来，我国参加MCM的学校越来越多．经过酝酿、筹备和在一些城市试办，从1992年开始由中国工业与应用数学学会举办我国自己的全国大学生数学模型竞赛（CMCM），国家教委对这项活动十分重视，决定从1994年起由国家教委高教司和中国工业与应用数学学会共同举办，每年一次，我国自己的MCM 虽然举办的时间还不长，但发展非常迅速．在1995年的竞赛中，全国就共有259所高校、1234个队、3702名学生参加．可以预料，MCM在我国将得到更加蓬动、健康的发展．。
1数学建模概述⏹ 数学模型 ⏹ 数学建模过程 ⏹ 数学建模示例⏹ 建立数学模型的方法和步骤 ⏹数学模型的分类1数学模型模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。
直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。
物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。
思维模型，符号模型，数学模型 数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。
它是模型的一种。
2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。
3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。
数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。
总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。
古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”。
文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”。
微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。
费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”。
牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？用y x ,分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得221r m m G F =ma F =⎩⎨⎧=⋅-=⋅+75050)(75030)(y x y x 小时）（千米小时）（千米/5/20==y x答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米小时。
数学建模知识点总结一、数学建模概述1.1 数学建模的概念数学建模是利用数学方法和技术解决实际问题的过程，是将实际问题抽象成数学模型，再通过数学分析和计算来解决问题的一种方法。
数学建模可以应用于工程、科学、经济、环境等各个领域，对于解决复杂的实际问题具有重要的作用。
1.2 数学建模的基本步骤数学建模的基本步骤包括问题分析、建立数学模型、求解模型、模型验证和应用。
在处理实际问题时，首先要对问题进行充分的分析，然后建立相应的数学模型，再通过数学方法来求解模型，最后对模型进行验证和应用。
1.3 数学建模的应用范围数学建模的应用范围非常广泛，可以涉及到自然科学、社会科学、工程技术等各个领域。
例如，在工程领域可以用数学建模来设计飞机、汽车、桥梁等结构的强度和稳定性；在环境科学领域可以用数学建模来研究气候变化、环境污染等问题；在生物医学领域可以用数学建模来研究人体的生理过程。
1.4 数学建模的意义数学建模可以帮助人们更好地理解实际问题，设计出更优秀的工程产品，提高生产效率，优化资源配置，解决环境污染等问题，对于推动科技进步和社会发展具有重要的意义。
二、数学建模的数学基础2.1 微积分微积分是数学建模的基础。
微积分是研究变化的数学分支，包括导数、积分、微分方程等概念。
在数学建模中，微积分可以用来描述变化率、优化函数、求解微分方程等问题。
2.2 线性代数线性代数是数学建模的另一个基础。
线性代数是研究向量、矩阵、线性方程组等概念的数学分支，可以用来描述多维空间的几何关系、解决大规模线性方程组等问题。
2.3 概率论与统计学概率论与统计学是数学建模的重要工具。
概率论研究随机事件的概率分布、随机过程等概念，统计学研究数据的收集、处理、分析等方法。
在数学建模中，概率论和统计学可以用来描述随机现象、分析数据、评估模型等问题。
3.1 最优化方法最优化方法是数学建模常用的方法之一。
最优化方法是研究如何找到使目标函数取得最大（小）值的变量取值。
一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。
不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。
”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。
不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
4. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。
一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。
5. 模型分析对模型解答进行数学上的分析。
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。
还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
三、数模竞赛出题的指导思想传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成。
对此而言，数模竞赛题是一个“课题”，大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。
其答案往往不是唯一的（数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的），呈报的成果是一编“论文”。
由此可见“数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。
赛题题型结构形式有三个基本组成部分：1. 实际问题背景涉及面宽——有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。
一般都有一个比较确切的现实问题。
2．若干假设条件有如下几种情况：1）只有过程、规则等定性假设，无具体定量数据；2）给出若干实测或统计数据；3）给出若干参数或图形；4）蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。
3．要求回答的问题往往有几个问题，而且一般不是唯一答案。
一般包含以下两部分：1）比较确定性的答案（基本答案）；2）更细致或更高层次的讨论结果（往往是讨论最优方案的提法和结果）。
五、提交一篇论文，基本内容和格式是什么？提交一篇论文，基本内容和格式大致分三大部分：1. 标题、摘要部分题目——写出较确切的题目（不能只写A题、B题）。
摘要——200-300字，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果。
内容较多时最好有个目录。
2. 中心部分1）问题提出，问题分析。
2）模型建立：① 补充假设条件，明确概念，引进参数；② 模型形式（可有多个形式的模型）；③ 模型求解；④ 模型性质；3）计算方法设计和计算机实现。
4）结果分析与检验。
5）讨论——模型的优缺点，改进方向，推广新思想。
6）参考文献——注意格式。
3. 附录部分计算程序，框图。
各种求解演算过程，计算中间结果。
各种图形、表格。
六、参加数学建模竞赛是不是需要学习很多知识？没有必要很系统的学很多数学知识，这是时间和精力不允许的。
很多优秀的论文，其高明之处并不是用了多少数学知识，而是思维比较全面、贴合实际、能解决问题或是有所创新。
有时候，在论文中可能碰见一些没有学过的知识，怎么办？现学现用，在优秀论文中用过的数学知识就是最有可能在数学建模竞赛中用到的，你当然有必要去翻一翻。
具体说来，大概有以下这三个方面：第一方面：数学知识的应用能力归结起来大体上有以下几类：1）概率与数理统计2）统筹与线轴规划3）微分方程；还有与计算机知识交叉的知识：计算机模拟。
上述的内容有些同学完全没有学过，也有些同学只学过一点概率与数理统计，微分方程的知识怎么办呢？一个词“自学”，我曾听到过数模评卷的负责教师范毅说过“能用最简单浅易的数学方法解决了别人用高深理论才能解决的答卷是更优秀的答卷”。
第二方面：计算机的运用能力一般来说凡参加过数模竞赛的同学都能熟练地应用字处理软件“Word”，掌握电子表格“Excel”的使用；“Mathematica”软件的使用，最好还具备语言能力。
这些知识大部分都是学生自己利用课余时间学习的。
第三方面：论文的写作能力前面已经说过考卷的全文是论文式的，文章的书写有比较严格的格式。
要清楚地表达自己的想法并不容易，有时一个问题没说清楚就又说另一个问题了。
评卷的教师们有一个共识，一篇文章用10来分钟阅读仍然没有引起兴趣的话，这一遍文章就很有可能被打入冷宫了。
七、小组中应该如何分工？传统的标准答案是——数学，编程，写作。
其实分工不用那么明确，但有个前提是大家关系很好。
不然的话，很容易产生矛盾。
分工太明确了，会让人产生依赖思想，不愿去动脑子。
理想的分工是这样的：数学建模竞赛小组中的每一个人，都能胜任其它人的工作，就算小组只剩下她（他）一个人，也照样能够六、参加数学建模竞赛是不是需要学习很多知识？没有必要很系统的学很多数学知识，这是时间和精力不允许的。
很多优秀的论文，其高明之处并不是用了多少数学知识，而是思维比较全面、贴合实际、能解决问题或是有所创新。
有时候，在论文中可能碰见一些没有学过的知识，怎么办？现学现用，在优秀论文中用过的数学知识就是最有可能在数学建模竞赛中用到的，你当然有必要去翻一翻。
具体说来，大概有以下这三个方面：第一方面：数学知识的应用能力归结起来大体上有以下几类：1）概率与数理统计2）统筹与线轴规划3）微分方程；还有与计算机知识交叉的知识：计算机模拟。
上述的内容有些同学完全没有学过，也有些同学只学过一点概率与数理统计，微分方程的知识怎么办呢？一个词“自学”，我曾听到过数模评卷的负责教师范毅说过“能用最简单浅易的数学方法解决了别人用高深理论才能解决的答卷是更优秀的答卷”。
第二方面：计算机的运用能力一般来说凡参加过数模竞赛的同学都能熟练地应用字处理软件“Word”，掌握电子表格“Excel”的使用；“Mathematica”软件的使用，最好还具备语言能力。
这些知识大部分都是学生自己利用课余时间学习的。
第三方面：论文的写作能力前面已经说过考卷的全文是论文式的，文章的书写有比较严格的格式。
要清楚地表达自己的想法并不容易，有时一个问题没说清楚就又说另一个问题了。
评卷的教师们有一个共识，一篇文章用10来分钟阅读仍然没有引起兴趣的话，这一遍文章就很有可能被打入冷宫了。
搞定数学建模竞赛。
在竞赛中的分工，只是为了提高工作的效率，做出更好的结果。
具体的建议如下：一定要有一个人脑子比较活，善于思考问题，这个人勉强归于数学方面吧；一定要有一个人会编程序，能够实现一些算法。
另外需要有一个论文写的比较好，不过写不好也没关系，多看一看别人的优秀论文，多用几次word，Visio就成了。
一、写好数模答卷的重要性1. 评定参赛队的成绩好坏、高低，获奖级别，数模答卷，是唯一依据。
2. 答卷是竞赛活动的成绩结晶的书面形式。
3. 写好答卷的训练，是科技写作的一种基本训练。
3. 要重视的问题1）摘要。
包括：a. 模型的数学归类（在数学上属于什么类型）；b. 建模的思想（思路）；c. 算法思想（求解思路）；d. 建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验……）；e. 主要结果（数值结果，结论；回答题目所问的全部“问题”）。
▲ 注意表述：准确、简明、条理清晰、合乎语法、字体工整漂亮；打印最好，但要求符合文章格式。
务必认真校对。
2）问题重述。
3）模型假设。
根据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要。
a. 根据题目中条件作出假设b. 根据题目中要求作出假设关键性假设不能缺；假设要切合题意。
4）模型的建立。
a. 基本模型：ⅰ）首先要有数学模型：数学公式、方案等；ⅱ）基本模型，要求完整，正确，简明；b. 简化模型：ⅰ）要明确说明简化思想，依据等；ⅱ）简化后模型，尽可能完整给出；c. 模型要实用，有效，以解决问题有效为原则。
数学建模面临的、要解决的是实际问题，不追求数学上的高（级）、深（刻）、难（度大）。
ⅰ）能用初等方法解决的、就不用高级方法；ⅱ）能用简单方法解决的，就不用复杂方法；ⅲ）能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少数人看懂、理解的方法。
d．鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异。
数模创新可出现在：▲ 建模中，模型本身，简化的好方法、好策略等；▲ 模型求解中；▲ 结果表示、分析、检验，模型检验；▲ 推广部分。
e．在问题分析推导过程中，需要注意的问题：ⅰ）分析：中肯、确切；ⅱ）术语：专业、内行；ⅲ）原理、依据：正确、明确；ⅳ）表述：简明，关键步骤要列出；ⅴ）忌：外行话，专业术语不明确，表述混乱，冗长。
5）模型求解。
a. 需要建立数学命题时：命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密。
b. 需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。
若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称。
c. 计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出。
d. 设法算出合理的数值结果。
6）结果分析、检验；模型检验及模型修正；结果表示。
a. 最终数值结果的正确性或合理性是第一位的；b. 对数值结果或模拟结果进行必要的检验；结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进。
