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同角三角函数的基本关系式【教学过程】一、问题导入我们已经学习了正弦、余弦、正切的定义和三角函数线，那么同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？这节课就让我们来学习——同角三角函数的基本关系式。
二、新知探究1．应用同角三角函数关系求值【例1】（1）若in α＝－错误!，且α是第三象限角，求co α，tan α的值；（2）若co α＝错误!，求tan α的值；（3）若tan α＝－错误!，求in α的值。
[思路探究]对（1）中明确α是第三象限角，所以只有一种结果。
对（2），（3）中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果。
【解】（1）∵in α＝－错误!，α是第三象限角，∵co α＝－错误!＝－错误!，tan α＝错误!＝－错误!×错误!＝错误!。
（2）∵co α＝错误!>0，∵α是第一、四象限角。
当α是第一象限角时，in α＝错误!＝错误!＝错误!，∵tan α＝错误!＝错误!；当α是第四象限角时，in α＝－错误!＝－错误!＝错误!Q＝N等。
（2）在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见的代换形式有哪些？【提示】in2α＋co2α＝1，tan 错误!＝1．【例3】求证：（1）错误!＝错误!；（2）2（in6θ＋co6θ）－3（in4θ＋co4θ）＋1＝0[思路探究]解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较。
关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧。
【证明】（1）左边＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝右边，∵原等式成立。
（2）左边＝2[（in2θ）3＋（co2θ）3]－3（in4θ＋co4θ）＋1＝2（in2θ＋co2θ）（in4θ－in2θco2θ＋co4θ）－3（in4θ＋co4θ）＋1＝（2in4θ－2in2θco2θ＋2co4θ）－（3in4θ＋3co4θ）＋1＝－（in4θ＋2in2θco2θ＋co4θ）＋1＝－（in2θ＋co2θ）2＋1＝－1＋1＝0＝右边，∵原等式成立。
1.2.2 同角三角函数的基本关系教学目标：1.知识目标：(1)掌握同角三角函数的基本关系式。
(2)已知某角的一个三角函数值，会求其余的各三角函数值。
2.过程与方法：理解并掌握同角三角函数的基本关系式，并能应用它解决一类三角函数的求值问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：(1)通过师生之间的交流与合作，实现共同探究，教学相长的教学情境。
(2)与学生互动交流，培养学生自主，合作，探究精神。
通过关系式的推导和应用，让学生发现事物之间存在普遍联系。
教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导和应用。
教学难点：已知某一个三角函数值，求其余各个三角函数值时，对于符号的确定。
教学课型：新授课教学课时：一课时教学方法：启发式，讲练结合法。
通过设置问题，引导学生从特殊到一般导出公式，通过例题和练习题的解决处理，深化对公式的理解记忆及灵活运用。
教学用具：多媒体教学过程：一：复习引入前面我们学习了任意角的三角函数，教师提出问题1：同学们回忆一下任意角的三角函数是以什么来进行定义的？--------学生回答。
（教师总结：以单位圆上点的坐标来定义的。
）板书内容。
在上一节内容我们还学习了正弦线，余弦线以及正切线。
（学生指出位置）同学们发现了正弦线，余弦线，半径之间可以构成一个直角三角形。
这样得到正弦线，余弦线，圆半径之间可以得出什么关系式？引领学生回答。
问题2：同学们观察一下用三角函数如何转化表示这一个关系呢？（学生思考）问题3：同角之间的正弦，余弦与正切之间又可以怎样表示？（学生观察，板书）这只是我们猜想的任意角三角函数的基本关系，那是否对于任意角的三角函数都有这样的基本关系呢？在探究其结论之前我们有一个方法，可以先从特殊的情况进行入手，在推广到一般，这个方法称为？学生回答。
给出特殊三角函数表格，请学生回答验证。
下面我们来进行一个严格的证明。
二：新知探究如图，以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形，而且OP ＝1.由勾股定理有OM 2＋MP 2＝1.因此x 2＋y 2＝1，即sin 2α＋cos 2α＝1(等式1)．显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．根据三角函数的定义，当α≠k π＋π2，k ∈Z 时，有sin αcos α＝tan α(等式2)．这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．问题5：如果角a 的终边不在单位圆上，那得到的结论一样吗？（答案是肯定的。
5.2.2同角三角函数的基本关系一、教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第二节《三角函数的概念》。
本节课是学生学习了任意角和弧度值,任意角的三角函数后,安排的一节继续深入学习的内容,是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教材中起着承上启下的作用。
同时,它体现的数学思想与方法在整个高中数学学习中都有着重要的作用。
二、教学目标1.理解并掌握同角三角函数基本关系式及推导，发展数学抽象和逻辑推理的素养。
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行简单的求值，化简等有关问题,发展数学运算素养。
三、教学重难点重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。
难点：同角三角函数基本关系的灵活应用。
四、教学过程（一）课程导入引导语：同学们，三角学源于天文学，在研究天文学问题的过程中它得到了发展，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，摸清楚这些三角函数之间的关系是三角学的基本问题之一。
问题1：因为sinα,cosα,tanα的值都是由α确定的，所以sinα,cosα,tanα之间是否存在某种关系呢？追问：回到定义中，我们是如何定义三角函数的？问题2：如何建立sin α,cos α,tanα之间的关系式呢？（二）问题探究过P 点作x 轴的垂线，交x 轴于M，则△OMP 是直角三角形，①对于平方关系，若角α是象限角，Rt△OMP 是一直存在，sin 2+cos 2=1是成立的.若角α是轴线角，不妨设α的终边与y 轴非负半轴重合，此时有P(0，1)，sin 2+cos 2=1成立。
事实上，α的终边无论与哪条坐标轴重合，sin 2+cos 2=1都成立.综上:对于任意角α，平方关系sin 22②0，所以角α的终边不能落在y 立.cos （三）同角三角函数的基本关系式1、平方关系（1）公式：sin 2α+cos 2α=1，α∈R1.注意：sin 2α是sin 2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin 2.前者是α的正弦的平方，后者是2的正弦.3、公式赏析①同角讨论：你是如何理解“同角”的？点拨：一是“相同角”，二是（在使函数有意义的前提下）“任意角，所以“同角”指的是“相同的任意角”.②基本讨论：为何将以上关系叫做“基本”关系？点拨：公式简洁、美观，适用范围广.③结构讨论：以上两个公式有何结构特征？点拨：平方关系中有平方+平方=1，左边有变量，右边是常数，动中有静，变化中有不变；商数关系中左边是切，右边是弦，左边是整式，右边是分式，而且是齐次分式。
数学《同角三角函数的基本关系》教案教案：同角三角函数的基本关系一、教学目标：1.理解同角三角函数的概念及意义。
2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。
3.能够在给定角度范围内计算同角三角函数的值。
二、教学重点与难点：1.理解同角三角函数的概念及意义。
2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。
三、教学准备：1.教材、课件、黑板、粉笔。
2.学生课前复习笔记。
四、教学过程：1.引入（10分钟）教师可通过提问的方式引导学生复习和回忆上节课所学的三角函数概念及性质，例如：“什么是三角函数？它们有什么特点？”2.概念讲解（10分钟）教师介绍同角三角函数的概念和意义，同角三角函数是以角度的大小和方向为自变量，以比值为因变量的一类函数。
其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最常用和基础的三角函数。
通过图示的方式向学生展示正弦函数、余弦函数和正切函数的形象及它们之间的关系。
3.基本关系的推导（15分钟）3.1正弦函数与余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制各象限内角度相同的锐角三角形，并利用其定义推导出正弦函数和余弦函数的基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 13.2正切函数与正弦函数、余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制直角三角形，利用其定义推导出正切函数、正弦函数和余弦函数的基本关系：tanθ = sinθ / cosθ。
4.同角三角函数的计算及性质（25分钟）4.1计算角度对应的三角函数值：教师引导学生通过练习，掌握计算给定角度对应的正弦、余弦和正切函数值的方法和技巧。
4.2使用同角三角函数的性质：教师讲解同角三角函数的周期性和奇偶性，并指导学生根据这些性质简化计算，例如，sin(180° + θ) = -sinθ，cos(π + θ) = -cosθ，等等。
5.练习与巩固（20分钟）教师提供一系列基础练习题，让学生在课堂上进行计算和解答，以巩固所学的同角三角函数的基本关系和计算方法。
1.2.3同角三角函数的基本关系式
学习目标：
1．理解同角三角函数的基本关系式，会用解方程组的通法求三角函数值；2．培养运用数形结合的思想解决有关求值问题；培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的学习过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．
3．通过对同角三角函数的基本关系式的学习，揭示事物间的普遍联系规律。
学习重点：同角三角函数的基本关系式的推导及应用(求值、化简、恒等式证明) 学习难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
学习方法：
本节主要涉及到两个公式，均由三角函数定义和勾股定理推出．在学习过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用。
要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．
学习过程：。
高一年级/人教B 版必修第三册同角三角函数的基本关系式（第一课时）教学设计教学目标：1. 经历同角三角函数的基本关系式的推导过程，提升数学逻辑推理能力。
2. 理解同角三角函数的基本关系式的核心是利用公式解决问题，夯实数学运算素养。
3. 经历同角三角函数的基本关系式解决问题的过程，提升数据分析能力。
教学重点与难点：同角三角函数的基本关系式的推导与应用;同角三角函数的基本关系式解决求值问题。
教学过程与设计说明：一、引入我们曾经学习了同一个角的正弦，余弦，正切的定义，那么今天我们就在定义的基础上尝试发现一下同一个角的正弦，余弦，正切之间有什么关系呢？设计说明：为了使得新课的导入更加符合学生的认知规律，本节课在学生已有的知识背景下提出我们本节课要研究的问题，这样顺理成章，更能完善学生对三角函数知识的整体认知结构。
二、探究由 sin ,cos ,tan y x y r r xααα===定义 可以得出平方关系：22sin cos 1αα+=和商数关系：sin tan cos ααα= 问题1：这两个关系式中的角适用于任意角吗？问题2：除了定义法还有没有其他推导关系式的办法呢？问题3：两个关系式中涉及同一个角的几个三角函数值？可以知几求其他？可以解决几种求值类型的题目？设计说明：通过问题串的设计可以使得学生对于所要研究的问题有条理，这样更能够让学生进一步体会到关系式推导的重要性以及解决问题不要急于求成，要多些对关系式的思考才能在应用中得心应手。
三、应用同角三角函数的基本关系式的求值问题可以分为以下几种类型：类型一：已知正（余）弦，求余（正）弦和正切例1：已知4sin 5α=，且α是第二象限角，求角α的余弦和正切。
变形1：已知4cos 5α=，且α是第二象限角，求角α的正弦和正切。
变形2：已知4sin 5α=，求角α的余弦和正切。
设计说明：类型一的例题以及变形的设计旨在告诉学生解决问题不单要解决一个问题，而是要解决一类问题，学习过程中要多问几个问什么，多进行几次变形，多想想还会怎么出题，这样有助于提升学生的分析解决问题的能力。
《同角三角函数的基本关系》教学设计说明一、教学目标1.知识与技能目标（1）能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式；（2）掌握同角三角函数的两个基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值.2.过程与方法目标（1）牢固掌握同角三角函数关系式，并能灵活解题，提高学生分析、解决三角函数的思维能力；（2）探究同角三角函数关系式时，体会数形结合的思想；已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，进一步树立分类思想；解题时，注重化归的思想，将新题目化归到已经掌握的知识点上；（3）通过对知识的探究，掌握自主学习的方法，通过学习中的交流，形成合作学习的习惯.3.情感、态度、价值观目标通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力.二、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书 数学必修4》第1.2.2节，课型为新授课，所用的教材为人民教育出版社A 版，课时安排为1课时，所用教具主要为多媒体、实物投影仪.本节课是在完成了任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、符号表示及定义域、三角函数在各象限的符号等教学之后进行的.是对前面三角知识的延续，同时为后续进行三角函数相关内容打下重要基础。
因此本节内容具有承前启后的作用.另外，本节内容是三角函数部分的重要内容，是三角计算的基础.三、学情分析本节课的教学对象是高一学生，时间为高一下学期.学生的数学基础较好，对学习有着较浓的学习兴趣.经过长时间的探究性学习和合作性学习的训练，思维比较活跃，平时教学中勇于发表个人观点，课堂讨论气氛较好.四、本节课教学的重、难点教学重点：公式1cos sin 22=α+α和α=ααtan cos sin 的推导及其应用 教学难点：同角三角函数的基本关系式的变式应用五、教法特点及预期效果分析教学模式以启发、诱导发现教学为主.本节教学从抛出问题，引发学生思考，探究知识开始，到公式在使用时应该注意的问题，再到例题的多种不同解法，直至最后的小结归纳的过程，均由学生通过独立思考和讨论共同完成，真正体现以学生为主体的教学理念.在教学过程中，教师的作用是把握教学重难点、教学流程，对学生探究的结果进行归纳总结，对学生不同的解法进行提炼，帮助学生理清思维“脉络”.本节课要求学生多看、多体会、多讨论，学生是演员，是参与者，学生应该有一定兴趣.但另一方面，因为让学生说得较多，对口头表达能力有一定欠缺的同学可能形成一定的心理压力.因此，有可能形成课堂气氛不够活跃的情况。
《同角三角函数的基本关系》教学设计与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，是按照一切从定义出发的原则进行的，通过对基本关系的推导，应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成，学会通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵．同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，至于角的表达形式是至关重要的，如sin 24π+cos 24π=1等，二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ+2，k ∈Z ． 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种，解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置；二是利用平方关系开方时，漏掉了负的平方根．1．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式，并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明．2．同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用：（1）求值（知一求二）；（2）化简三角函数式；（3）证明三角恒等式．通过本节的学习，学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明．3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法．教学重点：课本的三个公式的推导及应用．教学难点：课本的三个公式的推导及应用．导入新课思路1．先请学生回忆任意角的三角函数定义，然后引导学生先计算后观察以下各题的结果，并鼓励学生大胆进行猜想，教师点拨学生能否用定义给予证明，由此展开新课．计算下列各式的值：（1）sin290°+cos290°；（2）sin230°+cos230°；（3）60cos60sin；（4）135cos135sin．思路2．（直接引入）同角三角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之一，它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中经常用到，那么怎样把初中学到的那两个关系推广到任意角呢?可引导学生利用三角函数定义，借助单位圆将锐角推广到任意角，由此展开新课．提出问题①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能，角α应受什么影响?图1如图1，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形，而且OP=1．由勾股定理有OM2+MP2=1．因此x2+y2=1，即sin2α+cos2α=1（等式1）．显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．根据三角函数的定义，当α≠kπ+2π，k∈Z时，有ααcossin=tanα（等式2）．这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切，我们分别称它们为平方关系和商数关系．②对于同一个角的正弦、余弦、正切，至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值．活动：问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系，然后教师点拨学生思考这两个公式的用处．同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件，及使等式分别有意义的角的取值范围．◆教学过程问题②可让学生展开讨论，点拨学生从方程的角度进行探究，对思考正确的学生给予鼓励，对没有思路的学生教师点拨其思考的方法，最后得出结论“知一求二”．讨论结果：①在上述两个等式中，不是所有的角都可以是任意角，在第一个等式中，α可以是任意角，在第二个等式中α≠kπ+2π，k ∈Z ． ②在上述两个等式中，只要知道其中任意一个，就可以求出其余的两个．知道正弦（余弦），就可以先求出余弦（正弦），用等式1；进而用等式2求出正切．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义；同时必须注意同角这一前提．应用示例例1 已知sinα=54，并且α是第二象限的角，求cosα，tanα的值． 活动：同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握，先让学生接触比较简单的应用问题，明确和正确地应用同角三角函数关系．可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin 2α+cos 2α=1，故cosα的值最容易求得，在求cosα时需要进行开平方运算，因此应根据角α所在的象限确定cosα的符号，在此基础上教师指导学生独立地完成此题．解：因为sin 2α+cos 2α=1，所以cos 2α=1-sin 2α=1-（54）2=259． 又因为α是第二象限角，所以cosα＜0．于是cosα=259-=-53， 从而tanα=34)35(54cos sin -=-⨯=αα． 点评：本题是直接应用关系求解三角函数值的问题，属于比较简单和直接的问题，让学生体会关系式的用法．应使学生清楚tanα=-34中的负号来自α是第二象限角，这也是根据商数关系直接运算后的结果．变式训练如果cosα=51，且α是第四象限角，那么cos （α+2π）=__________________． 解析：∵cosα=51，且α是第四象限的角， ∴sinα=22)51(1cos 1--=--α=-562．∴cos （α+2π）=-sinα=562． 答案：562 例2 已知cosα=-178，求sinα，tanα的值． 活动：教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处，根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限．启发学生思考仅有co sα＜0是不能确定角α的终边所在的象限，它可能在x 轴的负半轴上（这时cosα=-1）．解：因为cosα＜0，且cosα≠-1，所以α是第二或第三象限角．如果α是第二象限角，那么sinα= α2cos 1-=2)178(1--=1715，tanα=815)817(1715cos sin -=-⨯=αα， 如果α是第三象限角，那么sinα=-175，tanα=-34． 点评：在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候，应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限，分类讨论所有的情况，得出所有的解．变式训练已知cosα=1312，求sinα和tanα． 解：因为cosα=1312＞0，且cosα≠1，所以α是第一或第四象限的角． 当α是第一象限角时，sinα＞0． sinα=135)1312(1cos 122=-=-α．tana=1251213135cos sin =⨯=αα． 当α是第四象限角时，sinα＜0． sinα=125cos sin tan ,135cos 12-==-=--αααα 例3 已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα、cosα．活动：目的是让学生考虑全面．教师引导学生思考讨论：角的终边在什么位置；能否直接利用基本关系式求出sinα或cosα的值．由tanα≠0，只能确定α的终边不在坐标轴上．关于sinα、cosα、tanα的关系式只有tanα=ααcos sin ，在这个式子中必须知道其中两个三角函数值，才能求出第三个，因此像这类问题的求解，不能一步到位，需要公式的综合应用．其步骤是：先根据条件判断角的终边的位置，讨论出现的所有情况．然后根据讨论的结果，利用基本关系式求解．分情况求出cosα，进而求出sinα．解：因为sin 2α+cos 2α=1，所以sin 2α=1-cos 2α．又因为tanα=1cos 1cos cos 1cos sin tan ,cos sin 222222-=-==αααααααα所以 于是αααα2222tan 11cos ,tan 1cos 1+=+= 由tanα为非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上，从而 cosα=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+，、，，、第三象限角为第二当第四象限角为第一当αααα22tan 11,tan 11 sinα=cosαtanα=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+.tan 1tan tan 1tan 22第三象限角为第二当第四象限角为第一当、，，、，αααααα 点评：要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解．需要学生认真细致分析题目的条件，灵活运用公式，需要较高的思维层次．变式训练已知cosα≠0，用cosα表示sinα、tanα．解：本题仿照上题可以比较顺利完成． sinα=⎪⎩⎪⎨⎧---，、第四象限角为第三当第二象限角为第一当αααα,cos 1,,,cos 122 tanα=.cos cos 1cos cos 122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---第四象限角为第三当第二象限角为第一当、，，、，αααααα 课堂小结1．由学生总结本节课对同角三角函数关系式的推广及应用．通过例题变式训练，我们知道可用它来求三角函数值或已知α的三角函数值中的一个，表示它的其他三角函数值．2．教师集中强调，同角三角函数关系式作为三角函数的基本关系，在高考中占有很重要的位置，应熟练掌握．要注意在应用平方关系时，其结果不唯一，注意根据角所在的象限来取舍或分类进行讨论．还必须注意“同角”这一前提，只有在这一前提下才能使用公式．3．注意公式的变形式的应用，如sin 2α=1-cos 2α，cos 2α=1-sin 2α，sinα=cosα·tanα，cosα=αsin 等． 1．本教案设计思路很清晰，分为两步：第一步将初中的同角关系式推广到任意角，第二步是公式的应用．使学生初步了解同角三角函数关系式的作用及用法．2．本教案设计突出了同角关系式的地位，本节看似简单却作为全章的最后一节，其重要性不言而喻，这点应引起学生的注意，不是会背公式，会用公式就说明掌握了本节内容．3．本教案设计加强了解题步骤规范的要求，化简结果的简洁，分类讨论的取舍，象限角的判断等都对学生的综合能力有较高的要求，特别是象限角的判定等逻辑思维能力，需要有较高思维层次．第2课时导入新课思路1．（直接引入）同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数间的必然联系．基本用途是可根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角的三角函数式；证明同角的三角恒等式．本节课我们继续探究它的其他作用，由此展开新课．思路2．上节课我们知道应用同角三角函数的基本关系式需要注意角的象限，需要注意同角，那么对于复杂的三角恒等式的证明，以及复杂的三角函数式的化简应怎么办呢?下面我们一起先来探究三角恒等式的证明问题．推进新课应用示例例1 求证：xx x x cos sin 1sin 1cos +=-． 活动：先让学生讨论探究证明方法，教师引导思考方向．教材中介绍了两种证明方法：证法一是从等式一边到另一边的证法，等式右边的非零因式1+sinα，在左边没有出现，可考虑左边式子的分子、分母同乘以1+sinx ，再化简；在证法二中可以这样分析，要让算式成立，需证cos 2x=（1+sinx ）（1-sinx ），即cos 2x=1-sin 2x ，也就是sin 2x+cos 2x=1，由平方关系可知这个等式成立，将上述分析过程逆推便可以证得原式成立．证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程．这个过程往往从化简开始，因此在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开始．证法一：由cosx≠0，知sinx≠±1，所以1+sinx≠0，于是左边=x x xx x x x x x x x cos sin 1cos )sin 1cos(sin 1)sin 1(cos )sin 1)(sin 1()sin 1(cos 22+=+=-+=+-+=右边． 所以原式成立．证法二：因为（1-sinx ）（1+sinx ）=1-sin 2x=cos 2x=cosxcosx ，且1-sinx≠0，cosx≠0，所以xx x x cos sin 1sin 1cos +=-． 教师启发学生进一步探究：除了证法一和证法二外你是否还有其他的证明方法．教师和学生一起讨论，由此可探究出证法三．依据“a -b=0⇔a=b”来证明恒等式是常用的证明方法，由学生自己独立完成．证法三：因为xx x x x x x x x x x x x x cos )sin 1()sin 1(cos cos )sin 1()sin 1)(sin 1(cos cos cos sin 1sin 1cos 22---=--+-=+-- =x x x x cos )sin 1(cos cos 22--=0，所以xx x x cos sin 1sin 1cos +=-． 点评：这是一道很有训练价值的经典例题，教师要充分利用好这个题目．从这个例题可以看出，证明一个三角恒等式的方法有很多．要证明一个等式，可以从它的任何一边开始，证得它等于另一边；还可以先证得另一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立．变式训练 求证：x x xx x x tan 1tan 1sin cos cos sin 2122-+=-•+． 分析一：从右端向左端变形，将切化为弦，以减少函数的种类．证明：右边=)sin )(cos sin (cos )sin (cos sin cos sin cos cos sin 1cos sin 12x x x x x x x x x x x x x x+-+=-+=-+=x x x x 22sin cos cos sin 21-•+=左边．分析二：由1+2sinx·cosx 立即联想到（sinx+cosx ）2，这是公式的逆用．证明：左边=x x x x x x x x x x xx x x x x sin cos cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin sin cos cos sin 2cos sin 22222-+=-++=-•++ =xx tan 1tan 1-+=右边．例2 化简 440sin 12-．活动：引导学生探究：原式结果为cos440°时是不是最简形式，还应怎么办?教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°，由于︒80cos ＞0，因此︒80cos 2=｜cos80°｜=cos80°，此题不难，让学生独立完成．解：原式=︒-=︒+︒-80sin 1)80360(sin 122=︒80cos 2=cos80°．点评：恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式．提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点：（1）所含的三角函数种类最少；（2）能求值（指准确值）的尽量求值；（3）不含特殊角的三角函数值．变式训练 化简： 40cos 40sin 21-．答案：cos40°-sin40°．点评：提醒学生注意：1±2sinαcosα=sin 2α+cos 2α±2sinαcosα=（sinα±cosα）2，这是一个很重要的结论．3．化简：θθθθcos cos 1sin 1sin 22-+-． 活动：在研究三角函数的性质时往往先将已知函数化简成一类最简形式，再作下一步讨论．化简的原则是灵活运用公式，保持等价转化．解：因为cosθ≠0，所以，原式=θθθθcos sin cos sin + =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≤<++<<+-+≤<++<<.22232,0,2322,tan 2,222,0,222,tan 2ππθππππθππθππθππππθπθk k k k k k k k 当当当当（k ∈Z ）． 点评：三角函数式的化简结果应满足①函数种类尽可能地少；②次数尽可能地低；③尽可能地不含分母；④尽可能地将根号中的因式移到根号外面来．总思路是：尽可能地化为同类函数再化简．课堂小结由学生回顾本节所学的知识方法：①同角三角函数的基本关系式及成立的条件，②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值（可以简称“知一求二”）时要注意这个角的终边所在的位置，从而出现一组或两组或四组（以两组的形式给出）．“知一求二”的解题步骤一般为：先确定角的终边位置，再根据基本关系式求值，若已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其他关系求值；若已知正切或余切，则构造方程组求值．教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题，并让学生总结本节用到的思想方法．本教案注重了公式的正用、逆用及变形用，加强了一题多解．对可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题，可按下列情形分别处理：（1）如果这个三角函数式的值的符号可以确定，则可以根据算术平方根的定义直接得到结果；（2）如果这个三角函数式的值的符号不可以确定，则可根据题设条件，经过合理的分类讨论得到结果．本教案设计注重了学生思维能力的训练．三角函数式的化简，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则，它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式，同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求，在教学时要注意进行相关知识的复习．证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法一般有以下三种：（1）依据相等关系的传递性，从等式一边开始，证明它等于另一边，证明时一般遵循由繁到简的原则．（2）依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子．（3）依据等价转化思想，证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．。
