学而思勤思班初二春季 第6讲 平行四边形探究(教师版)

回顾与思考教学设计一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面的学习中已经掌握了全等三角形的性质和判定，在本章前几节课中，又对平行四边形的判定、性质做了进一步学习，通过一定题量的练习，学生已经对有关内容得以掌握。

在本章后面几节课中，又学习了三角形中位线的定义和性质，并探索了连接四边形各边中点所成的四边形的形状等结论，学生在初一时已经掌握了三角形内角和定理，本章学生也掌握了多边形的内角和、外角和公式，对如何探究内角和、外角和的问题有了一定的认识。

学生的能力基础：在相关知识的学习过程中，学生对推理证明的基本要求、基本步骤和基本方法已经掌握，已经能利用平行四边形的判定和性质解决特殊四边形的有关命题，并且也能利用有关知识对探究型题目加以分析和证明。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，已经经历了“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会了合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用。

掌握了简单证明的方法，解决了简单的现实问题，同时在以前的数学学习中学生已经经历很多合作学习的过程，具有一定的合作学习经验和合作与交流的能力。

二、教学任务分析本章的定理较多，在系统掌握平行四边形的性质及判定等的基础上，学生还学习了三角形的中位线定理、多边形的内角和、外角和公式，为了让学生进一步掌握这些定理，并能熟练应用，为此，本节课的教学目标是：（1）能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。

（2）掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。

（3）掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想。

（4）会熟练应用所学定理进行证明。

体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。

（5）学会对证明方法的总结。

（6）通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识。

三、教学过程分析模块一回顾与思考1、平行四边形的性质有：_________________________________________________________2、平行四边形的判定有：________________________________________________________3、三角形的中位线定理是：_______________________________________________________4、三角形的内角和定理：________________________________________________________5、三角形的外角和定理：________________________________________________________模块二合作探究例1 如图，在ABCD中，AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为___________________例2 如图，ABCD的周长为36，对角线AC,BD相交于点O,点E是CD中点，BD=12，则∆DOE的周长为_________________例3 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720º，那么原多边形的边数为________________________模块三形成提升1、已知ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）A.4B.12C.24D.282、已知ABCD，一条直线将ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N,则M+N不可能是（）A.360ºB.540ºC.720ºD.630º3、在ABCD中，AB=4cm,BC=6cm,则ABCD周长为______________cm.4、已知O是ABCD的对角线交点，AC=24cm,BD=38cm,AD=28cm,则∆AOD的周长是_______5、已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E,F分别是AO,OC的总点. 求证：四边形BFDE是平行四边形.模块四小结评价一、本课知识点：二、本课典型例题：三、我的困惑：。

八年级数学下册第六章平行四边形2平行四边形的判定教案（新版）北师大版2 平行四边形的判定第1课时一、教学目标1.经历平行四边形判别条件的探索过程，逐步掌握说理的基本方法．2.探索并掌握平行四边形的判别条件：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．二、教学重点、难点重点：平行四边形的判别条件．难点：平行四边形的判别条件的应用．三、教具准备课件、纸条、图钉.四、教学过程（一）自主学习1.平行四边形的定义是什么？它有什么作用？定义：___________________________．作用：___________________________．2.平行四边形有哪些性质？___________________________．___________________________．（二）探索新知活动1：工具：两张不同长度的纸条（等宽）．动手：拿出准备好的两根细纸条，来钉制一个平行四边形，小明的爸爸固定时，用了下面的方法，如图2-1，将两根细纸条AC、BD的中点重叠，并用图钉固定，则四边形ABCD是平行四边形．图2-1思考1：你能说明你们摆出的和画出的四边形是平行四边形吗？思考2：以上活动事实，能用文字语言及符号表示吗？结论：___________________________．活动2：工具：两根长度相等的纸条（等宽）．动手：如图2-2，将两根同样长的纸条AB、CD平行放置，再用纸条AD、BC围起来，得到的四边形ABCD就是平行四边形．图2-2思考1：你能说明你所摆出的和画出的四边形是平行四边形吗？思考2：以上活动事实，能用文字语言及符号表示吗？结论：___________________________．至此我们有____种判定平行四边形的方法．随堂练习：如图2-3，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且OE=OF．（1）OA与OC，OB与OD相等吗？（2）四边形BFDE是平行四边形吗？图2-3（三）应用新知1.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，要判别它是平行四边形，从四边形的角的关系看应满足______；从对角线看应满足_________________．2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF 是_______．3.如图2-4，AC∥ED，点B 在AC 上且AB=ED=BC ，找出图中的平行四边形并说明理由． A C DE图2-4（四）课堂小结平行四边形的判别方法：1._________________互相平分的四边形是平行四边形．2._________________平行且相等的四边形是平行四边形．（五）教学反思第2课时一、教学目标1.经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法．2.探索并掌握平行四边形的判别方法：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．能根据判别方法进行有关的应用．二、教学重点、难点重点：平行四边形的判别方法．难点：根据判别方法进行有关的应用．三、教具准备课件.四、教学过程（一）课前热身1.如图2-5，四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，若OA=OC ，OB=OD ，则四边形ABCD 是__________，．图2-62、如图2-6，在四边形ABCD 中，AB//CD ，且AB=CD ，则四边形ABCD 是___________，理由是__________________________．结论：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．3.如图2-7，在□ABCD 中，EF ∥AD ，MN ∥AB ，EF 、MN 相交于点P ，图中共有____个平行四边形．N M FE D C B A图2-74.如图2-8，在□ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，EF 过点O 分别交AB 、CD 于E 、F ，AO 、CO 的中点分别为G 、H ．求证：四边形GEHF 是平行四边形．A B C D E FOHG图2-8（二）探索新知活动：工具：两对长度分别相等的笔．动手：能否在平面内用这四根笔摆成一个平行四边形？思考1：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？思考2：以上活动事实，能用文字语言表达吗？（三）应用新知1.如图2-9，在四边形ABCD 中，∠1=∠2，∠3=∠4．四边形ABCD 是平行四边形吗？为什么？图2-92.如图2-10，AC=BD=16，AB=CD=EF=15，CE=DF=9，图中有哪些互相平行的线段？ A B CDEF 1 3 2 4 A B DC图2-10（四）课堂小结我们学习了：1.经历探索平行四边形判别方法过程．2.平行四边形的判别方法：______________________分别平行的四边形是平行四边形；______________________分别相等的四边形是平行四边形；______________________平行且相等的四边形是平行四边形；______________________互相平分的四边形是平行四边形．（五）教学反思。

八年级数学下册第六章平行四边形6.1 平行四边形的性质6.1.1 平行四边形的性质导学案（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册第六章平行四边形6.1 平行四边形的性质6.1.1 平行四边形的性质导学案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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6。

1.1平行四边形的性质导学案学习目标1。

探索平行四边形有关概念和性质，发展探究意识和合作交流的习惯；2.能运用平行四边形的性质解决简单问题；一。

自学释疑1。

你是怎样得到的平行四边形是中心对称图形的？2。

平行四边行具有不稳定性,容易变形，这种特性在生活中具有广泛应用，你能举出一些生活中的实例吗？二。

合作探究探究点一问题1：在小学数学中已经对平行四边形有所认识，平行四边形是生活中常见的图形，你能举出一些实例吗？结合图形填空.四边形是平行四边形.四边形ABCD是平行四边形,记作。

平行四边形的两个顶点连成的线段叫它的对角线。

线段BD就是□ABCD的一条 .若AD∥HE，AH∥FC，BG∥DE，用正确的方法表示下图中的平行四边形：.问题2:平行四边形是一种特殊的四边形，由定义可知它的边有什么特殊性质？通过观察或测量，从边的角度看，平行四边形还有什么性质?从角的角度看，平行四边形还有什么性质?对称性：平行四边形是，两条对角线的交点是它的对称 ;边:对边；角：对角，邻角 .探究点二问题1：已知:如图，四边形ABCD是平行四边形。

第六章平行四边形1.了解多边形的定义,多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念;探索并掌握多边形内角和与外角和公式.2.理解平行四边形的概念;了解四边形的不稳定性.3.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分.探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形.4.了解两条平行线之间距离的定义,能度量两条平行线之间的距离.5.探索并证明三角形中位线定理.6.探索平行四边形的中心对称性质.1.经历平行四边形的性质定理和判定定理的探究过程.2.经历三角形中位线定理的探究证明过程.3.经历多边形的内角和定理的探究过程和外角和定理的证明过程.1.在探究平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多边形的内角和定理和外角和定理以及它们的应用中,体会一些数学思想方法,如分类讨论思想、构造思想、转化思想等.2.在整个教学活动中,丰富学生从事数学活动的经验,进一步提高合情推理能力,增强简单的逻辑推理意识,培养学生克服困难的信心、与人交流的合作精神和养成从实践到理论再到实践的科学态度.首先通过图形的拼、剪引入平行四边形,逐步探索平行四边形的对边、对角、对角线的有关性质以及平行四边形的判定方法,然后在直观的、现实的情境和一些探索性活动中研究三角形中位线定理,最后,通过一个十分有趣的“多边形广场”的连续情境,比较自然地呈现多边形内角和、外角和的探索过程.本章特别强调图形性质的探索过程,而不是简单地得到平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多边形的内角和定理和外角和定理.结合以上分析的教材编写思路,在教学中首先要创设使用教材中问题的情境,把教材中不动的问题情境转化为学生互动的问题情境,在教师的引导下,经过学生充分的思考、讨论,并结合大量特例,由学生自己归纳、总结发现.此外,还要根据实际情况,对不同的学生进行有针对性的指导,使不同的学生都有发展,真正把课堂还给学生,使学生真正地变为课堂学习的主人,教师只是学生学习的引导者和组织者.【重点】1.平行四边形的性质定理.2.平行四边形的判定定理.3.三角形中位线定理.4.多边形的内角和定理.5.多边形的外角和定理.【难点】1.三角形中位线定理的证明和熟练应用.2.平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多边形的内角和定理和外角和定理的综合应用.3.在证明和解决有关问题的探究中添加适当的辅助线,使问题得以解决.1.立足学生的生活经验和已有的数学活动经验,创设恰当的问题情境,展现图形性质的探索过程.本章教材在引导学生探索有关结论时,设计了一些问题情境.教学中,教师可以利用教材中呈现的素材.如果条件允许,教师也可以根据实际情况创设更现实、更有趣的问题情境.2.让学生经历“探索——发现——猜想——证明”的完整过程,加深对合情推理和演绎推理的认识.在本章教学中,不论是平行四边形的性质定理和判定定理,还是三角形中位线定理、多边形的内角和定理与外角和定理,都建议让学生先进行自主探索,通过探索发现结论,然后进行证明.要让学生体会证明活动是探索活动的自然延续和必要发展,感受合情推理与演绎推理是相互依赖、相互补充的辩证关系.3.重视对证明思路的启发,鼓励尝试多种证明方法.在本章有关证明的教学中,教师应为学生的积极思考创设条件,鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法;提倡证明方法的多样性,并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同,提高推理论证水平.同时教师在教学时也应注意教学策略的多样化,以满足学生多样化的学习需求.回顾与思考1课时1平行四边形的性质探索和证明平行四边形的性质.经历平行四边形性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.提高学生参加数学活动的积极性,注重理论和实际相结合.【重点】平行四边形的性质的探究与应用.【难点】平行四边形的性质的探究.第课时1.理解并能说出平行四边形的定义.2.理解并能说出平行四边形的对称性和对边相等、对角相等的性质,且能够证明.经历平行四边形性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.通过独立探索、合作交流等良好学习态度的形成,促进学生自主学习能力的提高.【重点】1.平行四边形的性质的探究、平行四边形的性质的应用.2.探索和证明平行四边形的性质.【难点】平行四边形的性质的探究.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】两张全等的三角形纸板、刻度尺、量角器.同学们,你们留意观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗?学生根据自己的生活经验,可能回答:平行四边形、长方形、四边形……【教师点评】太阳光属于平行光,长方形窗口在地面上的影子通常是平行四边形,平行四边形是我们常见的一种图形.有人说平行四边形是一种很美的图形,因为它有一种对称美.引出本节课研究内容:板书课题——平行四边形的性质.[设计意图]通过生活实例,既可以活跃课堂气氛,又简单易懂.通过类比让学生体会平行四边形的相关概念,自然导入本节课的教学,并且揭示了课题.导入二:【问题】同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张.将一张纸对折,剪下两张叠放的三角形纸片,将它们相等的一组对边重合,得到一个四边形.(1)你拼出了怎样的四边形?与同桌交流一下;(2)给出小明拼出的四边形,它们的对边有怎样的位置关系?说说你的理由,请用简洁的语言刻画这个图形的特征.【学生活动】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.【教师活动】平行四边形定义中的两个条件:①四边形;②两组对边分别平行,即AD∥BC且AB∥DC;平行四边形的表示为“▱”.注意:平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形中对边是指一个角的对边,对角是指一条边的对角.(教学时要结合图形,让学生认识清楚)[设计意图]通过学生动手实践,引出平行四边形的定义,使学生自然过渡到新知识的学习.导入三:平行四边形是我们常见的图形,小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等,都设计成平行四边形的形状.平行四边形在生活中比比皆是,那么它有什么样的性质?又如何判断一个四边形是平行四边形呢?这就是我们这节课要学习的内容.[设计意图]通过生活实例,既可以活跃课堂气氛,又简单易懂,自然过渡到对平行四边形的性质的学习.实践探索:(1)通过剪纸,拼纸片,及旋转,可以观察到平行四边形的对边、对角分别相等.(2)可以通过推理来证明这个结论.(平行四边形对边相等的证明)如图(1)所示,四边形ABCD是平行四边形.求证AB=CD,BC=DA.证明:如图(2)所示,连接AC.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,BC∥DA(平行四边形的定义).∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵AC=CA,∴△ABC≌△CDA.∴AB=DC,BC=DA.学生证明:平行四边形的对角相等.[设计意图]学生通过说理,由直观感受上升到理性分析,在操作感知的基础上提升了对平行四边形的性质的理解.【做一做】(1)平行四边形是中心对称图形吗?如果是,你能找出对称中心并验证你的结论吗?(2)你还发现平行四边形具有哪些性质?生1:平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.生2:平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等.[设计意图]这个探索活动与上一环节的探索活动有所不同,是从整体的角度研究平行四边形中心对称的性质,明确了两条对角线的交点就是其对称中心,感知平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等的性质.O是▱ABCD对角线AC的中点.用透明纸覆盖在如图所示的图形上,描出▱ABCD及其对角线AC,再用大头针钉在点O处,将透明纸上的▱ABCD旋转180°.你有什么发现?学生独立探索得到▱ABCD绕点O旋转180°后与原来的图形重合.从而得到平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.思考:从验证▱ABCD是中心对称图形的过程中,你发现平行四边形还具有哪些性质?发现:平行四边形的对边相等、对角相等.[设计意图]通过动手操作让学生理解平行四边形是中心对称图形.设计“思考”的目的是为了让学生通过操作更好地理解平行四边形的性质.二、议一议如果已知平行四边形的一个内角度数,能确定其他三个内角的度数吗?【学生活动】学生小组内思考、议论.【教师点评】可以确定其他三个内角的度数.[设计意图]由平行四边形的对边分别平行得到邻角互补.因为平行四边形的对角相等,所以已知平行四边形的一个内角的度数,可以确定其他三个内角的度数.三、例题讲解(多媒体课件给出).(教材例1)已知:如图所示,在▱ABCD中, E,F是对角线AC上的两点,并且AE=CF.求证BE=DF.〔解析〕本例是对所学的平行四边形的性质的简单应用.鼓励学生寻求证明思路.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD(平行四边形的对边相等),AB∥CD(平行四边形的定义).∴∠BAE=∠DCF.又∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF.∴BE=DF.(补充例题)如图所示,在▱ABCD中,AE=CF,求证AF=CE.〔解析〕要证AF=CE,需证△ADF≌△CBE,由于四边形ABCD是平行四边形,因此有∠D=∠B,AD=BC,AB=CD,又AE=CF,根据等式性质,可得BE=DF.由“边角边”可得出三角形全等,从而得到所需要的结论.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B,AD=BC,AB=CD.∵AE=CF,∴BE=DF.∴△ADF≌△CBE.∴AF=CE.[设计意图]通过例题及补充例题,使学生进一步理解平行四边形的性质,并能进行简单的合情推理.[知识拓展]1.平行四边形是特殊的四边形,因此上述性质是一般四边形不具备的特殊性质.2.在学习三角形时,我们通常从边、角两方面考虑性质与判定,由于四边形有对角线,故在考虑平行四边形的性质与判定时主要从边、角、对角线三个方面着手,对角线是沟通四边形与三角形的桥梁和纽带,通过学习我们将进一步深刻体会将四边形问题化为三角形问题的转化思想的应用.1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.3.平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心.4.平行四边形的对边相等.5.平行四边形的对角相等.1.在▱ABCD中,若∠B=60°,则∠A=,∠C=,∠D=.答案:120°120°60°2.在▱ABCD中,若∠A比∠B大20°,则∠C=.解析:由∠A+∠B=180°,∠A-∠B=20°,解得∠A=100°,所以∠A=∠C=100°.故填100°.3.在▱ABCD中,若AB=3,BC=5,则AD=,CD=.解析:AD=BC=5,CD=AB=3.答案:5 34.(2015·梅州中考)如图所示,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,求▱ABCD的周长.解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AE∥BC,AD=BC,AB=CD,∴∠AEB=∠EBC.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∴AE+DE=AD=BC=6,∴AE+2=6,∴AE=4,∴AB=CD=4,∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20.5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,BE=DF.求证AE=CF.证明:∵BE=DF,∴BE-EF=DF-EF,∴BF=DE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.∴∠ADE=∠CBF.在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF(SAS).∴AE=CF.第1课时一、平行四边形的性质二、议一议三、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第137页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第137页习题6.1的2,3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015·衢州中考)如图所示,在▱ABCD中,已知AD=12 cm,AB=8 cm,AE平分∠BAD交BC于点E,则CE 的长等于()A.8 cmB.6 cmC.4 cmD.2 cm2.如图所示,点E是▱ABCD的边CD的中点,AD与BE的延长线相交于点F,DF=3,DE=2,则▱ABCD的周长为()A.5B.7C.10D.143.在平行四边形ABCD中,(1)若∠A-∠B=30°,则∠A,∠B,∠C,∠D的度数分别为;(2)若平行四边形ABCD的周长为48,且AB∶BC=1∶2,则AB=,BC=.4.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则图中全等的三角形有哪几对呢?【能力提升】5.如图所示,在▱ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F的值为()A.110°B.30°C.50°D.70°6.在▱ABCD中,若∠A+∠C=200°,则∠B的度数是()A.100°B.160°C.80°D.60°7.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,图中共有平行四边形的个数为()A.6B.7C.8D.98.如图所示,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()A. 4B.3C.D.2【拓展探究】9.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,∠C=60°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.(1)求∠EDF的度数;(2)若AE=4,CF=7,求平行四边形ABCD的周长.【答案与解析】1.C(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAE=∠AEB.又∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠EAB.∴∠EAB=∠AEB,∴AB=BE.∵AD=12 cm,AB=8 cm,∴BC=12 cm,BE=8 cm.∴CE=BC-CE=4 cm.故选C.)2.D3.(1)105°75°105°75°(2)8164.解:可以找到4对全等三角形,它们是:△AOB≌△COD,△AOD≌△COB,△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB.5.D(解析:由平行四边形的对角相等可得∠ADC=110°,再由∠ADC+∠FDC=180°,得出∠FDC=70°,所以∠E+∠F=∠FDC=70°.)6.C(解析:∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C,∴∠A=100°.又AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=180°-∠A=80°.故选C.)7.D(解析:图中的平行四边形有:▱AEOG,▱BHOE,▱CHOF,▱OFDG,▱ABHG,▱CHGD,▱AEFD,▱BEFC,▱ABCD.)8.B(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE.∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB.∵AD=2AB,∴AD=2CD,∴AD=2DE,∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.)9.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C= 60°,∠C+∠B=180°.∵∠C= 60°,∴∠B=180°-∠C=120°.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EDF=360°-∠DEB-∠DFB-∠B=60°. (2)在Rt△ADE和Rt △CDF中,∠A=∠C=60°,∴∠ADE=∠CDF= 30°,∴AD=2AE=8,CD=2CF=14, ∴平行四边形ABCD的周长为2×(8+14)=44.本节教材中直观感知的活动较多,能培养学生一定的逻辑思考能力及说理能力.因此,从理性角度分析平行四边形的性质特点是非常重要的.在“议一议,做一做”环节中,要引导学生有条理地用数学语言叙述思考过程.增加实际生活的例子,激发学生的学习兴趣,提高学习的效率.随堂练习(教材第137页)1.解:能.设一个内角的度数为x°,则其他三个内角的度数分别为:180°-x°,x°,180°-x°.2.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠B=56°,∠BCD=180°-∠B=124°. (2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC=25,BC=AD=30.习题6.1(教材第137页)1.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BCD=∠A=48°,∠B=180°-∠A=132°,AD=BC=3 cm.2.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,∴∠ACB=∠CAD=21°.∵∠ADC=125°,∴∠ABC=125°.∴∠DAB=180°-∠ADC=55°,∴∠CAB=∠DAB-∠CAD=55°-21°=34°.3.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠B=∠D,∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF.4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠ABC,∵DF平分∠ADC,∴∠CDF=∠ADC.同理,∠ABE=∠ABC,∴∠CDF=∠ABE.∵DC∥BA,∴∠CDF=∠AFD,∴∠AFD=∠ABE,∴DF∥EB.∵DE∥FB,∴四边形DEBF是平行四边形,∴BF=DE.本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质.这一节是全章的重点之一,为学好全章打下基础.学习这一节的基础是建立在平行线的性质、全等三角形和四边形的基础之上的,课堂上可引导学生回忆有关知识.平行四边形的定义在小学里学过,学生是不生疏的,但对于概念的本质属性的理解并不深刻,所以这里不仅要复习巩固,而且要加深理解.为了有助于学生对平行四边形本质属性的理解,在讲平行四边形的定义前,要把平行四边形的对边、对角让学生认清楚.讲定义时要强调“四边形”和“两组对边分别平行”这两个条件,一个“四边形”必须具备有“两组对边分别平行”时才是平行四边形;反之,平行四边形就一定是“有两组对边分别平行”的一个“四边形”.要指出,定义既是平行四边形的一个判定方法,又是平行四边形的一个性质.教材是先让学生用观察、度量和猜想的方法得到平行四边形的对边相等、对角相等这两条性质的,然后用两个三角形全等,证明了这两条性质.这有利于培养学生观察、分析、猜想、归纳知识的自学能力.教学中可以通过大量的生活实例引入新课,使学生在对已有知识的认知基础上去探索数学发展的规律,达到用问题创设数学情境,提高学生的学习兴趣.然后让学生通过具体问题的观察、猜想出一些不同于一般四边形的性质,进一步由学生归纳总结得到平行四边形的性质.同时教师整理出一种推导平行四边形性质的范式,让学生在教师的范式的引导下,初步达到演绎数学论证过程的能力.最后通过不同层次的典型例题、习题,让学生自己理解并掌握本节课的知识.第课时1.进一步理解平行四边形的定义,平行四边形的对称性、对边相等、对角相等的性质.2.理解并能够说出平行四边形的对角线互相平分的性质,且能够进行证明.3.能够运用平行四边形的定义和性质证明或解决有关问题.经历平行四边形的性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.通过独立探索、合作交流等良好的学习态度的形成,促进学生自主学习能力的提高.【重点】1.理解并能够证明平行四边形的对角线互相平分的性质.2.应用平行四边形的性质证明和解决有关问题.【难点】综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习上节课所学内容.导入一:复习提问:(1)什么样的四边形是平行四边形?(2)平行四边形的性质:①具有一般四边形的性质.②角:平行四边形的对角相等,邻角互补.③边:平行四边形的对边相等.(3)那么平行四边形的对角线有什么特点呢?[设计意图]复习上节课的知识点,在此基础上,引出本节课的知识点,形成一个知识体系,使学生的学习具有连贯性.导入二:一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动, 到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边形的土地,由于年迈体弱,他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是按如图所示的方式分的.当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少.同学们,你认为老人这样分合理吗?为什么?本节课,我们将继续学习平行四边形的有关性质,你将会明白老人的分法是否合理.[设计意图]把知识融入到故事情境中,能够提高学生的学习兴趣.一、性质总结思路一【探究】请学生在纸上画两个全等的▱ABCD和▱EFGH,并连接对角线AC,BD和EG,HF,设它们分别交于点O.把这两个平行四边形摞在一起,在点O处钉一个图钉,将▱ABCD绕点O沿顺时针方向旋转180°,观察它还能和▱EFGH重合吗?你能从中看出上节课所得到的平行四边形的边、角关系吗?进一步,你还能发现平行四边形的什么性质?结论:(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心;(2)平行四边形的对角线互相平分.[设计意图]利用实际动手操作的形式,让学生在活动中提炼出平行四边形的对角线的性质,印象深刻,容易理解.【师生活动】请尝试证明这一结论.(平行四边形的对角线互相平分的证明)已知:如图所示,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O.求证OA=OC,OB=OD.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD(平行四边形的对边相等).AB∥CD(平行四边形的定义).∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.∴△ABO≌△CDO.∴OA=OC,OB=OD.追问:你还有其他的证明方法吗?与同伴交流.(提示:还可以证明△BOC≌△DOA)[设计意图]通过对上节课动手操作活动的回顾,得出平行四边形对角线互相平分的性质,再通过严格的说理证明,深化对知识的理解.[教法说明]因为有上节课的基础,学生对于定理的证明已具备一定的基础,但是在证明定理之后应该给学生强调:定理的证明只是让学生进一步理解定理,而在定理运用时则直接由平行四边形可得出其对角线互相平分.[过渡语]看来大家对平行四边形的性质的理解已经透彻了,下面我们就一起来探究一下它的应用吧!(补充例题)已知:如图(a)所示,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AB,CD分别相交于点E,F.求证OE=OF,AE=CF,BE=DF.〔解析〕由平行四边形的对角线互相平分,得到OA=OC,继而得到相关三角形全等,从而得证.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠1=∠2,∠3=∠4.又∵OA=OC(平行四边形的对角线互相平分),∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE=OF,AE=CF(全等三角形的对应边相等).∴AB-AE=CD-CF,即BE=DF.【延伸思考】若补充例题中的条件都不变,将EF转动到图(b)所示的位置,那么补充例题的结论是否仍成立?若将EF向两方延长与平行四边形的一组对边的延长线分别相交,如图(c)和图(d)所示,补充例题的结论是否仍成立?说明你的理由.(教材例2)已知:如图所示,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证OE=OF.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DO=BO(平行四边形的对角线互相平分).AD∥BC(平行四边形的定义).∴∠ODE=∠OBF.∵∠DOE=∠BOF,∴△DOE≌△BOF.∴OE=OF.三、做一做如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADB=90°,OA=6,OB=3.求AD和AC的长度.〔解析〕本题意在让学生综合运用平行四边形的性质解决简单问题,教学时还可以让学生求其他边长.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC=6,OB=OD=3,∴AC=12.又∠ADB=90°,∴在Rt△ADO中,根据勾股定理,得:OA2=OD2+AD2,∴AD2=OA2-OD2=62-32=27.∴AD=3.[知识拓展]在一次数学探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等.(1)请在图(1)中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线?(2)由上述操作,你发现所画的两条直线有什么规律?解:(1)如图(2)所示.(答案不唯一)(2)规律:所画的两条直线都经过平行四边形ABCD的对角线的交点.平行四边形的性质:(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心;(2)平行四边形的对角线互相平分.1.判断对错:(1)在▱ABCD中,AC交BD于O,则AO=OB=OC=OD.()(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.()(3)平行四边形的两组对边分别平行且相等.()(4)平行四边形是轴对称图形.()解析:(1)在▱ABCD中,AC交BD于O,AC和BD不一定相等,则AO=OB=OC=OD是错误的.(2)由三角形全等,可以证明平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.(3)由平行四边形的性质和定义可知平行四边形的两组对边分别平行且相等. (4)平行四边形只是中心对称图形,不是轴对称图形.答案:(1)✕(2)√(3)√(4)✕2.(2015·宁波中考)如图所示,在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使△ABE≌△CDF,那么添加的条件不能为()A.BE=DFB.BF=DEC.AE=CFD.∠1=∠2解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABE=∠CDF.若添加BE=DF,则根据SAS可判定△ABE≌△CDF;若添加BF=DE,由等量减等量差相等得BE=DF,再根据SAS可判定△ABE≌△CDF;若添加AE=CF,不能判定△ABE≌△CDF;若添加∠1=∠2,则根据ASA可判定△ABE≌△CDF.故选C.3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,OA,OB,AB的长度分别为3 cm,4 cm,5 cm,求其他各边以及两条对角线的长度.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,OB=OD.又OA=3 cm,OB=4 cm,AB=5 cm,∴AC=6 cm,BD=8 cm,CD=5 cm.∵在△AOB中,32+42=52,即AO2+BO2=AB2,∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD,∴在Rt△AOD中,OA2+OD2=AD2,∴AD=5 cm,BC=5 cm.答:这个平行四边形的其他各边长都是5 cm,两条对角线的长分别为6 cm和8 cm.第2课时一、性质总结(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心;(2)平行四边形的对角线互相平分.二、例题讲解三、做一做一、教材作业【必做题】教材第139页随堂练习.【选做题】教材第139页习题6.2的1,2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.在平行四边形中,周长等于48,(1)已知一边长为12,求其他各边的长;(2)已知对角线AC,BD交于点O,△AOD与△AOB的周长的差是10,求各边的长.2.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠A=150°,AB=8 cm,BC=10 cm,求平行四边形ABCD的面积.3.如图所示,已知平行四边形ABOC中,A(2,1),B(4,-3),求点C的坐标.。

第六章平行四边形【教学内容】第6章平行四边形【教学目标】知识与技能1．利用基本图形结构使本章内容系统化．2．对比掌握各种特殊四边形的概念，性质和判定方法．3．总结常用添加辅助线的方法．4．总结本章常用的数学思想方法，提高逻辑思维能力．过程与方法平行四边形与特殊平行四边形的从属关系及它们的概念、性质和判定方法．情感、态度与价值观平行四边形与特殊平行四边形的从属关系及它们的概念、性质和判定方法．提高数学思维能力。

【教学重难点】重点：平行四边形与特殊平行四边形的从属关系及它们的概念、性质和判定方法．难点：平行四边形与特殊平行四边形的从属关系及它们的概念、性质和判定方法．【导学过程】【知识回顾】全章知识线索说明：（1）图4-107（c）中要求各种特殊四边形的概念、性质、判定和它们之间的关系；（2）图4-107（d）中要求平行线等分线段定理的内容，会任意等分一条已知线段；（3）图4-107（e）中要求三角形、梯形中位线的概念、性质、判定；【情景导入】全章基本方法1.基本方法.(1)利用基本图形结构使知识系统化；(2)证明两条线段相等及和差关系的方法，也可类比总结证明两角相等，角的和差、倍、分问题，直线垂直、平行关系的方法；(3)利用变换思想添加辅助线的方法；(4)探求解题思路时的分析、综合法.2.基本思想及观点：(1)“特殊——一般——特殊”认识事物的方法；(2)集合、方程、分类讨论及化归的思想；(3)用类比、运动的思维方法推广命题.【新知探究】探究一、1.已知：如图4-117，Rt△ABC中，ㄥACB的平分线交对边于E，交斜边上的高AD于G，过G作FGCB交AB于F.求证：AE=BF.2.如图4-118，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E，F和G分别为OB，CD，OA中点，ㄥAOD=60°.求证：△EFG是等边三角形.3.已知：如图4-119，梯形ABCD中，DCAB，ㄥA+AB=90°，M，N分别为CD，AB点.求证：MN=12(AB-CD).【知识梳理】还有①四个角都②对角线相【随堂练习】复习题。

1 平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角特征1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，使学生理解平行四边形的概念和性质．2．探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等的性质．3．在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识和合作交流的习惯．重点理解并掌握平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质以及性质的应用．难点能够运用平行四边形的性质进行有关的证明和计算．一、情境导入我们一起来观察下面的图片，想一想它们是什么几何图形的形象？学生观察回答：平行四边形．平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？这节课我们一起来探讨平行四边形的定义及其性质．二、探究新知1．平行四边形的概念活动：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张．将纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，拼出一个四边形．(1)你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；(2)给出小明拼出的四边形如下图，观察这个四边形的两组对边有怎样的位置关系？说说你的理由．处理方式：教师先让学生分小组讨论交流，并积极引导学生发现这个图形是平行四边形，它的两组对边分别平行．平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线．平行四边形表示为“▱”．强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形；②两组对边分别平行，即AD∥BC 且AB∥DC.2.平行四边形的性质(1)平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论吗？(2)你还发现平行四边形有哪些性质呢？这个探索活动与第一环节的探索活动有所不同，这个探索活动是从整体的角度研究平行四边形中心对称性的特征，明确了两条对角线的交点就是其对称中心，感知平行四边形的对边，对角的性质．师生共同归纳总结：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等．思考：有哪些方法可以说明平行四边形的边、角特征？(1)通过剪纸、拼纸片及旋转，可以观察到平行四边形的对边、对角分别相等．(2)可以通过推理来证明这个结论．例：已知：如图①，四边形ABCD是平行四边形．求证：AB＝CD，BC＝DA.证明：如图②，连接AC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC, AB∥CD .∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.在△ABC和△CDA中，∵∠1＝∠2，AC＝CA，∠3＝∠4，∴△ABC≌△CDA(ASA)．∴AB＝CD, BC＝DA.学生独立证明：平行四边形的对角相等．定理：平行四边形的对边相等．定理：平行四边形的对角相等．三、举例分析例已知：如图，在▱ABCD中， E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：BE＝DF.处理方式：先找三名学生板书，其余学生在练习本上完成后小组内进行讨论交流，小组长对本组学生出现的答案进行汇总并尽可能通过交流达到统一．教师结合学生的板书情况，对做题的格式进行规范和强调．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠DCF.又∵ AE＝CF，∴△BAE≌△DCF(SAS)．∴ BE＝DF.议一议：如果已知平行四边形一个内角的度数，能确定其他三个内角的度数吗？由平行四边形对边分边平行得到邻角互补；又由于平行四边形对角相等，由此已知平行四边形一个内角的度数，可以确定其他三个为角的度数．四、练习巩固1．在▱ABCD中．(1)若∠A＝130°，则∠B＝______，∠C＝______，∠D＝______；(2)若∠A＋∠C＝ 200°，则∠A＝______，∠B＝______；(3)连接AC，若∠D＝80°，∠DAC＝40°，则∠B＝______，∠BAC＝______．2．如图，在▱ABCD中，BC＝10 cm，AC＝8 cm，BD＝14 cm.则△ABC与△DBC的周长哪个长，长多少？五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第137页“随堂练习”第2题．2．教材第137页习题6.1第1～4题．在整个教学设计中，知识的获得并不是传统式的灌输，而且首先设置了一些问题来慢慢诱导启发，而问题的设置又具有阶梯性，这样做起到了两个作用：一是知识的问题化，使得学生有思考、交流、合作的空间，真正体现了以学生为主体的原则；二是问题的层次化，降低了学生探究的难度，更容易突破难点．其次，平行四边形的定义和性质定理的探究，全部是通过学生自己动手实践操作、观察、验证，小组合作交流探讨得到，真正做到了“以学生为主体，探究为主线”的教育理念．第2课时平行四边形的对角线特征1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题．3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．重点掌握平行四边形对角线互相平分的性质．难点能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算和证明．一、情境导入首先给大家讲一个故事(电脑显示)：一位饱经沧桑的老人，经一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，他已经拥有一块近似平行四边形的土地．他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分得的地少，同学们，老人这样分地合理吗？师：合理不合理关键看平行四边形的对角线有什么性质，这节课我们就来研究．(板书课题)二、探究新知问题1：如图，平行四边形ABCD中有哪些线段相等？还有一些线段可以通过平移或旋转得到，你能找出来吗？结论：线段AO沿AO方向平移|AO |后可得线段OC，线段BO沿BO方向平移| BO |后可得线段OD；线段OA绕点O沿某一方向旋转180°后能与线段OC重合，线段OB绕点O沿某一方向旋180°后能和线段OD重合．处理方式：教师引导学生在平行四边形中通过平移、旋转的方法发现平行四边形对角线互相平分的性质．活动效果：能够达到引导、发现目的并且复习了平移、旋转的知识．问题2：你发现平行四边形两条对角线之间有什么关系？(平行四边形的对角线互相平分)思考：你能设法验证你的结论吗？解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形(已知)，∴AD＝BC，AD∥BC (平行四边形对边平行且相等)．∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO.∴△AOD≌△COB(ASA)．∴OA＝OC，OB＝OD(全等三角形的对应边相等)，即平行四边形对角线互相平分．师生归纳：平行四边形性质定理：平行四边形对角线互相平分．思考：你还有其他证明方法吗？与同伴交流．(利用“ASA”证△ABO≌△CDO)注意：因为有上节课的基础，学生对于定理的证明已具备一定的基础，但是在证明完定理后应该给学生强调：定理的证明只是让学生进一步理解定理，而在定理的运用时则没必要这么麻烦，直接由平行四边形可得出其对角线互相平分．三、举例分析例1 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别与AD，BC交于点E，F.求证：OE＝OF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥BC.OA＝OC.∴∠DAC＝∠ACB.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)．∴OE＝OF.思考：还有其他证明方法吗？(也可以证明△BOF≌△DOE.)处理方式：学生先交流、讨论后再独立完成，最后教师给予讲解．例2 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O, ∠ADB＝90°，OA＝6，OB ＝3.求AD和AC的长度．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD＝3.∴AC＝12.又∵∠ADB＝90°，∴在Rt△ADO中，根据勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，∴AD＝3 3 .处理方式：学生互换互批，并找出解题步骤中的疏忽．教师注意巡视指导．四、练习巩固1. 如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知△AOD的周长是80 cm，AD的长是35 cm，求AC＋BD的长．2.已知▱ABCD的周长是28 cm，AC与BD交于点O，其中△AOB的周长比△OBC的周长多4 cm，则AB＝________cm，BC＝________cm.3．如图，在▱ABCD中，EF过对角线的交点O，且分别交BC，AD于E，F两点，若AB＝4 cm，BC＝7 cm，OE＝3 cm，求四边形EFDC的周长．五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第139页“随堂练习”．2．教材第139页习题6.2第1～4题．本节课的内容较为简单，对于性质的证明也只是用三角形全等去研究．在教学中注意渗透解决四边形问题时可以转化成三角形的转化思想．学生在写已知和求证时遇到困难，以后在这方面要加强练习．对于性质的应用先从最简单的计算开始，避免学生不用今天所学的性质进行计算，而是先证明全等再寻找线段相等关系．当我们遇到这类问题的时候，应该是帮学生打开思路，让他们豁然开朗．2 平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定定理1和定理21．经历平行四边形判别方法的探索过程，发展学生合情推理能力，逐步掌握说理的基本方法．2．探索并证明平行四边形的判定定理，发展演绎推理能力，并能应用平行四边形的判定方法解决问题.3．体会证明过程中的类比、转化等数学思想，培养学生的学习热情．重点平行四边形判定定理的探究，运用平行四边形的判定定理解决问题．难点掌握综合法证明问题的思路方法．一、复习导入问题1：平行四边形的定义是什么？问题2：平行四边形有哪些性质？问题3：小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃ABCD，但他不小心碰碎了一部分，他只好拿着剩下的玻璃去玻璃店，聪明的技师很快将原来的平行四边形画了出来，你知道他用的是什么方法吗？二、探究新知探究一：取四根木条，其中两根长度相等，另两根长度也相等，能否在平面内将这四根木条首尾顺次相接搭成一个平行四边形？说说你的理由．预设学生回答：1．选择相等的两根木条作为对边，并且只有将两两相等的木条分别作为四边形的两组对边才能摆出平行四边形．2．有两组对边分别相等的四边形一定是平行四边形．3．连接对角线，利用三角形全等和平行四边形的定义证明．定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．已知：如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：如图②，连接BD.在△ABD和△CDB中，∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB(SSS)．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴AB∥CD，AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义)．处理方式：学生以小组为单位，利用课前准备好的学具动手操作、观察，完成探究活动，共同得到：(1)只有将两两相等的木条分别作为四边形的两组对边才能得到平行四边形．(2)通过观察、实验、猜想到：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．注意事项：(1)学生在拼四边形时，能否将长度相等的两木条作为四边形的对边；(2)改变四边形形状的过程中，能否观察得到在此过程中它始终是一个平行四边形；(3)学生能否通过独立思考、小组合作得出正确的证明思路．探究二：1．取两根长度相等的细木条，你能将它们摆放在一张纸上，使得这两根细木条的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点吗？2．如果四边形有一组对边相等，那么还需添加什么条件，才能使它成为平行四边形？定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．“綊”这个符号，读作：平行且等于．已知：如图①，在四边形ABCD中，AB綊 CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：如图②，连接AC.∵ AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵ AB＝CD，AC＝CA，∴△BAC ≌△DCA(SAS)．∴ BC＝AD.∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．思考：我们进行证明时都用到哪些辅助线？证明的过程都用到什么方法呢？总结：证明时连接对角线，将四边形化为三角形，然后用到了证明三角形全等的方法．注意事项：(1)学生实验操作的准确性；(2)学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现；(3)学生使用几何语言的规范性和严谨性．三、举例分析例如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD和BC的中点．求证：四边形BFDE 是平行四边形．处理方式：学生分组交流，探讨如何利用平行四边形的判定定理证明，学生说出证明思路，教师展示证明过程．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ＝BC (平行四边形的对边相等)， AD ∥BC (平行四边形的定义)． ∵E ，F 分别是AD 和BC 的中点，∴ED ＝12AD ，BF ＝12BC.∴ED ＝BF. 又∵ED∥BF，∴ 四边形BFDE 是平行四边形． 四、练习巩固1．不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是( ) A ．AB ＝CD ，AD ＝BC B ．AB ＝CD ，AB ∥CD C ．AB ＝CD ，AD ∥BC D ．AB ∥CD ，AD ∥BC2．如图，四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠A ＋∠B＝180°，那么四边形ABCD 是平行四边形吗？说说你的理由．3.如图，在四边形ABCD 中，AB 綊CD ，BF ＝DE.求证：四边形AECF 是平行四边形．4．你能用两个全等的三角尺(含30°，60°角)拼出平行四边形吗？说明理由． 五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业1．教材第142页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第142～143页习题6.3第1～3题．本节课在引入的环节上，采用复习引入的方式．首先复习了平行四边形的定义和性质，唤起学生对已有知识的回忆，让学生初步感受平行四边形的性质与判定的区别与联系，为平行四边形的性质和判定的综合运用作了铺垫．本节课判定方法的得出都非常重视知识的发生、形成过程，让学生亲历了类比、观察、实验、猜想、验证、推理的整个过程，培养学生的探究能力，发展学生的合情推理能力．学生把所学知识加以灵活地运用，有效地激发了学生的学习兴趣，提高了学习效率．数学的学习要重视学习方法的指导．本节课通过由浅入深的练习和灵活的变式，引导学生抓住图形的基本特征和题目的内在联系，达到触类旁通的效果．第2课时 平行四边形的判定定理31．会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理．2．理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理，并学会简单运用． 3．经历平行四边行判别条件的探索过程，在探究活动中发展学生的合情推理意识．重点平行四边形判定方法的探究、运用． 难点对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用．一、情境导入活动1：将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置(如图)，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．问题：能说说这样做的道理吗？活动2：将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，得到如图的四边形．设疑：你认为这个四边形是平行四边形吗？二、探究新知活动一：操作猜想现在将你手中两根长度不等的细木条摆放在一张纸上，能否使得这两根细木条的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点呢？做一做，与同伴交流．处理方式：学生以小组为单位，利用课前准备好的学具动手操作、观察、猜想、讨论、交流．预设展示：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，四边形ABCD是平行四边形．活动二：理论证明以上活动事实，你能用文字语言表达吗？你能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想？处理方式：通过学生的互相交流，口述其推理论证过程，根据学生的认知水平，教师应估计学生可能会在推理论证时遇到困难，所以应加以适当引导．预设展示：定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA＝OC，OB＝OD.求证：四边形ABCD是平行四边形．证法一：证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOB＝∠COD(SAS)，∴△A OB≌△COD.∴AB＝CD.同理可得：BC＝AD.∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．证法二：证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD(SAS)．∴AB＝CD，∠ABO＝∠CDO.∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．教师总结：平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．可以直接成为我们证明命题的依据．三、举例分析例已知：如图①， E，F是▱ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．证明：如图②，连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD.又∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．这道题你还有其他证法吗？说一说与大家共享．师生共同讨论其他解题思路．预设展示：1．可以证明△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，进而得到BE＝DF，DE＝BF，所以四边形BFDE 是平行四边形．2．也可以利用三角形全等，证明BE綊DF或DE綊BF，从而得到四边形BFDE是平行四边形．四、练习巩固1．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有( )A．1组B．2组C．3组D．4组2．如图是一张折叠椅的侧面示意图，AB，CD相交于点O，且在O处被互相平分，AC和BD平行吗？3.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第144页“随堂练习”．2．教材第145页习题6.4第1～3题．本节课的设计通过探究活动的开展探索平行四边形的判定方法，通过对判定方法的进一步理解，典型例题的分析，精选的随堂练习，学生一定能够掌握平行四边形的判定方法及应用判定方法解决实际问题．第3课时平行线间的距离1．认识平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离处处相等，并了解其简单应用．2．利用平行四边形的性质和判定研究“夹在平行线之间的平行线段相等”，发展演绎推理能力．3．在运用平行四边形的性质和判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力．重点平行四边形的性质和判定的应用及平行线之间的距离．难点平行四边形的性质和判定的综合运用．一、复习导入问题1：什么是平行四边形？问题2：平行四边形有哪些性质？问题3：判定四边形是平行四边形的方法有哪些？问题4：在笔直的铁轨上，夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？二、探究新知活动一：探究平行线之间的距离课件出示：已知：如图，直线a∥b, A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为点C，点D.求证：AC＝BD.证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD.∵AB∥CD，∴四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义)．∴AC＝BD.思考1：什么是点到直线的距离？思考2：根据所学知识，你能用自己的语言说说什么是平行线之间的距离？总结：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．注意：距离是指垂线段的长度，是大于0的．活动目的：通过对平行四边形性质和判定方法的简单应用，引入了平行线之间的距离的概念，深化对知识的理解．活动效果及注意：1．在引入平行线之间的距离概念中，先引入点到直线的距离，再通过点到直线的距离来刻画平行线间的距离．2．在应用平行四边形的性质和判定的同时深入知识、效果很好，学生易于接受．活动二：探究平行线之间的平行线段结合所学知识回答：夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？处理方式：学生分小组讨论交流，小组代表发表自己小组的讨论结果．预设学生回答：1．类比之前证明的“枕木问题”得出夹在两条平行线间的平行线段一定相等．2．由夹在两条平行线间的平行线段，同样可得平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)．根据平行四边形的性质(平行四边形的对边相等)，可以得出夹在平行线之间的平行线段一定相等．师生共同总结：夹在平行线间的平行线段一定相等．活动三：做一做如图，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并说明画图的方法和其中的道理．预设学生可能的画图方法：1．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．2.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形．3.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．目的：通过让学生在网格中画平行四边形并说理，进一步让学生掌握平行四边形的判定定理．三、举例分析例如图，在平行四边形ABCD中，点M，N 分别在AD和BC上，点E，F在对角线BD 上，且DM＝BN，DF＝BE.求证：四边形MENF是平行四边形．处理方式：找两生板书，其余学生在练习本上写解题过程，最后教师矫正．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC(平行四边形的定义)．∴∠MDF＝∠NBE.又∵DM＝BN，DF＝BE，∴△MDF≌△NBE(SAS)．∴MF＝EN，∠MFD＝∠NEB.∴∠MFE＝∠NEF.∴MF∥EN.∴四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．四、练习巩固1．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4 cm，点M到直线b的距离是2 cm，那么直线a、直线b之间的距离是( )A．2 cm B．6cmC．2 cm或6 cm D．4 cm2．两条平行铁轨间的枕木长度都相等，依据的数学原理是________________．3．如图，AB∥CD，O是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，若OE＝3 cm，那么AB ，CD 间的距离是________cm.4．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.(1)求证：AE＝CF；(2)求证：四边形EBFD是平行四边形．五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第147页“随堂练习”．2．教材第148～149页习题6.5第1～5题．本节课的探究活动的开展是以平行四边形的判定方法进一步得到两平行直线间的距离处处相等这一结论，进而得出夹在平行线间的平行线段一定相等这一结论．通过典型例题的分析，精选的随堂练习，学生基本能够掌握平行四边形的判定方法并能应用判定方法解决实际问题．3 三角形的中位线1．理解三角形中位线的概念．2．会证明三角形的中位线定理．3．能应用三角形中位线定理解决相关的问题．重点理解并会应用三角形的中位线定理．难点理解并掌握三角形中位线定理的证明和运用．一、情境导入问题：A，B两点被池塘隔开，在没有任何估测工具的情况下，如何估测点A，B之间的距离？(学生利用所学回答：在AB外选一点O，连接AO和BO，并分别延长到点D，C，并使得DO＝AO，CO＝BO，利用三角形全等可知道AB＝CD.测出CD的长度即可．) 思考：还有其他方法吗？师：学习完本节就很容易解决这个问题了．(板书课题)二、探究新知1．三角形中位线的概念你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？ 处理方式：学生动手画图，讨论回答．学生直观回答：找各边中点连接即可．老师利用平移旋转验证．三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE 为△ABC 的中位线．同理EF ，DF 也是．一个三角形有三条中位线．注意：三角形中线和中位线的区别．中位线是各边中点的连线，中线是顶点和对边中点的连线．2．三角形中位线定理你能通过剪拼的方式，将任意一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？处理方式：学生探究讨论，小组互相矫正．教师板书过程．思考：若四边形BCFD 是平行四边形，那么DE 与BC 有什么位置和数量关系呢？学生猜想：DE∥BC，DE ＝12BC.已知：如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点．求证：DE∥BC，DE ＝12BC.证明：如图，延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接CF.在△ADE 和△CFE 中，∵AE ＝CE ，∠1＝∠2，DE ＝FE ， ∴△ADE ≌△CFE(SAS )．∴∠A ＝∠ECF，AD ＝CF.∴CF∥AB. ∵BD ＝AD ，∴BD ＝CF.∴四边形DBCF 是平行四边形． ∴DF ∥BC ，DF ＝BC.∴DE ∥BC ，DE ＝12BC.思考：还有别的方法吗？ (学生回答：利用全等三角形和平行四边形的性质证明的，但辅助线添加的方法不一样．) 法二：证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于点F ，。

平行四边形的判定【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.【典型例题】类型一、平行四边形的判定1.如图，点A.B.C在正方形网格的格点上（小正方形的边长为单位1）．（1）在图中确定格点D，并画出以A.B.C.D为顶点的平行四边形．（2）若以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则你确定的点D 的坐标是________________.【思路点拨】（1）分为三种情况：以AC为对角线时、以AB为对角线时、以BC为对角线时，画出图形，根据A.B.C的坐标求出即可；（2）在（1）的基础上，把y轴向左平移了一个单位，根据平移性质求出即可．【答案与解析】（1）解：从图中可知A（-3，2），B（-4，0）C（-1，0），以AB为对角线时，得出平行四边形ACBD1，D1的坐标是（-6，2），以AC为对角线时，得出平行四边形ABCD2，D2的坐标是（0，2），以BC为对角线时，得出平行四边形ABD3C，D3的坐标是（-2，-2），（2）解：以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，D的坐标是（-1，2），（1，2），（-5，2），故答案为：（-1，2）或（1，2）或（-5，2）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，主要考查学生能否运用平行四边形的性质进行计算，注意：一定要进行分类讨论．举一反三【变式】（2016•呼伦贝尔）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．【答案】证明：（1）∵Rt △ABC 中，∠BAC=30°，∴AB=2BC ，又∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，∴AB=2AF∴AF=BC ，在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，BA AE BCAF ==∴Rt △AFE ≌Rt △BCA （HL ），∴AC=EF ；（2）∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD ，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF ⊥AB ，∴EF ∥AD ，∵AC=EF ，AC=AD ，∴EF=AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．2.类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3+（-2）=1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}；（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形OABC．②证明四边形OABC是平行四边形．（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．【思路点拨】（1）本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前项加前项，后项加后项．（2）根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可．（3）根据题中的文字叙述列出式子，根据（1）中的规律计算即可．【答案与解析】解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；{1，2}+{3，1}={4，3}．（2）①画图最后的位置仍是B．②证明：由①知，A（3，1），B（4，3），C（1，2）∴==∴四边形OABC是平行四边形．（3）从O出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可知平移量为{2，3}，同理得到P到Q的平移量为{3，2}，从Q到O的平移量为{-5，-5}，故有{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0，0}．【总结升华】本题考查了几何变换中的平移变换，解答本题关键是仔细审题，理解题目给出的信息，对于此类题目同学们不能自己凭空想象着解答，一定要按照题目给出的思路求解，克服思维定势．举一反三：【变式】一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为 5+（-2）=3．若平面直角坐标系xOy中的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．（1）计算：{3，1}+{1，2}；（2）若一动点从点A（1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B，再按照“平移量”{-1，2}平移到点C；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点D，在图中画出四边形ABCD，并直接写出点D的坐标；（3）将（2）中的四边形ABCD以点A为中心，顺时针旋转90°，点B旋转到点E，连结AE.BE若动点P从点A出发，沿△AEB的三边AE.EB.BA平移一周．请用“平移量”加法算式表示动点P的平移过程．【答案】解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；（2）B点坐标为：（1+2，1+1）=（3，2）；C点坐标为：（3-1，2+2）=（2，4）；D点坐标为：（2-2，4-1）=（0，3）；①如图所示：②D（0，3）．（3）点A至点E，向右平移1个单位，向下平移2个单位；点E至点B，向右平移1个单位，向上平移3个单位；点B至点A，向左平移2个单位，向下平移1个单位；故动点P的平移过程可表示为：{1，-2}+{1，3}+{-2，-1}．3.如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F ．求证：四边形AECF 是平行四边形．【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD 是平行四边形，可证OF=OE ，OA=OC ，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决．【答案与解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD=OB ，OA=OC ，∵AB ∥CD ，∴∠DFO=∠BEO ，∠FDO=∠EBO ，∴在△FDO 和△EBO 中，,＝＝＝DFO BEO FDO EBO OD OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△FDO ≌△EBO （AAS ），∴OF=OE ，∴四边形AECF是平行四边形．【总结升华】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4.如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D.E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD.GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D.E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．【思路点拨】（1）由题意得出BD=CE，由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，证出BD=GD=CE，即可得出结论；（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM，由平行线得出GF=CF，即可得出结论．【答案与解析】解：（1）四边形CDGE是平行四边．理由如下：如图1所示：∵D.E移动的速度相同，∴BD=CE，∵DG∥AE，∴∠DGB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DGB，∴BD=GD=CE，又∵DG∥CE，∴四边形CDGE是平行四边形；（2）BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：由（1）得：BD=GD=CE，∵DM⊥BC，∴BM=GM，∵DG∥AE，∴GF=CF，∴BM+CF=GM+GF=MF．【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．举一反三【变式】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若 M、N分别为边AD.BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形．证明：由（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDB=∠NBD，∵DM=BN，∴△DMF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．5.如图，已知在平行四边形ABCD中，E.F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE.EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）【思路点拨】（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD，AB∥CD，根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF．再由SAS可证△GBE≌△HDF，利用全等的性质，证明∠GEF=∠HFE，从而得GE∥HF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．（2）仍成立．可仿照（1）的证明方法进行证明．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．又∵AG=CH，∴BG=DH．又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）【总结升华】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．举一反三【变式】如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，AE⊥BD于E，CF⊥BD 于F，BG⊥AG于G，DH⊥AC于H．求证：四边形GEHF是平行四边形．【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BO=DO ，AO=CO ，AB=CD ，AB ∥CD ， ∴∠ABD=∠CDB ，∵AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ， ∴∠AEB=∠CFD=90°，在△ABE 和△CDF 中,,＝＝＝AB CD ABE CDF AEB CFD ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABE ≌△CDF （AAS ），∴BE=DF ，∴BO-BE=DO-DF ，即：EO=FO ，同理：△ABG ≌△CDH ，∴AG=CH ，∴AO-AG=CO-CH ，即：GO=OH ，∴四边形GEHF 是平行四边形．。