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四年级数学思维训练（一）一笔画班级四（）姓名例1：下面这些图形（字），哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成？回旦□中吕日品（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）教你一招：能一笔画的图，首先必须是连通的；没有连成一体的不连通图，是不可能一笔画成的。
小试牛刀：找出下面这些图形（字）中，哪些能一笔画成，哪些不能一笔画成？上凹只几凸（1）（2）（3）（4）（5）例2：下面这些图都是连通的，都能一笔画吗？（1）（2）（3）（4）教你一招：连通图形也要观察点与线的连接情况如何。
我们把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点，把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫做偶点。
如果每个点都是偶点的图形就是能一笔画的，并且画时可以以任何一个偶点为起点，最后仍回到这点上。
小试牛刀：数一数下面图形中各有几个奇点，几个偶点。
（）个偶点（）个偶点（）个偶点（）个偶点（）个奇点（）个奇点（）个奇点（）个奇点例3：下面这些图形中，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？A B AB CF FG ED CE D B B D C(1) (2) (3) (4)教你一招：凡是只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画出，但画时必须以其中的一个奇点为起点，以另一个奇点为终点。
奇点个数超过两个的，就不能一笔画成。
小试牛刀：1，找出下面图中的字母所标各点哪些是奇点，哪些是偶点。
A 奇点有个，分别是E C 偶点有个，分别是B DF2，仔细观察下面几个图形，判断能不能一笔画，能一笔画的打“√”。
（）（）（）（）例4：下面是一个公园的道路平面图。
为使游客能不重复的按公园的小径走遍全园，出入口应分别设在哪里？ CABD E F GH小试牛刀：下图是一个公园的平面图。
游客能走遍每条小路又不重复吗？如果能，入口应设在哪里？ A B CD IEF G H例5：下图中每个图形最少需要几笔才能画成？（1）（2）（3）（4）教你一招：一个连通图的奇点数一定是偶数个。
如果只有0个或2个奇点，就能一笔画出；有4个奇点，至少要2笔画出；有6个奇点，至少要3笔画出；……有n个奇点，至少要（n÷2）笔画出。
第十二讲一笔画问题那么，什么叫一笔画1什么样的图可以一笔画出■?欧竝又是如何彻底证明尢桥冋题的不可能性呢？下面，我们就来介貂这一方面的简单知谋数学书我们把由有限个点和连接这些点的线（线段或弧）所组成的图形叫做圈（如圈3 ）S圈中的点叫做曙的结点！连按两結点的线叫做圏的边. 如图（b）中，有三个结点：氐F. G,四条边：线段臥FG以及连接臥F的两段呱•从图Q、0>）中可以看岀，任意两点之间都有一条通路〔即可臥从其中一点出发，沿着图的边走到另一点左WJI的通路为或A-Df I…”这样的图，我扪称为连通图；而下图中〔亡）的一些^点之间却不存在通略（如M与N）,像这样的图就不是连逋图将所谓图的一笔ML指的就是；从图的一点出发，笔不离纟氐遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不推重复■从上图中容曷看出；能一笔画出的图首先必须是连逋图-但是否所有的连逋图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求醉抉这个问题的方法。
为了叙述的方使’我们把与奇数条边相连的结点叫做奇吊把与偶数条边相连的点称为播点■如I上鹵申的八个给点全是寄■点，上扇（b）申卫、F衣奇為G为偶点。
容易知道，上图00可以一笔画出，即从奇点E出发，沿箭头所指方向. 经过匚G> E.最后到达奇点心同理，从奇点F出发也可以一笔画也最后到达奇点氐而从偶点G岀发，却不能一笔画出•这是为什么呢？G事实上，这并不杲偶然现象•假定某个图可以一笔画成，且它的结点X既不是起点，也不是终点，而是中何点，那么X—定是一个偶点.这杲因为无论何时通过一条边到达X,由于不能重复，必须从另一董边离开X.这样与X连纟吉的边 -定成对出现，所以X必为偶点，也就是说：奇点在」笔画中只能作为起或终点•由此可臥看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。
在七桥问题的图中有四个奇点，因此，欧拉断言’这个图无法一笔画岀，也即游人不可能不重复地1次走遍七座桥.更逬1步地，欧拉在解决七桥问题的同时彻底地解决了一笔画的问题，给出了下面的欧拉定理；①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
第一讲一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。
那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。
典型例题例【1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（1）（2）（3）（4）分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。
经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。
图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。
图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。
通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。
由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。
相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。
再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。
而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。
这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。
例【2】下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。
关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由A B C A D C。
图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。
要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。
经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。
解图（1）、（2这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。
如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。
如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。
如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。
例【3】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析 图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。
图（2）有10个奇点，大于2，不能一笔画成。
第10讲学习一笔画【专题简析】一笔画，就是从图形某点出发，笔不离开纸，而且每条线段都只画一次不重复。
它是一种有趣的数学游戏。
那么，哪些图形不能一笔画成，哪些图形可以一笔画成呢？一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有2个或0个单数点的图形就能够一笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点。
【例题1】一些平面图形是由点和线构成的，这里的“线”可以是线段，也可以是一段曲线，请自己画一些图研究每个点和线的连接情况。
思路导航：请小朋友仔细观察下列各图中的点，他们分别与几条线相连。
① ② ③ ④（1）与一条线段相连的点有：（2）与两条线段相连的点有：（3）与三条线段相连的点有：（4）与四条线段相连的点有：归纳：把和一条、三条、五条等单数条线连得点叫做单数点；把和两条、四条、六条、八条等双数条线连的点叫双数点，每个图中的点要么是单数点，要么是双数点。
练习11.任意找一个平面图形，数一数图中有几个单数点，几个双数点。
2.下面图形中有哪几个单数点？答案：A D3.数一数下面图形中有几个双数点，分别是哪些点？答案：A B C D E F【例题2】下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？（1） O （2）B D（3）【思路导航】图（1）中A、B、C、D、O五个点都是双数点，所以这个图形可以一笔画成。
画时可以从任意一点出发。
图（2）中A、C、D、F四个点都是双数点，B和E两个点是单数点，所以这个图形也可以一笔画成。
画时要从单数点出发，最后回到另一个单数点。
图（3）中A、D是双数点，B、C、E和F四个点是单数点，单数点的个数超过了两个，这个图形不能一笔画成。
练习21.下面的图形能不能一笔画成，如果能，请说明画法，如果不能，请说明理由（1）（2）答案：图（1）可以一笔画成，因为单数点有两个图（2）不能一笔画成，因为单数点大于两个2.下列图形能一笔画成吗?为什么？答：图（1）可以一笔画成，因为单数点个数为零图（2）不可以画成，因为单数点只有一个图（3）不可以画成，单数点个数大于两个3.观察下列图形，哪个图形可以一笔画成？怎么画？图（1）单数点个数为0，可以一笔画出图（2）单数点个数为4个，不可以一笔画出图（3）单数点2个，可以画出【例题3】下图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.那么两人谁先到达？思路导航：题中要求两人必须走遍所有街道，最后到达C.仔细观察，可以发现图中有两个单数点：A、C。
圆的认识练习部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参照，可下载自行编写圆的认识 <一）练习题一、填空。
1、画圆时，固定的一点叫做<），常用字母< ）表示；从<）到 < ）随意一点的线段叫做半径，常用字母 < ）表示；通过圆心而且两头都在圆上的线段，叫做<），常用字母<）表示。
b5E2RGbCAP2、画圆时，<）确立圆的地点，<）确立圆的大小。
3、在同一个圆中，能够画<）条半径，<）条直径。
<）厘M，4、画一个直径为 4 厘M的圆，圆规两脚间的距离应取半径是 <）厘M。
二、下边的图中是半径或直径的打“√”，并标上相应的字母。
<）<）<）<）<）<）三、判断1、两头都在圆上的线段叫做直径。
<）2、半径必定比直径短。
<）3、圆的半径是一条射线，直径是一条直线。
<）4、圆有无数条直径，也有无数条半径。
<）5、圆规两脚间的距离是 5 厘 M，这个圆的直径就是 5 厘 M。
<）四、画一画。
<1 ）、画一个直径是 2 厘 M的圆。
并标出圆心、直径和半径。
<2）、画一个半径是 2 厘 M的圆，并标出圆心、直径和半径。
思虑题：求出圆的半径和直径。
r = d =r = d =圆的认识 <二）练习题一、填空。
1、圆是 <）图形，直径所在的直线是圆的<），圆有<）条对称轴。
2、在同一个圆内，直径的长度是半径的<）倍，d = (>。
半径是直径的<）， r = (>。
p1EanqFDPw3、一种部件的横截面是圆形，它的半径是8 厘M，它的直径是<）厘 M。
4、一个圆的直径是8 厘M，它的半径是<）厘M。
假如这个圆的直径增添 2 厘M，它的半径是<）厘M；假如这个圆的半径减少2 厘M，它的直径是<）厘M。
小学数学《一笔画》练习题（含答案）什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.判断图形能否一笔画的规律：（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．（一） 一笔画以及多笔画【例1】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.(f)(e)(d)JIH G F ED C BAJ K IHGFED CB A分析：（a ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点A 、B ；画法为A →头部→翅膀→尾部→翅膀→嘴. （b ）图：不能一笔画，因为此图不是连通图.（c ）图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A 、B 、C 、D.（d ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：A →C →D →A →B →E →F →G →H →I →J →K →B. （e ）图：可以一笔画，因为没有奇点；画法可以是：A →B →C →D →E →F →G →H →I →J →B →D →F →H →J →A.（f ）图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点.[注意]在上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的.事实上，对于有两个奇点的图来说，任一个奇点都可以作为起点，以另一个奇点作为终点；对于没有奇点的图来说，任一个偶点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点.[巩固]判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．E分析：图a是一个连通的图形，图中只有点A和点F两个奇点，所以它能一笔画，其中一种画法如下：A —M—N—A—F—B—C—B—K—C—D—E—D—L—E—F．‘图b是一个不连通的图形，所以不能一笔画．图c是连通图，图中所有点都是偶点，所以能一笔画．其中一种画法如下：A—B—C—D—E—F—D—A—F —C—A．【例2】右图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达 C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？分析：本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C.容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和.仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C.[巩固]在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？分析：许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题.这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜.问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题.图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜.[数学小游戏] 用一笔画成四条线段把所有的点连起来，怎样画?分析：通过试画，似乎不可以画，但通过仔细观察，对照一笔画的规律，便可发现，若添上两个辅助点，就可画成．如右图：FE DCB AEDCBA我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.公式如下： 奇点数÷2=笔画数，即2n ÷2=n.【例3】 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．IH G FED CBA 图aH G I KLJ F EDCBA 图b DC HG EFBA图c分析：图a ：原图有四个奇点，所以不能一笔画，在B,D 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图d 所示．画法：H →A →B →C →D →E →F →I →D →B →I →H →G →F ．图b ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．去掉K ，L 两点之间的连线，图中只有两个奇点，故 可以一笔画出，如图e 所示．画法：B →C →D →E →F →→J →H →G →I →A →B →K →I →L →E ．图c ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．在B ，C 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点， 故可以一笔画出，如图f 所示．画法：A →E →D →H →A →B →F →C →G →B →C →D注意：a 、b 、c 三个图都是连通的图形，但由于每个图的奇点个数均超过两个，所以都不能一笔画．图dA BCD EFG H IH GI KLJ F EDCB A 图eDC HG EFBA图f[前铺]观察下面的图，看各至少用几笔画成？分析：（1）图中有8个奇点，因此需用4笔画成. （2）图中有12个奇点，需6笔画成. （3）图是无奇点的连通图，可一笔画成.【例4】 将下图改为一笔画.DC BA(2)(1)FEC DB A分析：图（1）中有6个奇点，因此可添上两条（或3条）边后可改为一笔画；又因为这个图中，把这6个奇点任意分为3对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，可去掉两条边后改为一笔画，举例如图（3）～（6）.图（2）中有4个奇点，因此，可添上2条（或1条）边后改为一笔画；又因为把奇点按A 与B ，C 与D （或A 与D ，B 与C ）分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条（或1条）边后改为一笔画.举例如图（7）～（8）.说明：图（6）运用了两种方法，去掉边BC ，添上边AD 与EF.（二）一笔画的实际应用【例5】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功?：这个有趣的问题引起了著名数学家欧拉的注意，他证明了七桥问题中提到的走法根本不存在． 下面，我们考虑如下两个问题：(1)如果再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥?若能，这座桥应架在何处?若不能，请说明理由． (2)架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地?而得到一个由四个点和七条线组成的图形(如图b)．在图b 中，点A ，B ，C ，D 四个点均为奇点，显然不能一笔画出这个图形．若将其中的两个奇点改成偶点，即在某两个奇点之间连一条线，这样奇点个数由四个变为两个，此时，图形可以一笔画出．如我们可以选择奇点B ，D ，在B ，D 之间连一条线(架一座桥)，如图c ．在图c 中只有点A 和C 两个奇点，那么我们可以以A 为起点，C 为终点将图形一笔画出．其中一种画法为：A →C →A →B →A →D →B →D →C所以，如果在河岸B 与小岛D 之间架一座桥，游人就可以不重复地走遍所有的桥．（2）在(1)的基础上，再在另外两个奇点A 与C 之间连一条线(即架一座桥)，使这两个奇点也变成偶点，如图d ．那么A ，B ，C ，D 四个点均为偶点，所以图d 可以一笔画出，并且可以以任意点为起点，最后 仍回到这个点．其中一种画法为：A →C →A →C →D →A →B →D →B →A这表明：在河岸B 与小岛D 之间架一座桥后，再在小岛A 与河岸C 之间架一座桥，共架设两座桥，就可以使游人不重复地走遍所有的桥并回到出发地．[巩固]如图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸.问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？分析：用点表示小岛与河岸，用连接两点的线表示连接相应两地的桥，如图，有2个奇点，所以该图可以一笔画，即可以一次不重复地走遍这七座桥.例如右下图的走法.EDCBA【例6】 有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？分析：图中有两个奇点，所以该图可以一笔画，但因为邮局所在点为奇点，所以要一笔画就不可能回到邮局.又图中A,B,C,D,E,F,G,H,I,J十点均有4条线段与之相连，如果我们将上图一笔画的话，就要经过以上十点各两次，这也不满足题目的要求，所以要将这些点相连的线段去掉一些，使得与这些点相连的线段均只有两条，并且将两个奇点也变成只有两条线段与之相连，这样得到的图形即可一笔画，又只经过每个点一次，并且可以回到邮局，一种可行路线如下：邮局I JHGF E D C B A 邮局邮局【例7】 右图是某博物馆的平面图，相邻两个展厅之间有一扇门相通，每一个展厅都有一门通往馆外．问参观者能否不重复地一次穿过每一扇门?若能，请找出一条可行路径；若不能，请说明理由．如果允许关闭某一扇门，问参观者能否不重复地穿过每一扇开着的门?分析：我们把展厅A,B,C,D,E 及馆外F 看成某个图中的点，把两个展厅之间的门看作是连接表示这两个展厅的点的线．根据题中条件知，馆外F 与A ，B ，C ，D ，E 各展厅相通，这样将点F 与点A ，B ，C ，D ，E 用线连接；展厅A 与展厅B ，C ，D 相通，将点A 与点B ，C ，D 用线连接；展厅B 除与A 相通外，它还与D ，E 展厅相通，将B 与D ，E 连接；除此之外，展厅C ，D 相通，展厅D ，E 相通，将点C ，D 连接，再将点D ，E 连接(如图a)．于是本题要解决的问题就变成了能否将图a 一笔画的问题．可以看出：图a 中共有六个点，其中有四个奇点，它们分别为C ，D ，E ，F ，由一笔画的规律可知，图a 不能一笔画．也就是说，参观者不能够不重复地一次穿过每一扇门．如果允许关闭某一扇门，这相当于在图a 中去掉一条线，那么参观者就有可能不重复地一次穿过每一扇门．我们知道，在图a 中有四个奇点C ，D ，E ，F 为了把图a 改成一笔画图形，我们设法减少奇点个数，使奇点数变为两个．为此，我们可以去掉一条连接两个奇点的线，如去掉E 与F 间的连线，相应的图a 就变成了图b ．在图b 中，除了原来的C 和D 是奇点外，其余点全部是偶点，故图b 可以一笔画．其中一种画法为：C →F →D →E →B →F →A →B →D →A →C →D ．上面的分析表明，如果关闭连接E 、F 两展厅之间的门，参观者就可以不重复地一次穿过每一扇开着的门． 本题与七桥问题类似，只是将行人过桥换成了参观者穿过每一扇门．我们将这个问题转化为一笔画问题来研究．[前铺]右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走？ FFF F E C D BA EB A分析：我们将每个展室看成一个点，室外看成点E ，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到下图.能否不重复地穿过每扇门的问题，变为下图是否一笔画问题.EDC BA图中只有A ，D 两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A 或D 展室开始走. 【例8】 已知长方体木块的长是80厘米，宽40厘米，高80厘米(如右图)，并且要求蜘蛛在爬行过程中只能前进，不能后退，同一条棱不能爬两次．请问这只蜘蛛最多要爬行多少厘米?分析：图中八个顶点均为奇点，所以不能一笔画，要使其能一笔画，至少要去掉三条棱，使上图只有两个奇点，就可以满足一笔画的条件．长方体的棱长总和一定，(80+80+40)×4=800(厘米)，因此去掉的三条棱越短，蜘蛛爬过的距离就越远．所以我们去掉三条棱长为40厘米的棱，于是可知，蜘蛛爬行的最远距离为： 800-40×3=680(厘米)．蜘蛛的爬行路径为：G →F →C →D →G →H →A →B →E →H(如右图)．[注意]这是一个立体图形，它有八个顶点，我们把长方体的棱看作顶点与顶点之间的连线，蜘蛛只能前进不能后退，并且每一条棱不能爬两次，这实质上是一个一笔画问题．【例9】 右图是某小区的街道分布图，街道长度如图所示(单位：公里)，图中各点表示不同楼的代号．一辆垃圾清扫车从垃圾站(垃圾站位于C 楼与D 楼之间的P 处)出发要清扫完所有街道后仍回到垃圾站，问怎样走路线最短，最短路线是多少公里?分析：为了少走冤枉路和节省时间，题目中要求最短路线，根据一笔画原理，我们知道一笔画路线就是最短路线．本题要求清扫车从P点出发，仍回到P 点．通过观察上图可知，图中有六个奇点，根据一笔画规律可知，清扫车想清扫完所有街道而又不走重复的路是不可能的．要使清扫车从P 点出发，最后仍回到P 点，就必须把图中所有的奇点都变成偶点，即在两奇点之间添加一条线．在实际问题中，就是清扫车在哪些街道上重复走的问题，由于每条街道的长度不同，因此需要我们考虑清扫车重复走哪条街道才使总路线最短．为使六个奇点都变成偶点，我们可以有下图中的四种方法表示清扫车所走的重复路线，其中填虚线的地方表示的是重复路线．重复的路程分别为：图a ：2×2+3=7；图b ：3+4×2=11；图C ：3×3=9； 图d ：3+6×2=15．显然，重复走的路线最短，总路程就最短．从上述计算中就可找到最短路线图，即下面四个图中的图a ．408080H G F ED C BA804080H GFED CBA图b 图a图d图c在图a 中，所有点均为偶点，是一笔画图形．清扫车可按如下路径走：P →D →G →D →E →F →G →H →L →H →C →B →L →M →A →B →C →P ，全程为：(1+2+4+2)×2+3×5+2×2+3=40(公里)．【例10】 邮递员李文投送邮件的街道以及街道的长度如右图所示(单位：千米)，每天小李要从邮局出发，走遍所有街道后回到邮局．请你帮他设计一条最短路线，并计算出这条路线有多少千米?分析：本题仍可以用一笔画图形的方法来解决．在图a 中共有六个奇点E ，F ，G ，H ，I ，J ，把这些奇点配对，每对之间用虚线连接(如图a)，其中要用到D 点，这样图中就没有奇点了，从而可以不重复地走遍所有的街道．由于邮递员李文要重复走一些路段，因此重复走的路越短越好，即添上去的重复线段的总长度越短越好．在图a 中H 与E 之间有重叠，这样势必会增加李文所走路程的长度，应作调整．经调整后，将重叠部分去掉便得图b ．在图b 的圈形闭路IHGJI 中，I ，J ，G ，H 各点没有连线时是奇点，连线后变成偶点，增加长度为50×2=100千米．而如果连IJ 和HG ，增加的长度仅为10×2=20，由此可知图b 需继续作调整，改成图c ，这种连接方法是最好的，它使李文行走的路线最短．根据以上分析，为了保证添上去的线段之和最短，应遵循下面的两条原则：(1)连线不能有重叠的线段；(2)在每一个圈形闭路上，连线长度之和不能超过 这个闭路总圈长的一半．经过分析可以知道，图c 的连接方法能使邮递员李文行走路线最短，而且能保证李文从邮局出发又回到邮局．这时他的行走路线为：邮局→A →I →J →I →H →G →H →E →D →F →D →G →J →B →C →D →E →邮局 他行走的全程为： (50+15)×4+20×4+10×6+20×2=440(千米)．图a图b图c[小结]本题中采用的方法叫做“奇偶点图上作业法”，用这种方法来确定最短路线比较简便实用．此方法可以用下面的口诀来描述：画出路线图，确定奇偶点；奇点对对连，连线不重叠；闭路添连线.不得过半圈．[巩固]右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度.清晨，洒水车从A 出发，要洒遍所有的街道，最后再回到A.问：如何设计洒水路线最合理？ 分析：这又是一个最短路线的问题.通过分析可以知道：在洒水路线中，K 是中间点，因此必须成为偶点，这样洒水车必须重复走KC 这条边（如下左图）.至此，奇点的个数并未减少，仍是6个.容易得出，洒水车必须重复走的路线有：GF 、IJ 、BC.即洒水路线如下右图.全程45＋3+6=54（里）.1. （例1）判断下列各图能否一笔画．图aG I H F ECD BA图bF ED CBA分析：图a 中九个点全是偶点，因此可以一笔画，其中一种画法为：A →F →B →G →C →H →D →E →H →l →→F →G →l →E →A ．图b 中A ，B ，C ，D 四个点均为奇点，故不可以一笔画．图c 中，只有A,C 为奇点，故可一笔画．其中一种画法为：A →D →E →C →H →N →G →M →F →A →B →C ．2. （例3）下列各图至少要用几笔画完？分析：（1）4笔；（2）4笔；（3）2笔；（4）1笔；（5）1笔；（6）1笔.3.（例6）右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？分析：把每个展室看作一个结点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有边相连.这样，展厅的平面图就转化成了我们数学中的图，一个实际问题也就转化为这个图（如下图）能否一笔画成的问题了，即能否从A出发，一笔画完此图，最后再回到A.上图（b）中，所有的结点都是偶点，因此，一定可以以A作为起点和终点而一笔画完此图.也即游人可以从入口进，一次不重复地穿过所有的门，最后从出口出来.下面仅给出一种参观路线：A→E→B→C→E→F→C→D→F→A.4.（例7）一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A出发，走遍所有的街道再回到A.怎样走路程最短，全程多少公里？分析：清洁车走的路径为： ABCNPBCDEFMNEFGHOLMHOIJKPLJKA. 即：清洁车必须至少重复走4段1公里的街道，如下图.最短路线全程为28公里.5.（例10）一个邮递员的投递范围如右图，图上的数字表示各段街道的长度.请你设计一条最短的投递路线，并求出全程是多少？分析：邮递员的投递路线如下图，即：路线为：ABCDEDOBOMNLKLGLNEFGHIMOJIJA.最短路线的全程为39+9=48.。
苏教版小学数学
四年级
把数学当成一门语言学习，学会每一个术语的用法，熟悉每一个符号的意义
不要放过任何一道看上去很简单的例题——他们往往并不那么简单，或者可以引申出很多知识点。
3．大圆的圆周率大于小圆的圆周率。
（）
4．如果长方形、正方形、圆它们周长相等，那么圆的面积最大。
（）
三、实践应用
1．在一个直径为20厘米的圆内剪一个最大的正方形，正方形的面积占圆面积的几分之几？
2．从一张长3厘米、宽2.5厘米的长方形纸片上剪下一个最大的正方形，求这个正方形的周长。
3．一个平行四边形和一个三角形等底等高。
已知平行四边形的面积是25平方厘米，三角形的面积是多少？
4．在一个半径5米的圆形花坛周围修一条宽2米的走道，走道的面积是多少平方米？
5．一半圆的周长15.42分米，半圆的面积是多少？
6．用18根1米的小棍靠墙围一长方形，围成的长方形面积最大是多少？（画表用列举法）
7．用一长20厘米的铁丝正好围一个长方形（长、宽都是整厘米数）计算它的面积。
8．小方从家到学校的距离约有2千米。
一辆自行车轮胎的外直径约70厘米，小方骑这辆自行车，如果轮胎每分种转100周，他从家到学校约需几分种？（得数保留整数）
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维
可以让他们更理性地看待人生。
人教版四年级数学下册第五单元圆形练习题1. 知识点回顾在第五单元中，我们研究了关于圆形的知识。
请回顾以下概念：- 圆：由一条不动的线段的一个端点为中心，以这条线段为半径绕成的图形为圆。
- 直径：通过圆心，且两端点都在圆上的线段，长度等于圆的半径的两倍。
- 半径：一条以圆心为起点，圆上一点为终点的线段，长度等于直径的一半。
- 弦：圆上连接两个点的线段。
- 弧：连接圆上两点的部分。
2. 练题现在，让我们来做一些圆形的练题吧！请你独立完成以下练题并写下答案。
1. 一个圆的直径为12cm，求该圆的半径和周长。
- 半径 = 6cm- 周长= 2π × 半径= 12π ≈ 37.7cm2. 一个圆的周长为25cm，求该圆的直径和面积。
- 周长= 2π × 半径- 直径 = 周长/ π = 25cm / π ≈ 7.96cm- 面积= π × 半径² = π × (直径/ 2)² ≈ π × (7.96cm / 2)² ≈ 49.90cm²3. 一个圆的周长为18cm，求该圆的半径和面积。
- 周长= 2π × 半径- 半径 = 周长/ (2π) = 18cm / (2π) ≈ 2.87cm- 面积= π × 半径² = π × (2.87cm)² ≈ 25.84cm²4. 在一个圆的直径上，取一段长度为8cm的弦，求该弦离圆心的距离。
- 该弦的中点与圆心的距离等于半径的长度；因此，该弦离圆心的距离为4cm。
3. 总结通过这些练习题的完成，我们巩固了关于圆形的知识，并掌握了计算圆的半径、直径、周长和面积的方法。
继续加油，你已经掌握了圆形的基本概念！。
人教版四年级数学下册圆形的特性同步练习题本练题旨在帮助四年级学生巩固和应用数学下册关于圆形的特性的知识点。
以下是一些同步练题，供学生们练和提高他们的数学技能。
题目一：圆的命名和圆心的位置1. 根据图形，写出下列圆的命名：a) 圆的命名：b) 圆的命名：c) 圆的命名：2. 从下面的图形中找出圆的圆心并在图上标出：题目二：圆的直径和半径1. 下列图形中哪个图是圆的直径？将其圈出。
2. 下列图形中哪个图是圆的半径？将其圈出。
3. 一个圆的直径是12厘米，求其半径和周长。
题目三：圆的面积1. 圆的半径为6米，求其面积。
2. 若圆的半径为8毫米，它的面积是多少？3. 一个圆的直径是10厘米，求其面积。
题目四：判断言是非1. 圆的直径和半径长度相同。
是否2. 圆的周长是由半径决定的。
是否3. 圆与正方形、三角形等图形的性质相同。
是否4. 圆上的任意两点之间的距离相等。
是否题目五：应用题1. 假如一片土地是一个圆形的，它的直径是14米。
农民想在土地的周围围上篱笆，他需要多长的篱笆？2. 一个游泳池的半径为5米，求围绕游泳池的围墙需要多少米的钢筋？提示：可以使用周长的计算公式。
以上是人教版四年级数学下册关于圆形的特性的同步练习题。
希望这些题目能够帮助学生们更好地理解和掌握圆的特性。
请同学们认真完成并核对答案。
如果遇到问题，可以向老师请教。
祝大家学习进步！。
