三角函数恒等式证明的基本方法
三角函数恒等式是指对定义域内的任何一个自变量x 都成立的等式；三角函数恒等式的证明问题是指证明给定的三角函数等式对定义域内的任何一个自变量x 都成立的数学问题。这类问题主要包括：①三角函数等式一边较繁杂，一边较简单；②三角函数等式的两边都较繁杂两种类型。那么在实际解答三角函数恒等式的证明问题时，到底应该怎样展开思路，它的基本方法如何呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题： 1、证明下列三角函数恒等式：
（1）4222sin sin cos cos 1αααα++=； （2）
22(cos 1)sin 22cos ααα-+=-；
（3）若sin α.cos α＜0,sin α.tan α＜0，
=±2tan 2
α
。 【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②二次根式的定义与性质；③分式的定义与性质。
【解题思路】（1）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（2）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（3）对左边运用分式的性质，同角三角函数的基本关系和二次根式的性质，通过运算就
可得到右边，从而证明恒等式。
【详细解答】（1
）左边=sin 2α( sin 2α+ cos 2α)+ cos 2α= sin 2α+ cos 2α=1
=右边，∴4222sin sin cos cos 1αααα++=；（2）左边= cos 2α-2 cos α+1+
sin 2α
=2-2 cos α=右边，∴22(cos 1)sin 22cos ααα-+=-；（3） sin α.cos α
＜0，sin α.tan α＜0，∴α是第二象限的角，⇒2
α
是第一象限或第三象限的角，①当
2
α
是第一象限的角时，左边
|1sin
|2|cos |
2α
α+-
|1sin
|2|cos |
2
α
α-=1sin
1sin
2
2cos
2
α
α
α
+-+=2tan 2α；②当2
α是第一象限的角时，左边
|1sin
|2|cos |2α
α+-|1sin
|
2|cos |
2α
α-
=
1sin
1sin
2
2cos
2
α
α
α
--+-=-2tan 2α；⇒左边=±2tan 2
α=右边，∴若若
sin α.cos α＜0，sin α.tan α＜0
±2tan 2α。
2、求证：22sin()sin()
sin cos αβαβαβ+-=1-22tan tan βα
；
【解析】
【知识点】①和角公式及运用；②差角公式及运用；③同角三角函数基本关系。
【解题思路】对左边运用和角公式，差角公式与同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式。 【详细解答】左边=
22(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )
sin cos αβαβαβαβαβ
+-=
222222sin cos cos sin sin cos αβαβαβ-=1-2222cos sin sin cos αβαβ=1-22tan tan β
α
=右边，∴
22
sin()sin()
sin cos αβαβαβ+-=1-22tan tan βα
。 3、求证：2sin 2
α
=
1cos 2
α
-； 【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②同角三角函数基本关系。 【解题思路】对右边运用二倍角公式与同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。 【详细解答】右边=
2
1(2cos 1)
2
2
α
--=
2
22cos 22
α
-=1-2cos 2α=2sin 2
α=左边，
∴2
sin 2α
=
1cos 2
α
-。
4、求证：2tan 2α=1cos 1cos α
α
-+；
【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②同角三角函数基本关系。 【解题思路】对右边运用二倍角公式与同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。
【详细解答】右边=
2
21(12sin )
212cos 12α
α--+-= 2
22sin 22cos 2
α
α=2tan 2α=左边，∴2tan 2α=
1cos 1cos α
α
-+。
5、求证：sin α+sin β=2sin 2
αβ
+cos
2
αβ
-；
【解析】
【知识点】①和角公式及运用；②差角公式及运用；③二倍角公式及运用；④同角三角函基本关系。
【解题思路】对右边运用和角公式，差角公式，二倍角公式与同角三角函数基本关系，通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。 【详细解答
】
右边=2（sin
2αcos 2β+cos 2αsin 2
β）(cos 2
α
cos 2
β+sin 2
αsin 2
β)=2 sin 2
α
. cos
2αcos 22β+2 sin 2β cos 2βsin 22α+2 sin 2β cos 2βcos 22α
+2 sin 2α. cos 2αsin 22
β
= 2 sin 2α. cos 2α(sin 22β+ cos 22β)+2 sin 2β cos 2β(sin 22α
+
cos 22α)= 2 sin 2α. cos 2
α
+2 sin 2β cos 2
β
= sin α+sin β=左边，∴
sin α+sin β=2sin 2αβ+cos 2αβ
-。
6、求证：sin αcos β=1
2
〔sin(α+β)+sin(α-β)〕；
【解析】
【知识点】①和角公式及运用；②差角公式及运用。
【解题思路】对右边运用和角公式，差角公式通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。
