2019版高考一轮复习理数(苏教版)练习：第二章 第六节 指数与指数函数

—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————专题2.6 指数与指数函数【考纲解读】【直击教材】 1．若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝________.【答案】 32．已知0.2m<0.2n，则m ______n (填“>”或“<”)． 【答案】>3． (1)23×31.5×612＝________. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 23b 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－6a 12b 13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 16b 56＝________. 【答案】(1)6 (2)4a【知识清单】1 根式与指数幂的运算1．(*)((0)((0)n a n N a n a a a n a a ⎧=∈⎪⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪⎪-<⎩⎩⎩为奇数）为偶数）2. 有理数指数幂的运算性质:①r s r sa a a+=(0,,)a r s Q >∈;②()r srsa a =(0,,)a r s Q >∈; ③()rr rab a b =(0,0,)a b r Q >>∈. 2指数函数的图象与性质【考点深度剖析】与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．【重点难点突破】考点1 根式与指数幂的运算 【1-1】给出下列命题:①n 都等于a (n ∈N *);②222a b ab⋅=；③函数32x y =⋅与12x y +=都不是指数函数；④若m n a a <（01a a >≠且），则m n <．其中正确的是 .【答案】③【1-2】化简：160.2502164()8( 2.015)49----【答案】98 【解析】原式＝1111663233244723422123721984⨯⨯⨯⋅-⨯-⋅-=⋅---=．【1-3】331122221122m m m m4.m m----+=-，求【答案】15． 【解析】∵112122(m m)m 2m 16--+=++=∴114m m -+=，∴33111222211112222m m (m m )(m m 1)m mm m-------++=--1m m 114115-=++=+=．【思想方法】 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 【温馨提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 考点二 指数函数的图象及应用1．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x－2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 【解析】①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x－2|的图象，如图a.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.②当a >1时，作出函数y ＝|a x－2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.2．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|.(1)作出该函数的图象；(2)由图象指出函数的单调区间．[由题悟法]指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． (3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [即时应用]1．若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 【答案】[－1,1]【解析】作出曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．2．若函数y ＝|3x－1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．【答案】(－∞，0]【解析】函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k 的取值范围是(－∞，0]． 考点三 指数函数的性质及应用 角度一：比较指数式的大小1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________． 【答案】c >a >b角度二：解简单指数方程或不等式 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－3,1)【解析】当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3， 因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1， 所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)． 角度三：探究指数型函数的性质3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 【解析】因为x ∈[－3,2]，所以令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.4．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________．【答案】(－∞，1][通法在握]应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略[提醒[演练冲关]已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝b ·a x的图象过点A (1,6)，B (3,24)，【易错试题常警惕】利用指数函数的性质求参数问题，一般是利用指数函数的单调性求最值，特别是指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分1a >和01a <<两种情况讨论．如：若函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在[]1,2-上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[)0,+∞上是增函数，则a = ．【分析】函数()(14g x m =-[)0,+∞上是增函数，则140m ->，即14m <．当1a >时，函数()f x 在[]1,2-上单调递增，最小值为1m a =，最大值为24a =，解得2a =，12m =，与14m <矛盾；当01a <<时，函数()f x 在[]1,2-上单调递减，最小值为2a m =，最大值为14a-=，解得14a =，116m =．所以14a =． 【易错点】本题容易忽视了对参数a 的讨论，以为1a >而致误．【练一练】函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________. 【答案】(－∞，1] (3，＋∞)【解析】由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1.又y ＝ax －3在[1，3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3，a 的取值范围是(3，＋∞).。

2. 5指数与指数函数E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1.给出下列结论:3 .2①当白〈0时，（/） =/；② 勺了=|引（刀>1,刀GN*,刀为偶数）；丄③ 函数=2） 2 -（3^-7）°的定义域是｛』妙2且心弓；④若 5 =0. 3, 0. 7A =0. 8,则 ab>0.其屮正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④答案B32解析（旳 >0, /0,故①错误. ・.・玄0,方>0,/• ④错误•故选B.A. (0, 1) C. (2, 3)答案B2.设函数"与 尸（护 的图象的交点为（血旳），则Ab 所在的区间是（B. (1,2) D. (3,4)解析如图所示，设f\x) =x ,f(O)<g(O), f(l)〈g(l), f(2)>g(2), f(3)>g(3), ・・・.(1,2).故选B.3.(2017 •北京模拟)已知函数f(x)=a,其屮$>0且臼H1,如果以卩5,心)),0(疋,HQ)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x)・HQ等于( )A. 1B. aC. 2D. a答案A解析T以P(x\,<?(x2,代对)为端点的线段的屮点在y轴上，・・・xi + x2=0.X V/(^r) = a,・• f\x^=a \ • 3\=3^\=3=\,故选A.4. (2018 -沈阳模拟)若关于x 的方程9'+ (4+a)・3r +4=0有解,则实数&的取值范围 为() A. ( — 8, —8) U [0, +°°) C. [—8, —4]答案D斗彳解析 V a+4=— 令 3x =f(f>0),则一'~^=-3力+4 一 丁W — 4,・••自+4W —4,所以自的范围为(―°°, —8].故选D.5. (2018 •南昌质检)定义在R 上的偶函数,当x> — 2时，/'(%) =e l4'1 —2(e 为 自然对数的底数)，若存在k 凯 使方程f3= 0的实数根那丘(&一1, &),则&的取值集合 是()A. {0} ] C. {-4,0}I 答案D解析・・•偶函数厂匕一2)的图象关于y 轴对称， 函数y=f\x)的图象关于x=_2对称. ・・•当 x>-2 时,/U)=e x+*-2,・・・f3=e+ — 2 在(一2, +8)上单调递增,且 /(-1)<0, f(0)=e —2>0.由零点存在定理可知，函数f\x) =eE —2在(一1, 0)上存在零点. 由函数图象的对称性可知，当*—2时，存在唯一零点%e(-4, -3).由题意，方程A%) = 0的实数根尬£伙一1,力，则斤一1 = 一4或斤一1 = 一1, k=_3 或k=0.故选D.6. 函数f^=x~bx+c 满足Al+x)=Al-x)且f(0)=3,则f (方、)和現刃的大小关 系是() A. fUlC B. C.B. 大小关系随x 的不同而不同答案A解析 ・・・f(l + x)=f(l —方，・"3图象的对称轴为直线X=l,由此得b=2. 又 f(0) =3, c=3.f(x)在(一g, 1)上递减，在(1, +s)上递增.若心0,则332—1,・•・ f(3“)2f(2”).B. (-8, -4) D. (-co, -8]t+~因为所以 B. {-3} D. {-3,0}若水0,则3X2X1,・•・ f(3j>f(2j.・・・f(3jNf(2》故选A.7. (2018 •长春模拟)若存在正数才使2”匕一&)〈1成立，则白的取值范围是() A. ( — 8, +oo) B. (—2, +°°) C. (0, +oo)D. (-1, +oo)答案D一日与的图象.由题意，在（0，+8）上，直线有一部分在曲线的下方.观察可知, 有一臼<1,所以a> —1.故选D.8. （2017 •江西南吕二模）已知函数y=f\x ）是周期为2的周期函数，且当^[一1, 1] 时，/U ）=2W -1,则函数F （0=f （0 —|lg 才|的零点个数是（）B. 10C. 11D. 18答案B解析 依题意，在坐标平面内画出函数y=fU 与y=|lg”的大致图象（如图），由图象 可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F （0=f （0 —|lg”的零点个数是10,故选B.99. （2018 •宜宾模拟）己知惭数f\x ） 4+-j-pY ，（0, 4）,当x=a 时，取得最 小值b,则函数=产的图象为（）解析不等式2\x~a ） <1可变形为X — 6?< 平面直角坐标系内作出直线尸才A. 9 （分•在同答案A解析 (0,4)，・・・无+1>1当且仅当x=2时取等号，此时函数有最小值1. • •日=2 9 /?= 1 9十打 x^-1.象及选项可知A 正确.故选A.1 + f X10・（2018 •蒙城模拟）设"，/R,函数曲满足宀匸厂厂，若心）+心）=1, 则f\xi + x2)最小值是(4 B. 2 C -5答案 x —r/口 z 、 e'— 12‘可得/W=7+T=1_F H ,即为 e X i +X 2=exl + e 7+3, 由 e \ + e ^2^V^, 即有e 首2^2萨兀+3, 解得書兀23,即e V X2^9,当且仅当加=私取得等号,9 ."3=L 4+币 =^+1+卄19-5心0,此函数可以看成函数尸 < 卩）的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图A. 4 解析由心）+心）=1,可得击+比詁，r+卄 1 -5=1,*—1,此时皿）=2网=22 4则心+ Q=1—p 石Ml —审冷4 即有最小值为石故选C. 5二、填空题召111. （2018 •浦东检测）关于x 的方程 "=匕只有正实数解，则日的取值范围是只有正实数解,解得1〈日〈2.・・・臼的取值范围为（*，2）12. （2018・东湖调研）已知函数f （x ）=（分，且a>b>c>0,则上 大小关系为 .答案f x解析由题意一^可以转化为心上的点与原点连线的斜率,根据函数代力=£),设 JU, f(a)), B(b, W C(c, f(c)), 观察图象知• f日 / b f c • • \ • N •a b c13. (2018 •深圳一模)下列四个函数中：®y= ②y= 1 og 2(x+1):③尸一匚士;解析 ，7_|_ 1玄一1>0,整理得2a-12-a>0. f b答案④尸在(0, +®)上为减函数的是 ___________________ ・(填上所有正确选项的序号)答案①④解析当XW (0, +8)口寸：①x增大时，心增大,一心减小，即y减小，・•・函数y=—心在(0, +8)上为减函数；②/增大时，/+1增大，log2(x+1)增大，即y增大，・：函数y=log2(x+1)在(0, +°°)上为增函数；③/增大时，卄1增大，占减小，—占增大，即y增大，・°・函数y=—计了在(0, +8)上为增函数；④/增大时，/一1增大，减小，即y减小，・・・函数尸(少7在(0, +8)上为减函数.・••在(0, + 8)上为减函数的是①④.14.(2018 •济南模拟)己知呂(方=站+1, f(力=2"—1, 0WxW2,'。

§2.1 函数及其表示考情考向分析 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有填空题，又有解答题，中档偏上难度．1．函数与映射2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域；对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 知识拓展简单函数定义域的类型(1)当f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)当f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)当f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( √ )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )题组二 教材改编2．[P83例1]函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________． 答案 [－3,6)3．[P30练习T2]函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为______． 答案 2解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2；当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4， 即－x 20＝4，无解．所以x 0＝2.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，－x 2＋3，x <0，若f (a )＝2，则a 的值为________．答案 －1或2解析 当a ≥0时，2a －2＝2，解得a ＝2； 当a <0时，－a 2＋3＝2，解得a ＝－1. 综上，a 的值为－1或2.6．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.题型一 函数的概念1．已知A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，a ∈N *，k ∈N *，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝3x ＋1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k 的值． 解 由对应法则知，1→4,2→7,3→10，k →3k ＋1. 由a 4≠10，故a 2＋3a ＝10，解得a ＝2或a ＝－5(舍去)，所以a 4＝16.于是3k ＋1＝16，所以k ＝5. 2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1表示同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应法则均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确； 对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1，故③不正确． 综上可知，正确的判断是②.思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．题型二 函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域典例 (1)函数f (x )＝1x ln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________．答案 [－4,0)∪(0,1) 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2＞0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x ＜0或0＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－1,1)∪(1,2 017]解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0， 解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]，”则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－2,1)∪(1,2 016]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]． 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1， 则－2≤x ≤2 016且x ≠1.所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]． 命题点2 已知函数的定义域求参数范围典例 (1)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫0，34 解析 要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立， ①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，由Δ＝(4m )2－4m ×3＜0， 得0＜m ＜34.由①②得0≤m ＜34.(2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍． (2)求抽象函数的定义域①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域． (3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 跟踪训练 (1)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是________．答案 (－1,0)∪(0,3] 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ≤3且x ≠0，∴函数的定义域是(－1,0)∪(0,3]．(2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． (3)若函数y ＝ax ＋1ax 2－4ax ＋2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫0，12 解析 由ax 2－4ax ＋2>0恒成立，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(－4a )2－4×a ×2<0， 解得0≤a <12.题型三 求函数解析式1．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋x －2，则f (x )＝________.答案 x 2－2(x ≥2或x ≤－2) 解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 又| x ＋1x| ≥2，∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 答案23x ＋13(x ＞0) 解析 在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1. 由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值典例 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值为________． 答案 1解析 f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫－43＋1 ＝cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－4π3＋1＝1. 命题点2 分段函数与方程、不等式问题典例 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.答案 －74解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，若a ≤1，则2a －1－2＝－3，即有2a －1＝－1<0，方程无解；若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＝7， 则f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝x 2－2x －5，若f (g (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]∪[0,22－1] 解析 ∵g (x )为定义在R 上的奇函数，∴g (0)＝0，若x >0，则－x <0，g (－x )＝x 2＋2x －5， ∵g (－x )＝－g (x )，∴g (x )＝－x 2－2x ＋5，x >0， 由题意，知f (－2)＝2，∴f (g (a ))≤2即为f (g (a ))≤f (－2)．又f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，∴g (a )≥－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2－2a －5≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a 2－2a ＋5≥－2或a ＝0， ∴a ≤－1或0≤a ≤22－1.思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的取值集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x ＝122-.故x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________．(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析 (1)令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ， 当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，得g ′(t )>0， ∴g (t )在(－∞，1)上为增函数， ∴g (t )<g (1)＝0，∴3t －1＝2t 无解． 当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，得当a ＜1时，有3a －1≥1，解得a ≥23，∴23≤a ＜1；当a ≥1时，有2a ≥1，解得a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.(2)当x ＞12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋122x -＞2x ＞2＞1； 当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1＝2x ＋x ＋12＞2x ＞1； 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1＝2x ＋32， ∴由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1，得2x ＋32＞1，即x ＞－14，即－14＜x ≤0. 综上，x ∈⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案 (1)⎣⎡⎭⎫23，＋∞ (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞1．(2017·苏州中学月考)从集合A 到集合B 的映射f ：x →x 2＋1，若A ＝{－2，－1,0,1,2}，则B 中至少有________个元素． 答案 3解析 根据映射的定义，可得x ＝±2→y ＝5，x ＝±1→y ＝2，x ＝0→y ＝1， 故集合B 中至少有3个元素．2．(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3,1]解析 要使原函数有意义，需且仅需3－2x －x 2≥0.解得－3≤x ≤1.故函数定义域为[－3,1]． 3．(2017·靖江中学调研)直线x ＝a 和函数y ＝x 2＋x －1的图象公共点的个数为________． 答案 1解析 ∵函数y ＝x 2＋x －1的定义域为R ，∴根据函数的概念可得直线x ＝a 和函数y ＝x 2＋x －1的图象公共点的个数为1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝________. 答案 9解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－x ＋1(x ≠1)解析 f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是________．答案 ①解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项①符合条件．7．(2017·山东改编)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝________. 答案 6解析 由当x ≥1时f (x )＝2(x －1)是增函数可知，若a ≥1，则f (a )≠f (a ＋1)，所以0＜a ＜1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6. 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－1，12 解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．10．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )的定义域是__________．答案 (2,8]解析 要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________________．答案 (－∞，8]解析 当x <1时，由e x －1≤2，得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8. 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0.当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，3]解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3，解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－3，解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]．14．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________. 答案 7解析 由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7.15．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )＋y (y －2x ＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析 令x ＝0，y ＝－x ，得f (x )＝f (0)＋x 2－x .把x ＝－1代入上式，得f (0)＝f (－1)－2＝1，从而有f (x )＝x 2－x ＋1.16．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1)上的解析式为f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式． 解 (1)由题意知，f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1)时，f (x )＝x 2；当x ∈[1,2)时，x －1∈[0,1)，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)， f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2； 当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)， f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2] ＝4(x ＋2)2.令x ＝0，则f (0)＝－2f (1)，令x ＝1， 则f (1)＝－2f (2)，∴f (0)＝4f (2)． 又f (0)＝0，∴f (2)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1)，－12(x －1)2，x ∈[1，2)，0，x ＝2.。

第二章 基本初等函数、导数的应用
第6讲 指数与指数函数
1．根式的概念 如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时，正 数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数；当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数．
2．幂的有关概念
m
(1)正分数指数幂：a n ＝
——函数与不等式交汇探索
设 a＞0，b＞0，则下列说法一定正确的序号是 __①______． ①若 2a＋2a＝2b＋3b，则 a＞b； ②若 2a＋2a＝2b＋3b，则 a＜b； ③若 2a－2a＝2b－3b，则 a＞b； ④若 2a－2a＝2b－3b，则 a＜b.
【解析】 因为 a>0，b>0， 所以 2a＋2a＝2b＋3b>2b＋2b. 令 f(x)＝2x＋2x(x>0)， 则函数 f(x)为单调增函数． 所以 a>b.
a≠1，函数 1
f(x)＝42xa， －x，x≥x＜0，0，
若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的值为____2________．
(3)(2018·苏北四市高三质量检测)设 f(x)是定义在 R 上的奇函
数，当 x＞0 时，f(x)＝2x－3，则不等式 f(x)≤－5 的解集为
_(－___∞__，__－__3_]___．
【解析】 (1)因为 a0＝1， 所以该函数的图象过点(2 018，2 019)． (2)当 a＜1 时，41－a＝21，所以 a＝12；当 a＞1 时，代入不成 立．
(3)因为当 x＞0 时，f(x)＝2x－3， 所以当 x＜0，即－x＞0 时，f(－x)＝2－x－3，因为函数 f(x) 是 定义在 R 上的奇函数， 所以 f(－x)＝2－x－3＝－f(x)，所以 f(x)＝－2－x＋3. 当 x＞0 时，不等式 f(x)≤－5 等价为 2x－3≤－5， 即 2x≤－2，无解，故 x＞0 时，不等式不成立； 当 x＜0 时，不等式 f(x)≤－5 等价为－2－x＋3≤－5， 即 2－x≥8， 得 x≤－3； 当 x＝0 时，f(0)＝0，不等式 f(x)≤－5 不成立． 综上，不等式 f(x)≤－5 的解集为(－∞，－3]．