３４ 中学数学 ２００２年第８期
充分条件与必要条件
２１１７００ 江苏省盱眙县中学 周以宏４３２７３１ 湖北省广水市四中 黄立俊
［复习说明］
数学是逻辑性很强的学科，数学离不开
各种等价转化与非等价转化，这些都以充分
或必要条件及有关概念为基础．因此，掌握充
分条件，必要条件，充要条件的本质含义，并
灵活运用它们进行推理判断是至关重要的．
充分条件与必要条件是对命题进行研究的重
要途径，因而这部分知识是以往每年高考的
必考内容，试题的取材可涉及中学数学内容
的各个单元。着重考查逻辑推理能力．
［内容提要］
１．从逻辑关系上判断条件
条件Ｐ与结论ｑ 结论
的关系
户是口成立的充分而 Ｐ ｑ，但ｑ Ｐ 不必要条件
Ｐ是ｑ成立的必要而 ｑ Ｐ，但Ｐ ｑ 不充分条件
Ｐ ｑ且ｑ Ｐ， Ｐ是ｑ成立的充分必
即Ｐ圆ｑ 要条件
Ｐ是ｑ的既不充分也 Ｐ ｑ，且ｑ Ｐ 不必要条件
，－ｙ｝． ２．从集合观点上理解条件
记Ａ一｛ Ｉ户（ ）成立｝，Ｂ一｛ Ｉｇ（ｚ）成
若Ａ Ｂ，则Ｐ是口的充分条件；若Ａ Ｂ，
则Ｐ是ｑ的充分而不必要条件．
若Ｂ Ａ，则Ｐ是ｑ的必要条件；若Ｂ ，
则Ｐ是ｑ的必要而不充分条件．
若Ａ＝Ｂ．则Ｐ、ｑ互为充要条件．
若 Ｂ且Ｂ ，则Ｐ与ｑ互为既不充分也
不必要条件．
３．从文字表述上释译条件
如对于充要条件，要熟悉它的同义词语
为“当且仅当”，“必须且只须”，“等价于”，“…
反过来也成立”，等等． ［范例精讲］
类型Ｉ 四类条件的判断
例１ 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是
乙的必要条件，丙是乙的充分而不必要条件．
那么（ ）．
（Ａ）丙是甲的充分而不必要条件
（Ｂ）丙是甲的必要而不充分条件
（Ｃ）丙是甲的充要条件 （Ｄ）丙既不是甲的充分条件，也不是甲的
必要条件
分析 由已知，甲ｅ乙，乙毒丙，故甲毒
丙，所以丙是甲的充分而不必要条件，选（Ａ）．
说明 在判断充分条件与必要条件时，
1 / 4高一上必修一第一章《集合与常用逻辑用语》知识点梳理
1.2.3 充分条件、必要条件
学习目标
1．理解充要条件的概念，并会判断和证明p是q的充要条件.
2．培养逻辑推理能力．
重难点
重点：掌握充要条件的概念和判断方法.
难点：能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明．
一、充分条件、必要条件
我们已经接触过很多形如“如果p，那么q”①的命题，例如：
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半；
（3）如果x>2，那么x>3；
（4）如果a>b且c>0，那么ac>bc.
在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论.若“如果p，那么q”是一个真
命题，则称由p可以推出q，记作
pq
读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”.
例如，上述例子中，（1）是一个真命题，即“两条直线都与第三条直线平行”可以推出“这两条直线也互相
平行”，这也可记作
两条直线都与第三条直线平行这两条直线也互相平行；
而（3）是一个假命题，即x>2推不出x>3，这也可记作
x>2⇏x>3.
①“如果p，那么q”也常常记为“如果p，则q”或“若p，则q”，【尝试与发现】
当pq时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当pq时，我们称p不是q的充分条件，q不
是p的必要条件.事实上，前述课前导读中的“充分”“必要”与这里的充分条件、必要条件表示的是类似的意思.
因此， “如果p，那么q”是真命题，
用类似的方法分析上述例子中的（2）（4），并将它们用符号表示出来.
2 / 4pq，
p是q的充分条件，
q是p的必要条件，
这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已.
例如，因为“如果x=-y，则x2=y2”是真命题，所以
x=-yx2=y2，
x=-y是x2=y2的充分条件，
x2=y2是x=-y的必要条件.
1
人教A版--选修2-1--第一章《常用逻辑用语》
1.2.1充分条件与必要条件
第八届全国高中青年数学教师优秀课观摩评比活动
2 2016年10月
1.2.1 充分条件与必要条件
安徽省淮南市第三中学 代银
一、教学内容解析：
1. 教学内容：
“充分条件与必要条件”是在pq时，对p与q之间关系的一种描述，是一个数学概念.“pq”与“p是q的充分条件”、“q是p的必要条件”之间是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示.通过对命题真假的判断，研究命题中p与q之间的关系，所以判断充分条件与必要条件的关键是分清条件与结论，再判断命题的真假.考虑到充分条件与必要条件的相对性，在判断上还需关注方向性.另外，充分条件与必要条件和集合知识的联系在丰富知识外延拓展的同时，从“形”上（韦恩图表示集合关系）帮助我们进一步理解充分条件与必要条件的内涵.
2. 知识地位：
“充分条件与必要条件”是高中人教A版《数学》选修2-1第一章《简单逻辑用语》第二节的内容.逻辑是研究思维规律的学科，逻辑用语在数学中具有重要的作用.学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用.而“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，在数学学科中大量的命题用它们来叙述.“充分条件与必要条件”是在前一节“命题及其关系”的基础产生的新知，也为后续“充要条件”的学习提供了保障.另外，本节课的学习可以对我们已经学习过的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习.
3. 思想方法：
充分条件与必要条件的知识学习过程中蕴含着数学发现中的观察、归纳、总结等方法，在知识的形成与运用中还体现了数学思维的合理性与严密性，以及数形结合的数学思想，这些都是数学的精髓.
充分条件与必要条件
“充分条件与必要条件”反思
《充分条件与必要条件》是一节原理规则课，与一般的新知识教授课不同
之处在于，它不需要通过一系列的探究，得出相应的知识内容。所以在本堂
课的教学设计中，知识概念的得到是通过直接给出的方式。但看似简单的定
义，在学生理解上确是显得不那幺简单，几乎所有学生对这一概念表述的认
知存在漏洞。笔者在如何突破这一难点上作了较多精细的准备，在整堂课中
也呈现出几个成功之处，同时结合自身存在的一些问题得到了以下几点反
思： 1.巧用方法突破难点
本堂课的难点所在是对“必要条件”的理解，而在突破这一难点的过程中，
笔者设计了如下几个环节，达到了较好的教学效果。 (1)发挥教材功能
教材中的概念具有较强的抽象性、概括性的“学术形态”知识呈现出来，在
教学中教师须钻研透教材，吃透教材中的概念,并将其转化为易于学生理解“教育形态”知识，挖掘、开发出其潜在教学功能。在必要条件的教学过程
中，笔者观察到教材方框中关于是的必要条件的原因表述，并充分利用这一
内容通过要求学生结合其他例子类比表述，使学生对条件的“必要性”进行认
知。 (2)引导认知冲突
在对“必要条件”有了一定理解后，笔者通过学生举例，并针对其中一个例
子：，进行分析，与学生对充分条件必要条件的认知发生冲突，引起学生的
思考。同时在教师的引导下，学生通过自主探究，对条件的必要性有了进一
