《中心对称》第1课时 教学设计【初中数学人教版九年级上册】

第二十三章旋转23.2 中心对称中心对称教学设计一、教学目标1．从旋转的角度观察两个图形之间的关系，类比旋转得出中心对称的定义，渗透从一般到特殊的研究问题的方法．2．通过操作、观察、归纳中心对称的性质，经历由具体到抽象认识问题的过程．会画一个简单几何图形关于某一点对称的图形，提高画图能力．二、教学重点及难点重点：中心对称的概念和性质．难点：中心对称的性质的探索．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、量角器．四、相关资源动画、微课.五、教学过程【创设情境，引入新知】1．如图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？答：图中的一个图案旋转后两个图案互相重合．2．如图，线段AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，把△OCD绕点O旋转180º，你有什么发现？答：旋转后△OCD也与△OAB重合．此图片是动画缩略图，本动画给出关于点o 中心对称的两个三角形，通过顺时针旋转、逆时针旋转等操作加深对中心对称的理解，适用于中心对称的教学.若需使用，请插入【数学探究】中心对称.师生活动：教师用多媒体展示图形，演示旋转的过程，学生观察后回答设计意图：让学生通过观察图形，感知中心对称的特征，为得出中心对称的概念作铺垫，从旋转变化的角度让学生从几何图形中体会中心对称是特殊的旋转．你能说说上述两个旋转的共同点吗？师生活动：学生独立思考后进行交流，然后学生代表发言．教师根据学生回答情况进行评价，如果学生有困难，可以适时追问．师生共同归纳．追问1：图形中旋转中心是哪个点？ 追问2：旋转的角度是多少？ 追问3：两个图形的关系是什么？ 对称中心的概念把一个图形绕某一点旋转180º，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点．设计意图：进一步明确中心对称的共同点，发现两个图形成中心对称的特征，进而概括出中心对称的概念．【合作探究，形成知识】探究 如图，三角尺的一个顶点是O ，以点O 为中心旋转三角尺，画关于点O 对称的两个三角形；第一步：画出△ABC ；第二步：以三角尺的一个顶点O 为中心，把三角尺旋转180°，画出△； 第三步：移开三角尺．这样画出的△ABC 与△关于点O 对称．分别连接．点O 在线段上吗？如果在，在什么位置？△ABC 与△有什么关系？'''A B C '''A B C '''AA BB CC 、、'AA '''A BC点O 在线段上；点O 在线段的中点上；△ABC ≌△ 猜测： 中心对称的性质（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；（2）中心对称的两个图形是全等图形．师生活动：学生思考讨论并发布自己的看法，师生共同归纳得出中心对称的性质．此图片是视频缩略图，本视频资源讲解了中心对称的概念及其性质。

《中心对称》（第1课时）教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解中心对称，对称中心，对称点等概念；掌握中心对称的性质；应用中心对称的概念及性质，解决实际问题。

2.过程与方法目标经历观察、操作、发现、探究中心对称图形的有关概念和基本性质的过程，培养学生观察能力和动手操作能力；在探索的过程中培养学生有条理地表达及与人交流合作的能力。

3.情感、态度与价值观目标欣赏数学的美学价值，树立学好数学的信心；感受对称、匀称、均衡的美感，积累一定的审美体验；乐于思考，敢于质疑，言必有据，阳光展示,体验成功的乐趣。

二、教学重点与难点教学重点：掌握中心对称的概念及性质教学难点：准确理解概念及性质，利用其解决实际问题。

三、教学策略结合本节课的教学内容，以及学生的心理特点和认知水平，主要采用启发探究和直观演示的教学策略，创设情境启导学生观察、探索、抽象、分析中心对称的概念，揭示刻画中心对称的性质。

四、教学过程如图，已知四边形ABCD和点AB上，画出四边形ABCD八、板书设计从学生的技能和情感、态度与价值观来看，通过半个学期的培养，已由原来的被动式接受学习向主动探究式学习转变，但由于时间和经验的限制，思维还具有局限性，方法也不够灵活。

通过情境导入，巧设疑问，激发学生的学习积极性、主动性、能动性。

通过小组合作交流、兵教兵、兵强兵、生主导，师主导、师生共导、生评价、师评价、小组合作评价等教学形式手段，激发学生学习数学的内驱力，引发学生积极的数学思考，获得基本的数学活动技能。

使学生以“知识与技能”为基础，以“过程与方法”为中介，以“情感、态度、价值观”为灵魂，建构自信、互助的学习环境，最大限度地发挥学生主动学习、积极参与教学的热情和能量。

从学生的思维品质和思想方法上来看，八年级学生虽然对已有知识具备直接运用的能力，但数学思想方法具有局限性，尚缺乏类比、归纳等能力，因此在探究中心对称的性质及作图中存在一定的困难。

通过有效的思维对话，引发学生积极的数学思考。

在当前新课程标准指导下，本节课的教学旨在让学生通过探索中心对称的性质，增强对几何变换的理解和应用能力，同时培养他们的空间观念和逻辑推理能力。因此，在教学过程中，教师应注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主发现并掌握中心对称的性质，能运用中心对称解决一些简单的实际问题。
根据学生的实际情况，九年级的学生已经具备了一定的几何学习基础，对几何语言和图形变换有了一定的认识，但如何将已有的知识体系与中心对称的概念有效结合，如何在教学中兼顾知识的系统性和学生个体差异，是本节课教学设计中需要关注的问题。因此，一个优秀的教学案例应当充分调动学生的积极性，设计富有启发性和层次性的教学活动，让学生在轻松愉快的氛围中掌握中心对称的知识，发展他们的数学思维。
2.学生通过观察、操作、思考等活动，培养空间想象能力和逻辑推理能力。
3.学生能够在实际问题中运用中心对称的知识，提高解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够积极参与课堂活动，对中心对称的知识产生兴趣，树立自信心。
2.学生在探究中心对称的过程中，培养勇于探索、坚持不懈的精神，增强合作意识。
（四）总结归纳
1.教师可以引导学生进行总结归纳，让学生将所学到的中心对称的性质进行梳理和总结。例如，可以提出一个问题：“你们觉得中心对称图形具有哪些重要的性质？请进行总结归纳。”
2.教师可以对学生的总结归纳进行点评和补充，确保学生能够全面理解和掌握中心对称的性质。
（五）作业小结
1.教师可以布置一些与中心对称相关的作业，让学生巩固所学知识。例如，可以设计一些练习题，让学生运用中心对称的知识进行解答。
2.教师可以引导学生进行小组合作探究，让学生通过合作完成一些实际问题或者任务。例如，可以设计一个小组任务，要求每个小组设计一个中心对称的图形，并解释其中心对称的性质。

23.2中心对称23.2.1中心对称(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．了解中心对称、对称中心的概念．2．掌握中心对称图形的性质．3．能根据中心对称的性质，作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形．【过程与方法】通过研究旋转及其性质，转化到一类特殊的旋转——中心对称及其性质．【情感态度与价值观】通过对旋转及其性质的了解，体会“中心对称”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】中心对称的概念及性质．【教学难点】中心对称性质的推导及理解．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P64～P66的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．2．两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．3．对称中心的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．4．如图，四边形ABCD绕点D旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．(1)这两个图形是中心对称图形吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由；(2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心对称的对称点是哪些点．解：如图，(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是点D.(2)点A、B、C、D关于中心D的对称点分别是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．环节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生对学)【例1】如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABC成中心对称的三角形．【互动探索】(引发学生思考)作出某个图形关于某个点成中心对称图形的关键是什么？按照怎样的步骤作图？【解答】(1)延长AD，且使AD＝DA′.因为点C关于点D的中心对称点是B(C′)，点B 关于中心点D的对称点为C(B′)；(2)连结A′B′、A′C′.则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示．【互动总结】(学生总结，老师点评)作一个图形关于某点的中心对称图形，关键是正确作出特殊点(关键点)的对称点．【活动2】巩固练习(学生独学)1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有(C)A．1组B．2组C．3组D．4组2．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是(A)A．O1B．O2C．O3D．O43．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是(D)A．AO＝BOB．BO＝EOC．点A关于点O的对称点是点DD．点D在BO的延长线上4．如图，△ABC和△DEF是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心．解：如图所示，点O即为所求作的对称中心．【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】如图，D是△ABC边BC的中点，连结AD并延长到点E，使DE＝AD，连结BE.(1)哪两个图形成中心对称？(2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；(3)已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．【互动探索】(引发学生思考)(1)两个图形成中心对称，满足什么样的条件？(2)成中心对称的两个图形有什么性质？(3)要求线段的取值范围，一般是根据三角形三边关系解题．【解答】(1)图中△ADC 和△EDB 成中心对称．(2)∵△ADC 和△EDB 成中心对称，△ADC 的面积为4，∴△EDB 的面积也为4. ∵D 为BC 的中点，∴△ABD 的面积也为4， ∴△ABE 的面积为8.(3)连结CE .在△ABD 和△ECD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DE ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ECD (SAS)，∴AB ＝CE . ∵△ACE 中，AB －AC ＜AE ＜AC ＋AB ， ∴2＜AE ＜8，∵AD ＝DE ，∴1＜AD ＜4.【互动总结】(1)直接利用中心对称的定义写出答案即可；(2)根据成中心对称的两个图形全等确定△BDE 的面积，根据等底同高确定△ABD 的面积，从而确定△ABE 的面积；(3)可证△ABD ≌△ECD ，可得AB ＝CE ，在△ACE 中，根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围，即可解题．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)中心对称⎩⎪⎨⎪⎧中心对称和对称中心的概念中心对称的两条基本性质⎩⎪⎨⎪⎧ 中心对称的两个图形对称点所连所段都经过对称中心，并且被对称中心所平分成中心对称的两个图形是全等图形请完成本课时对应练习！23.2.2 中心对称图形(第2课时)一、基本目标 【知识与技能】1．掌握中心对称图形的定义．2．能准确判断某图形是否为中心对称图形． 【过程与方法】通过研究旋转及其性质，转化到中心对称图形的判断及其性质． 【情感态度与价值观】通过对中心对称图形的了解，能够判断某个图形是否为中心对称图形，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标 【教学重点】 中心对称图形的判断． 【教学难点】两个图形成中心对称和中心对称图形的关系，以及中心对称图形的判定．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P66～P67的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．把一个图形绕着某一个点旋转180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．中心对称图形具有匀称、美观、平稳的特点．2．将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后得到右图，你知道旋转了哪一张扑克吗？议一议．略环节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】下列图形中是中心对称图形的是()【互动探索】(引发学生思考)中心对称图形的特点是什么？【分析】A.是中心对称图形，此选项正确；B.不是中心对称图形，此选项错误；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项错误；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项错误．【答案】A【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个图形是不是中心对称图形，就是看是否存在一个点，把图形绕着它旋转180°后能与原图形完全重合．【活动2】巩固练习(学生独学)1．下列图形中，不是中心对称图形的是(B)2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(C)A．等腰三角形B．平行四边形C．矩形D．等腰梯形3．顺次连结正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图所示的图形，该图形(B)A．既是轴对称图形也是中心对称图形B．是轴对称图形但不是中心对称图形C．是中心对称图形但不是轴对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形4．如图，下列汉字或字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(B) A．1个B．2个C．3个D．4个【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．(1)如图1，直线l经过▱ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB______S四边形DEFC(填“＞”“＜”或“＝”)；(2)如图2，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；(3)八个大小相同的正方形如图3所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分分割)．【互动探索】(引发学生思考)(1)要判断两个四边形面积的大小，根据知识背景即可求解；(2)先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；(3)先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．【解答】(1)＝(2)如图4所示．(3)如图5所示．图4图5【互动总结】(1)直接根据知识背景即可求解；(2)先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；(3)先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)中心对称图形⎩⎪⎨⎪⎧中心对称图形的有关概念应用中心对称图形解决有关问题请完成本课时对应练习！23.2.3 关于原点对称的点的坐标(第3课时)一、基本目标 【知识与技能】1．理解点P 与点P ′关于原点对称时它们的横、纵坐标的关系． 2．掌握点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )的运用． 【过程与方法】通过研究两个点关于原点对称时它们的横、纵坐标的关系，掌握其坐标变化的规律． 【情感态度与价值观】通过对关于原点对称的点的坐标的探索，掌握点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )的运用，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标 【教学重点】关于原点对称的点的坐标的关系． 【教学难点】关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P68～P69的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．关于原点对称的两个点：(1)它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？(2)坐标与坐标之间的符号又有什么特点？解：(1)横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．(2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点P′(－x，－y)．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为P′(－x，－y)．2．点P(－4，－3)关于原点对称的点的坐标是(A)A．(4,3) B．(－4,3)C．(－4，－3) D．(4，－3)环节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生对学)【例1】如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1并写出A1、B1、C1的坐标．【互动探索】(引发学生思考)找关于原点对称的点，本质上是对称中心为原点的中心对称作图，故也可以采用中心对称作图的方法确定对称点．【解答】如图所示：根据图形可知：A 1(2，－2)、B 1(3,0)、C 1(1,1)．【互动总结】(学生总结，老师点评)在直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点是：横坐标、纵坐标都互为相反数，根据点的坐标就可确定原图形的顶点的对应点，进而即可作出所求图形．【活动2】 巩固练习(学生独学) 1．点P (3,2)关于原点对称的点在( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知点P (a ＋1,2a －3)关于原点的对称点在第二象限，则a 的取值范围是( B ) A ．a ＜－1 B ．－1＜a ＜32C ．－32＜a ＜1D ．a ＞323．若点A (a －1，－4)与点B (－3,1－b )关于原点对称，则(a ＋b )2018的值为1. 4．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1,1)、B (4,2)、C (3,4)． (1)请画出△ABC 向左平移5个单位长度后得到的△A 1B 1C 1； (2)请画出△ABC 关于原点对称的△A 2B 2C 2；(3)在x 轴上求作一点P ，使△P AB 周长最小，请画出△P AB ，并直接写出点P 的坐标．解：(1)点A、B、C向左平移5个单位后的坐标分别为(－4,1)，(－1,2)，(－2,4)，连结这三个点，得△A1B1C1，如图所示．(2)如图，点A、B、C关于原点的对称点的坐标分别为(－1，－1)，(－4，－2)，(－3，－4)，连结这三个点，得△A2B2C2.(3)如图，P(2,0)．作点A关于x轴的对称点A′，连结A′B交x轴于点P，则点P即为所求作的点．【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下：(1)分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标；(2)从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来；(3)根据你发现的特征，解答下列问题：若△ABC内有一个点M(2a＋5,1－3b)经过变换后，在△PRQ 内的坐标称为N (－3－a ，－b ＋3)，求关于x 的方程bx －32－2＋ax3的解．【互动探索】(引发学生思考)(1)要求点的坐标，结合直角坐标系可得出各点的坐标；(2)根据(1)的坐标特征可得△ABC 与△PQR 关于原点对称；(3)要求解题中的这个一元一次方程，先根据关于原点对称的点的坐标，横坐标、纵坐标互为相反数可得出a 、b 的值，代入解方程即可得出答案．【解答】(1)点A 的坐标为(4,3)，点P 的坐标为(－4，－3)；点B 的坐标为(3,1)，点Q 的坐标为(－3，－1)；点C 的坐标为(1,2)，点R 的坐标为(－1，－2)．(2)△ABC 与△PQR 关于原点对称． (3)由题意，得2a ＋5＝3＋a,1－3b ＝b －3. 解得a ＝－2，b ＝1.则方程可化为x ＋32－2－2x 3＝1，解得x ＝17.【互动总结】(学生总结，老师点评)关于原点对称的点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P (x ，y )关于原点的对称点P ′(－x ，－y )，及利用这些特点解决一些实际问题．请完成本课时对应练习！。

第二十三章旋转23.2 中心对称第一课时中心对称1 教学目标1.1 知识与技能：了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念。

通过具体实例认识两个图形关于某一点成中心对称的本质：就是一个图形绕一点旋转180°而成。

作出中心对称的图形。

1.2过程与方法：利用中心对称的特征作出某一图形成中心对称的图形，确定对称中心的位置。

培养学生独立思考、自学能力。

培养学生通过体验、感受中心对称的概念和性质，培养学生的概括能力和动手能力。

通过对中心对称概念的概括和性质的探索和应用培养学生的探索能力和空间想象能力。

1.3 情感态度与价值观：经历对日常生活中与中心对称有关的图形进行观察、分析、欣赏、动手操作、画图等过程，发展审美能力，增强对图形的欣赏意识。

从图形变化过程中，树立正确的辩证唯物主义观点。

认识几何图形的对称美，培养学生热爱数学，热爱生活。

2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点利用中心对称、对称中心、关于中心的对称点的概念解决一些问题。

从一般旋转中导入中心对称。

2.2 教学难点中心对称的性质及初步应用。

中心对称与旋转之间的关系。

3 专家建议本课学生自己动手操作中容易发现图形绕固定一点旋转后与自身重合，但却不容易发现图形中的两部分重合，建议利用信息技术，变静为动，化难为易，揭示知识的内在变化，让学生能动静结合，全面准确的理解中心对称图形，突破了难点。

4 教学方法实验探究——归纳总结——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板、量角器等。

6 教学过程6.1 引入新课课件出示等边三角形、等腰梯形、圆O旋转动画【师】请同学们回答：（1）将等边三角形ABC 绕中心 O 逆时针旋转180°，这两个图形有怎样的位置关系？【生】轴对称（2）将等腰梯形ABCD绕中心O逆时针旋转180°，这两个图形有怎样的位置关系？【生】轴对称（3）将圆O 绕圆心 O 顺时针旋转180°，这两个图形有怎样的位置关系？【生】重合今天我们就来学习这种特殊的旋转由此导入新课，【板书】第二十三章旋转23.2 中心对称第一课时中心对称6.2探索新知[1]中心对称有关概念【师】（课件出示两幅图片）观察两幅图请同学们回答:(1)把其中一个图案绕点O旋转180°,你有什么发现?(2)线段AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.把△OCD绕点O旋转180°,你有什么发现?【生】重合【PPT动画演示】图片旋转动画，【师】观察:C.A.E三点的位置关系怎样?线段AC.AE的大小关系呢?【生】在同一条直线上相等归纳得出中心对称有关概念【板书/PPT】把一个图形绕着某一个点旋转180°，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心。

课题：23.2.1中心对称一、教学目标1.知道中心对称的意义，知道什么是对称中心和对称点.2.通过观察得出中心对称的两个性质，会利用性质画出对称图形.二、教学重点和难点1.重点：中心对称的概念和性质.2.难点：中心对称的性质.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.如图，以点O 为中心，把△OAB 旋转180°.（本节课时间紧，建议1题让生课前完成）（二）创设情境，导入新课（师出示下图）师：（指准图）以O 为中心，把△OAB 旋转180°得到△OA ′B ′.师：（指准图）请大家观察这两个三角形（稍停），从图上看可以感觉到这两个三角形有某种对称性.这是一种什么对称？（稍停）这种对称不是我们以前学过的轴对称，而是一种新的对称，叫中心对称.本节课我们就来学习中心对称（板书课题：23.2.1中心对称）.（三）尝试指导，讲授新课师：（指准图）中心对称有什么特点？我们来看这个图.如果把△OA ′B ′绕着点O 旋转180°，你发现会有什么结果？生：△OAB 与△OA ′B ′重合.（多让几名同学回答）师：对！（指准图）如果我们把△OA ′B ′绕着点O 旋转180°，这两个三角形能够重合.A /B /O B A A B O这就是中心对称的特点，根据这一特点，我们可以给中心对称下这样的定义.师：（指准图）把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形中心对称，或者说这两个图形关于这个点对称.（师出示板书：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形中心对称，或者说这两个图形关于这个点对称）师：（指图）请大家结合这个图，把中心对称的概念默读几遍.（生默读）师：（指准图）在中心对称中，旋转中心O叫做对称中心（板书：点O是对称中心），对应点A与A′叫做对称点（板书：点A与A′叫做对称点），对应点B与B′也是对称点，对称点还有很多.师：知道了中心对称的概念，下面我们来探索中心对称的性质.师：我们知道，中心对称的两个图形经过旋转能够重合，这说明中心对称的两个图形是全等图形.（师出示板书：中心对称的两个图形是全等图形）师：（指板书）这就是中心对称的第一个性质，大家把这个性质一起来读一遍.（生读）师：下面我们来看中心对称的第二个性质.师：（指准图）点A与A′是对称点，点O是对称中心，大家看一看对称点与对称中心有什么关系？（让生观察一会儿再叫学生）生：……（多让几名同学发表看法，鼓励学生用自己的语言表述）师：（指准图）点A与点A′是对称点，点O是对称中心，看到没有？点A与A′所连线段经过对称中心O，而且被对称中心所平分；点B与点B′也是对称点，看到没有？点B 与点B′所连线段也经过对称中心O，而且也被对称中心O所平分.其它对称点也一样，于是我们得出这样一个结论.（师出示板书：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分）师：（指板书）大家一起来把中心对称的第二个性质读一遍.（生读）师：第二个性质听起来好像有点复杂，实际上它的意思很简单，它的意思是说，（指准图）对称点连线的中点恰好就是对称中心.大家看看图，是不是这样？（让生看图）师：（指板书）性质二是一个有用的结论，利用它可以很方便地画出中心对称图形，下面我们来看一个例题.（师出示例题）例如图，以点O为对称中心，画出与四边形ABCD关于点O对称的四边形A′B′C′D′.师：（指准图）这个题目要我们做什么？要我们画出四边形ABCD 关于点O 对称的四边形A ′B ′C ′D ′.师：怎么画呢？（稍停）关键是要找到点A 的对称点A ′，点B 的对称点B ′，点C 的对称点C ′，点D 的对称点D ′.师：怎么找点A 的对称点A ′？因为根据性质二，（指准图）对称点A ，A ′的连线的中点恰好是对称中心O ，所以我们连结AO 并延长到A ′，使OA ′=OA （边讲边画），点A ′就是点A 的对称点.师：同样，连结BO 并延长到B ′，使OB ′=OB （边讲边画），点B ′就是点B 的对称点. 师：同样画点C 的对称点C ′（边讲边画）；同样画点D 的对称点D ′（边讲边画）. 师：找到了对称点，接下来依次连结A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′，四边形A ′B ′C ′D ′就是我们要画的四边形.（画好的图形如下所示）师：利用中心对称的性质，下面请大家自己来画几个对称图形.（四）试探练习，回授调节 2.如图，以点O 为中心，画出点P 关于点O 的对称点P ′..OD C A B D /C /A /B /.O DCA B .O P.3.如图，以点O 为中心，画出与线段AB 关于点O 对称的线段A ′B ′.4.如图，以点O 为中心，画出与△ABC 关于点O 对称的△A ′B ′C ′.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？（指准板书）我们学习了中心对称.结合这个图，请大家把中心对称的概念和性质再看一遍.（生默读）（作业：P 64练习2.P 67习题1.）四、板书设计 中心对称课题：23.2.2中心对称图形（第1课时）AB .OO .C A B一、教学目标1.知道什么是中心对称图形，会判断一个图形是不是中心对称图形.2.知道中心对称和中心对称图形的区别和联系.二、教学重点和难点1.重点：中心对称图形.2.难点：中心对称图形的判断.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心 ，这个点叫做 中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的 点.(2)中心对称的性质有：中心对称的两个图形是 图形；中心对称的两个图形，对称点所连线段都 对称中心，而且被对称中心所 .2.画出下面图形关于点O 对称的图形：（二）尝试指导，讲授新课（师出示下图）师：（指准图）这是一条线段，点O 是它的中点（边讲边标点O ）.现在我们把这条线段绕着点O 旋转180°，你想象会发生什么情况？生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准图）线段绕着点O 旋转180°后，这个端点转到了这里，这个端点转到了这里，旋转后的图形与原来的图形恰好重合.师：我们再来看一个图形. O.（师出示下图）师：（指准图）这是一个平行四边形，点O是对角线的交点（边讲边画对角线并标点O）.现在我们把这个平行四边形绕着点O旋转180°，你想象会发生什么情况？（让生观察一会儿再叫学生）生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准图）平行四边形绕着点O旋转180°后，这个顶点转到了哪儿？（稍停）这个顶点转到了这里；这个顶点转到了哪儿？（稍停）这个顶点转到了这里；还有这个顶点转到了这里，这个顶点转到了这里.可见，旋转后的图形与原来的图形恰好重合.师：（指准图）线段也好，平行四边形也好，它们有一个共同的特性，什么特性？就是把图形绕着某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合.这样的图形我们把它叫做中心对称图形.（师出示板书：把一个图形绕着某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）师：（指板书）请大家把中心对称图形概念一起来念一遍.（生读）师：（指准图）在中心对称图形中，旋转中心O叫做对称中心（板书：点O是对称中心）.师：下面我们利用概念来判断中心对称图形，请看例题.（师出示例题）例下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，在图中用点O标出对称中心.（先让生尝试，然后师利用概念解释，椭圆、长方形是中心对称图形）（三）试探练习，回授调节3.下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，在图中用点O标出对称中心.4.下列汽车标志中，哪些是中心对称图形？.（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？我们学习了中心对称图形.（板书课题：23.2.2中心对称图形）师：什么样的图形是中心对称图形？（指准平行四边形）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合.那么这个图形叫做中心对称图形.师：上节课我们学的是中心对称，这节课我们学的是中心对称图形，现在请同学们回答这样一个问题：中心对称与中心对称图形有什么区别？（让生想一会儿再叫学生）生：……（多让几名同学发表看法）师：中心对称是对两个图形说的，而中心对称图形是对一个图形说的.一个图形绕着中心旋转180°，能够与另一个图形重合，这是中心对称；一个图形绕着某一点旋转180°，能够与它本身重合，这是中心对称图形.所以中心对称与中心对称图形是有区别的.（作业：P68习题2.5.）四、板书设计中心对称图形课题：23.2.3关于原点对称的点的坐标（第1课时）一、教学目标1.探究点（x，y）关于原点对称点的坐标，会运用发现的规律作关于原点对称的图形.2.发展空间观念，渗透数形结合思想.二、教学重点和难点1.重点：关于原点对称点的坐标.2.难点：探究关于原点对称点的坐标.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.如图，(1)画出点A关于x轴的对称点A′；(2)画出点B关于x轴的对称点B′；(3)画出点C关于y轴的对称点C′；(4)画出点A关于y轴的对称点D′.2.填空：(1)点A(-2，1)关于x轴的对称点为A′( ， )；(2)点B(0，-3）关于x轴的对称点为B′( ， )；(3)点C(-4，-2）关于y轴的对称点为C′( ， )；(4)点D(5，0）关于y轴的对称点为D′( ， ).（二）创设情境，导入新课（师出示下面的板书）点P(x ，y)关于x 轴的对称点为P ′( ， )；点P(x ，y)关于y 轴的对称点为P ′( ， )； 点P(x ，y)关于原点的对称点为P ′( ， ).师：初二的时候，我们学过关于数轴的对称点，（指准图）点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P ′的坐标是什么？生：P ′(x ，-y).（几名学生回答后师填入答案）师：（指准图）点P （x ，y ）关于y 轴的对称点P ′的坐标是什么？生：P ′(-x ，y).（几名学生回答后师填入答案）师：这节课我们要学习关于原点的对称点.师：（画点P 关于原点的对称点P ′，并指准图）点P ′是什么？它是点P 关于原点的对称点.点P 的坐标是(x ，y)，那么点P ′的坐标是什么呢？请大家自己来探究这个问题.（三）尝试指导，讲授新课（师出示下面的探究题）3.探究题如图，A(3，2)，B(-3，2)，C(3，0)，(1)在直角坐标系中，画出点A ，B ，C 关于原点的对称点A ′，B ′，C ′；(2)点A(3，2)关于原点的对称点为A ′( ， )，点B(-3，2)关于原点的对称点为B ′( ， )，点C(3，0)关于原点的对称点为C ′( ， )； (3)你发现点P(x ，y)关于原点的对称点P ′( ， ).P(x,y).o xy（生做探究题，师巡视引导，要给学生充足的探究时间）师：下面我们一起来做探究题.师：（指准图）点A的坐标是(3，2)，点B的坐标是(-3，2)，点C的坐标是(3，0).第(1)小题要我们画出点A，B，C关于原点的对称点A′，B′，C′.师：（指准图）点A关于原点的对称点是这一点（边讲边画点A′），点B关于原点的对称点是这一点（边讲边画点B′），点C关于原点的对称点是这一点（边讲边画点C′）.师：（指准图）第(2)小题要我们写出点A′，B′，C′的坐标，点A′的坐标是(-3，-2)（边讲边填入答案），点B′的坐标是什么？生：（齐答）(-3，-2).（生答师填入答案）师：（指准图）点C′的坐标是什么？生：（齐答）(-3，0).（生答师填入答案）师：（指准(2)题）请大家比较对称点A与A′的坐标、B与B′的坐标、C与C′的坐标，（稍停）你发现点P(x，y)关于原点的对称点P′是什么？生：(-x，-y).（让几名学生回答后师填入答案）师：（指准(3)题）P(x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y)，也就是说，如果两个点关于原点对称，那么它们的坐标符号相反.师：下面请大家利用这个结论来做一个练习.（四）试探练习，回授调节4.填空：(1)点A(8，-6)关于原点的对称点是A′( ， )；(2)点B(0，5)关于原点的对称点是B′( ， )；(3)点C( ， )关于原点的对称点是C′(4，7)；(4)点D( ， )关于原点的对称点是D′(0，0).（五）尝试指导，讲授新课师：下面我们来看一道例题.（师出示例题）例如图，△ABC各顶点的坐标分别为A(-4，1)，B(-1，-1)，C(-3，2)，作出与△ABC师：（指准图）点A的坐标是(-4，1)，点B的坐标是(-1，-1)，点C的坐标是(-3，2)，这道题要我们做什么？要我们画出与△ABC关于原点对称的图形.怎么画呢？（稍停）关键是要画点A，B，C关于原点的对称点A′，B′，C′.师：点A的坐标是(-4，1)，所以关于原点对称点A′的坐标是什么？生：（齐答）(4，-1).（生答师画出A′）师：点B的坐标是(-1，-1)，所以对称点B′的坐标是什么？生：（齐答）(1，1).（生答师画出B′）师：同样可以画出点C′（边讲边画点C′）.师：（指准图）画好了点A′，B′，C′，再依次连接A′B′，B′C′，C′A′（边讲边画），△A′B′C′就是我们要画的与△ABC关于原点对称的图形.（六）试探练习，回授调节5.如图，四边形ABCD各顶点坐标分别为A(5，0)，B(-2，3)，C(-3，0)，D(-1，-5)，作出与四边形ABCD关于原点对称的图形.（七）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？我们学习了关于原点对称点的坐标.（板书课题：23.2.3关于原点对称的点的坐标）师：（指准板书）点P(x，y)关于x轴的对称点为P′(x，-y)，点P(x，y)关于y轴的对称点为P′(-x，y)，点P(x，y)关于原点的对称点为P′，P′的坐标是什么？生：（齐答）(-x，-y).（生答师填入答案）（作业：P67练习，P68习题4）四、板书设计关。

1.观察力：观察生活中的中心对称现象，发现中心对称的规律，培养观察能力。
2.思维能力：通过解决中心对称相关问题，运用逻辑推理、归纳总结等方法，提高思维能力。
3.团队合作能力：在小组讨论、实践活动中，学会与他人合作，共同解决问题。
（三）情感态度与价值观
1.激发学习兴趣：让学生在探索中心对称的过程中，体验数学的趣味性和挑战性，提高学习兴趣。
人教版九年级数学上册中心对称教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解中心对称的定义，掌握中心对称的基本性质，如对称点的性质、对称线段的性质等。
2.学会使用中心对称进行图形的折叠、剪裁和设计，提高空间想象能力和动手操作能力。
3.能够运用中心对称的性质解决实际问题，如平面图形的面积、周长等。
（二）过程与方法
五、作业布置
1.基础巩固题：完成课本习题中的基础题，如判断给定图形是否具有中心对称性质，找出对称中心，并说明理由。通过这类题目，巩固学生对中心对称基本概念的理解，提高他们的图形识别能力。
2.应用提高题：选取一些与生活实际相关的中心对称问题，如设计中心对称的装饰图案、计算对称图形的面积等。这类题目旨在培养学生运用中心对称知识解决实际问题的能力，激发他们的创新意识。
3.教学过程：
a.介绍中心对称的定义：如果一个图形可以通过一个点进行旋转180度后与原图重合，那么这个图形就具有中心对称性质，这个点叫做对称中心。
b.讲解中心对称的性质：对称中心将图形分为两部分，每部分关于对称中心对称；对称点之间的距离相等；对称线垂直于对称轴等。
c.演示中心对称的动态过程：使用几何画板展示中心对称图形的旋转过程，让学生更直观地理解中心对称的性质。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点

23.2 中心对称教学过程及时间 教 学 内 容 及 措 施教 师 活 动学 生 活 动课 堂 教 学 目 标教学要点（知识、能力、思想、情感）识 记 理解 应用 评价 掌握熟练掌握 知识性 思想性√√ √√ √√√ √ √√教学重点 中心对称图形的有关概念及其它们的运用． 教学难点区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．教法 启发引导探究 学法自主合作学习教学准备课件一、知识与技能了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．二、过程与方法培养学生的观察、分析、归纳能力，感受中心对称美，发展学生的作图能力．三、情感态度与价值观利用图形探索中心对称的性质，让学生体验到数学与生活是紧密联系的，体会到生活中的对称美，发展学生的美感．B AOB ACDOB ACDO（一）创设情境，导入新课二）合作交流，解读探究1．（老师口问）口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？（老师口述）：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．2．（学生活动）作图题．（1）作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．A O（2）作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．（2）延长AO使OC=AO，延长BO使OD=BO，连结CD则△COD为所求的，如图所示．从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA=•OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合．上面的（2）题，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四边形，如图所示．∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD∴AB=CD也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合．因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（学生活动）例1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形．老师点评：老师边提问学生边解答．（学生活动）例2：请说出中心对称图形具有什么特点？1、口答2、作图B ACDOBACE DOF三）应用迁移，巩固提高老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳．例3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形．分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC、•BD 必过点O，且AO=CO，BO=DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，•四边形ABCD是平行四边形．例4．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，•求折痕EF的长．分析：将矩形折叠，使C点和A点重合，折痕为EF，就是A、C两点关于O点对称，这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对称轴垂直平分，进而转化为中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面积．解：连接AF，∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF 垂直平分AC．∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四边形ABCD为矩形，∠B=90°，AB=CD=3，AD=•BC=4设CF=x，则AF=x，BF=4-x，由勾股定理，得AC2=BC2+AB2=52∴AC=5，OC=12AC=52∵AB2+BF2=AF2 ∴32+（4-x）=2=x2∴x=258四）总结反思，拓展升华∵∠FOC=90°∴OF2=FC2-OC2=（258）2-（52）2=（158）2 O F=158同理OE=158，即EF=OE+OF=154本节课应掌握：1．中心对称图形的有关概念；2．应用中心对称图形解决有关问题．作业A教材P74 综合运用5 P75 拓广探索8、9 层次B层次《节节高》第一阶C层次《节节高》第二阶教学反思。

23.2 中心对称(1)第一课时教学内容两个图形关于这个点对称或中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及其运用它们解决一些实际问题． 教学目标了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题． 复习运用旋转知识作图，•旋转角度变化，•设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题． 重难点、关键1．重点：利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题． 2．难点与关键：从一般旋转中导入中心对称． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入请同学们独立完成下题．如图，△ABC 绕点O 旋转，使点A 旋转到点D 处，画出旋转后的三角形，•并写出简要作法．老师点评：分析，本题已知旋转后点A 的对应点是点D ，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，•一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；•已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结OA 、OD ，则∠AOD 即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可． 作法：（1）连结OA 、OB 、OC 、OD ；（2）分别以OB 、OB 为边作∠BOM=∠CON=∠AOD ； （3）分别截取OE=OB ，OF=OC ； （4）依次连结DE 、EF 、FD ；即：△DEF 就是所求作的三角形，如图所示．二、探索新知问题：作出如图的两个图形绕点O 旋转180°的图案，并回答下列的问题： 1．以O 为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？2．各对称点绕O 旋转180°后，这三点是否在一条直线上？老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O 旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB 与△COD 重合．像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，•对称中心就是旋转中心．（3）旋转后的对应点，便是中心的对称点．解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD（2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图23-44所示．答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点．（2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．例2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD•成中心对称的三角形．分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C、B为一对的对应点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可．解：（1）延长AD，且使AD=DA′，因为C点关于D的中心对称点是B（C′），B•点关于中心D的对称点为C（B′）（2）连结A′B′、A′C′．则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示．三、巩固练习教材P74 练习2．四、应用拓展例3．如衅，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．（1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积．（2）若平移的距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y，写出y与x的关系式．分析：（1）∵BC=4，AC=4∴△ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1（2）∵平移的距离为x，∴BC′=4-x五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．中心对称及对称中心的概念；2．关于中心的对称点的概念及其运用．六、布置作业1．教材练习1．。

《中心对称》（第一课时）教学设计可以先画一个三角形旋转180度后的图形，给出定义，探究性质，最后跟轴对称对比学法：以学生动手实践操作、观察、合作交流为主要形式学习方法教学过程教学环节设计内容设计意图【活动一】创设情境、提出问题利用多媒体展示成轴对称的两个图形及轴对称图形的图片，引导学生从数学的角度观察这些图片。

学生会被精美的动画图片所吸引，对所学知识产生有意注意，引导学生从数学的角度观察这些图片，激发学生想去探索的欲望。

【活动二】师生互动，初探新知引导学生观察：这两个图形还关于某条直线成轴对称吗？适时提出问题：这两个图形能否重合？怎样才能重合呢？利用多媒体动态演示每组图形中的一个可绕某一点旋转180o后能与另一个重合，从视觉上刺激学生对事物的接受，引导学生观察：①如图1把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？图1②如图2，线段AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，把△OCD绕点O旋转180º，你有什么发现？图2利用多媒体演示课件，教师提出问题．利用学生好奇心强的心理，通过动态演示，吸引学生的注意力，让学生观察、思考、回答问题。

引导学生理解中心对称的含义：①能够完全重合，即形状、大小完全相同。

②方式有限制：将其中一个图形绕某点旋转后能够与另一个图形重合。

从旋转变换的角度引入中心对称的概念，让学生体会知识间的内在联系，中心对称实际上是旋转变换的一种特殊形式，中心对称要求旋转角必须为180 º，渗透了从一般到特殊的数学思想方法。

【活动三】师生合作，再探新知小组合作：[探究]如图，旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形；第一步，画出△ABC；第二步，以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋转180°，画出△A'B'C'；第三步，移开三角板。

这样画出的△ABC与△A'B'C'，关于点O对称．分别连接对应点AA'、BB'、CC'．点O在线段AA'上吗?如果在，在什么位置?△ABC与△A'B'C'有什么关系?通过学生的动手操作，小组合作探究，探索中心对称的性质，这样既调动了学生学习的学生活动：①引导学生独立细心观察多媒体呈现的中心对称的两个图形,有何发现?②学生前后4人为一个小组，互相交流、归纳中心对称的性质？教师参与部分小组的研讨，对学有困难的同学加以及时辅导，教师以抽问方式请小组代表汇报小组研讨情况，要求说明每个组员在小组研究中所起作用和观点。

23.2 中心对称23.2.1 中心对称【知识与技能】理解中心对称的有关定义，掌握中心对称的性质，能利用中心对称性质画出与已知图形成中心对称的图形.【过程与方法】经历在操作活动过程中探索出中心对称的性质，进一步增强学生的观察、分析、抽象概括的能力.【情感态度】在操作活动中积累数学活动的经验，培养学生的空间想象能力，增强审美意识，体验几何美，提高学习兴趣.【教学重点】利用中心对称的有关定义和性质解决具体问题.【教学难点】中心对称与图形旋转的关系.一、情境导入，初步认识问题1 如图，将△ABC绕点O旋转，使点A旋转到D处，你能画出旋转后的图形吗？说说你的理由.问题2 如图，将△ABC绕点O旋转180°，你能画出旋转后的图形吗？说说你的做法，并指出这两个图形之间有什么关系？从中你有何发现？【教学说明】设置上述问题的目的一方面对前面所学过知识进行回顾，另一方面又为新知的探索作好铺垫.教学时，应给出时间让学生自主画图，并进行思考，初步认识图形的旋转与中心对称之间的关系.二、思考探究，获取新知探究1 （1）如图（1），把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？（2）如图（2），线段AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，把△OCD 绕点O旋转180°，你有什么发现？【教学说明】让学生通过在问题情境中画图的初步认识，并在观察图（1）、（2）所获得的感性认识基础上，认真分析图形特征，相互交流体会，感受图形之间的对称美，从而总结出中心对称的有关概念，必要时，教师可给予适当引导.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.这个点称为对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.【教学说明】师生共同总结出中心对称定义后，教师应强调定义的三个特征：（1）反映了两个图形之间的位置关系；（2）关于旋转中心旋转180°；（3）互相重合.加深学生对定义的理解.探究2旋转三角尺，画关于点O对称的两个三角形.第一步：画出△ABC如图(1）；第二步：以三角尺的一个顶点O为中心，把三角尺旋转180°，画出△A′B′C′如图(2)；第三步：移开三角尺如图(3).这样，画出的△ABC与△A′B′C′关于点O对称.试问：（1）在图(3)中，点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？对于线段BB′、CC′呢？（2）△ABC与△A′B′C′有什么关系？【教学说明】让学生通过观察，可获得结论为：点O在线段AA′，BB′，CC′上，且OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′；△ABC≌△A′B′C′.然后让学生相互交流，说说理由.教师边巡视，边听取学生间的交流，对于描述不准确的应给予提醒，帮助学生完善认知.【归纳结论】（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分.（2）关于中心对称的两个图形全等.三、典例精析，掌握新知例（1）选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A′，如图(1)；（2）选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′，如图（2）.分析：在（1）中，可利用“对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分”这一性质，画出点A关于O点的对称点A′（即延长AO，并在AO 延长线上截取OA′=AO，则A′点即是A关于点O的对称点）；在（2）中，可仿（1）分别得到点A、B、C关于点O的对称点A′、B′、C′，连A′B′、A′C′、B′C′，则△A′B′C′是△ABC关于点O的对称三角形.解：略.【教学说明】让学生经历画图过程，进一步加深对中心对称的性质的理解和掌握.教学时，教师提出问题并师生共同分析后，可由学生自己画图，完成解答.四、运用新知，深化理解1.下列说法正确的个数是（）①旋转后能够重合的两个图形是中心对称的；②成中心对称的两个图形形状一样、大小相同；③全等的两个三角形一定是中心对称的；④关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，已知四边形ABCD，请以点O为中心，画一个四边形，使之与四边形ABCD关于点O成中心对称.【教学说明】由学生自主探究，相互交流获得结论，教师巡视，关注学生的作图是否准确规范，对作图出现较大偏差的同学给予帮助，让每个学生都能得到发展.【答案】1.B2.略五、师生互动，课堂小结教师让学生围绕以下问题展开：（1）本节知识要点归纳回顾；（2）中心对称的性质及其应用；（3）中心对称和轴对称的区别和联系；（4）相互交流本节课的学习体会和收获，谈谈学习中有哪些困惑.【教学说明】教师提出问题，让学生进行回顾思考，相互交流.1.布置作业：从教材“习题23.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.1.本课设计通过问题导入，遵循从感性到理性的渐进认识规律、发展学生直观想象能力，分析、归纳、抽象概括的思维能力.2.教师要以更为丰富的教学语言激励学生，以便更好地关注学生的情感、态度等方面的发展.。

《中心对称》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解中心对称的概念，掌握其定义和性质。

2. 能够识别中心对称图形，并确定其对称中心。

3. 通过观察、分析和讨论，培养学生的观察能力和抽象思维能力。

二、教学重难点1. 教学重点：理解中心对称的概念，掌握其定义和性质。

2. 教学难点：能够识别中心对称图形，并确定其对称中心。

三、教学准备1. 准备教学PPT，包含图片、动画和相关概念的解释。

2. 准备中心对称的实例，如钟表、风扇、旋转门等。

3. 准备小组讨论的材料，以便学生交流和讨论。

4. 准备练习题，用于学生巩固所学知识。

四、教学过程：（一）课前准备1. 学生复习相关知识，为新课学习做好准备。

2. 教师准备教学用具，如黑板、白板、中心对称图形等。

（二）导入新课1. 提问学生：大家还记得我们之前学过的图形对称吗？你能举出一些例子吗？2. 引导学生回顾轴对称图形，并让学生讨论和总结轴对称和中心对称的区别。

3. 教师解释中心对称的概念，并引导学生了解中心对称在实际生活中的应用。

（三）探究学习1. 教师出示一些中心对称图形，如正方形、矩形、平行四边形等，让学生观察它们的特征，并讨论它们如何通过旋转和反射实现中心对称。

2. 教师引导学生探究中心对称图形的性质，如对应点连线交于对称中心，图形沿对称中心翻折180度后能够完全重合等。

3. 学生分组讨论和总结中心对称的性质，教师给予指导和帮助。

（四）课堂活动1. 完成课后习题和相关练习题，巩固学生对中心对称知识的掌握。

2. 进行小组讨论和展示，让学生分享自己的学习成果和经验，教师给予评价和反馈。

3. 引导学生运用中心对称知识解决实际问题，如设计图案、测量实物等。

（五）小结作业1. 教师总结本节课的重点和难点，强调中心对称的性质和应用。

2. 布置与中心对称相关的作业，让学生回家后继续思考和实践。

希望中心对称的性质：1. 中心对称的两个图形，交换对称点，可以重合。

2. 中心对称不改变图形的形状和大小。

人教版九年级数学（上册）第二十三章旋转23.2中心对称（第一课时）井陉县皆山中学单志辉教学目标：1、了解中心对称、对称中心、关于对称中心的对称点等概念；2、探究并掌握中心对称的性质；3、会做一个图形关于某点成中心对称的对称图形。

教学重点：1、利用中心对称等概念解决一些问题；2、中心对称的两条基本性质及其运用。

教学难点：中心对称的性质及利用中心对称的性质进行做图。

教学过程设计：一、创设问题情境已知：△ABC及旋转中心O，求作：△ABC绕点O顺时针旋转180°后的对称图形△A'B'C'。

二、学生自主探究在学生自主探究期间，教师巡视教室全体学生的做图情况，及时发现学生在做图中的可能出现的各种问题给以帮助，在观察到大部分学生做完对称图形之后对学生提出新要求：（同时板书）1、请同学们写出各组图形中的相等线段；2、通过列举每组图形中的相等线段，同学们从中有什么新的发现？三、师生合作辨析将学生的优秀作品展示在多媒体实物展台上，对于问题1：容易根据旋转的性质获得。

学生1：由做图可知：OA=OA'，OB=OB'，OC=OC'。

对于问题2：主要是想通过学生实际做图，结合自身观察，从中获得不同于一般旋转图形的新特点。

学生可能的回答：学生2：通过做图发现：每组图中各个对应点之间的连线都经过旋转中心；并且还发现这个旋转中心恰恰是各对对应点所连线段的中点。

经过一段师生关于做图的分析说明，最后教师作出总结：以上三组做图中出现的△ABC与△A'B'C'叫做中心对称，也叫作这两个三角形关于点O中心对称。

下面给出中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心(简称中心)。

这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。

如上图：△ABC与△A'B'C'关于点O对称，其中点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'是关于点O的对称点。

word版初中数学九年级数学学科教案主备人：审核人：使用人：第二十三（章）第二（节）第1课时累计课时课题：23.2.1 中心对称【教学目标：】1、知识与能力：知道中心对称的概念并会画一个图形关于某一点中心对称的对称图形。

2、过程与方法：用操作几何、实验探究中心对称图形的基本性质．3、情感态度与价值观：探究中心对称图形的基本性质，并运用它们解决一些实际问题．培养学生的动手能力及学习数学的兴趣【教学重点：】利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．【教学难点：】画一个图形关于某一点中心对称的对称图形【教学过程：】教学过程设计二度备课桐梓县娄山中学电子教案模板一、自主预习了解新知1、PPT展示问题1（1）如图，把其中一个图案绕点O 旋转180°，你有什么发现？（2）如图，线段AC，BD 相交于点O，OA=OC，OB=OD．把△OCD 绕点O 旋转180°，你有什么发现？二、合作讨论展示讲评探究一：中心对称的概念1、结论：像这样把一个图形绕着某一点旋转180度,如果它能够和另一个图形重合,那么,我们就说这两个图关于这个点对称或中心对称,这个点就叫对称中心,这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．2、想一想，中心对称与一般的旋转的联系和区别？探究二：中心对称的性质1、图中△A′B′C′与△ABC关于点O是成中心对称的,你能从图中找到哪些等量关系?结论：（1）在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分.反过来,如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且都被该点平分,那么这两个图形一定关于这一点成中心对称.探究三：中心对称的图形作法1、以点O为对称中心,作出点A的对称点A′2、以点O为对称中心,作出线段AB的对称线段点A′B′3、选择点O为对称中心,画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′三、检测反馈分层练习1、PPT展示，画一个与已知四边形ABCD中心对称图形。

23.2.1中心对称教学设计一、教学内容：新人教版九年级数学上册第二十三章第二节中心对称第1课时二、学情分析：1、学生是乡镇普通初中九年级的学生，班级学生学习方面存在一定的差异；但学生对数学抱有浓厚的兴趣。

2、学生在前面已学习了图形的旋转变换，基本上掌握了旋转变换的性质；运用知识解决实际问题的能力和数学建模的能力还不强。

3、对中心对称概念不易理解；归纳和运用性质也存在困难。

三、教材分析：1、本节课选自人教社九年级数学上册23.2.1中心对称。

2、中心对称是在学生已掌握旋转变换的基础上，由一般到特殊的方法归纳引出中心对称是特殊的旋转变换。

在探索中心对称的概念、性质及应用上，让学生经历动手操作、观察、猜想、归纳等方法，进一步培养学生的自主学习能力以及合作、探究的精神，并在这个过程中增加一定的审美体验。

3、中心对称承接平移、轴对称等知识，同时是下节学习中心对称图形的基础，又是后续学习几何的桥梁纽带。

四、教学目标：（一）、知识技能：1、通过62页思考中图形旋转的演示理解中心对称、对称中心、关于中心的对称点的概念。

2、结合探究掌握中心对称的性质，会依据中心对称的性质画出与已知图形成中心对称的图形。

（二）、过程与方法：1、通过思考的观察培养学生的观察能力，经历探究性质的过程使学生获得基本的数学活动经验。

2、通过画出与已知图形成中心对称的图形，进一步培养学生的尺规作图能力。

（三）、情感、态度与价值观：让学生经历观察、操作等过程，理解中心对称的概念，从中心对称基本性质的探索活动，进一步发展学生空间观察能力．让学生通过独立思考，自主探究和合作交流，进一步体会中心对称的数学内涵，获得知识，体验成功。

五、教学重点：中心对称的概念与性质及应用。

六、教学难点：中心对称的概念的导入与性质的探究。

七、教学过程：教师引语，创设情境：我们生活在多姿多彩的图形世界中，小时候我们就对多姿多彩的图形充满兴趣与好奇，尤其是对运动变换的图形越加的好奇，我邻居家的乐乐对图形也充满着浓厚的兴趣，他画了一幅中心对称的图形，但是不小心被顽皮的弟弟用橡皮擦去了一部分，现在只剩下了这样的图形，于是他跪求!!!帮忙把他画的图形修复，我想让你们帮帮他。

（四）课堂练习
为了巩固所学知识，接下来我们将进行课堂练习。我将提供以下几道练习题：
1.识别并找出给定图形的对称中心。
2.根据给定的对称中心，绘制相应图形的对称图形。
3.解决实际问题，如计算中心对称图形的面积。
学生独立完成练习题，我会及时给予反馈和指导，帮助他们纠正错误，巩固所学。
（五）总结归纳
在课堂接近尾声时，我将引导学生进行总结归纳。首先，请同学们回答以下问题：
-对于学习困难的学生，给予个别辅导，帮助他们克服学习难点。
6.融合信息技术，提高教学效果。
-利用多媒体教学手段，如动态几何软件、互动白板等，直观展示中心对称的动态过程，帮助学生形象理解。
-引导学生利用信息技术工具，如计算器、绘图软件等，自主探索中心对称图形的绘制方法。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
2.在原图形上选取几个关键点。
3.将这些关键点绕对称中心旋转180度，并连接相应的点。
（三）学生小组讨论
现在，请同学们分组进行讨论。每组需要完成以下任务：
1.共同总结中心对称的性质。
2.每个组员尝试绘制一个中心对称图形，并分享绘制过程中的心得体会。
3.讨论中心对称在实际生活中的应用。
在讨论过程中，我会巡回指导，解答学生的疑问，并引导他们深入思考。
-拓展：在三维空间中，是否存在中心对称的概念？若存在，请举例说明。
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，保持作业本的整洁和字迹清晰。
2.对于绘制图形的题目，要求使用直尺、圆规等工具，确保图形的准确性。
3.对于实际应用题，希望大家能够发挥想象，创作出有创意的作品。
4.探究拓展题可以与同学进行讨论，共同解决问题。
-引导学生认识到数学知识是不断发展的，激发学生对未知领域的好奇心和探索欲望。

中心对称（1）一、内容和内容解析1．内容中心对称的概念、性质．中心对称图形的概念．2．内容解析中心对称是旋转角为180°的旋转，是一种特殊的旋转．中心对称在生活中广泛存在，中心对称图形具有广泛的应用．从美学的角度看，中心对称的图形表现出对称的美．学生通过本节课再次体会旋转变化，认识中心对称，同时也进一步完善了初中学习中对“对称图形”(轴对称图形、中心对称图形)知识的认识．中心对称图形是轴对称和旋转学习的延续，它与轴对称图形的基本概念、性质有着紧密的联系和区别，是“对称图形”的完善．通过本节课的学习让学生体会对称在生活中的广泛存在及运用价值，体验中心对称图形的美感．本节课从旋转变化引入中心对称的概念，先让学生从旋转的角度观察两个图形之间的关系，类比旋转得出中心对称的定义，渗透了从一般到特殊的数学思想方法．在此基础上，通过探索成中心对称的两个图形的对称中心和对应点所连线段之间的关系获得了性质，并能运用中心对称的性质画出一个图形关于某一点的对称图形．在中心对称图形部分从两个简单典型中心图形的实例，抽象概括出中心对称图形的本质特征，类比中心对称得出中心对称图形的概念，渗透了从一般到特殊的数学思想方法，并会判断一个图形是否为中心对称图形．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：中心对称的概念和性质以及中心对称图形的概念及其应用.二、目标和目标解析1．目标（1）了解中心对称、中心对称图形的概念，探索中心对称的性质.（2）认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形，会画简单几何图形关于某一点成中心对称的图形．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能根据两个图形的特殊旋转关系得到中心对称是旋转角为180°的旋转，类比旋转的定义得出中心对称的定义．学生能通过具体实例，用运动的观点观察和认识图形的过程中渗透旋转变化的思想．抽象出中心对称图形的特征，能正确识别简单的中心对称图形．知道中心对称图形是一个图形，它绕一个点旋转180°后能与自身完全重合，中心对称反映了两个图形的位置关系，这两个图形绕着某一点旋转180°后能够重合；学生知道中心对称是旋转角为180°的旋转，进而得到中心对称的性质，即中心对称的两个图形是全等图形，对称中心到两个对称点的距离相等．通过画图、观察发现并概括出中心对称的另一个性质：对称中心在两个对称点的连线上．达成目标（2）的标志是：能够认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形，会用中心对称的性质画一个简单几何图形关于已知点的对称图形．三、教学问题诊断分析学生学过轴对称、旋转的概念及性质，这是本节课的知识基础，从旋转的角度观察图形，认识特殊的旋转——中心对称，这是本节课的任务．学生在已学的旋转性质基础上得出中心对称的两个图形是全等图形及对称中心到两个对称点的距离相等的性质不难，但中心对称的旋转角度必须是180°，使得对称点和对称中心三点共线．学生在“对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分．”的这一条性质的得出和规范的表达上会有一定的困难．教学时，教师要充分利用具体图形，让学生获得感性认识，进而归纳出中心对称的性质．基于以上分析，本节课的教学难点是：中心对称的性质的探索．四、教学过程设计1．观察实例得出中心对称的概念问题1 (1)如图1，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？图1(2)如图2，线段AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．把△OCD绕点O旋转180°,你有什么发现?图2师生活动：教师展示两组图形，演示旋转的过程，学生观察．设计意图：让学生通过观察图形，感知中心对称的特征，为得出中心对称的概念作铺垫．从旋转变化的角度学生从几何图形中体会中心对称是特殊的旋转．问题2你能说说这些图案的变化有什么共同特点吗？师生活动：学生独立思考后后回答问题(两个图形重合)，教师给出答案．师生共同归纳得出：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心(简称中心)．设计意图：进一步明确中心对称的共同点：(1) 两个图形；(2)(选定)一个点；(3)旋转角度是180°；(4)两个图形重合．发现两个图形成中心对称的特征，进而概括出中心对称的概念．2．动手操作探究中心对称的性质问题3 中心对称是特殊的旋转，它会有哪些性质？师生活动：教师引导学生动手操作，完成教科书64～65页画图：旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形．利用画好图形，分别连接对应点AA'、BB'、CC'．(1) (2)(1) (2)(3)图3教师追问1：利用旋转的性质得出中心对称的性质.师生活动：师生共同归纳得出中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．设计意图：通过中心对称性质的归纳总结让学生体会演绎和类比等方法在研究数学问题的重要作用．清楚“三点共线”这一几何事实的表述方式．教师追问2：中心对称与旋转有什么关系.师生活动：师生共同得出中心对称是一类特殊的旋转，因为中心对称的旋转角度是 180°．设计意图：通过对比，加深学生对中心对称的理解．3．观察实例得出中心对称图形的概念问题4：(1)如图3，将线段AB绕它的中点旋转180°，你有什么发现？图3(2)如图4，将□ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°，你有什么发现？图4师生活动：教师展示两个图形，演示旋转的过程，学生观察后回答问题. 教师给出中心对称图形的概念.设计意图：让学生通过观察图形，感知中心对称图形的特征，进而得出中心对称图形的概念．教师追问1：轴对称图形和中心对称图形的区别是什么呢？师生活动：教师出示问题，引导学生说出轴对称图形的定义和中心对称图形的定义.设计意图：通过对比，让学生加深对中心对称图形的理解．4．应用中心对称性质画图例1(1)如图5，选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A'；(2)如图6，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'．图5 图6师生活动：教师引导学生学生依据中心对称的性质动手画图．设计意图：利用中心对称的性质进行画图，加强对中心对称性质的理解，为后续图案设计的学习作铺垫．5．练习巩固中心对称的性质练习1图7中的两个四边形关于某点对称，找出它们的对称中心.图7 图8练习2如图8，O1 ，O2 分别是两个半圆的圆心，这个图形是中心对称图形吗？如果不是，请说明理由；如果是，请指出对称中心.练习3下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，指出其对称中心.练习4 下列图形中（1）是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ).（2）既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ).师生活动：练习1中学生思考并画图.利用中心对称的性质可知：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．所以我们可以连接一对对称点，取这条线段的中点；如果直尺没有刻度，也可以分别连接两对对称点，两线段的交点就是对称中心．练习2、练习3中学生思考不同形状图形的对称中心.练习4中学生观察图形，区分中心对称图形与轴对称图形.设计意图：练习用中心对称的性质画图；判断一个图形是否是中心对称图形，如果是找出对称中心.进一步巩固中心对称的性质，为后续图案设计的学习做好铺垫．6．回顾反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课我们是如何研究中心对称的？(2)中心对称与中心对称图形的概念.(3)中心对称的性质.设计意图：通过框图，帮助学生进一步形成中心对称的知识体系；通过反思以上几个问题，使学生对本节课主要内容进行总结.7．作业教科书 66 页练习第 1 题，教科书 67 页练习第 1 题，第 2 题．说明：本课程结合了义务教育教科书数学九年级上册（人民教育出版社）第二十三章第二节的内容，见教科书第64页至第67页.。