微积分笔记

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精品文档 多元函数、多元向量值函数

f(X) F(X)

多元函数的切平面、全微分、偏导

有多元函数f(X)，若存在向量A=(a1,a2,…,an)使得f(X)-f(X0)-A(X-X0)=o(||X-X0||)，则称g(X)=A(X-X0)是f在X0处的切平面

df=AdX=a1dx1+a2dx2+…+andxn是f的全微分

bk=∂(f)/∂(xk)是将X的其他分量视为常数时f的导数，称为f的偏微分

可以证明若A存在，ak=bk=∂f/ ∂xk

Nabla算子∇=(∂/∂x1,…, ∂/∂xn)

∇A=Grad(f)=A称为f的梯度，∇ (f○g) = g∇f+f∇g

若有单位向量e=(cosθ1, cosθ2,…, cosθn)，则称A.e是f沿e方向的方向导数，

A.e=∂f/∂l 其中l与e平行

若f在X0可微：

X0处f各一阶偏导存在

X0处f有梯度

X0处f连续

X0处f的各方向导数均存在

若f在X0处各一阶偏导函数连续，则f在X0可微 精品文档

精品文档 A=∇ f是向量值函数，可以观察，e与A平行时，f的方向导数最大，且大小A.e=||A||，称A是f的梯度场

向量值函数的切平面、微分、偏导

F(X)=(f1(X),f2(X),…,fm(X))，若所有fi在X0处可微，则称F在X0处可微，即

F(X)=F(X0)+A(X-X0)+o(||X-X0||)，其中

A=(aij)m*n=∂F/ ∂X=∂(f1,f2,…,fm)/ ∂(x1,x2,…,xn)=J(F(X0)))称为F在X0处的Jacobian

(F的Jacobian的第i行是F的Fi分量的梯度，

aij := ∂Fi / ∂xj)

F的全微分dF=AdX

当m=n时，F有散度Div(F)和旋度Curl(F)

Div(F) = ∇.F=∂f1/∂x1 +…+∂fm/ ∂xm

第一章 函数、极限和连续

§ 函数

一、 主要内容

㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

2.分段函数:

21)()(DxxgDxxfy

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)

y=f-1 (x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y

是严格单调增加(或减少)的；

则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D

当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称

偶函数：f(-x)=f(x)

奇函数：f(-x)=-f(x)

3.函数的周期性：

周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞)

周期：T——最小的正数

4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)

㈢ 基本初等函数

1.常数函数： y=c ， (c为常数)

2.幂函数： y=xn , (n为实数)

3.指数函数： y=ax , (a＞0、a≠1)

4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1)

5.三角函数： y=sin x , y=con x

y=tan x , y=cot x

y=sec x , y=csc x

微积分的起源与发展

主要内容：

一、微积分为什么会产生

二、中国古代数学对微积分创立的贡献

三、对微积分理论有重要影响的重要科学家

四、微积分的现代发展

一、微积分为什么会产生

微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所着的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。归结起来，大约有四种主要类型的问题：

第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。

困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。

困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。

微积分笔记整理

以下是一份微积分笔记整理的示例，涵盖了微积分的一些关键概念和公式：

一、导数（Derivative）

1. 定义：函数在某一点的切线斜率。

2. 公式：$(f(x+h)-f(x))\div h$（当$h$趋近于$0$时）。

3. 导数的意义：

- 函数的变化率。

- 曲线的切线斜率。

- 判断函数的单调性。

二、微分（Differential）

1. 定义：函数在某一点的切线增量。

2. 公式：$df=f^\prime(x)dx$。

3. 微分的意义：

- 切线的近似值。

- 函数的增量。

三、积分（Integral）

1. 定义：函数在某个区间上的面积。

2. 公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx$。

3. 积分的意义：

- 函数的面积。

- 函数的平均值。

- 求导的逆运算。

四、微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）

1. 牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula）：若$F^\prime(x)=f(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。

2. 不定积分（Indefinite Integral）：函数的原函数族。

3. 定积分（Definite Integral）：函数在某个区间上的确定积分值。

五、常见函数的导数和积分

1. 常数函数：导数为$0$，积分为$cx$（$c$为常数）。

2. 线性函数：导数为常数，积分为$cx+d$（$c$、$d$为常数）。

3. 指数函数：导数为指数本身，积分为指数加$1$的反函数。

4. 对数函数：导数为$\frac{1}{x}$，积分为$x\ln|x|+c$。

5. 三角函数：正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为负的正弦函数；积分根据不同的三角函数有不同的公式。