高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明学案苏教版选修2

2.2.1 直接证明

学习目标 重点难点

1．能知道直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．

2．会分析综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题. 重点：综合法和分析法的思维方法和步骤．

难点：综合应用两种方法解题.

1．直接证明

(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为________．

(2)直接证明的一般形式为： 本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒________.

2．综合法

(1)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为________．

(2)综合法的推证过程是：________⇒…⇒…⇒______.

预习交流1

做一做：已知数列{an}的通项公式为an＝2n，求证：数列{an}为等比数列．

3．分析法

(1)从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为________．

(2)分析法的推证过程是：______……________.

预习交流2

做一做：求证：6＋7≥22＋5.

在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！

我的学困点 我的学疑点

答案：

预习导引

1．(1)直接证明 (2)本题结论

2．(1)综合法 (2)已知条件 结论

预习交流1：提示：∵an＝2n，∴an＋1an＝2n＋12n＝2·2n2n＝2(常数)．∴由等比数列的定义可

知，数列{an}为公比是2的等比数列．

3．(1)分析法 (2)结论 已知条件

预习交流2：提示：要证原不等式成立，只需证(6＋7)2≥(22＋5)2，即证242＞240，由于上式显然成立，因此原不等式成立．

一、综合法的应用

设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：1a＋1b＋1c＞a＋b＋c.

思路分析：(1)综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式．

(2)综合法证明不等式时，要注意不等式的性质和已证过的不等式各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误．

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E，F分别是AP，AD的中点．

求证：(1)直线EF∥平面PCD；

(2)平面BEF⊥平面PAD.

1．综合法的证明步骤：(1)分析条件，选择方向，确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．(2)转化条件，组织过程，将条件合理转化，书写出严密的证明过程．

2．综合法的适用范围是：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性，奇偶性；立体几何中的证明，不等式的证明等问题；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型．

二、分析法的应用

如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.

求证：AF⊥SC.

思路分析：利用线线垂直、线面垂直的相互转化寻求AF⊥SC成立的条件．

当a＋b＞0时，求证：a2＋b2≥22(a＋b)．

在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，得到结论，但这个倒推过程可以省略．

三、综合法和分析法的综合应用

求证：当x≥0时，sin x≤x.

思路分析：不等式的成立问题，可以转化为函数最值问题来解决．

已知α，β≠kπ＋π2(k∈Z)，且sin θ＋cos θ＝2sin α，①

sin θcos θ＝sin2β，②

求证：1－tan2α1＋tan2α＝1－tan2β2(1＋tan2β).

实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径．

1．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系为__________．

2．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝2x，当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝__________.

3．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．

4．已知实数a≠0，且函数f(x)＝a(x2＋1)－2x＋1a有最小值－1，则a＝__________.

5．补充下面用分析法证明基本不等式a2＋b22≥ab的步骤：

要证明a2＋b22≥ab，

只需证明a2＋b2≥2ab，

只需证________，

只需证________．

由于________显然成立，因此原不等式成立．

提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.

知识精华 技能要领

答案：

活动与探究1：证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝1，

∴1a＋1b＋1c＝bc＋ca＋ab.

又bc＋ca≥2bc·ca＝2abc2＝2c，

同理bc＋ab≥2b，ca＋ab≥2a.

∵a，b，c不全相等，

∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立．

∴2(bc＋ca＋ab)＞2(c＋a＋b)，

即bc＋ca＋ab＞a＋b＋c.

故1a＋1b＋1c＞a＋b＋c.

迁移与应用：

证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.

又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，

所以直线EF∥平面PCD.

(2)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，

所以△ABD为正三角形．

因为F是AD的中点，

所以BF⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，

BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以BF⊥平面PAD.

又因为BF⊂平面BEF，

所以平面BEF⊥平面PAD.

活动与探究2：证明：要证AF⊥SC，而EF⊥SC，故只需证SC⊥平面AEF，

只需证AE⊥SC，而AE⊥SB，故只需证AE⊥平面SBC，

只需证AE⊥BC，而AB⊥BC，故只需证BC⊥平面SAB.

只需证BC⊥SA，而由SA⊥平面ABC可知SA⊥BC，即上式成立，∴AF⊥SC.

迁移与应用：

证明：要证a2＋b2≥22(a＋b)，

只需证(a2＋b2)2≥22(a＋b)2，

即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.

因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，

所以a2＋b2≥22(a＋b)成立．

综上所述，不等式得证．

活动与探究3：证明：要证x≥0时，sinx≤x，只需证x≥0时，sinx－x≤0即可．

设f(x)＝sinx－x，

则即证x≥0时，f(x)≤0，即证x≥0时，

f(x)的最大值小于或等于0即可．

∵f(x)＝sinx－x，∴f′(x)＝cosx－1，

∴当x≥0时f′(x)≤0，

∴f(x)在[0，＋∞)上递减．

∴当x≥0时，f(x)max＝f(0)＝0，

∴f(x)max≤0成立，∴原不等式成立．

迁移与应用：

证明：要证1－tan2α1＋tan2α＝1－tan2β2(1＋tan2β)，

即证1－sin2αcos2α1＋sin2αcos2α＝1－sin2βcos2β21＋sin2βcos2β，

即证cos2α－sin2α＝12(cos2β－sin2β)，

即证1－2sin2α＝12(1－2sin2β)，即证4sin2α－2sin2β＝1.③

因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，

所以将①②代入上式，可得

4sin2α－2sin2β＝1.

由于上式与③相同，于是问题得证．

当堂检测

1．a＞b 解析：∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，

而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.

2．24 解析：∵1＝log22＜log23＜log24＝2，∴3＜log23＋2＜4.由已知得f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝log3223log33222＋＝＝8×3＝24.

3．综合法

4．1 解析：f(x)＝ax2－2x＋a－1a有最小值，则a＞0，对称轴x＝1a，则f(x)min＝f1a＝－1，

即f1a＝a·1a2－2·1a＋a－1a＝－1，

即a－2a＝－1，则a2＋a－2＝0.

∵a＞0，∴a＝1.

5．a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0