(完整)无穷级数练习题

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1 无穷级数习题

一、填空题

1、设幂级数0nnnax的收敛半径为3，则幂级数11(1)nnnnax的收敛区间为 .

2、幂级数0(21)nnnx的收敛域为 。

3、幂级数211(3)2nnnnnx的收敛半径R 。

4、幂级数01nnxn的收敛域是 .

5、级数21(2)4nnnxn的收敛域为 .

6、级数0(ln3)2nnn的和为 。

7、111()2nnn 。

8、设函数2()fxxx ()x的傅里叶级数展开式为

01(cossin)2nnnaanxbnx，则其系数3b的值为 。

9、设函数21,()1,fxx 0,0,xx 则其以2为周期的傅里叶级数在点x处的敛于 。

10、级数11(1)(2)nnnn的和 。

11、级数21(2)4nnnxn的收敛域为 。

参考答案：1、(2,4) 2、(1,1) 3、3R 4、1,1) 5、(0,4)

6、22ln3 7、4 8、23 9、212 10、14 11、(0,4)

二、选择题 (完整)无穷级数练习题

2 1、设常数0,而级数21nna收敛，则级数21(1)nnnan是( ）。

（A)发散 (B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）收敛与有关

2、设2nnnaap，2nnnaaq,1.2n,则下列命题中正确的是( ）。

（A）若1nna条件收敛,则1nnp与1nnq都收敛.

（B）若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq都收敛。

（C）若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq的敛散性都不一定。

（D)若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq的敛散性都不定。

3、设0,1,2nan，若1nna发散，11(1)nnna收敛，则下列结论正确的是（ ）.

（A）211nNa收敛,21nna发散。 （B）21nna收敛，211nna发散.

(C）2121()nnnaa收敛. （D）2121()nnnaa收敛。

4、设为常数,则级数21sin()1()nnnn是( ）

(A）绝对收敛。 （B）条件收敛. (C）发散. (D）收敛性与取值有关。

5、级数1(1)(1cos)nnn（常数0）是（ ）

（A）发散。 (B)条件收敛。 （C） 绝对收敛。 （D）收敛性与有关。

6、设1(1)ln(1)nnun,则级数

（A)1nnu与21nnu都收敛。 （B）1nnu与21nnu都发散。

(C)1nnu收敛而20nnu发散。 (D）1nnu发散而21nnu收敛. (完整)无穷级数练习题

3 7、已知级数12111(1)2,5nnnnnaa，则级数1nna等于（ ）.

（A）3. （B）7. （C）8. （D）9.

8、设函数2()(01)fxxx,而

1()sinnnSxbnx, x

其中102()sinnbfxnxdx，1,2,3n,则1()2S等于（ ）。

（A）12。 （B）14. （C)14。 （D）12。

9、设,()22,xfxx 102112xx 01()cos2nnaSxanx，x

其中102()cosnafxnxdx (0,1,2,)n 则5()2S等于（ ）。

（A）12。 （B）12. (C)34。 （D）34.

10、设级数1nn收敛,则必收敛的级数为

（A)1(1)nnnun。 （B）n21nnu。 (C)2121()nnnuu. （D）11()nnnuu。

11、已知级数11(1)2nnna， 2151nna，则级数1nna等于（ ）.

（A）3。 (B)7。 (C）8。 (D）9。

12、若级数1nna收敛,则级数（ ）

（A）1nna收敛. （B）1(1)nnna收敛。 （C）11nnnaa收敛。（D）112nnnaa收敛.

13、若0(1)nnnax在1x处收敛,则此级数在2x处（ )。

（A）条件收敛。 (B）绝对收敛。 (C)发散. （D）敛散性不能确定。

14、设幂级数0nnnax与1nnnbx的收敛半径分别为53与13，则幂级数221nnnnaxb的收敛半径为（ ) (完整)无穷级数练习题

4 (A）5。 （B)5.3 （C）1.3 (D）1.5

参考答案：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

14

C B D C

C

C B C

D C D B A

三、解答题

1、设()fx在点0x的某一邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0xfxx，证明级数11()nfn绝对收敛。

【分析一】0()lim0xfxx表明0x时()fx是比x高阶的无穷小,若能进一步确定()fx是x的p阶或高于p阶的无穷小，1p，从而1()fn也是1n的p阶或高于p阶的无穷小,这就证明了11()nfn绝对收敛。

【证明一】由0()lim0xfxx及()fx的连续性(0)0,(0)0ff.再由()fx在0x邻域有二阶连续导数及洛必达法则

2000()()()1limlimlim(0)222xxxfxfxfxfxx

 20()1lim(0).2xfxfx

由函数极限与数列极限的关系

21()1lim(0)12xfnfn

因211nn收敛11()nfn收敛，即11()nfn绝对收敛。

2、设正项数列na单调减小,且1(1)nnna发散，试问级数11()1nnna是否收敛？

【分析与求解】因na单调下降有下界0极限lim0nxaa。若0a,由莱布尼兹法则,并错级数1(1)nnna收敛，与假设矛盾，于是0a.

现在对正项级数11()1nnna可用根值判别法：因为 (完整)无穷级数练习题

5 111lim()lim1111nnnnnnaaa，

所以原级数收敛.

3、求幂级数113(2)nnnnxn收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。

【分析与求解】 直接用求收敛半径的公式,先求

111111limlim.3(2)323(1())3nnnnnnnnnn

于是收敛半径3R,收敛区间为(3,3).

当3x时是正项级数:131.3(2)nnnnn

311()3(2)nnnnnn,而11nn发散,

 1313(2)nnnnn发散，即3x时原幂级数发散。

当3x时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。

31(1)(3(2)(2)13(2)3(2)nnnnnnnnnnn

(1)213(2)nnnnnn

因

1213123(2)limlim0,()23(2)33nnnnnnnnnnnnnn收敛，

1213(2)nnnnn收敛，又1(1)nnn收敛1313(2)nnnnn收敛，即3x时原幂级数收敛。

4、（1)验证函数3693()1()3!6!9(3)!nxxxxyxxn满足微分方程

xyyye; (完整)无穷级数练习题

6 （2）利用(1）的结果求幂级数30(3)!nnxn的和函数.

【分析与求解】

（1）首先验证该幂级数的收敛区间是(,).这是缺项幂级数,令3tx,则

原级数300(3)!(3)!nnnnxtnn

由 11(3(1))!limlim01(33)(32)(31)(3)!nnnnnnn

(,)t，从而(,)x时原级数收敛。

其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：

311()(31)!nnxyxn， 321()(32)!nnxyxn， (,).x

于是 ()()()yxyxyx

32313110(32)!(31)!(3)!nnnnnnxxxnnn

级数的线性性质 3231311()(32)!(31)!(3)!nnnnxxxnnn

2345601()()2!3!4!5!6!!nnxxxxxxxn

xe ().x(收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）

（2）因为幂级数30(3)!nnxn的和函数()yx满足微分方程

.xyyye ①

又知 (0)1,(0)0.yy ②

所以为求()yx只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②

该方程相应的齐次方程的特征方程为 210. (完整)无穷级数练习题

7 特征根为1,21322i  相应齐次方程的通解为

121233(cossin).22xyecxcx

设非齐次方程的一个特解为xyAe，代入方程①得