第六章_近独立粒子的最概然分布

《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲

习题6.1试证明，在体积 V内，在；到「d；的能量范围内，三维自由粒 子的量子态数为：D（ ；）d ；： ^2^ 2m ；场；

h

证明：三维粒子局域于宏观体积下运动，其能量值和动量值是准连续的。

在六维相空间，相体积兀d.二dxdydzdpxdpydpz内的微观量子态为：

d dxdydzdpxdpydpz

h3「 h3

体积V =L3内，动量在范围 Px ~ Px dPx,Py ~ Py dPy,Pz ~ Pz dPz的自由粒子 量子态数。

dxdydzdpxdpydpz Vdpxdpydpz VP2 sin ^dPd^d :

对积分，可得体积V = L3内自由粒子动量大小在 P~ P dP范围的量

子态

2 二二VP2 sinrdPd 闭， VP2dP

0 0 h3 '二 h3

由；哙进行变量代换：PS/，dP5）l2；“

代入上式可得：在体积 V内，在；到；d；的能量范围内，三维自由 粒子的量子态数为：

2兀 V “ 3； 1；

D（ ；）d 3 2m 2 ； 2d ；

h

其中D（J为在；到「d；的能量范围内单位能量间隔的量子态数，称为

习题6.2试证明，对子一维自由粒子，在长度 L内，在；到「d；的能量

范围内，量子态数为: 量子态密度 证毕 2L Cm

证明：一维粒子局域于宏观长度 L内运动，其能量值和动量值是准连续 的。

在二维相空间，相体积兀 d二dxdpx内的微观量子态为:

d . dxdpx

在长度x二L内，动量在范围Px ~巳• dPx的自由粒子量子态数。

dxdpx Ldpx

对Px在范围-P -dP ~ -P及P ~ P dP积分，可得在长度X = L内，自由粒子

动量大小在P ~ P dP范围的量子态

习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在面积 L2内，在；到「d；的能量

范围内，量子态数为

证明：二维粒子局域于宏观面积 L2内运动，其能量值和动量值是准连续 的。

第六章 近独立粒子的最概然分布

6.1 试根据式（6.2.13）证明：在体积V内，在到dε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

132232d2d.VDmh

解: 式（6.2.13）给出，在体积3VL内，在xp到d,xxyppp到d,yyxppp到dxxpp的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为

3ddd.xyzVppph （1）

用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在p到dpp范围内三维自由粒子可能的量子态数为

234πd.Vpph （2）

上式可以理解为将空间体积元24dVpp（体积V，动量球壳24πdpp）除以相格大小3h而得到的状态数.

自由粒子的能量动量关系为

2.2pm

因此

2,d.pmppmd

将上式代入式（2），即得在体积V内，在到d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

132232π()d2d.VDmh （3）

6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在到d的能量范围内，量子态数为

122dd.2LmDh 解: 根据式（6.2.14），一维自由粒子在空间体积元ddxxp内可能的量子态数为

dd.xxph

在长度L内，动量大小在p到dpp范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为

2d.Lph （1）

将能量动量关系

22pm

代入，即得

122dd.2LmDh （2）

6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积2L内，在到d的能量范围内，量子态数为

《热力学与统计物理》考试大纲2015版

第一章 热力学的基本定律

一、考核知识点

（一）基本概念：平衡态、状态参量、状态方程、准静态过程、可逆过程、不

可逆过程、功、热量、内能、熵。

（二）基本规律：理想气体状态方程、范德瓦耳斯方程。热力学第零定律、热

力学第一定律、热力学第二定律、熵增加原理。

二、考核要求

（一）识记：平衡态、状态方程。定压膨胀系数、等容压缩系数、等温压缩系

数。准静态过程、可逆过程、不可逆过程。

理想气体状态方程、范德瓦耳斯方程、热力学第一定律、热力学第二定律、熵

增加原理。

（二）重点掌握：分别能应用功、热量、内能、熵等概念及理想气体状态方程、

范德瓦耳斯方程、热力学第一定律、热力学第二定律、熵增加原理等解决有关

问题。

第二章 均匀系的热力学关系及其应用

一、考核知识点

（一）基本概念：焓、自由能、吉布斯函数、特性函数。

（二）基本规律：热力学基本方程组、麦克斯韦关系。

二、考核要求 （一）识记：焓、自由能、吉布斯函数、特性函数、热力学基本方程组、麦克斯韦关系。 （二）重点应用：能够熟练确定研究体系的基本热力学函数、确定给定系统的特性函数。能够熟练应用热力学基本方程组、麦克斯韦关系式及雅克比行列式进行热力学函数变换，寻求不同物理效应之间的关系。

第三章 单元复相系的平衡和化学平衡

一、考核知识点

（一）基本概念：热动平衡判据、相、单元系的复相平衡条件、相变、相

平衡、巨热力学势。

（二）基本规律：单元开放系的热力学基本方程组、热动平衡条件、平衡

的稳定性条件，相变方向的判定、克拉珀龙方程、表面相影响下的平衡条件、

爱伦菲斯特方程。

二、考核要求

（一）识记：热平衡判据、单元系的复相平衡条件、单元开放系的热力学

基本方程组、平衡稳定性条件、克拉珀龙方程。

（二）重点应用：能够应用热动平衡判据导出系统的平衡条件以及平衡的

稳定性条件，能够熟练地应用克拉珀龙方程求证单元系的有关平衡性质。能够

第六章 近独立粒子的最概然分布

习题6.1[10分]已知粒子的能量动量关系是2/(2)pm，证明：在体积3VL内，在到d的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为

3122322()VDdmdh

证：在体积3VL内，在xp到xxpdp，yp到yypdp，zp到zzpdp的动量范围内的自由粒子的量子态数是

3()2xyzxyzLdndndndpdpdp3xyzVdpdpdph [3分]

取动量空间用球坐标p、、得粒子在体积V内，动量大小在p到dpp，方向在到d，到d范围内，粒子量子态数为

23sin(,,)VPdPdddnPh [2分]

对和积分得粒子在体积V内，动量大小在p到dpp范围内，粒子量子态数为

234Vpdph [2分]

将2/(2)pmmdpdp代入上式即得在体积V内，在到d的能量范围内三维粒子的量子态数为

3122322()VDdmdh 证毕 [3分]

习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，再长度L内，在到d的能量范围内，量子态数为：

122()2LmDddh

证：一维自由粒子，xP附近的量子态为

xLdndPh；21222xxxxxPPdPdmdPdPmmmm 而 ±Px对应同一能量,令||xPP,以上两式变为

所以

2LdndPh,

(1)

2mdPd, (2)

(2)代入(1)得

122()()2LmdnDddh (3)