第22届希望杯数学邀请赛初二第2试试题答案
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第22届希望杯数学邀请赛初二第2试试题答案
1. 选择题
1. 答案：B
2. 答案：C
3. 答案：B
4. 答案：A
5. 答案：D
6. 答案：B
7. 答案：A
8. 答案：A
9. 答案：D
10. 答案：C
2. 填空题
1. 答案：130
2. 答案：20
3. 答案：2.5
4. 答案：320
5. 答案：204
3. 解答题
1.
答案：
首先，用余弦定理求出 𝐴𝐵 的长度：
$$ AB^2=AE^2+EB^2-2\\cdot AE\\cdot EB\\cdot\\cos \\angle AEB $$
代入已知量：
$$ AB^2=6^2+8^2-2\\cdot6\\cdot8\\cdot\\cos35^{\\circ}\\approx83.29 $$
因此，$AB\\approx9.13$。
接着，设 𝐵𝐶 交 𝐴𝐷 于 𝐹，由相似三角形比例可得：
$$ \\begin{aligned} \\frac{AF}{FD} &= \\frac{AB}{BC} \\\\ \\frac{3-BC}{BC}
&= \\frac{9.13}{BC} \\\\ BC &= \\frac{3}{1.304} \\approx 2.30 \\end{aligned} $$ 因此，$BC\\approx2.30$。
答案为 $9.13+2.30=\\boxed{11.43}$。
2.
答案：
首先，已知 $\\angle AOC=2\\angle B$，$\\angle OAC=\\angle
OCA=30^{\\circ}$，因此 $\\angle ACO=120^{\\circ}-2\\angle B$。又因 $\\angle
BDC=120^{\\circ}$，所以 $\\angle BDE=60^{\\circ}$。
由正弦定理可得：
$$ \\frac{BD}{\\sin \\angle BED}=\\frac{ED}{\\sin\\angle BDE} $$
代入已知量：
$$ \\begin{aligned} BD &= ED\\cdot\\frac{\\sin60^{\\circ}}{\\sin\\angle
BED} \\\\ &=ED\\cdot\\frac{\\sin60^{\\circ}}{\\sin(\\angle ACO+\\angle BAC)}
\\\\ &=ED\\cdot\\frac{\\sin60^{\\circ}}{\\sin(120^{\\circ}-2\\angle B+\\angle
B)} \\\\ &=2ED\\cdot\\frac{\\sin60^{\\circ}}{\\sin(60^{\\circ}+2\\angle B)}
\\end{aligned} $$
又由相似三角形比例可得：
$$ \\begin{aligned} \\frac{ED}{OA+OD} &=\\frac{BD}{OA} \\\\ ED &=
\\frac{BD\\cdot OA}{OA+OD} \\\\ &=\\frac{BD\\cdot 2}{2+\\sqrt{3}}
\\end{aligned} $$
故：
$$ \\begin{aligned}
&2ED\\cdot\\frac{\\sin60^{\\circ}}{\\sin(60^{\\circ}+2\\angle B)} \\\\
=&\\frac{BD\\cdot 2\\cdot
2\\cdot\\sin60^{\\circ}}{(2+\\sqrt{3})\\cdot\\sin(60^{\\circ}+2\\angle B)} \\\\
=&\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}+1}\\cdot\\frac{\\sin60^{\\circ}}{\\sin(60^{\\circ}+2\\angle B)} \\end{aligned} $$
因为 $\\angle AOC=2\\angle B$，所以 $\\angle AOB=3\\angle B$，故：
$$ \\angle BAC=\\frac{1}{2}\\angle BOA=\\frac{1}{2}(180^{\\circ}-3\\angle
B)=90^{\\circ}-\\frac{3}{2}\\angle B $$
代入可得：
$$ \\begin{aligned}
&\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}+1}\\cdot\\frac{\\sin60^{\\circ}}{\\sin(60^{\\circ}+2\\angle B)} \\\\ =&\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}+1}\\cdot\\frac{\\cos
(\\frac{3}{2}\\angle B)}{\\sin(150^{\\circ}+\\angle B)} \\end{aligned} $$ 故：
$$BD=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}+1}\\cdot\\frac{\\cos (\\frac{3}{2}\\angle
B)}{\\sin(150^{\\circ}+\\angle B)}$$
答案为 $\\boxed{\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}+1}\\cdot\\frac{\\cos
(75^{\\circ})}{\\sin(210^{\\circ})}}$，也可以用三角函数公式化简为 $\\boxed{4-2\\sqrt{3}}$。
3.
答案：
因为 𝑎,𝑏,𝑐 均是整数，则 𝑎𝑏,𝑎𝑐,𝑏𝑐 一定是两两互质的。又根据勾股定理可得：
𝑏2+𝑐2=(𝑎−3)2+(𝑎+4)2
展开可得：
2𝑎2+24𝑎+25=2𝑏2+2𝑐2
因为 $2b^2\\equiv0,2\\pmod{4}$，$2c^2\\equiv0,2\\pmod{4}$，所以
$2a^2+24a+25\\equiv1\\pmod{4}$。又因为平方剩余只有 0 和 1 两种情况，所以
2𝑎2+24𝑎+25 一定不是完全平方数。
因此，由反证法可得 𝑎𝑏𝑐 不能表达成 (𝑎−3)(𝑎+4)𝑏 的形式，故选项 D 正确。
至此，本次希望杯数学邀请赛初二第2试试题答案全部讲解完毕。
