高考物理万有引力定律的应用及其解题技巧及练习题(含答案)含解析

高考物理万有引力定律的应用及其解题技巧及练习题(含答案)含解析

一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用

1．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设宇航员登上月球后，以初速度v0竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t.已知引力常量为G，月球的半径为R，不考虑月球自转的影响，求：

(1)月球表面的重力加速度大小g月；

(2)月球的质量M；

(3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T.

【答案】(1)02vt；(2)202RvGt；(3)022Rtv

【解析】

【详解】

(1)小球在月球表面上做竖直上抛运动，有02vtg月

月球表面的重力加速度大小02vgt月

(2)假设月球表面一物体质量为m，有

2=MmGmgR月

月球的质量202RvMGt

(3)飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，有

222MmGmRRT

飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期

022RtTv

2．2019年3月3日，中国探月工程总设计师吴伟仁宣布中国探月工程“三步走”即将收官，我国对月球的探索将进人新的征程。若近似认为月球绕地球作匀速圆周运动，地球绕太阳也作匀速圆周运动，它们的绕行方向一致且轨道在同一平面内。

(1)已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，月心地心间的距离为r，求月球绕地球一周的时间Tm；

(2)如图是相继两次满月时，月球、地球和太阳相对位置的示意图。已知月球绕地球运动一周的时间Tm＝27.4d，地球绕太阳运动的周期Te＝365d，求地球上的观察者相继两次看到满月满月的时间间隔t。

【答案】(1) 322mrTgR (2)29.6

【解析】

【详解】

（1）设地球的质量为M，月球的质量为m，地球对月球的万有引力提供月球的向心力，则

222mMmGmrrT

地球表面的物体受到的万有引力约等于重力，则

002GMmmgR

解得 322mrTgR

（2）相继两次满月有，月球绕地心转过的弧度比地球绕日心转过的弧度多2，即

2mett

而2mmT

2eeT

解得 29.6t天

3．在地球上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把质量为m的物体P置于弹簧上端，用力压到弹簧形变量为3x0处后由静止释放，从释放点上升的最大高度为4.5x0，上升过程中物体P的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。若在另一星球N上把完全相同的弹簧竖直固定在水平桌面上，将物体Q在弹簧上端点由静止释放，物体Q的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中虚线所示。两星球可视为质量分布均匀的球体，星球N半径为地球半径的3倍。忽略两星球的自转，图中两条图线与横、纵坐标轴交点坐标为已知量。求：

(1)地球表面和星球N表面重力加速度之比；

(2)地球和星球N的质量比；

(3)在星球N上，物体Q向下运动过程中的最大速度。

【答案】(1)2:1(2)2:9(3)0032vax

【解析】

【详解】

（1）由图象可知，地球表面处的重力加速度为 g1=a0

星球N表面处的重力加速度为 g2=00.5a

则地球表面和星球N表面重力加速度之比为2∶1

（2）在星球表面，有

2GMmmgR

其中，M表示星球的质量，g表示星球表面的重力加速度，R表示星球的半径。则

M=2gRG

因此，地球和星球N的质量比为2∶9

（3）设物体Q的质量为m2，弹簧的劲度系数为k

物体的加速度为0时，对物体P：

mg1=k·x0

对物体Q：

m2g2=k·3x0

联立解得：m2=6m

在地球上，物体P运动的初始位置处，弹簧的弹性势能设为Ep，整个上升过程中，弹簧和物体P组成的系统机械能守恒。根据机械能守恒定律，有：

1004.5pEmghmax

在星球N上，物体Q向下运动过程中加速度为0时速度最大，由图可知，此时弹簧的压缩量恰好为3x0，因此弹性势能也为Ep，物体Q向下运动3x0过程中，根据机械能守恒定律，有：

m2a23x0=Ep+2212mv 联立以上各式可得，物体P的最大速度为v=0032ax

4．某宇航员驾驶宇宙飞船到达某未知星球表面，他将一个物体以010m/sv的速度从10mh的高度水平抛出，测得落到星球表面A时速度与水平地面的夹角为60。已知该星球半径是地球半径的2倍，地球表面重力加速度210m/sg＝。则：

（1）该星球表面的重力加速度'g是多少？

（2）该星球的质量是地球的几倍？

【答案】（1）215m/sg（2）星球质量是地球质量的6倍

【解析】

【详解】

（1）星球表面平拋物体，水平方向匀速运动：

010m/sxvv

竖直方向自由落体

'2yvgh2'(2)yvgh

（或yvgt，21'2hgt ）

因为

tan3yxvv

解得215m/sg

（2）对地球表面的物体m，其重力等于万有引力：

2MmmgGR地地

对星球表面的物体m，其重力等于万有引力：

2MmmgGR星星

6MM星地

所以星球质量是地球质量的6倍

5．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个 星体的质量均为 m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为 G， 则:

（1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少?

（2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?

【答案】（1）345LGm（2）33GmL

【解析】

【分析】

（1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期；

（2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度；

【详解】

（1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：222222()(2)GmGmmLLLT

345LTGm

（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗星，满足：2222cos30()cos30LGmmL

解得：33=GmL

6．已知地球同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球半径为R，地球视为均匀球体，两极的重力加速度为g，引力常量为G，求：

（1）地球的质量；

（2）地球同步卫星的线速度大小． 【答案】(1) GgRM2 (2)7gRv

【解析】

【详解】

（1）两极的物体受到的重力等于万有引力，则

2GMmmgR

解得

GgRM2；

（2）地球同步卫星到地心的距离等于地球半径的7倍，即为7R，则

2277GMmvmRR

而2GMgR，解得

7gRv.

7．我国科学家正在研究设计返回式月球软着陆器，计划在2030年前后实现航天员登月，对月球进行科学探测。宇航员在月球上着陆后，自高h处以初速度v0水平抛出小球，测量出小球的水平射程为L(这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R，万有引力常量为G。

(1)试求月球表面处的重力加速度g.

(2)试求月球的质量M

(3)字航员着陆后，发射了一颗绕月球表面做匀速圆周运动的卫星，周期为T，试求月球的平均密度ρ.

【答案】（1）2022hvgL（2）22022hvRMGL （3）23GT

【解析】

【详解】

（1）根据题目可得小球做平抛运动,

水平位移: v0t=L

竖直位移:h=12gt2

联立可得:2022hvgL

（2）根据万有引力黄金代换式2mMGmgR＝， 可得222022hvRgRMGGL

（3）根据万有引力公式2224mMGmRRT＝；可得2324RMGT，

而星球密度MV,343VR

联立可得23GT

8．某双星系统中两个星体 A、B 的质量都是 m，且 A、B 相距 L，它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期

T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值

T0，且 k

(） ，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星体 C 的影响，并认为 C 位于双星 A、B 的连线中点．求：

(1)两个星体 A、B组成的双星系统周期理论值；

(2)星体C的质量．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【详解】

(1)两星的角速度相同,根据万有引力充当向心力知:

可得：

两星绕连线的中点转动,则

解得：

(2)因为C的存在,双星的向心力由两个力的合力提供,则

再结合： k

可解得：

故本题答案是：（1）；（2） 【点睛】

本题是双星问题,要抓住双星系统的条件:角速度与周期相同,再由万有引力充当向心力进行列式计算即可.

9．据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星．假设该行星质量约为地球质量的6倍，半径约为地球半径的2倍．若某人在地球表面能举起60kg的物体，试求：

（1）人在这个行星表面能举起的物体的质量为多少？

（2）这个行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的多少倍？

【答案】（1）40kg（2）3倍

【解析】

【详解】

（1）物体在星体表面的重力等于物体受到的万有引力，又有同一个人在两个星体表面能举起的物体重力相同，故有：22GMmGMmmgmgRR行地地行地行＝＝＝；

所以，2221260406RMmmkgkgMR行地行地＝＝＝；

（2）第一宇宙速度即近地卫星的速度，故有：22 GMmmvRR＝

所以，GMvR ；所以，1 632vMRvMR行行地地地行＝＝＝；

10．已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g，万有引力常量为G。求

(1)地球的质量M；

(2)地球的第一宇宙速度v；

(3)相对地球静止的同步卫星，其运行周期与地球的自转周期T相同。求该卫星的轨道半径r。

【答案】（1）2RgMG（2）gR （3）22324RgT

【解析】

【详解】

（1）对于地面上质量为m的物体，有 2MmGmgR

解得 2RgMG

（2）质量为m的物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有