安徽省六安市数学2020届高中毕业班文数第二次质量检测试卷

安徽省2020届高三下学期第二次百校联考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.设i 是虚数单位，则||1ii=-（ ） A ．12B ．22C ．1D 22.已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合2{|450}A x N x x =∈--<，{1,2,4,5}B =，则[()]U U C A C B =I （ ）A ．{0,3}B ．{2,4,5}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,4,5}3.已知,a b r r 均为单位向量，它们的夹角为60o，2c a b =-r r r ，则下列结论正确的是（ ） A ．//a c r r B ．//b c r r C ．a c ⊥r r D ．b c ⊥r r4.设命题:p x R ∀∈，()()0f x g x •≠，则p ⌝为（ ） A ．00,()0x R f x ∃∈=或0()0g x = B ．00,()0x R f x ∃∈=且0()0g x = C ．,()0x R f x ∀∈=或()0g x = D ．,()0x R f x ∀∈=且()0g x =5.已知一组数据121x +，221x +，L ，21n x +的方差为8，则数据12,,,n x x x L 的标准差为（ ） A ．1 B 2．2 D ．226.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S n a =+-，则n a =（ ）A ．1n -B ．1n +C ．21n -D ．21n + 7.执行如图所示程序框图，输出结果为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．98.已知抛物线2:2(0)C x py p =>，过点(0,2)M -可作C 的两条切线，切点分别为,A B ，若直线AB 恰好过C 的焦点，则P 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 9. 将函数()sin(2)3f x x π=+的图象分别向左、右平移(0)ϕϕ>个单位所得图象恰好重合，则ϕ的最小值为（ ） A ．4π B ．3π C ．2πD ．23π10. 某建筑物是由一个半球和一个圆柱组成，半球的体积是圆柱体积的14，其三视图如图所示，现需要在该建筑物表面涂一层防晒涂料，若每π个平方单位所需涂料费用为100元，则共需涂料费用（ ） A ．6600元 B ．7500元 C ．8400元 D ．9000元11.已知函数2,1(),1xx a x f x e x -≥⎧=⎨≤-⎩的图象上存在关于y 轴的对称点，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,1)e-∞- B ．1(,2)e-∞- C ．1[1,)e-+∞ D ．1[2,)e-+∞12. 已知P 是双曲线221916x y -=右支上任意一点，M 是圆22(5)1x y ++=上任意一点，设P 到双曲线的渐近线的距离为d ，则||d PM +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．475D ．10 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()y f x =为奇函数，若2()()f x g x x =+且(1)1g =，则(1)g -= .14. 已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若数列{}n a 与{2}n S +都是公比为q 的等比数列，则q 的值为 .15.已知,x y 满足约束条件20202x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则2z y x m =-+的最大值与最小值的差为 .16.已知长方体的宽与高相等，其外接球的半径为2，则长方体体积的最大值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，sin cos A a C =，c =（1）求角C ；（2）求cos a B 的取值范围. 18. （本小题满分12分）某机构为了解某地区居民收入情况，随机抽取了100,名居民进行调查，根据调查结果绘制的居民月收入的频率分布直方图如图所示，已知[3500,4500)，[4500,5500)，[5500,6500)月收入段的居民人数成等差数列.（1）求直方图中,a b 的值，并估计这100名居民月收入的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若月收入不低于6500元的称“高收入群体”，在月收入[5500,6500)段和[6500,7500)段按比例抽取5人，再从5人中随机选取3人了解其所从事的职业，求3人中至少有一人属于“高收入人群体”的概率.19. （本小题满分12分）如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，,E F 分别为,SA SD 的中点. （1）证明：//EF 平面SBC ；（2）若平面BEF ⊥平面SAD ，求S ABCD -的体积.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，且经过点(22,2)D .（1）求C 的方程；（2）若00(,)P x y 是第一象限C 上异于点D 的动点，过原点向圆2200()()8x x y y -+-=作切线交C 于,G H 两点，设直线,OG OH 的斜率分别为,OG OH k k ，证明：210OG OH k k +=.21. （本小题满分12分） 已知函数ln ()x xf x ae x=-. （1）当1a e=时，求()f x 的最大值； （2）若()f x 在[,)e +∞上为减函数，求a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，且[,2]αππ∈），曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）求1C 的极坐标方程与2C 的直角坐标方程；（2）若P 是1C 上任意一点，过点P 的直线l 交2C 于,M N 两点，求||||PM PN •的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|2|1x m -<的整数解有且仅有一个为2，其中m Z ∈. （1）求m 的值；（2）设,0ab m a b =>>，证明：22a b a b+≥-.安徽省2020届高三下学期第二次百校联考数学（文）试题参考答案题号 （1）（2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 答案BDCABDCCDADB（1）B 解析：i i 2||==1i 21i 2=--. （2）D 解析：{}{}|(x 1)(x 5)00,1,2,3,4A x N =∈+-<=,{}0,3U C B =，{}()0,3U A C B =I ，所以[]{}()1,2,4,5U U C A C B =I（6）D 解析：当2n ≥时，2112n n S n a n --=+-，与原式相减得1121,21,2 1.n n n n n a a a n a n a n --=-+-=-=+即（7）C 解析：由图可得0ln 2ln1ln3ln 2ln(1)ln ln(1)s i i i =+-+-+++-=+L ，当7i =时，ln82s =>，此时输出的8i =.（8）C 解析：根据抛物线的对称性可知A ，B 关于y 轴对称，则A ， B 的纵坐标与抛物线焦点的纵坐标相同，所以A (,)2p p -，B (,)2p p .又因为切线的斜率与曲线在切点处的导数相等，所以221p p +=，解得 4.p = （9）D 解析：由题意可得sin(2)x π+sin(22)3x πϕ=+-，所以22,3k k Z πϕππ-=+∈，即,3k k Z πϕπ=--∈，当1k =-时，ϕ取最小值23π. （10）A 解析：设圆柱的高为h ，则根据题意可得32243r r h ππ⨯=，解得883h r == ，则该建筑物的表面积22266S r rh πππ=+=，所以共需涂料费用6600元.（11）D 解析：根据题意可得2xe x a =--在(],1x ∈-∞-上有解，即2xy e x a =++在(],1-∞-上有零点,因为2x y e x a =++为增函数,所以12(1)0e a -+⨯-+≥,解得12a e≥-. （12）B 解析：设双曲线的左，右焦点分别为12,,F F 根据题意可得：122||||16||1||5d PM d PF d PF d PF +≥+-=++-=++ ，结合图像可知2||d PF +的最小值为2F 到渐近线的距离，因为2F 到渐近线的距离为4，所以||d PM +的最小值为9.（13）3- 解析：因为2(1)(1)12,f g =+= y=()f x 为奇函数，所以(1)2f -=- ，(1) 3.g -=-（14）32 解析：根据题意可得：2122S q S +=+，即1212q q ++=+，解得32q =. （15）8 解析：画出可行域知z 在点（0,2）处取得最大值2m +，在点（4,2）处取得最小值6m -，所以max min 8z z -=.（16）9解析：设长、宽、高分别为a 、b 、b ，则22216a b b ++=，即22216a b +=， 22(16)2a V ab a -==⨯长方体，令23(16)16()22x x x x f x --==，则'23()802f x x =-=，解得x =（舍去）或x =，当x ∈时，'()0,f x>)x ∈+∞时，'()0,f x <所以max ()f x f ==即长方体体积的最大值为9（17）解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得:1sin cos sin a cA C C ==,因为c =tan C =，所以.3C π=----------4分（Ⅱ）根据正弦定理可知sin 2sin sin ca A A C=⨯=，则cos 2sin cos a B A B =， 因为23A B π+=，所以23B A π=-，2cos 2sin cos()3a B A A π=-11=2sin (cos )sin 22sin(2)2222232A A A A A A π-+=--+=-++因为2(0,),3A π∈所以52(,),333A πππ+∈所以[]sin(2)1,13A π+∈-，333sin(2)1,13222A π⎡⎤-++∈-+⎢⎥⎣⎦则，33cos 1,1.1222a B ⎡⎤∈-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦即分（18）解析：（Ⅰ）由题意知 1000(2a 0.000350.0001)1,20.00035b b a +++=⎧⎨=+⎩解得0.00015,0.00025a b == ……………………3分30000.1540000.3550000.2560000.1570000.104700x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元)---------6分（Ⅱ）根据题意可知月收入在[5500,6500)段抽取3人，在[6500,7500）段抽取2人，设[5500,6500)段抽取的3人为A ，B ，C ，[6500,7500）段抽取的2人为a,b.则这5人中抽取3人的结果有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),A B C A B a A B b A C a A C b (,,)A a b ，(,,),(,,)B C a B C b ，(,,),(,,)B a b C a b ，共10种，其中至少有一人属于“高收入群体”的结果有9种，所以3人中至少有1人属于“高收入群体”的概率为910.----12分 （19）解析：（Ⅰ）因为E ，F 分别是SA ，SD 的中点，所以EF ∥AD ， 又因为AD ∥BC ，所以EF ∥BC ，又BC ⊂平面SBC ，所以EF ∥平面SBC.-------------4分. （Ⅱ）取AD 的中点Ｇ，连接ＳＧ交ＥＦ于点Ｈ，连接B Ｈ，BG ， 则由题意可得EF SG ⊥,H 是SG 的中点，因为平面BEF ⊥平面SAD ，且平面BEF I 平面SAD ＝ＥＦ， 所以SG ⊥平面BEF ，SG ⊥BH ，所以BG=BS=5，根据勾股定理可得3,h =所以143.3S ABCD ABCD V h S -=⨯⨯=――――――１２分（20）解析;（Ⅰ）根据题意可得222222881c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=+⎪⎩，解得2224,12a b ==， 所以C 的方程为221.2412x y +=----------------4分 （Ⅱ）根据题意设切线方程为y kx ==整理得2220000(8)280x k kx y y --+-=，因为,OG OH k k 是该方程的两个根，所以202088OG OHy k k x -⋅=-， 又因为220012412x y +=，即22001122y x =-，所以2020141282OG OH x k k x -⋅==--，即210OG OH k k ⋅+=.-----------12分（21）解析：（Ⅰ）当1a e =时，函数ln ()x x e f x x e =-，则'21ln ()x x e f x x e-=-， 当01x <<时，21ln 1x x ->，1xe e<，所以'()0f x >； 当1x =时，'()0f x =；当1x >时，21ln 0x x -<，0x e e>，所以'()0f x < 所以()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， 所以最大值为(1)1f =-.-----------6分（Ⅱ）()f x 在[)e,+∞上为减函数，即'()0f x ≤在[)e,+∞上恒成立，则2'221ln 1ln ().x xx x ax e f x ae x x---=-= ①当0a ≥时,因为[)e,x ∈+∞,所以1ln 0x -≤，20x ax e -≤，所以'()0f x ≤，符合题意；②当0a <时，'e(e)e 0f a =->，与'()0f x ≤在[)e,+∞上恒成立矛盾，不符合题意.综合可知，a 的取值范围是[)0,+∞.-------------12分 （22）解析：（Ⅰ）∵M 为AB 的中点，∴OM ⊥AB ， ∵N 为CD 的中点，∴ON ⊥CD ，在四边形OMEN 中，∴∠OME+∠ONE=180°， ∴O ，M ，E ，N 四点共圆.------------5分（Ⅱ）因为AB=CD ，所以»»AB CD =,所以»»BC AD =，所以,BDC ABD ∠=∠所以BE=DE ， 连接OB ，OD ，设BD 的中点为1O ，则1EO BD ⊥，1OO BD ⊥， 所以1,,E O O 三点共线，所以EO BD ⊥.--------------10分.（23）解析：（Ⅰ）消去参数可得221x y +=,因为2παπ≤≤，所以11,10x y -≤≤-≤≤，所以曲线1C 是221x y +=在x 轴下方的部分，所以曲线1C 的极坐标方程为1(2)ρπθπ=≤≤， 曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1x y +-=------------5分（Ⅱ）设00(,)P x y ，则010y -≤≤，直线l 的倾斜角为α,则直线l 的参数方程为: 00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ……………………………7分代入2C 的直角坐标方程得2200(cos )(sin 1)1x t y t αα+++-=,由直线参数方程中t 的几何意义可知PM PN ⋅=0|12|y -， 因为010y -≤≤，所以[]1,3PM PN ⋅∈………10分 （24）解析：（Ⅰ）21x m -<，即121m x m -<<+，解得1122m m x -+<<， 因为不等式的整数解为2，所以11222m m -+<<，解得35m <<， 因为m ∈Z ，所以4m =．……………………5分 （Ⅱ）由题意可知4ab =，0a b >>，所以0a b ->，因为222()28()a b a b ab a b a b a b a b +-+==-+≥=---， （当且仅当8a b a b-=-，即a b ==.所以22a b a b+≥-分。

绝密★启用前安徽省宣城市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次调研考试(二模)数学(文)试题(解析版)一、选择题1.已知全集U =R ，集合3{|log 1}A x x =<，2{|2}B x x x =-，则(A B = )A. {|23}x x <B. {|3}x x <C. {|23}x xD. {|23}x x < 【答案】A【解析】【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：3{|log 1}A x x =<，2{|2}B x x x =- {|03}A x x ∴=<<，{|1B x x =-或2}x ，{|23}A B x x ∴⋂=<． 故选：A ．【点睛】本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域和单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.设复数z 满足()12z i i -=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．【详解】解：由足(1)2z i i -=+，得2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i +++===+--+， 则复数z 的在复平面内对应的点的坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，位于第一象限． 故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3.已知143a -=，31log 4b =，131log 4c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 【答案】C【解析】【分析】 根据指数函数对数函数的单调性判断即可； 【详解】解：因为014033-<<，即01a <<，331log log 104b =<=，13331log log 4log 314c ==>= 所以c a b >>故选：C【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性的应用，属于基础题.4.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4813S S =，则816S S =（ ） A. 35 B. 12 C. 13 D. 310【答案】D【解析】【分析】。

2020年安徽省六安市数学高二第二学期期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．盒中有7只螺丝钉，其中有2只是不合格的，现从盒中随机地取出3只，那么恰有1只不合格的概率是（ ）A ．47B ．421C ．17D ．12【答案】A【解析】分析：利用古典概型求恰有1只不合格的概率.详解：由古典概型公式得1225374.7C C P C ==故答案为：A. 点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数n ；②求出事件A 所包含的基本事件数m ；③代公式()P A =A m n=包含的基本事件数总的基本事件个数. 2．对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( ) A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥ B ．若//,a b b α⊂,则//a α C ．若//,,,a b αβαγβγ==则//a bD ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα 【答案】 C 【解析】【分析】【详解】若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有错误； 若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面 外时,才有错误； 由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，则//a b 为真命题, 正确；若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有//,D βα错误.故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.3．命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是 A ．9a ≤B ．8a ≥C ．9a ≥D ．10a ≥【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，利用参数分离的方法求出使命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的a 的取值范围，a 的取值范围构成的集合应为正确选项的真子集，从而推出正确结果．【详解】命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题 9a ∴≥根据选项满足是9a ≥的必要不充分条件只有8a ≥，故答案选B ．【点睛】本题主要考查了简单的不等式恒成立问题以及求一个命题的必要不充分条件．4．已知n 为正整数用数学归纳法证明2()135(21)f n n n =++++-=时，假设*(n k k N =∈）时命题为真，即2()f k k =成立，则当1n k =+时，需要用到的(1)f k +与()f k 之间的关系式是( )A ．(1)()23f k f k k +=+-B ．(1)()21f k f k k +=+-C ．(1)()21f k f k k +=++D ．(1)()23f k f k k +=++【答案】C【解析】 分析：先根据条件确定()1f k +式子，再与()f k 相减得结果.详解：因为()()13521f n n =++++-，所以()()13521f k k =++++-()()()11352121f k k k +=++++-++，所以()()121f k f k k +-=+,选C. 点睛：本题考查数学归纳法，考查数列递推关系.5．设103i z i=+，则z 的共轭复数为 A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i -【解析】 试题分析：()()()1031013,333i i i z i z i i i -===+∴++-的共轭复数为13i -，故选D ． 考点：1.复数的四则运算；2.共轭复数的概念．6．在“石头、剪刀、布”游戏中，规定“石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头”，现有小明、小泽两位同学玩这个游戏，共玩n 局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势.设小明赢小泽的局数为ξ，且10()9D ξ=，则()E ξ=（ ）A ．1B ．43C ．53D ．2 【答案】C【解析】【分析】 由题意可得，每一局中，小明赢小泽的概率为13，且1,3B n ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，先由1210()339D n ξ=⨯⨯=求出n ，然后即可算出()E ξ【详解】由题意可得，每一局中，小明赢小泽的概率为13，且1,3B n ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为1210()339D n ξ=⨯⨯=，所以5n = 所以15()533E ξ=⨯= 故选：C【点睛】本题考查的是二项分布的知识，若(),B n p ξ，则()E np ξ=，()()1D np p ξ=-.7．已知函数221,2()1(2),23x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x af x x =-有6个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．92722a <<B ．94522a <<C ．922a <<D ．4518922a << 【答案】D【解析】画出函数()f x 的图像，将()F x 的零点问题转化为()f x 与x y a =有6个交点问题来解决，画出图像，根据图像确定a 的取值范围. 【详解】 当[)2,4x ∈时，[)20,2x -∈，所以()()()()1122222113333f x f x x x =-=---=--，当[)4,6x ∈时，[)22,4x -∈，所以()()()1221539f x f x x =-=--，当[)6,8x ∈时，[)24,6x -∈，所以()()()12217327f x f x x =-=--.令()()0F x af x x =-=，易知0a ≠，所以()x f x a=，将函数()()F x af x x =-有6个零点问题，转化为函数()f x 图像，与直线x y a=有6个交点来求解.画出()f x 的图像如下图所示，由图可知()1,OB OA k k a ∈，而2222927,5457189OA OB k k ====，故12245189,,,1894522a a ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选D.本小题主要考查分段函数图像与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．已知3a e =，33log 5log 2b =-，c =a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】C【解析】【分析】根据3log y x =的单调性判断,a b 的大小关系，由1a c <<判断出三者的大小关系.【详解】由3log 1a e =<，335log log 2b a e =<=，ln31c =>，则c a b >>.故选C. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.9．下列命题中,正确的命题是（ ）A ．若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z >B ．若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立C ．1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =D ．221212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z = 【答案】C【解析】【分析】A ．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B ．根据实数的共轭复数还是其本身判断2||z z z ⋅=是否成立；C ．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D ．考虑特殊情况：12,1z i z ==，由此判断是否正确.【详解】A ．当122,1i z z i =+=+时，1210z z -=>，此时12,z z 无法比较大小，故错误；B ．当0z =时，0z z ==，所以20z z z ⋅==，所以此时2||z z z ⋅=成立，故错误；C ．根据复数乘法的运算法则可知：10z =或20z =，故正确；D ．当12,1z i z ==时，2212110z z +=-+=，此时10z ≠且20z ≠，故错误.故选：C.【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若z C ∈，则有2z z z ⋅=.10．1()nx x -的展开式中只有第5项二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是（ ）A ．56B ．35C ．56-D ．35- 【答案】C【解析】【分析】根据只有第5项系数最大计算出n ，再计算展开式中含2x 项的系数【详解】 2111()()(1)n r n r r r r n r r n n x T C x C x x x--+-⇒=-=- 只有第5项系数最大,8n =展开式中含2x 项的系数,882181()(1)3r r r r x T C x r x-+-⇒=-⇒= 系数为338(1)56C ⨯-=-故答案选C【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.11．已知曲线()y f x =在点()5(5),f 处的切线方程是80x y +-=，且()f x 的导函数为()f x '，那么()5f '等于A ．3B ．1C ．8-D ．1-【答案】D【解析】【分析】求出切线的斜率即可【详解】由题意切线方程是x+y ﹣8＝0，即y ＝8﹣x ，f'（5）就是切线的斜率，f′（5）＝﹣1，故选：D ．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了某点处的切线斜率的求法，属于基础题．12．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数()f x 1()x D ∈和偶函数()g x 2()x D ∈,使得函数()()f x g x 12()x D D ∈是偶函数； 命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数, 但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =0()x D ∈处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值.那么真命题的个数是 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】对于命题1，取()()0f x g x ==，x ∈R ，满足题意；对于命题2，取()()f x g x x ==，(,0)x ∈-∞，满足题意；对于命题3，取2()()f x g x x ==-，x ∈R ，满足题意；即题中所给的三个命题均为真命题，真命题的个数是3.本题选择D 选项.二、填空题：本题共4小题 13．已知函数()2,0cos ,03x x f x x x π-⎧≤⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，则()2f f =⎡⎤⎣⎦________.【解析】【分析】 推导出221(2)cos cos cos3332f πππ⎛⎫=-==-=- ⎪⎝⎭,从而1[(2)]2f f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,由此能求出结果. 【详解】 函数()2,0cos ,03x x f x x x π-⎧≤⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩221(2)cos cos cos 3332f πππ⎛⎫∴=-==-=- ⎪⎝⎭, 121[(2)]222f f f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 故答案为:2. 【点睛】本题考查分段函数函数的求法,考查学生理解辨析的能力,难度容易.14．已知函数，且，给出下列命题：①；②；③当时， ；④，其中正确的命题序号是_____． 【答案】②③ 【解析】【分析】根据每一个问题构造相应的函数，利用导数研究函数的单调性，进而判断命题正误.【详解】，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，①令，则，设，则，在单调递增，当时，， ，，故①错误. ②令，则在上单调递增，，，，故②正确. ③当时，则，在单调递增，，，由②知，，故③正确.④令，则， 时，，在单调递减， 设，且，，，故④错误.【点睛】证明函数不等式问题，经常与函数性质中的单调性有关.解决问题的关键在于构造什么样函数？ 15．有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a ，b ，1，现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得长方体高的最大值为________； 【答案】14； 【解析】【分析】由体积公式得2ab =，长宽高变化后体积公式为(1)(2)2a b h ++=，这样可用,a b 表示h ，然后结合基本不等式求得最值．【详解】依题意2ab =，设新长方体高为h ，则(1)(2)2a b h ++=， ∴222(1)(2)2242h a b ab a b a b ===+++++++214224422ab ≤==+⨯+，当且仅当2a b =时等号成立．∴h 的最大值为14． 故答案为14． 【点睛】本题考查长方体体积，考查用基本不等式求最值，属于中档题型．16．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ︒∠=，AB=AD 1=.若点E 为DC 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为______.【答案】2116 【解析】 【分析】建立直角坐标系，得出(1,)AE t =-，33,2BE t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的数量积公式即可得出2332AE BE t t ⋅=-+，结合[0,3]t ∈，得出AE BE ⋅的最小值. 【详解】因为AD CD ⊥，所以以点D 为原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为1AD AB ==，所以(1,0)A ，又因为120DAB ︒∠=，所以直线AB 333,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为AB BC ⊥，所以直线BC 的斜率为33- 所以直线BC 的方程为3332y x ⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，解得3y =3)C ，设点E 坐标为(0,)E t ，则3]t ∈，则(1,)AE t =-，3,2BE t ⎛=- ⎝⎭，所以233122AE BE t t t ⎛⎛⎫⋅=-⨯-+⋅=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为t ∈，所以当t =时，AE BE ⋅取得最小值为2116．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

六安2024届高三第二次月考数学试题2023.10（答案在最后）分值：150分时间：120分钟注意事项或温馨提示1．考生务必将自已的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4．保持答题卡卷面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上．1.已知集合{}220A x x x =+->，{|ln(2)}B x y x ==+，则()RA B ⋂=ð（）A.{}11x x -≤<B.{}11x x -≤≤C.{}12x x -≤< D.{}21x x -<≤【答案】D 【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解法和对数函数的性质，分别求得集合,A B ，再结合集合的交集和补集的运算，即可求解.【详解】由不等式22(1)(2)0x x x x +-=-+>，解得<2x -或1x >，即{|2A x x =<-或1}x >又由ln(2)y x =+有意义，则满足20x +>，解得2x >-，即{|2}B x x =>-，可得R {|21}A x x =-≤≤ð，所以(){}R 21A B x x ⋂=-<≤ð.故选：D.2.若命题“，2,0R x x a x --∃<∈”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.(),1-∞ D.(],1-∞【答案】A【解析】【分析】根据题意，转化为对任意的x ∈R ，不等式20x x a --≥恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由命题“2,0R x x a x --∃<∈”为假命题，可得命题“2R,0x x x a ∀∈--≥”为真命题，即对任意的x ∈R ，不等式20x x a --≥恒成立，则满足2(1)41()0a ∆=--⨯⨯-≤，解得14a -≤，即实数a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.故选：A.3.在ABC 中，已知π6A =，2a =，若ABC 有两解，则（）A.24b ≤<B.4b ≥ C.24b << D.02b <<【答案】C 【解析】【分析】根据正弦定理及图形关系得到sin b A a b <<即可得到答案.【详解】如上图所示，要使ABC 有两解，则以B 为圆心，2为半径的圆与射线AC 有两个交点，ABC 有两解的充要条件为sin b A a b <<，代入题设得24b <<.故选：C.4.已知sin cos 3cos tan αααα+=，则2cos tan αα=（）A.35- B.35C.25-D.25【答案】D 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出tan α、2cos α，即可得解.【详解】因为sin cos 3cos tan αααα+=，所以sin sin cos 3cos cos ααααα+=⋅，即2sin cos cos 3cos sin ααααα+=，即2cos 2cos sin ααα=，显然cos 0α≠，所以cos 2sin αα=，则1tan 2α=，又22sin cos 1αα+=，所以24cos 5α=，所以2412cos tan 525αα=⨯=.故选：D5.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%．经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%y ，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数()100.05e R ty λλ=+∈描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t （单位：分钟）的最小整数值为（）A.7 B.8C.9D.10【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件求得λ，然后列不等式来求得t 的取值范围，进而求得t 的最小整数值.【详解】当=0t 时，0100.05e .050.25,0=0.2y λλλ-=++==，所以100.05+0.2et y -=，由100.050.2e0.15t y -≤=+得10e12t -≤，10ln e ln2,10ln2100.693 6.93101ln ,2t tt -⎛⎫-≤-≥⨯≈⨯= ⎝≤⎪⎭，所以t 的最小整数值为7.故选：A6.已知函数()π2cos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>），若()f x 在区间[)0,π内有且仅有3个零点和3条对称轴，则ω的取值范围是（）A.1710,63⎛⎤ ⎥⎝⎦B.1723,66⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1710,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】【分析】利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解.【详解】函数()π2cos 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭(0)>ω．当[)0,πx ∈时，令π6t x ω=+，则ππ66,πt ω⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，若()f x 在[)0,π有且仅有3个零点和3条对称轴，则2cos y t =在ππ66,πt ω⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭有且仅有3个零点和3条对称轴，则π73πππ62ω<+≤，解得171063ω<≤.故选：A ．7.已知0.8e 1a =+，145b =，()3ln 0.8e c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a c b >> B.c b a >> C.b a c>> D.a b c>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数1e 1xy =+，22y x =+，3ln 3y x =+，令()12f x y y =-求导分析单调性可判断a b >，再令()23ln 1,g y x y x x =-=--()0,1x ∈，求导分析单调性可判断b c >.【详解】0.8e 1a =+，0.82b =+，ln0.83c =+，构造函数1e 1xy =+，22y x =+，3ln 3y x =+，令()12e 1xf x y y x =-=--，()0,1x ∈，则()e 10xf x '=->，所以()f x 在()0,1上单调递增，所以()()0.800f f >=，所以0.8e 1.8>，所以0.8e 10.82+>+，所以a b >．令()23ln 1g x y y x x =-=--，()0,1x ∈，()110g x x'=-<，所以()g x 在()0,1上单调递减，所以()()0.810g g >=，所以0.8ln0.810-->，所以0.82ln0.83+>+，所以b c >，所以a b c >>．故选：D8.已知函数f （x ）＝sin x 的图像与直线π0(0)kx y k k --=>恰好有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为1x ，2x ，3x 则()1323πtan 2x x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值为（）A.－2B.－1C.0D.1【答案】A 【解析】【分析】注意到π0(0)kx y k k --=>过定点()π，0，该点为f （x ）＝sinx 的对称中心，则2πx =，132πx x +=.又恰好有3个交点，则直线π0(0)kx y k k --=>为f （x ）＝sin x 在12x x x x ==，处切线，则()()13f x f x k ''==，据此可得答案.【详解】()π0π0kx y k k x y --=⇒--=，得直线过定点()π，0，该点为f （x ）＝sinx 的对称中心，则2πx =，132πx x +=.得()1332πx x x -=-，233πx x x -=-.又恰好有3个交点，则直线π0(0)kx y k k --=>为f （x ）＝sin x 在12x x x x ==，处切线，则()()1313cos cos f x f x k x x k ''==⇒==.又()3333333π=sin cos πsin πtan kx k x x x x x x -⇒-=⇒-=-，则()()13233333π3π1tan 2πtan 2tan 222tan x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--+=--=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请将正确的选项填涂在答题卡上．9.下列说法正确的是（）A.已知函数()f x 的定义域为[]1,1-，则函数()21f x +的定义域为[]1,3-B.幂函数()234()33m f x m m x-=-+在()0,∞+上为减函数，则m 的值为1C.“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件D.在ABC ，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件【答案】BCD 【解析】【分析】根据抽象函数的定义域求法，可判定A 错误；根据幂函数的性质，实数的运算性质，以三角形的性质和正弦定理，结合充分、必要条件的判定方法，可判定BCD 正确.【详解】对于A 中，由函数()f x 的定义域为[]1,1-，令1211x -≤+≤，解得10x -≤≤，即函数()21f x +的定义域为[]1,0-，所以A 错误；对于B 中，由幂函数()234()33m f x m m x-=-+，可得2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，可得1()f x x -=，此时函数()f x 在()0,∞+上为减函数，符合题意；当2m =时，可得2()f x x =，此时函数()f x 在()0,∞+上为增函数，不符合题意，所以m 的值为1，所以B 正确；对于C 中，例如：当1,2a b ==-时，可得22a b <，即充分性不成立；反之：当2a =-，1b =时，满足22a b >，但a b <，即必要性不成立，所以a b >是22a b >既不充分也不必要条件，所以C 正确；对于D 中，在ABC ，若A B >，可得a b >，由正弦定理得sin sin A B >；反之：若sin sin A B >，由正弦定理得a b >，则A B >，所以“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，所以D 正确.故选：BCD.10.若0a >，0b >，且21a b +=，则下列说法正确的是（）A.ab 有最大值18B.+有最大值2C.1aa b+有最小值4 D.224a b +有最小值2【答案】AC 【解析】【分析】利用基本不等式逐一判断即可.【详解】对于A ，()2211122248a b ab ab +=⨯≤⨯=，当且仅当122a b==时取等号，所以ab有最大值18，故A正确；对于B，因为2a b+≥()2222a b a b+≥++=，+≤=，当且仅当122a b==时取等号，+，故B错误；对于C，12224a ab a b aa b a b a b++=+=++≥+=，当且仅当b aa b=，即13a b==时取等号，所以1aa b+有最小值4，故C正确；对于D，因为22422aba b⨯+≥，所以()()22222224422abb a ba b a≥=++++⨯，所以()22224212a ba b++≥=，当且仅当122a b==时取等号，所以224a b+有最小值12，故D错误.故选：AC.11.已知函数()0.5log,02ππcos,21663x xf xx x⎧<<⎪=⎨⎛⎫-≤≤⎪⎪⎝⎭⎩，若存在实数a使得方程()f x a=有五个互不相等的实数根分别为1x，2x，3x，4x，5x，且12345x x x x x<<<<，则下列说法正确的有（）A.01a<< B.122x x+≥C.92f a⎛⎫<⎪⎝⎭D.45341128x xx x++-的取值范围为23,37⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】BCD【解析】【分析】作出()f x在(0,16]上的图象，由方程()f x a=有五个互不相等的实数根，结合图象可得112a≤<，从而判断A；由对数的性质可得121xx=，从而有122222x x xx+=+，结合基本不等式即可判断B；由题意可得95ππ1cos cos 21232f ⎛⎫=<=⎪⎝⎭，结合112a ≤<，即可判断C ；由余弦函数的对称性可得3416x x +=，4528x x +=，代入得4534341116128x x x x x x ++-=-，利用二次函数的性质及不等式的性质可求得45341128x x x x ++-的范围，从而判断D.【详解】作出()f x 在(]0,16上的图象，如图所示：对于A，因为21(4)(12)(16)22f f f f f ⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭，又因为方程()f x a =有五个互不相等的实数根，所以112a ≤<，故A 错误；对于B ，由题意可得111222log log x x =-，且有12202,2x x <≤≤<所以121x x =，所以122222x x x x +=+≥=，当且仅当222x x =，即2x =故B 正确；对于C ，由题意可得9π9π5ππ1cos cos cos 26231232f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由A 可知112a ≤<，所以92f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，由图可知：3x 与4x 关于8x =对称，4x 与5x 关于14x =对称，且324x <≤，45121416x x ≤<<≤，所以344516,28x x x x +=+=，所以45343434343411111611128x x x x x x x x x x x x +++-=+-=-=-因为3416x x +=，所以3416x x =-，所以()()2234444441616648x x x x x x x ⋅=-=-+=--，又因为41214x ≤<，所以()242864848x <--≤，所以34341111164,482837x x x x ≤<≤<，所以342163137x x -≤-<-，即453421133287x x x x +-≤+-<-，故D 正确.故选：BCD 【点睛】关键点睛：这道题的关键是能够准确作出()f x 在(]0,16上的图象，再结合对数函数的性质和余弦函数的对称性，即可求解问题.12.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若函数(12)y f x =+，1(2)2y x f x =-+都为偶函数，令()()g x f x '=，则下列结论正确的有（）A.()f x 的图象关于1x =对称B.()g x 的图象关于点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.(1)1g = D.1001()2475k g k ==∑【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数奇偶性可求得函数()f x 的图象关于1x =对称，()g x 的图象关于点12,2⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，即AB 正确；又可知(1)(1)0g x g x ++-=，所以(1)0g =，即C 错误；经计算可知(2)()1g x g x +=+，又(1)0g =，1(2)2g =，即可得()g k 是等差数列，由前n 项和公式可得D 正确.【详解】根据题意(12)y f x =+为偶函数可得(12)(12)f x f x +=-，即可知(1)(1)f x f x +=-，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，即A 正确；由1(2)2y x f x =-+是偶函数可得1(2)2y f x ''=-+为奇函数，所以满足11(2)(2)022f x f x ''-++--+=，即(2)(2)1g x g x ++-+=，因此()g x 的图象关于点12,2⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，所以B 正确；由(1)(1)f x f x +=-可知(1)(1)f x f x ''+=--，所以(1)(1)0f x f x ''++-=；即(1)(1)0g x g x ++-=，所以()g x 的图象关于点()1,0成中心对称，因此(1)0g =，即C 错误；易知(1)0g =，1(2)2g =，由(1)(1)0g x g x ++-=可得()()20g x g x +-=，联立(2)(2)1g x g x ++-+=可得(2)()1g x g x +-=；所以(2)()1g x g x +=+；即(3)(1)11g g =+=，3(4)(2)12g g =+=⋅⋅⋅易知()g k 是以(1)0g =为首项，公差12d =的等差数列；所以代入等差数列前n 项和公式可知1001100991()100(1)247522k g k g =⨯=⨯+⨯=∑，即D 正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：求解函数性质综合问题时，往往借助函数奇偶性、对称性、周期性等性质进行推理证明，结合对称轴、对称中心等实现求和计算即可.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数()211log (2),12,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则((6))f f -=__________．【答案】8【解析】【分析】根据分段函数的解析式，结合对数的运算，准确计算，即可求解.【详解】由函数()211log (2),12,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，可得()261log 84f -=+=，所以()41((6))428f f f --===.故答案为：8.14.已知π5sin 125α⎛⎫+=⎪⎝⎭，π0,6α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2α=______.【答案】410+【解析】【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及余弦的两角差公式，即可求解．【详解】由π0,6α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πππ,12124α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又πsin 125α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 125α⎛⎫+== ⎪⎝⎭则2ππ3cos212sin 12125αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ4sin22sin cos 1212125ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππcos2cos 2126αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππ3341334cos2cos sin2sin 126126525210αα+⎛⎫⎛⎫=+++=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：33410+．15.在ABC中，AB =，π4C =，当BC +取最大值时，ABC 的面积为______.【答案】65【解析】【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得)BC A ϕ+=+，其中sin 5ϕ=，25cos 5ϕ=，再根据正弦型函数的最值结合面积公式求解即可.【详解】在ABC中，利用正弦定理2πsin sin sin sin 4a b c A B C ====，所以2sin BC a A ==，2sin AC b B ==，有3π2sin 2sin 4BC A B A A ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭4sin 2cos A A =+，即)BC A ϕ=+，其中sin 5ϕ=，cos 5ϕ=，BC +取最大值，即sin()1A ϕ+=时，有sin 5A =，cos 5A =，所以452sin 5BC a A ===，3πsin sin sin )4210B A A A ⎛⎫=-=+=⎪⎝⎭，所以11453106sin 225105ABC S ac B ==⨯=△.故答案为：65.16.已知()f x '是函数()f x 在其定义域上的导函数，且()()1ex f x f x +'-=，()21e f =，若函数()()()()2ln 20exmf x g x mx x m =-+->在区间()0,∞+内存在零点，则实数m 的取值范围是______．【答案】[)1,+∞【解析】【分析】先根据()()1ex f x f x +'-=及()21e f =得到()1ex f x x +=，利用同构得到()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦有解，构造()e 1=--t g t t ，得到()0min e 10g t =-=，故()1ln 0x mx -+=，参变分离得到1e x m x -=在()0,x ∈+∞有解，令()1e x h x x-=，求导得到其单调性，极值和最值情况，得到答案.【详解】()()1ex f x f x +'-=，所以()()e exf x f x '-=，故()e e xf x '⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()e e x f x x c =+，c 为常数，因为()21e f =，又()e 1ef c =+，故0c =，所以()1e xf x x +=，若()()()()2ln 20exmf x g x mx x m =-+->在区间()0,∞+内存在零点，则()12e ln 20ex xm mx x x +-+-=在区间()0,∞+内存在零点，整理得()1ln e1ln 10x mxx mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦，设()e 1=--tg t t ，则()e 1tg t '=-，令()0g t '=得0=t ，当0t >时，()0g t '>，()e 1=--t g t t 单调递增，当0t <时，()0g t '<，()e 1=--tg t t 单调递减，所以()e 1=--tg t t 在0=t 处取得极小值，也是最小值，()0min e 10g t =-=，故()1ln 0x mx -+=时，()1ln e1ln 10x mxx mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦成立，即存在()0,x ∈+∞，使得()1ln 0x mx -+=有解，即1e x m x -=有解，令()1e x h x x -=，则()()12e 1x x h x x--'=，当1x >时，()0h x '>，当01x <<时，()0h x '<，故()1e x h x x -=在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()1e x h x x-=在1x =处取得极小值，也是最小值，又()11h =，故()1h x ≥，所以m 1≥，故实数m 的取值范围[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞【点睛】方法点睛：利用函数()f x 与导函数()f x '的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若()()0f x f x +'>，则构造()()e xg x f x =⋅，若()()0f x f x '->，则构造()()xf xg x =e ，若()()0f x xf x '+>，则构造()()g x xf x =，若()()0f x xf x '->，则构造()()f x g x x=.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos (3)cos a B c b A =-．（1）求sin A 的值；（2）若a =ABC 的面积为，求ABC 的周长．【答案】（1）sin 3A =（2）4+【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换得到3sin cos sin C A C =，计算得到答案.（2）根据面积公式得到3bc =，根据余弦定理得到22283b c bc +-=，整理得到答案.【小问1详解】()cos 3cos a B c b A =-，则sin cos 3sin cos sin cos A B C A B A=-即()3sin cos sin cos sin cos sin sin C A A B B A A B C =+=+=，因为0πC <<，则sin 0C ≠，所以1cos 3A =，()0,πA ∈，则sin 3=A ．【小问2详解】11222sin 2233ABC S bc A bc ==⨯== 3bc =，又2222cos a b c bc A =+-，得22283b c bc +-=，所以28()83b c bc +-=，即2()16b c +=，又0b >，0c >，所以4b c +=，所以周长是4+.18.已知()2sin cos cos f x b x x a x a =-+，其中a ，b ，x ∈R ，且满足π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0f '=．（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程3()log 0f x k +=在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有实数解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()2cos 21f x x x =-+；（2）1,127⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）利用三角函数的倍角公式对原函数化简，可求得a 与b 的关系式，再结合导数的运算法则即可求解；（2）利用正弦函数的单调性可得出函数()f x 的值域，再利用对数函数得单调性即可得解.【小问1详解】由题意，函数21cos 2()sin cos cos sin 2sin 2cos 222222b x b a af x b x x a x a x a a x x +=-+=-⋅+=-+，由π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭8a +=，又因为()cos 2sin 2f x b x a x '=+，由()0f '=，得：b =，所以2a =，所以()f x 的解析式为：()2cos 21f x x x =-+.【小问2详解】由（1）得()π2cos 212sin 216f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以πππ2,662x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，则有π02sin 2136x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，即()03f x ≤≤又因为方程3()log 0f x k +=在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有实数解，所以3()log f x k =-在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立，所以30log 3k ≤-≤，33log 0k -≤≤，3333log 3log log 1k -≤≤所以1127k ≤≤，所以实数k 的取值范围为1,127⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19.已知函数()313f x x ax b =++，当2x =-时，()y f x =有极大值，且()3428=f .（1）求函数()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，讨论函数()f x 在[]4,m -上的最大值.【答案】（1）()31443f x x x =-+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意()20f '-=，可求得a ，再结合()3428=f ，即可求解；（2）分42m -<<-、24m -≤≤和4m >三种情况结合单调性讨论即可求解.【小问1详解】因为()313f x x ax b =++，所以()2f x x a '=+，因为2x =-时，()y f x =有极大值所以：()20f '-=，即40a +=，即4a =-.当4a =-时，()24f x x '=-，令()0f x '<，即22x -<<；令()0f x ¢>，即<2x -或2x >，所以()y f x =在(),2-∞-上单调递增，在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()y f x =在2x =-处取得极大值，符合题目条件.又()3128441633f b =⨯-+=，所以4b =，所以()31443f x x x =-+.【小问2详解】由（1）知，()y f x =在(),2-∞-上单调递增，在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增.①当42m -<<-时，函数()f x 在[]4,m -上单调递增，()3max 1()443f x f m m m ==-+；②当24m -≤≤时，函数()f x 在[)4,2--上单调递增，在()2,2-上单调递减，在(]2,m 上单调递增，又()()28243f f -==，所以()max28()23f x f =-=；③当4m >是，函数()f x 在[)4,2--上单调递增，在()2,2-上单调递减，在(]2,m 上单调递增，且()()2f f m -<，所以()3max 1()443f x f m m m ==-+，综上所述，当42m -<<-或4m >时，3max 1()443f x m m =-+；当24m -≤≤时，max 28()3f x =.20.如图，已知扇形OMN 是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，π3MON ∠=，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO 形状的道路，道路的一个顶点B 在弧MN 上（不含端点），MOB θ∠=，另一顶点A 在半径OM 上，且//AB ON ，ABO 的周长为()f θ，求()f θ的表达式并求()f θ的最大值；（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC 的一个顶点B 在弧MN 上，另两个顶点A 、C 分别在半径OM 、ON 上，且//AB ON ，AC ON ⊥，求花圃ABC 面积的最大值．【答案】（1）()3πsin 1033f θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+，()20310m 3+（2）2253m 3【解析】【分析】(1)由题意结合图形，可得2π3OAB ∠=，由正弦定理得3AB θ=，3π3OA θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入ABO 的周长得()f θ，由三角恒等变换化简得()203πsin 1033f θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+，根据θ的范围即可求出()fθ的最大值；(2)由图可知，ABC 的面积ABO 的面积相等，由余弦定理得22100OA AB OA AB =++⋅，再由基本不等式得1003OA AB ⋅≤，代入ABO 的面积公式即可求ABC 面积的最大值．【小问1详解】因为//AB ON ，π3MON ∠=，所以2π3OAB ∠=，，又因为MOB θ∠=，10OB =，所以在ABO 中，由正弦定理知得1020πsin sin 33sin 32OB ABOA OAB θθ====∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴203AB θ=，3π3OA θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ABO 周长为()20sin sin 33π10f θθθ⎤⎛⎫=+-+ ⎪⎥⎝⎭⎦，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31π3πsin sin 1010sin 102233333f θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=++=++⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，∵π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ2,π333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴当ππ32θ+=时，即π6θ=时，ABO 周长取最大值，为()20310m 3+．【小问2详解】由题意，可知（2）中ABC 的面积与（1）中ABO 同底等高，即二者面积相等，在ABO 中，10OB r ==，AB ON ∥，π3MON ∠=，2π3OAB ∠=，由余弦定理知：2222cos OB OA AB OA AB OAB =+-⋅⋅∠，∴2210023OA AB OA AB OA AB OA AB OA AB =++⋅≥⋅+⋅=⋅，当且仅当OA AB ==∴1003OA AB ⋅≤，()2121100sin m 232323ABC ABO S S OA AB π==⋅⋅= ≤．即花圃ABC 面积的最大值为2m 3．21.已知()()e ln xf x x a x x =-+.（1）当e a =时，求()f x 的最小值；（2）当1a =时，有()()21f x b x -+≥恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）0（2）2b ≤【解析】【分析】（1）求函数()f x 的定义域和导函数，根据()ee x p x x=-的单调性确定函数()f x '的取值规律，由此判断函数()f x 的单调性，求其最值；（2）已知条件等价于等价于e ln 1x x x x b x +--≥在()0,x ∈+∞上恒成立，利用导数求函数()e ln 1x x x x t x x+--=的最小值可得b 的取值范围.【小问1详解】由题意知()()e e ln xf x x x x =-+，()0,x ∈+∞，所以()()e '1e xf x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，易见()ee xp x x=-在()0,x ∈+∞上递增，且()10p =，所以当()0,1x ∈时，()0p x <，即()'0f x <，()f x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0p x >，即()'0f x >，()f x 在()1,+∞上单调递增，故()()10f x f ≥=，所以()f x 的最小值为0.【小问2详解】由已知()()e ln 21xx x x b x -+≥-+在()0,x ∈+∞上恒成立，即e ln 1x x x x bx +--≥在()0,x ∈+∞上恒成立，也即e ln 1x x x x b x +--≥在()0,x ∈+∞上恒成立.令()e ln 1x x x x t x x +--=，()0,x ∈+∞，所以()22e ln 'x x xt x x+=，令()2e ln xx x x ϕ=+，则()x ϕ是()0,∞+上的增函数，又因为12e 1e 10e ϕ-⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()1e 0ϕ=>，所以()x ϕ在区间()0,1上存在唯一的零点0x ，即0020e n 0l xx x +=，由0020e n 0l x x x +=得01ln 000000ln 111e ln ln e x x x x x x x x ⎛⎫=-=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，又由函数()e xq x x =在区间()0,∞+上单调递增，上式等价于()001ln q x q x ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以0001lnln x x x ==-，001e x x =，当()00,x x ∈时，()'0t x <，()t x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()'0t x >，()t x 单调递增，所以()()0000000min00e ln 1112x x x x x x t x t x x x +--++-====，所以2b ≤.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)()a f x ≥恒成立⇔()max a f x ≥；(2)()a f x ≤恒成立⇔()min a f x ≤.22.已知函数()sin ex x f x ax =+的图象在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直．（1）求实数a 的值．（2）讨论()f x 在区间()π,π-上的零点个数．【答案】（1）1a =-（2）()f x 在区间()π,π-上的零点个数为2【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()00f '=，解得即可；（2）由（1）知()sin e x x f x x =-+，求出函数的导函数，令()()m x f x '=，利用导数说明()m x 的单调性，即可得到()f x 在()π,0-上的零点情况，当π()0,x ∈时，将()f x 变形得()1(e sin )e x x f x x x =-，令()e sin x F x x x =-，利用导数说明()F x 的单调性，即可判断其零点个数，从而得解.【小问1详解】因为()sin e x x f x a x =+，则1()cos e xx f x a x -'=⋅+，由题意得，函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线斜率为0，即(0)10f a '=+=，解得1a =-．【小问2详解】由（1）知()sin e x x f x x =-+，(0)0f =，1()cos e x x f x x -'=+，令()()1cos e x x m x f x x -'==+，则()2sin e x x m x x -'=-．当()π,0x ∈-时，20e xx ->，sin 0x <，此时()0m x '>，()f x '单调递增，()(0)110f x f ''<=-+=，故函数()f x 单调递减，所以()(0)0f x f >=，故函数()f x 在()π,0-上无零点．当π()0,x ∈时，将()f x 变形得1()sin (e sin )e ex x x x f x x x x =-+=-，设()e sin x F x x x =-，则()e (sin cos )1x F x x x '=+-，设()e (sin cos )1x k x x x =+-，则()2e cos x k x x '=，易知当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k x '>，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k x '<，故()k x 在π(0,2上单调递增，在π(,π)2上单调递减，又(0)0k =，π2π()e 102k =->，π(π)e 10k =--<，故存在0π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使0()0k x =，当0(0,)x x ∈时，()0k x >，()F x 单调递增；当0,()πx x ∈时，()0k x <，()F x 单调递减，又(0)0F =，故0()0F x >，又(π)π0F =-<，故函数()f x 在0(0,)x 上没有零点，在()0,x π上有1个零点．综上所述，()f x 在区间()π,π-上的零点个数为2．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

绝密★启用前安徽省马鞍山市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次教学质量监测(二模)数学(文)试题(解析版)一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2230,A x x x x =--≤∈Z ，{}2,B x x x =≤∈Z ，则A B =（ ） A. {}1,0,1-B. {}2,1,0,1--C. 1,0,1,2D. {}2,1,0,1,2,3-- 【答案】C【解析】【分析】先利用一元二次不等式，绝对值不等式的解法化简集合A ，B ，再利用集合的交集定义求解.【详解】因为{}{}2230,1,0,1,2,3A x x x x =--≤∈=-Z ，{}{}2,2,1,0,1,2B x x x =≤∈=--Z ， 所以A B =1,0,1,2故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式，绝对值不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知复数z 满足1,)1a b ,(a b =+∈+i R i ，则a b +=（ ）A. 0B. 1C. 1-【答案】A【解析】【分析】 先通过复数除法将1,)1a b ,(a b =+∈+i R i ，化简为1122-=+i a b i ，再利用复数相等求解. 【详解】因为1,)1a b ,(a b =+∈+i R i ， 所以1122-=+i a b i ， 所以11,22a b ==-， 所以0a b +=.故选：A【点睛】本题主要考查复数的基本运算和复数相等，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.命题:0,1x p x e ∀>>，则命题p 的否定是（ ）A. :0,1x p x e ∀>≤B. :0,1x p x e ∀≤≤C. 00:0,1x p x e ∃>≤D. 00:0,1x p x e ∃≤≤【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题求解.【详解】因为命题:0,1x p x e ∀>>是全称命题，所以其否定为特称命题，故为00:0,1x p x e ∃>≤.故选：C【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）。

中考考前综合模拟测试数 学 试 卷（时间：xx 分钟 总分：xx 分）学校________ 班级________ 姓名________ 座号________一、选择题(本大题共10小题，每小题4分,满分40分在每小题给出的选项中，只有一个符合题意，请将正确的一项代号填入下面括号内)1.4的倒数是 （ ）A. -4B. 4C. 14-D. 14 2.下列各式计算的结果是5x 的是（ ）A. 102x x ÷B. 6x x -C. 23x x ⋅D. ()32x 3.某几何体的三视图如下所示，则该几何体可以是（ ）A. B. C. D. 4.2019年春学期，历时近三年，总投资24.3百万元，建筑面积8218平方米的庐阳中学艺体楼投入使用，进一步提升了我校的办学品质．其中“24.3百万”用科学计数法表示为 ( )A. 624.310-⨯B. 62.4310⨯C. 724.310⨯D. 72.4310⨯5.若分式25626x x x -+-的值等于0，则x 的值为（ ） A. 2或3 B. 2 C. 3 D. 无解 6.如图，在平行四边形ABCD 中，100D ∠=︒，DAB∠平分线AE 交DC 于点E ，连接BE ，若AE AB =，则EBC ∠的度数为（ ）A. 30°B. 40︒C. 60︒D. 80︒7.在体育模拟考试中，某班25名男生的跳绳成绩如下表所示： 成绩/次 160 165 170 175 180 185 190 人数1 2 3 5 8 4 2则这些同学跳绳成绩的中位数，众数分别是( )A. 175，180B. 175，190C. 180，180D. 180，190 8.某种商品售价200元/件，经过两次降价后的价格为128元/件,则平均每次降价的百分率为（ ）A. 6.4%B. 12.8%C. 16%D. 20% 9.已知二次函数()2y x h =-- (h 为常数)，当自变量x 的值满足13x ≤≤时，其对应的函数值y 的最大值为1-,则h 的值为 （ ）A. 2或4B. 0或-4C. 2或-4D. 0或410.如图，在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，动点E 从点A 出发，沿A B C→→的路线运动,当点E 到达点C 时停止运动，过点E 作FE AE ⊥,交CD 于点F ，设点E 运动的路程为x ,FC y =.则y 关于x 的图象大致为（ ）A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.27-的立方根是________．12.如图，在平面直角坐标系中，点B 在y 上，OA AB =,反比例函数()0k y x x=>的图像经过点A ，若ABO ∆的面积是4，则k 的值为___.13.如图，已知，在O e 中,150AOB ∠=︒ ,E 是优弧AB 上一点，C 、D 是劣弧AB 上不同的两点(不与A 、B 两点重合)，则C D ∠+∠的度数为______．14.如图,在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒, 3AB =, 点E 在边AD 上,且1DE =，点F 为线段AB 上一动点(不与点A 重合),将菱形沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点'A ，当'A 落在菱形的对角线上时，AF 的长为__________．三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)15.计算：21122sin 452-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭o 16.解不等式组21211224x x x x -≥-⎧⎪⎨⎛⎫+>- ⎪⎪⎝⎭⎩，并在数轴上表示它的解集．四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)17.如图，ABC V 的顶点分别为()()()3,4,B 4,2,C 2,1.A（1）请在平面直角坐标系中做出ABC V 绕原点O 逆时针旋转90o 后得到的111A B C △(点,,A B C 的对应点分别为111,,A B C );(2) 画出点A 在旋转过程中所经过的路径，并求出点A 所经过的路径的长18.如图，某景区的两个景点A 、B 处于同一水平地面上，一架无人机在空中飞行至点C 处时，测得景点A 的俯角为45°,景点B 的俯角为知75°,已知点C 与AB 在同铅直平面内，两景点A 、B 间的距离为100米，求无人机与景点A 的距离CA 为多少米?(结果保留根号)五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)19.如图1，观察数表，如何计算数表中所有数的和?方法1：如图1，先求每行数的和：第1行 ()123 123... n n ++++=++++L第2行 ()2462 2 123 n n ++++=++++L L第n 行 ()223 123 n n n n n n ++++=++++L L故表中所有数的和：()()()123212 3 123n n n n ++++++++++++++=+L L L L ；方法2：如图2．依次以第1行每个数为起点，按顺时针方向计算各数的和：第1组 311=第2组 32422++=第3组 3369633++++=…第n 组 222n m n n n ++++++=L L ，用这n 组数计算的结果，表示数表中所有数的和为： ，综合上面两种方法所得的结果可得等式： ；利用上面得到的规律计算：333312320++++L ．20.如图，在O e 内接ABC ∆中，AB AC =, D 是O e 上一点，AD 的延长线交BC 的延长线于点E ．（1）求证： ACB CDE ∠=∠；（2）若20AB =, 15AD = ,求ED 的长．六、(本题满分12分)21.将正面分别标有数字-1、2、3、4的四张卡片(除数字外其余都相同)洗匀后,背面朝上放置在桌面上.（1）小明从这四张卡片中随机抽取一张， 抽到一张恰好是负数的概率是多少?（2）随机抽出一张，记其数字为b ,不放回,再随机抽出一张， 记其数字为c ,则使关于x 的方程2 =0x bx c ++有实数根的概率是多少?七、(本题满分12分)22.“淮南牛肉汤”是安徽知名地方小吃．某分店经理发现，当每碗牛肉汤的售价为6元时，每天能卖出500碗；当每碗牛肉汤的售价每增加0.5元时，每天就会少卖出20碗，设每碗牛肉汤的售价增加x 元时，一天的营业额为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（2）考虑到顾客可接受价格a 元/碗的范围是69a ≤≤，且a 为整数，不考虑其他因素，则该分店的牛肉汤每碗多少元时，每天的牛肉汤营业额最大？最大营业额是多少元？八、(本题满分14分)23.如图，正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是AD 、CD 上两动点，且满足AE DF =, BE 交AF 于点G ．（1）如图1,判断线段BE 、AF 的位置关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，连接DG ,直接写出DG 的最小值为 ；（3）如图2，点E 为AD 的中点，连接DG ．①求证：GD 平分EGF ∠；②求线段DG 的长度．答案与解析一、选择题(本大题共10小题，每小题4分,满分40分在每小题给出的选项中，只有一个符合题意，请将正确的一项代号填入下面括号内)1.4的倒数是 （ ）A. -4B. 4C. 14-D. 14 【答案】D【解析】【分析】当两数的乘积等于1时，我们称这两个数互为倒数．【详解】解：4的倒数是14． 故选：14． 考点：倒数的定义2.下列各式计算的结果是5x 的是（ ）A. 102x x ÷B. 6x x -C. 23x x ⋅D. ()32x 【答案】C【解析】【分析】 根据同底数幂除法法则、同底数幂相乘法则、幂的乘方法则对各项进行运算验证即可求得．【详解】A ．1028x x x =÷，不符合题意B ． 6x x -，无法进行运算，不符合题意C ． 235x x x ?，符合题意 D ． ()326x x =，不符合题意故选：C【点睛】本题考查了同底数幂除法法则、同底数幂相乘法则、幂的乘方法则，应熟练掌握这些法则． 3.某几何体的三视图如下所示，则该几何体可以是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】解：根据主视图、左视图、俯视图的平面图形，可以判断该几何体为A ．故选：A4.2019年春学期，历时近三年，总投资24.3百万元，建筑面积8218平方米的庐阳中学艺体楼投入使用，进一步提升了我校的办学品质．其中“24.3百万”用科学计数法表示为 ( )A. 624.310-⨯B. 62.4310⨯C. 724.310⨯D. 72.4310⨯【答案】D【解析】【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n 的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n 是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数【详解】24.3百万=724300000=2.4310⨯，故选D.【点睛】此题考查科学记数法一表示较大数，难度不大5.若分式25626x x x -+-的值等于0，则x 的值为（ ） A. 2或3B. 2C. 3D. 无解【答案】B【解析】【分析】 根据分式方程的值为0，可得2560x x -+=，260x -≠，即可求解．【详解】∵25626x x x -+-的值为0 ∴2560x x -+=，260x -≠2560x x -+=(2)(3)0x x --=解得x=2或x=3又∵260x -≠，3x ≠∴x=2故选：B【点睛】本题考查了分式方程为0的条件：分式的分子为0，且分母不为0．6.如图，在平行四边形ABCD 中，100D ∠=︒，DAB ∠的平分线AE 交DC 于点E ，连接BE ，若AE AB =，则EBC ∠的度数为（ ）A. 30°B. 40︒C. 60︒D. 80︒【答案】A【解析】【分析】 由平行四边形的性质得出∠ABC=∠D=100°，AB ∥CD ，得出∠BAD=180°-∠D=80°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABE=70°，即可得出∠EBC 的度数【详解】//,180,80DC AB D DAB DAB Q ∴∠+∠=︒∴∠=︒，∵∠ABC=∠D=100°，AE 为角平分线，∴40EAB ∠=︒AE AB =Q70EBA ∴∠=︒,1007030EBC ∴∠=︒-︒=︒,故选A.【点睛】此题考查平行四边形的性质，难度不大7.在体育模拟考试中，某班25名男生的跳绳成绩如下表所示：则这些同学跳绳成绩的中位数，众数分别是( )A. 175，180B. 175，190C. 180，180D. 180，190【答案】C【解析】【分析】中位数：是指将所有数从小到大或从大到小排列后,如果总数为奇数个,中位数就是排在最中间的那个数,众数:一组数据中,出现次数最多的数据．【详解】中位数为180，众数为180，故选C.【点睛】此题主要考查中位数、众数的概念，难度不大8.某种商品售价200元/件，经过两次降价后的价格为128元/件,则平均每次降价的百分率为（）A. 6.4%B. 12.8%C. 16%D. 20%【答案】D【解析】【分析】设该商品平均每次降价的百分率为x，根据该商品的标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中小于1的值即可得出结论【详解】设该商品平均每次降价的百分率为x，根据题意得：200(1−x)2=128，解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去)．∴该商品每次降价的百分率为20%．故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找到等量关系列出一元二次方程是解题的关键．9.已知二次函数()2=-- (h为常数)，当自变量x的值满足13y x h≤≤时，其对应的函数值y的最大值x-,则h的值为（）为1A. 2或4B. 0或-4C. 2或-4D. 0或4【答案】D【解析】【分析】分h<1、1≤h≤3和h>3三种情况考虑：当h<1时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当1≤h≤3时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h>3时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论． 【详解】当h<1时，有−(1−h)2=−1，解得：h 1=0，h 2=2(舍去)；当1⩽h ⩽3时，y=−(x−h)2的最大值为0，不符合题意；当h>3时，有−(3−h)2=−1，解得：h 3=2(舍去)，h 4=4．综上所述：h 的值为0或4．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 10.如图，在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动,当点E 到达点C 时停止运动，过点E 作FE AE ⊥,交CD 于点F ，设点E 运动的路程为x ,FC y =.则y 关于x 的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分为两种情况：当E 点在AB 上运动时和当E 点在BC 上运动时，再把x,y 代入得出解析式即可【详解】当E 点在AB 上运动时，06x ≤≤，,AE x FC y ==，6x y +=，即6y x =-+，为一次函数； 当E 点在BC 上运动时，68x <≤，易证ABE EFC ∆∆:,AB EB EC FC ∴=，即6610x x y -=-，化简得()28263x y --=+，即当8x =时，y 有最大值23，故选B.【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于分情况讨论二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.27-的立方根是________．【答案】－3.【解析】【分析】根据立方根的定义求解即可.【详解】解：－27的立方根是－3，故答案为－3.【点睛】本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟知立方根的概念是解题的关键.12.如图，在平面直角坐标系中，点B 在y 上，OA AB =,反比例函数()0k y x x=>的图像经过点A ，若ABO ∆的面积是4，则k 的值为___.【答案】4.【解析】【分析】如图,过点A 作AD ⊥y 轴于点D,结合等腰三角形的性质得到△ADO 的面积为2,所以根据反比例函数系数k 的几何意义求得k 的值【详解】如图，过点A 作AD y ⊥轴于点D ，AB AO =Q ，ABO ∆的面积为4，22ADO kS ∆∴==，又反比例函数的图象位于第一象限，0k >，则4k =，故答案为4.【点睛】此题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题关键在于算出三角形AOD 的面积13.如图，已知，在O e 中,150AOB ∠=︒ ,E 是优弧AB 上一点，C 、D 是劣弧AB 上不同的两点(不与A 、B 两点重合)，则C D ∠+∠的度数为______．【答案】105︒【解析】【分析】根据圆心角与弧的关系及圆周角定理不难求得C D ∠+∠的度数．【详解】∵150AOB ∠=︒∴弧AB 的度数为150︒∴C D ∠+∠=12(»AE 度数+»BE 度数) =1(360150)2⨯︒-︒=105︒ 故答案为：105︒【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系，及圆周角定理．14.如图,在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒, 3AB =, 点E 在边AD 上,且1DE =，点F 为线段AB 上一动点(不与点A 重合),将菱形沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点'A ，当'A 落在菱形的对角线上时，AF 的长为__________．【答案】2或513-【解析】【分析】分为两种情况:当点'A 在BD 上时和当点'A ;在AC 上时，再利用菱形的性质和等边三角形的性质进行解答．【详解】①当点'A 在BD 上时，如图:则'60EA F A ∠=∠=︒，EA EA '=，FA='A F∴'120EA D FA B '∠+∠=︒∵四边形ABCD 是菱形∴AB=AD=3∵60A ∠=︒∴△ABD 为等边三角形，∴120A FB FA B ''∠+∠=︒∴A FB EA D ''∠=∠∴DEA BA F ''∆∆:∴DA EA DE BF A F BA ''==''∵DE=1∴312EA AE '==-=设AF=FA '=x ， DA y '=2BA y '=- 2133y x x y==-- 解得x=513-∴AF=513-②当点'A 在AC 上时，如图:则EF 垂直平分'AA∵四边形ABCD 是蒙形，∠DAB=60°∴∠DAC=∠CBA=30 ，∠AFE=∠DAB=60°∴EAF 是等边三角形，∴AF=AE=2 综上所述:AF=2或513-故答案为：2或513【点睛】本题考查了菱形的性质和等边三角形的性质和判定，分情况讨论是解题的关键，每种情况都不能遗漏．三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)15.计算：21122sin 452-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭o 【答案】3.【解析】【分析】根据绝对值，特殊角的三角函数值和负指数幂进行计算即可【详解】原式2-1-2+4 =3【点睛】此题考查绝对值，特殊角的三角函数值和负指数幂，掌握运算法则是解题关键16.解不等式组21211224x x x x -≥-⎧⎪⎨⎛⎫+>- ⎪⎪⎝⎭⎩，并在数轴上表示它的解集． 【答案】11x -≤<，在数轴上表示见解析．【解析】【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【详解】21211224x x x x -≥-⎧⎪⎨⎛⎫+>- ⎪⎪⎝⎭⎩解不等式，212x x -≥-，得1x ≥-，解不等式11224x x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭， 得1x <．∴原不等式组的解集为11x -≤<，在数轴上表示为．【点睛】本题考查了不等式组的解法，求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即为不等式组的解集．考查了不等式组的解集在数轴上的表示． 四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)17.如图，ABC V 的顶点分别为()()()3,4,B 4,2,C 2,1.A（1）请在平面直角坐标系中做出ABC V 绕原点O 逆时针旋转90o 后得到的111A B C △(点,,A B C 的对应点分别为111,,A B C );(2) 画出点A 在旋转过程中所经过的路径，并求出点A 所经过的路径的长【答案】(1) 111A B C △如图所示见解析；(2) 路径如图所示见解析，路径长为52π 【解析】【分析】（1)在平面直角坐标系中画出A,B,C 的对应点111,,A B C ,然后顺次连接即可;(2)求出AO 的长，根据弧长公式进行计算即可求出点A 所经过的路径长.【详解】(1) 111A B C △如图所示(2) 路径如图所示，则2234=5+路径长为905180π⋅⋅ =52π. 【点睛】此题考查作图-旋转变换，解题关键在于掌握作图法则18.如图，某景区的两个景点A 、B 处于同一水平地面上，一架无人机在空中飞行至点C 处时，测得景点A 的俯角为45°,景点B 的俯角为知75°,已知点C 与AB 在同铅直平面内，两景点A 、B 间的距离为100米，求无人机与景点A 的距离CA 为多少米?(结果保留根号)【答案】无人机与景点A 的距离CA 为(502506)+米． 【解析】 【分析】 过点B 作BE AC ⊥于点E ，根据已知在Rt ABE ∆中，可求出BE ，AE=BE ，在Rt CBE ∆中，求出BC ，利用特殊角三角函数，再求出CE ，CA=CE+AE ，即可求出CA ．【详解】过点B 作BE AC ⊥于点E ，根据题意45CAB ∠=︒，754530ACB ∠=︒-︒=︒，在Rt ABE ∆中，sin BE EAB AB ∠=，即sin 45100BE ︒=， ∴502BE =，∴502AE BE ==，在Rt CBE ∆中，21002BC BE ==，tan BE ECB CE ∠=，即502tan 30︒=， ∴506CE =，∴502506CA =+，故答案为：无人机与景点A 的距离CA 为2506)米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解题的关键是借助俯角构造直角三角形并解直角三角形，是数形结合思想的应用．五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)19.如图1，观察数表，如何计算数表中所有数的和?方法1：如图1，先求每行数的和：第1行 ()123 123... n n ++++=++++L第2行 ()2462 2 123 n n ++++=++++L L第n 行 ()223 123 n n n n n n ++++=++++L L 故表中所有数的和：()()()123212 3 123n n n n ++++++++++++++=+L L L L ；方法2：如图2．依次以第1行每个数为起点，按顺时针方向计算各数的和： 第1组 311=第2组 32422++=第3组 3369633++++=…第n 组 222n m n n n ++++++=L L ，用这n 组数计算的结果，表示数表中所有数的和为： ，综合上面两种方法所得结果可得等式： ；利用上面得到的规律计算：333312320++++L ．【答案】方法1：()22114n n +；方法2：3n ；3333123n ++++L ； ()223333111234n n n +=++++L ；44100.【解析】【分析】方法1：先提取公因式，然后利用计算公式(1)1232n n n +++++=L ，即可求解． 方法2：根据规律第1组311=，第2组32422++=，第3组3369633++++=可找到规律，2322n m n n n n ++++++=L L根据表中所有数的和相等，将方法1和方法2综合即可得等式．333312320++++L 结合上一问所得等式即可求出解．【详解】方法1:()()()123212 3 123n n n n +++++++++++++++L L L L =2(1)2(1)3(1)(1)2222n n n n n n n n ++++++++L =(1)(123)2n n n +++++L =(1)(1)22n n n n ++g =22(1)4n n + 方法2：222n m n n n ++++++L L=3n用这n 组数计算的结果，表示数表中所有数的和为：3333123n ++++L ；综合上面两种方法所得的结果可得等式：22(1)4n n +3333123n =++++L ； 计算22333320(201)12320441004+++++==L ． 【点睛】本题是找规律的一道题目，掌握计算公式(1)1232n n n +++++=L 是解题关键． 20.如图，在O e 的内接ABC ∆中，AB AC =, D 是O e 上一点，AD 的延长线交BC 的延长线于点E ．（1）求证： ACB CDE ∠=∠；（2）若20AB =, 15AD = ,求ED 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）353． 【解析】【分析】（1）根据圆的内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，可得ABC CDE ∠=∠，又因为AB AC =，A ABC CB =∠∠，即可证得 ACB CDE ∠=∠．（2）由（1）结论，可得ADC ACE ∠=∠，又因为CAD CAD ∠=∠，可得ADC ACE ∆∆:，得出相似比，代入已知线段长度，即可求解．【详解】∵内接四边形ABCD ，∴ABC CDE ∠=∠，∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∴ACB CDE ∠=∠;（2）由（1）得20AB AC ==，ACB CDE ∠=∠，∴ADC ACE ∠=∠，又∵CAD CAD ∠=∠，∴ ADC ACE ∆∆:， ∴AD AC AC AE =，即152020AE=， ∴803AE =， ∴353DE AE AD =-=． 故答案为：353【点睛】本题考查了圆的内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，相似三角形的判定及性质．六、(本题满分12分)21.将正面分别标有数字-1、2、3、4的四张卡片(除数字外其余都相同)洗匀后,背面朝上放置在桌面上.（1）小明从这四张卡片中随机抽取一张， 抽到一张恰好是负数的概率是多少?（2）随机抽出一张，记其数字为b ,不放回,再随机抽出一张， 记其数字为c ,则使关于x 的方程2 =0x bx c ++有实数根的概率是多少?【答案】（1）抽到一张恰好是负数的概率是14；（2）P (方程20x bx c ++=有实数根)12=． 【解析】【分析】（1）小明从这四张卡片中随机抽取一张，共有四种不同的结果，其中这四种结果中，只有一种结果是负数:小明抽到一张恰好是负数的概率是14（2）依题意可知:不放回的抽取两张，出现的结果可以是(-1，2)，(-1，3)，(-1，4)，(2，-1)，(2，3)，(2，4)，(3，-1)，(3，2)，(3，4)，(4，-1)，(4，2)，(4，3)这12种不同的结果，其中前面的数字是b ，后面的数字是c ，列出树状图，若方程x 2+bx+c=0有实数根，则b 2-4c ≥0得b 2≥4c ，满足此条件的结果只有(2，-1)，(3，-1)，(3，2)，(4，-1)，(4，2)，(4，3)这6种，使关于x 的方程x 2+bx+c=0有实数根的概率是612【详解】（1）∵小明从这四张卡片中随机抽取一张，共有四种不同的结果，其中这四种结果中，只有一种结果是负数∴小明抽到一张恰好是负数的概率是：14 故答案为：14（2）列出树状图：∵共有12种等可能结果，其中满足方程20x bx c ++=有实数根的结果有6种，∴P (方程20x bx c ++=有实数根)61122==． 故答案为：12【点睛】本题考查了随机事件求概率方法，作树状图或列表时，应按一定的顺序，做到不重不漏．用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比．七、(本题满分12分) 22.“淮南牛肉汤”是安徽知名地方小吃．某分店经理发现，当每碗牛肉汤的售价为6元时，每天能卖出500碗；当每碗牛肉汤的售价每增加0.5元时，每天就会少卖出20碗，设每碗牛肉汤的售价增加x 元时，一天的营业额为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（2）考虑到顾客可接受价格a 元/碗的范围是69a ≤≤，且a 为整数，不考虑其他因素，则该分店的牛肉汤每碗多少元时，每天的牛肉汤营业额最大？最大营业额是多少元？【答案】(1) 2402603000y x x =-++；(2)售价为9元每碗时，每天的最大营业额为3420元【解析】【分析】（1）根据题意：售价×碗数=一天的营业额=（6+x ）(500-20×0.5x ) （2）由（1）可得当 3.25x <时y 随着x 的增大而增大，再结合x 取整数，即可解答，将x=3代入函数关系式可得最大营业额【详解】(1) 2(6)(50040)402603000y x x x x =+-=-++(2) 由(1)得()240 3.253422.5y x =--+,400-<，当 3.25x <时y 随着x 的增大而增大，又69,03a x ≤≤∴≤≤，结合x 为整数，故当3x =,即售价为9元每碗时，每天的最大营业额为3420元【点睛】此题考查二次函数的实际应用，列出方程是解题关键八、(本题满分14分)23.如图，正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是AD 、CD 上两动点，且满足AE DF =, BE 交AF 于点G ．（1）如图1,判断线段BE 、AF 的位置关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，连接DG ,直接写出DG 的最小值为 ；（3）如图2，点E 为AD 的中点，连接DG ．①求证：GD 平分EGF ∠；②求线段DG 的长度．【答案】（1）BE AF ⊥；理由见解析；（251；（3）①见解析；②2105DG =． 【解析】【分析】（1）证明ABE DAF ∆∆≌，即可解答．（2）取AB 的中点0，连接OG 、OD ，则OG=12AB=1，在Rt △AOD 中，根据勾股定理计算出OD 的值；根据三角形的三边关系，可得OG+DG>OD ，于是当O 、D 、G 三点共线时，DG 的长度最小为OD-OG ，据此解答．（3）①过点D 作DM GE ⊥于M ，DN GF ⊥于N ，可得四边形MGND 为矩形，再证得MDE NDF ∆∆≌，所以DM ND =，又因为DM GE ⊥， DN GF ⊥，可得GD 平分EGF ∠; ②在Rt ADF ∆中，根据1122ADF S AD DF AF DN ∆=⋅=⋅，可求得DN ，在Rt DGN ∆中，45DGN ∠=︒，sin 45DN DG =︒，即可求得DG ． 【详解】（1）BE AF ⊥；理由：∵四边形ABCD 为正方形．∴AB AD =，90BAD ADC ∠=∠=︒，∵AB AD BAD ADC AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE DAF ∆∆≌，∴ABE DAF ∠=∠，又∵90DAF BAG ∠+∠=︒，∴90ABE BAG ∠+∠=︒，∴90AGB ∠=︒，∴BE AF ⊥；（2）取AB 的中点O,连接OG 、OD ，如图所示：则OG=12AB=1 在Rt △AOD 中，2222125OA AD +=+=根据三角形的三边关系，OG+DG>OD ，当O 、D 、G 三点共线时，DG 的长度最小，最小值51 51（3）①过点D 作DM GE ⊥于M ，DN GF ⊥于N ，∵90EGF M DNG ∠=∠=∠=︒．∴四边形MGND 为矩形，∴90MDN ∠=︒，即90MDE EDN ∠+∠=︒，又∵90FDN EDN ∠+∠=︒，∴MDE FDN ∠=∠，又∵90M DNF ∠=∠=︒，∴ MDE NDF ∆∆≌，∴DM ND =，又∵DM GE ⊥， DN GF ⊥，∴GD 平分EGF ∠;②在Rt ADF ∆中，22125AF =+=，∵1122ADF S AD DF AF DN ∆=⋅=⋅， ∴255DN =， 在Rt DGN ∆中，45DGN ∠=︒，∴210sin 455DN DG ==︒．2105【点睛】此题考查正方形的性质和三角形全等的性质和判定，解题关键在于证明三角形全等。

数学（文）试题一、单选题1．若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2．若复数满足，则（）A．1 B．C．2 D．【答案】D【解析】先利用复数的除法运算法则化简复数，然后利用复数模的公式求解即可. 【详解】因为，所以，则，故选D.3．若双曲线的焦点到渐近线的距离是2，则的值是（）A．2 B．C．1 D．4【答案】A4．在中，，若，，则（）A．B．C．D．【答案】A5．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比净利润占比则下列判断中不正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器营销亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B6．若在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的慨率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不等式表示的区域面积为，表示的区域的面积为，利用几何概型概率公式即可得出结论.【详解】不等式表示的区域是半径为1的圆，面积为，且满足不等式表示的区域是边长为的正方形，面积为，在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的慨率，故选B.7．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（）（注：1丈=10尺）A．1946立方尺B．3892立方尺C．7784立方尺D．11676立方尺【答案】B8．将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的图象关于点对称B．函数的周期是C．函数在上单调递增D．函数在上最大值是1【答案】C9．设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C11．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，所以为偶函数，选项B错误，，令，则恒成立，所以是单调递增函数，则当时，，故时，，,即在上单调递增，故只有选项A正确。

合肥市2020年高三第二次教学质量检测数学试题（文科）第Ⅰ卷 （满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{1,3,5,7},|28==>xA B x ，则A B =( )A. {1}B. {1,3}C. {5,7}D. {3,5,7}【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】∵集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |2x ＞8}＝{x |x ＞3}，∴A ∩B ＝{5，7}． 故选：C ．【点睛】本题考查集合的基本运算，考查指数不等式、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()i i i e z π+⋅=，则z =（ ）A. 1B.22C.322【答案】B 【解析】 【分析】由新定义化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出z 后再求模． 【详解】由题意(1)cos sin 1(1)(1)i i i i i i z e ii i i i i πππ--====+++-+-+--111222i i -+==-，∴2z ==． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化i e π为代数形式，然后求解．3.若实数x ，y 满足约束条件240403230x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A. 5-B. 4-C. 7D. 16【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图射线BA ，线段BC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:20l x y -=，向上平移直线l 时2z x y =-减小，∴当l 过点(0,4)B 时，2z x y =-取得最小值－4． 故选：B ．【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，注意本题中可行域不是多边形内部，而是一个开放性区域．4.已知数列{}n a 是等差数列，若622,39==a S ，则7a =( ) A. 18 B. 17C. 15D. 14【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a 7． 【详解】∵数列{a n }等差数列，a 2＝2，S 6＝39，∴112656392a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得a 1＝﹣1，d ＝3， ∴a 7＝﹣1+6×3＝17．故选：B ．【点睛】本题考查数列的某项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.在平行四边形ABCD 中，若,=DE EC AE 交BD 于F 点，则AF =( )A. 2133AB AD + B.2133AB AD - C. 1323AB AD -D. 1233AB AD +【答案】D 【解析】 【分析】根据题意知，点E 为CD 的中点，并设AF AE λ=，根据向量加法、数乘的几何意义及向量的数乘运算即可得出2AF AB AD λλ=+，而根据三点B ，F ，D 共线即可得出λ的值，从而用AB AD ，表示出AF ．【详解】如图，∵DE EC =，∴E 为CD 的中点， 设11222AF AE AB BC CD AB AD AB AB AD λλλλλ⎛⎫⎛⎫==++=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且B ，F ，D 三点共线， ∴12λλ+=，解得23λ=， ∴1233AF AB AD =+． 故选：D ．【点睛】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，相等向量和相反向量的定义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．6.函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A. 函数()f x 的图象可由sin y A x ω=的图象向左平移6π个单位得到 B. 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C. 函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增的 D. 函数()f x 图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 【详解】由图象可知A ＝2，f （0）＝1， ∵f （0）＝2sinφ＝1，且02πϕ＜＜，∴6π=ϕ， ∴f （x ）＝2sin （ωx 6π+）， ∵f （512π）＝0且为单调递减时的零点， ∴52126k ππωππ⋅+=+，k ∈Z ， ∴2425kω=+，k ∈Z ，由图象知25212T ππω=⨯＞， ∴ω125＜，又∵ω＞0，∴ω＝2，∴f （x ）＝2sin （2x 6π+）， ∵函数f （x ）的图象可由y ＝A sinωx 的图象向左平移12π个单位得，∴A 错， 令2x 62k πππ+=+，k ∈Z ，对称轴为x 62k ππ=+，则B 错， 令2x ,622k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦,则x ,3262k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，则C 错， 令2x 6π+=k π，k ∈Z ，则x ＝212k ππ-，则D 对， 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．7.若函数4()()2=-F x f x x 是奇函数，1()()2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭xG x f x 为偶函数，则(1)f -=( )A. 52-B. 54-C.54D.52【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得f （1）+f （﹣1）＝4，及()()3112f f --=，两式联立即可求得f （﹣1）． 【详解】∵函数F （x ）＝f （x ）﹣2x 4是奇函数，∴F （1）+F （﹣1）＝0，即f （1）﹣2+f （﹣1）﹣2＝0，则f （1）+f （﹣1）＝4①， ∵()()1()2xG x f x =+为偶函数，∴G （1）＝G （﹣1），即()()11122f f +=-+，则()()3112f f --=②， 由①②解得，()3452124f --==． 故选：C ．【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，考查函数值的求解，根据奇偶性的定义建立关于f （1），f （﹣1）的方程组是解题关键，属于基础题．8.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形．该矩形长为+a b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF BC⊥于点F，则下列推理正确的是（）①由图1和图2面积相等得abda b=+；②由AE AF≥2222a b a b++≥；③由AD AE≥222112a ba b+≥+；④由AD AF≥可得222a b ab+≥．A. ①②③④B. ①②④C. ②③④D. ①③【答案】A【解析】【分析】根据图形进行计算．【详解】①由面积相等得()ab a b d=+，abda b=+，正确；②在图3中，由三角形面积得AF =，又AE ==， 由AE AF ≥得a b ≥+2a b +≥，正确；③AD =由AD AE ≥≥2211ab a b a b≥=++，正确；④由由AD AF ≥≥，所以222a b ab +≥，正确．四个推理都正确． 故选：A ．【点睛】本题考查推理，通过构造几何图形推导出基本不等式及其推论．本题考查数学文化，激发学生的学习积极性．9.已知函数22log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则()(1)f x f x <+的解集为( ) A. (1,)-+∞ B. (1,1)-C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数的单调性，分类讨论求得x 的范围．【详解】∵函数()22111log x x f x x x ⎧=⎨-≤⎩，＞，，则f （x ）＜f （x +1），∴当x ≤0时，则x +1≤1，则不等式f （x ）＜f （x +1），即x 2﹣1＜（x +1）2﹣1，求得12-＜x ≤0．当0<x ≤1时，则x +1>1，则不等式f （x ）＜f （x +1），此时f （x ）=x 2﹣1＜0＜f （x +1）=log 2（x +1），∴0<x ≤1成立．当x ＞1时，不等式f （x ）＜f （x +1），即 log 2x ＜log 2（x +1），求得x ＞1． 综上可得，不等式的解集为（12-，+∞），故选：C ．【点睛】本题主要考查分段函数与不等式的综合，涉及到二次函数、对数函数的单调性及值域的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．10.记1F ，2F 为椭圆22:1x C y m+=的两个焦点，若C 上存在点M 满足120MF MF ⋅=，则实数m 取值范围是( ) A. 10,[2,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦B. 1,1[2,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭C. 10,(1,2]2⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D. 1,1(1,2]2⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】椭圆上的点M 与焦点构成的角中，当点在短轴的顶点时角∠F 1MF 2最大，分焦点在x ，y 轴两种情况讨论可得实数m 的范围．【详解】当焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝1，m ＞1， 由对称性可知当M 为上下顶点时，∠F 1MF 2最大，因为120MF MF ⋅=，∴∠F 1MF 22π≥，∠F 1MO 4π≥，所以tan∠F 1MO 4c tan b π=≥=1，即11m -≥1，解得m ≥2； 当焦点在y 轴上时，a 2＝1，b 2＝m ，0＜m ＜1，当M 为左右顶点时，∠F 1MF 2最大，因为120MF MF ⋅=，∠F 1MF 22π≥，∠F 1MO 4π≥，所以tan∠F 1MO 4c tan b π=≥=11mm-≥1，解得0＜m 12≤， 故选：A ．【点睛】本题考查椭圆上的点于焦点构成的角当为短轴的顶点时角最大的性质，属于中档题． 11.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着,,A B C 三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶.经过前期走访得知，这四个贫困户甲、乙、丙、丁选择,,A B C 三个项目的意向如下： 扶贫项目 ABC贫困户 甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为( ) A. 38B.58C.516D.12【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，甲乙只能选A ，B 项目，丁只能选A ，C 项目，丙则都可以．所以分成三类将所有情况计算出来，套用概率公式计算即可．【详解】由题意：甲乙只能选A ，B 项目，丁只能选A ，C 项目，丙则都可以． 由题意基本事件可分以下三类：（1）甲乙都选A ，则丁只能选C ，丙则可以选B ，C 任一个，故共有2种方法；（2）甲乙都选B ，则丁可以选A 或C ，丙也可选A 或C ，故共有11224C C =种方法．（3）甲乙分别选AB 之一，然后丁选A 时，丙只能选B 或C ；丁选C 时，丙则A ，B ，C 都可以选．故有()21122310A C C +=种方法． 故基本事件共有2+4+10＝16种． 甲乙选同一种项目的共有2+4＝6种． 故甲乙选同一项目的概率P 63168==． 故选：A ．【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法，分类求基本事件时有一定难度．属于中档题， 12.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为6，则当此几何体体积最小时，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于（ ）A. 24πB. (1833+πC. 21πD.(1842+π【答案】D 【解析】 【分析】设设圆柱高为x (06)x <<，求圆柱底面半径，从而用x 表示出圆柱体积，由导数知识求得最大值，此时该几何体体积最小，再求其表面积即可． 【详解】设圆柱高为x (06)x <<，则圆柱底面半径为26r x =-圆柱体积为223(6)(6)V r x x x x x πππ==-=-，2(63)V x π'=-，由0V '=得2x =（2-舍去），当x ∈时，0V '>，函数3(6)V x x π=-递增，x ∈时，0V '<，函数3(6)V x x π=-递减，∴x =时，3max ]V π==，2r =，圆柱体积最大时，此几何体体积最小．22222(18S ππππ=⨯+⨯⨯=+全．故选：D ．【点睛】本题考查几何体的体积与表面积，考查导数在体积最值中的应用．解题关键是用圆柱的高x 表示出圆柱的体积，由圆柱体积的最大值得几何体体积的最小值．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.曲线2()=-xf x ex e （e 是自然对数的底数）在1x =处的切线方程为_______. 【答案】y ＝ex ﹣e 【解析】 【分析】分别求出切点坐标和切点处的导数值，然后代入点斜式求切线方程． 【详解】∵f ′（x ）＝2ex ﹣e x ， ∴k ＝f ′（1）＝e ，又f （1）＝0 故切线方程为y ＝e （x ﹣1）， 即y ＝ex ﹣e ． 故答案为：y ＝ex ﹣e ．【点睛】本题考查了利用导数求切线方程的方法，要注意计算的准确性．属于基础题．14.已知数列{}n a 的首项为11,2+-⋅=-nn n a a ，则数列{}n a 的前10项之和等于_________.【答案】31 【解析】 【分析】将12nn n a a +⋅=-中的n 换为n ﹣1，n ≥2，n ∈N *，两式相除可得数列的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，求得a 2，计算可得所求和．【详解】数列{a n }的首项为﹣1，12nn n a a +⋅=-，可得a n ﹣1a n ＝﹣2n ﹣1，n ≥2，n ∈N *， 相除可得11n n a a +-=2， 可得数列的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，由a 2＝2，可得前10项之和为（﹣1﹣2﹣4﹣8﹣16）+（2+4+8+16+32）＝32﹣1＝31． 故答案为：31．【点睛】本题考查数列递推式的运用，等比数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于基础题．15.已知双曲线22:12x C y -=的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上的一个动点，则BPF △周长的最小值等于____________. 【答案】422+ 【解析】 【分析】先由双曲线的几何性质写出B 和F 的坐标，并求得|BF |的长，然后设双曲线的左焦点为E ，由双曲线的定义可知，|PF |﹣|PE |＝2a ，而△BPF 的周长为|BF |+|PF |+|PB |＝|BF |+2a +（|PE |+|PB |），求出|PE |+|PB |的最小值即可得△BPF 周长的最小值，当且仅当B 、P 、E 三点共线时，可得解．【详解】∵双曲线2212x C y -=：，∴F)3，，如图所示，不妨设B 为x 轴上方的虚轴端点，则B （0，1），|BF |＝2，设双曲线的左焦点为E ，由双曲线的定义可知，|PF |﹣|PE |＝2a 22=，即|PF |＝|PE |22+， ∴△BPF 的周长为|BF |+|PF |+|PB |＝|BF |+（|PE |22+）+|PB |＝222++|PE |+|PB |≥222++|BE |＝422+， 当且仅当B 、P 、E 三点共线时，等号成立． 所以△BPF 周长的最小值等于422+． 故答案为：422+．【点睛】本题考查双曲线的定义、利用几何性质求最值，解题的关键是充分利用双曲线的定义，考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力，属于基础题．16.已知：在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,3AB AD AA ===，点P 是线段1B C 上的一个动点，则①1AP D P +的最小值等于__________；②直线AP 与平面11AA D D 所成角的正切值的取值范围为____________.【答案】 (1). 17 (2). 11336⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】 【分析】①将△AB 1C 与△D 1B 1C 以公共边B 1C 为邻边展开成一个平行四边形，其对角线AD 1的长度即为所求．②P 点在B 1C 上移动，它在平面ADD 1上的射影H 落在A 1D 上，此时PH 是定值A 1B 1，只需研究AH 的范围即可．【详解】长方体中，∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，点P 是线段B 1C 上的一个动点． ①由长方体的性质可知，1110AB CD ==，115AC D B ==，113B C =． 将△AB 1C 与△D 1CB 1以B 1C 为公共边展开成一平面四边形AB 1D 1C ，如图：易证四边形AB 1D 1C 是平行四边形，所以当APD 1三点共线时，即AP +D 1P ＝AD 1时最小． 根据平行四边形对角线和四条边的性质即：()22221112AD CB AC AB +=+，代入数据得：()22221132510AD +=+，解得117AD =．∴AP +D 1P 的最小值等于17．②由长方体的性质可知，对角面A 1B 1CD ⊥平面ADD 1A 1，交线为A 1D ． 所以由点P 向直线A 1D 作垂线PH ，则PH ⊥平面ADD 1A 1． 连接AH ，则∠PAH 即为直线PA 与平面AA 1D 1D 所成角． 显然PH ＝AB ＝1为定值．设Rt △A 1AD 斜边上的高为h ，则A 1D •h ＝AD •AA 1，求得h 13=，此时AH 最短． 结合A 1A ＝3，所以313AH ≤≤， 所以tan∠PAH 11336PH AH ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，． 故答案为：17，1133⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查了利用展开图求空间折线长的最值问题以及线面角的求法．此题的第（2）问关键是抓住长方体的几何性质以及PH 为定值来分析．属于稍难的题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知tan (2cos sin )cos 2sin -=-A C A A C .（1）求角B 的大小；（2）若角B 为锐角，1,=b ABC ABC 的周长.【答案】（1）6B π=或56B π=．（2）2+． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得12sinB =．可求B 的值． （2）由B 是锐角，可求6B π=，利用三角形的面积公式可求ac 的值，进而根据余弦定理可求a +c 的值，进而可求三角形的周长．【详解】（1）∵tan A （2cos C ﹣sin A ）＝cos A ﹣2sin C ， ∴2sin A cos C ﹣sin 2A ＝cos 2A ﹣2cos A sin C ．化简得12sinAcosC cosAsinC +=，即()12sin A C +=， ∴()12sin B π-=，即12sinB =．∴6B π=或56B π=．（2）∵B 是锐角， ∴6B π=，由124ABCSacsinB ==，得，ac =．在△ABC 中，由余弦定理得22222()2b a c accosB a c ac =+-=+-，∴22()13(1a c +=+=+，∴1a c +=+∴△ABC 的周长为2．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图（1），在矩形ABCD 中，,E F 在边CD 上，1====BC CE EF FD .沿,BE AF 将CBE △和DAF △折起，使平面CBE 和平面DAF 都与平面ABEF 垂直，连接DC ，如图（2）.（1）证明：//CD AB；（2）求三棱锥D BCE-的体积.【答案】（1）见解析；（2）26．【解析】【分析】（1）分别取AF，BE的中点M，N，连结DM，CN，MN．根据条件可证得平面ADF⊥平面ABEF，则DM⊥平面ABEF．同理CN⊥平面ABEF，从而DM∥CN．可得MN∥AB，则CD∥AB；（2）根据体积关系以及线段长度关系可得V三棱锥B﹣DCE＝2V三棱锥B﹣EFC＝2V三棱锥C﹣EFB．由（1）知，CN⊥平面BEF，即可得所求【详解】（1）分别取AF，BE的中点M，N，连结DM，CN，MN．由图（1）可得，△ADF与△BCE都是等腰直角三角形且全等，∴DM⊥AF，CN⊥BE，DM＝CN．∵平面ADF⊥平面ABEF，交线为AF，DM⊂平面ADF，DM⊥AF，∴DM⊥平面ABEF．同理，CN⊥平面ABEF，∴DM∥CN．又∵DM＝CN，∴四边形CDMN为平行四边形，∴CD∥MN．∵M，N分别是AF，BE的中点，∴MN∥AB，∴CD∥AB；（2）由图可知，V三棱锥D﹣BCE＝V三棱锥B﹣DCE，∵EF＝1，AB＝3，∴CD＝MN＝2，∴V三棱锥B﹣DCE＝2V三棱锥B﹣EFC＝2V三棱锥C﹣EFB．由（1）知，CN⊥平面BEF．∵22CN=，12BEFS=，∴212C EFBV-=三棱锥，∴2D BCE V -=三棱锥．【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直定理的应用，考查三棱锥的体积求解，属于中档题．19.已知圆22(4)(4)25x y -+-=经过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F ，且与抛物线E的准线l 相切.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设经过点F 的直线m 交抛物线E 于,A B 两点，点B 关于x 轴的对称点为点C ，若ACF 的面积为6，求直线m 的方程.【答案】（1）y 2＝4x ．（2）2x ±3y ﹣2＝0． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则C （x 2，﹣y 2），由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1+1，|CF |＝x 2+1．设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣1），将其与抛物线的方程联立，消去y 可得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理；设直线m （AB ）的倾斜角为α，则tanα＝k ，且sin∠AFC ＝|sin （π﹣2α）|＝|sin2α|＝2sinαcosα，将其转化为只含k 的代数式，再利用正弦面积公式得，12ACFSAF CF sin AFC =⋅⋅∠，结合韦达定理表达式，化简整理可得46k =，从而解出k 的值，进而求得直线m 的方程．【详解】（1）由已知可得：圆心（4，4）到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等，即点（4，4）在抛物线E 上， ∴16＝8p ，解得p ＝2．∴抛物线E 的标准方程为y 2＝4x ．（2）由已知可得，直线m 斜率存在，否则点C 与点A 重合． 设直线m 的斜率为k （k ≠0），则直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣1）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得k 2x 2﹣2（k 2+2）x +k 2＝0．∴12242x x k +=+，x 1x 2＝1． 由对称性可知，C （x 2，﹣y 2），∴|AF |＝x 1+1，|CF |＝x 2+1． 设直线m （AB ）的倾斜角为α，则tanα＝k ， ∴()222222222211sin cos tan k sin AFC sin sin sin cos sin cos tan k αααπααααααα∠=-=====+++，∴()()()121212214112121AFCk Sx x sin x x x x k k α⎡⎤=++=+++⋅=⎣⎦+． 由已知可得46k =，解得23k =±． ∴直线m 的方程为()213y x =±-，即2x ±3y ﹣2＝0． 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线的定义、曲直联立、正弦面积公式等，考查学生分析问题的能力和运算能力，属于中档题．20.随着运动app 和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健步达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共500人）的走路步数，并整理成下表：（1）请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）；（2）若用A 表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A 发生的概率；（3）若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人共有300人，其中健步达人恰有150人，请填写下面22⨯列联表.根据列联表判断，有多大把握认为，健步达人与年龄有关？努力的你，未来可期!附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++..【答案】（1）8.432；（2）0.6216；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）由数据和平均值的计算公式可得答案，（2）由频率估计概率可得答案，（3）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可，计算K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．【详解】（1）由题意可得这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数为：()12606240101001460182022183028.432500x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以这一天小王500名好友走路的平均步数约为8.432步． （2）由频率约等概率可得：()10.432602401000.62165004p A ⎛⎫=++⨯= ⎪⎝⎭， 所以事件A 的概率约为0.6216．（3）根据题目所给数据填写2×2列联表如下：()()()()()()22250022500750031.2510.828200300300200n ad bc K a b c d a c b d --===++++⨯⨯⨯＞，∴有99.9%以上的把握认为，健步达人与年龄有关． 【点睛】本题考查独立性检验，平均值的计算，统计概率的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题目．21.已知函数()sin x f x e x =.（e 是自然对数的底数）（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若函数()()2g x f x x =-，证明()g x 在(0,)π上只有两个零点.（参考数据：2 4.8e π≈）【答案】（1）372244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．（2）见解析. 【解析】【分析】 （1）由f '（x ）＜0得04sin x π⎛⎫+⎪⎝⎭＜，利用正弦函数的单调性质可得f （x ）的单调递减区间；（2）依题意可得g '（x ）＝e x （sin x +cos x ）﹣2，分析其单调情况并作出图象，利用零点存在性定理可得，g （x ）在（x 1，x 2）和（x 2，π）内各有一个零点，从而可证得结论成立．【详解】（1）f （x ）＝e x sin x ，定义域为R .()()'4x x f x e sinx cosx sin x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． 由f '（x ）＜0得04sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜，解得372244k x k ππππ++＜＜（k ∈Z ）． ∴f （x ）的单调递减区间为372244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． （2）∵g '（x ）＝e x （sin x +cos x ）﹣2，∴g ''（x ）＝2e x cos x ．∵x ∈（0，π），∴当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，g ''（x ）＞0；当2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，g ''（x ）＜0． ∴g '（x ）在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减， 又∵g '（0）＝1﹣2＜0，2'202g e ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，g '（π）＝﹣e π﹣2＜0， ∴g '（x ）在（0，π）上图象大致如右图．∴102x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得g '（x 1）＝0，g '（x 2）＝0， 且当x ∈（0，x 1）或x ∈（x 2，π）时，g '（x ）＜0；当x ∈（x 1，x 2）时，g '（x ）＞0． ∴g （x ）在（0，x 1）和（x 2，π）上单调递减，在（x 1，x 2）上单调递增．∵g （0）＝0，∴g （x 1）＜0．∵202g e πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，∴g （x 2）＞0， 又∵g （π）＝﹣2π＜0，由零点存在性定理得，g （x ）在（x 1，x 2）和（x 2，π）内各有一个零点，∴函数g （x ）在（0，π）上有两个零点．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，考查推理证明及综合运算能力，该题属于难题．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，()2,0M ，求MP MQ +的值． 【答案】（1）221259x y +=0y +-=．（2）7【解析】【分析】（1）由22cos sin 1ϕϕ+=消去参数可得曲线C 的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直线l 的直角坐标方程；（2）写出直线l 以M为起点的标准参数方程122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的普通方程，由利用参数的几何意义，由韦达定理及弦长公式可得弦长．【详解】（1）曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得， 曲线C 的普通方程为221259x y +=．∵πsin 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 0θρθ+-=， ∴直线l0y +-=．（2）设直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴1267t t +=，129t t =-．∵M 点在直线l 上，∴127MP MQ t t +=-===． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线标准参数方程的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题． 选修4-5：不等式选讲23.已知不等式135x x m -+-<的解集为3,2n ⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求n 的值；（2）若三个正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=．证明：2222222b c c a a b a b c +++++≥． 【答案】（1）74n =（2）见解析 【解析】【分析】 （1）根据不等式的解集与方程根的关系求出m ，然后解绝对值不等式得n ． （2）首先利用基本不等式得222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c+++++≥++，通分后，再凑配成()()()2222222222221a b b c b c c a c a a b abc ⎡⎤+++++⎣⎦，再利用基本不等式可得． 【详解】（1）由题意知，32为方程135x x m -+-=的根， ∴391522m -+-=，解得1m =． 由1351x x -+-<1x <时，1531x x -+-<，54x >，x ∈∅， 513x ≤≤时，1531x x -+-<，32x >，∴3523x <≤， 53x >时，1351x x -+-<，74x <，∴5734x <<， 综上不等式解为3724x <<，∴74n =． （2）由（1）知1a b c ++=，∴222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c+++++≥++． ()2222222a b b c c a abc=++ ()()()2222222222221a b b c b c c a c a a b abc ⎡⎤=+++++⎣⎦， ()()222122222abc ab c bc a ca b a b c abc abc ≥++=++=， ∴2222222b c c a a b a b c+++++≥成立． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式的证明．考查推理能力与运算求解能力．证明不等式时应用基本不等式不需要考虑等号成立的条件，即使等号取不到，不等式仍然成立．。