圆锥曲线等角定理的证明
1 / 5 圆锥曲线等角定理的证明
说明：2018
年新课标1
卷理科和文科的解析几何大题的出题背景都是圆锥曲线等角定理，
有兴趣的同学可以用自行查看。我们证明以下椭圆和抛物线的等角定理。
椭圆的等角定理：过椭圆22
221(0)xy
ab
ab+=>>
长轴上任意一点N
（0,t
）的一条弦端点与
对应点G)0,(2
ta
的连线所成角被焦点所在直线平分，即OGAOGBÐ=Ð
。
解析：
(1)
关键思路一：角度条件如何利用？
解析几何中角度相等常用的定理有角平分线定理，余弦定理，斜率等。观察图像容易看出
OGAÐ
恰好为直线GA
的倾角
Aq
，OGBÐ
恰好为直线GB
的倾角
Bq
的补角。所以有：
AOGAq=Ð
，
BOGBqp=-Ð
，结合OGAOGBÐ=Ð
。所以有
BAqpq=-
，即
tantan()tan
BAAqpqq=-=-
。直线倾角的正切即为直线斜率，所以
GAGBkk=-
，即
0
GAGBkk+=
。这里我们将角度问题转化为斜率问题，斜率更易于表达。
(2)
关键思路二：斜率求和计算及联立方程。
0
GAGBkk+=
，带入点坐标，可得：0AB
AGBGyy
xxxx+=
--。通分，可得：
()()0
ABGBAGyxxyxx-+-=
，其中
Gx
为G
点横坐标，即2
Ga
x
t=
。
做到这里，很多同学开始设AB
直线方程，联立方程，利用韦达定理带入证明。
这里先不着圆锥曲线等角定理的证明
2 / 5 急代入直线，等式两边同除以
AByy
，得到如下等式关系：
()()
0BGAG
BAxxxx
yy--
+=
①。
利用该等式关系进行化简，计算量更小。（大家可以自行计算上面那种方式，对比一下）。
所以这里AB
所在直线方程不妨设为：xmyt=+
，这里用y
表示x
，因为最后要消去x
。
所以有：
AAxmyt=+
，
BBxmyt=+
。带入①中可得：
0BGAG
BAmytxmytx
yy+-+-
+=
，化简，得：11
2()()0
G
ABmtx
yy+-+=
②。
(3)关键思路三：出现11
等角定理教学设计
教材版本：北京师范大学出版社高中数学必修二
科目：高一数学
上课章节：第一章第4节第二课时
上课内容：等角定理
任课教师姓名：聂德菊
任教学校：安康高新中学
《等角定理》教学设计
一．教学内容分析
本文所讲的等角定理是初中平面几何等角定理的延续和推广，也是高中立体几何部分的基本定理和准备知识，具有很强的实用性，在课改中被保留下来。但是对定理内容的描述稍有改动，修改后的优点一是对“角方向相同”这个模糊概念的回避，优点二是强调在“两个角的两边分别对应平行”这个前提下，结论是不唯一的。教学过程中，可通过动画展示、实物模拟等手段来调动学生的好奇心和求知欲，通过探索发现、类比推广与归纳总结，培养学生提出问题—分析问题—解决问题的能力。
二．学生学习情况分析
通过初中平面几何的学习，学生对几何问题的研究方法已经初步掌握，但是学生的思维往往局限在“平面”，导致考虑问题不全面，也就是说从“平面”到“空间”是一个非常大的跨越，学生往往会不适应，课堂上应注意引导。教学过程中，还应经常把“平面几何”中的结论和“立体几何”中的结论进行对照，时刻提醒学生“平面几何”与“立体几何”的异同。等角定理是立体几何中的第一个定理，如果善于使用多种教学手段，并且理论与实践相结合，定能激起学生的学习兴趣。
三．设计思想
本课采用实验探究、自主学习、合作交流、类比推广的研究性学习方式，重点放在定理的探究形成和定理的应用上，努力挖掘定理数学中蕴涵的思维价值，从实际出发，引入数学课题，最后把所学知识应用于实际问题。
四．教学目标
1.知识与技能：
(1)引导学生发现等角定理，重视探索过程；
(2)把等角定理稍作“修改”，从而引出异面直线所成的角；
(3)运用等角定理和异面直线所成的角等有关知识，解决和计算、证明有关的实际问题。
对角相等定理
相交的两条线所产生的对角相等是对等角定理。对等角的定义，在几何学中，对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。
此定义还可以叙述为：两条直线相交得到的四个角中，有一个公共顶点，没有公共边的两个角叫做对顶角。或一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
无论是哪一种定义，都同样抓住了对顶角这个概念的本质特征：
一是两个角有公共顶点；
二是两个角的边互为反向延长线，因此说明只有两条直线相交才能产生对顶角。
对角的应用：
1、等边对等角：等腰三角形中，相等的两腰的对角也相等。
2、等角对等边：三角形中如果两个内角相等，则它们的对边也相等，故可以根据三角形内角是否相等判断它是否为等腰三角形。
椭圆和双曲线中的几个等角定理
椭圆和双曲线作为复杂数学形状，有着不少等角定理，在高等教育领域受到广泛认可。其中最著名的有三个定理，即贝蒂斯桑定理、拉弗森托定理、埃础斯林定理。
贝蒂斯桑定理是椭圆上角度相等定理，它认为椭圆上任意两个点，当连接这两点所产生的内边框为椭圆上任意一条弦时，它们之间的角度都是相等的。
拉弗森托定理是双曲线上角度相等定理，它认为双曲线上任意三个点，当由这三点组成一个三角形时，它们之间的角度都是相等的。
埃础斯林定理是椭圆和双曲线相等定理，它认为椭圆上的两个点的r轴和双曲线上的两个点的r轴之间的比例是相等的，常用形式k=c^2/a^2。
以上三个等角定理在高等教育领域受到了认可，但是他们所提出的定理都独立于任何一种坐标系，因此适用性非常广泛，在几何数学和分析几何领域都有重要的应用。此外，由于椭圆双曲线的性质极富变化，有关研究获得了新的发现，也为数学和科学研究提供了新的应用场景。
总之，椭圆和双曲线中的等角定理为高等教育领域提供了了新的思路，在几何数学和分析几何中也有重要的应用，受到了众多学者和社会各界的关注。
