用克莱姆法则解线性方程组

数学学习与研究2014.24专题研究

揖摘要铱克莱姆法则是高等代数中重要的内容袁但是用克

莱姆法则解线性方程组时袁要求方程的个数等于未知数的个

数援本文对克莱姆法则进行了推广袁对于一般的线性方程组袁

如果方程组有解袁根据克莱姆法则袁给出一个解一般线性方

程组的例子援揖关键词铱克莱姆法则曰线性方程组曰系数矩阵

含有s个方程n个未知数曾员袁曾圆袁噎袁曾灶的线性方程组a11x1+a12x2+噎+a1nxn=b1a21x1+a22x2+噎+a2nxn=b2噎噎噎噎

as1x1+as2x2+噎+asnxn=bs扇

墒设设设设设设缮设设设设设设渊员冤

称为一般的n元线性方程组援当s=n且系数矩阵的行列

式不等于零时袁线性方程组渊员冤可以用克莱姆法则求解援根据

克莱姆法则袁也可以给出一般n元线性方程组渊员冤的一个解

法袁这个解法在理论上是很有用的援

设线性性方程组渊员冤有解袁矩阵A和A的秩都等于r袁矩

阵D是A的一个不为零的r子式援不妨设D是位于A的左上

角袁则A的前r行就是一个极大线性无关组袁第r+1袁噎袁s行

都可以经它们线性表出援因此袁方程组渊员冤与a11x1+a12x2+噎+a1nxn=b1a21x1+a22x2+噎+a2nxn=b2噎噎噎噎

ar1x1+ar2x2+噎+arnxn=br扇

墒设设设设设设缮设设设设设设渊圆冤

是同解的援

当r=n时袁由克莱姆法则袁方程组渊圆冤有唯一解袁也就是

方程组渊员冤有唯一解援

当r

葬则员曾员垣葬则圆曾圆垣噎垣葬则则曾则越遭则原葬则袁则垣员曾则垣员原噎原葬则灶曾灶扇

墒设设设设设设缮设设设设设设袁渊猿冤

渊猿冤作为曾员袁曾圆袁噎袁曾r的方程组袁它的系数行列式D屹0袁由克

莱姆法则可以解出曾员袁曾圆袁噎袁曾r院

曾员=d1忆+c员忆袁r+1xr+1+噎+c1n忆xn噎噎噎噎

曾员越凿则忆垣糟则忆袁则垣1xr+1+噎+c忆rnxn扇

墒设设设设缮设设设设渊源冤

渊源冤就是方程组渊猿冤的一般解袁也就是方程组渊员冤有一般解援下

面给出一个用克莱姆法则解一般线性方程组的例子援例用克莱姆法则解下面的方程组援曾员+曾2+曾3-曾4-曾5=-2袁

克莱姆法则的证明及应用

克莱姆法则（Cramer's rule）是线性代数中的一个重要定理，它提供了一种求解线性方程组的方法。克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，并且可以应用于求解n个未知数的n个线性方程组。下面我们将详细介绍克莱姆法则的证明以及其应用。

证明：

假设有一个n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax=b，其中A为一个n阶方阵，x为未知数向量，b为常数向量。

1.首先，我们求解方阵A的逆矩阵A^-1

2.接下来，我们用行列式的形式表示方程组的解x_i。

(1)当i=1时，我们将方程组的第i列替换为常数列b，得到矩阵A_i。

(2) 计算矩阵A_i的行列式det(A_i)，并用方程组的解x_i表示为x_i=det(A_i)/det(A)。

3.重复步骤2，直到求解出n个方程的解x_1,x_2,...,x_n。

通过上述步骤，我们证明了克莱姆法则。

应用：

1.求解2x2线性方程组：

当线性方程组只包含两个未知数时，可以直接应用克莱姆法则求解。例如，对于方程组：

a₁x+b₁y=c₁ a₂x+b₂y=c₂

其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知常数，求解x和y的值可以通过下面的公式计算：

x=(c₁b₂-b₁c₂)/(a₁b₂-b₁a₂)

y=(a₁c₂-c₁a₂)/(a₁b₂-b₁a₂)

2.求解3x3线性方程组：

对于包含三个未知数的线性方程组，同样可以利用克莱姆法则进行求解。例如，对于方程组：

a₁x+b₁y+c₁z=d₁

a₂x+b₂y+c₂z=d₂

a₃x+b₃y+c₃z=d₃

其中a₁、b₁、c₁、d₁等为已知常数，可以通过克莱姆法则计算x、y、z的值。

3.求解特殊矩阵的逆矩阵：

4.分析线性方程组的可解性：

总结：

克莱姆法则是一种求解线性方程组的有效方法，其基本思想是通过行列式运算推导出方程组的解。克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，其应用范围广泛，可以用于求解不同数量未知数的线性方程组，也可以应用于求解特殊矩阵的逆矩阵和判断线性方程组的可解性。

第２４卷第６期　

２００８年ｌ２月　大　学　数　学　

ＣＯＩ　ＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．２４，№．６　

Ｄｅｃ．２００８　

用方阵乘幂求和法求线性方程组的数值解　

张志斌　，　李世作　，　青　剑　

（１．广西大学电气工程学院，南宁５３０００４；　２．中国海军９１４２８部队，宁波３１５１１２）　

［摘要］介绍了一种新型的，不同于传统的雅克比或高斯塞德尔迭代法的，求解线性方程组的方阵乘幂　求和法，并引入了方阵意义上求积分的龙贝格法．该算法成立须以方阵Ａ为实阵，非奇异且主对角元素占优．　

该法较雅克比或高斯塞德尔迭代的计算量小，特别有助于求解大型线性方程组的问题．　

［关键词］雅克比迭代法；高斯塞德尔迭代法；方阵的乘幂求和法；计算量　［中图分类号］０２４１．６　［文献标识码］Ｃ　［文章编号］１６７２—１４５４（２００８ｌ０６～ｏ１９７—０５　

１　引　言　

求解线性方程组数值解的问题一直是工程科学中解决实际问题的核心过程之一，所以选择求解方　

法将是在各不同领域、不同计算精度、不同速度要求的必须步骤．传统的高斯塞德尔迭代中涉及到对方　

程组解的修正，并用修正后的值带入计算下一次的线性方程组的解，直到满足收敛条件．在此过程中高　

斯迭代基本上可以满足任意精度的要求并有较好的收敛效果．若求解使用优化方法中的共轭梯度法，则　

在系数方阵的条件数较大时，其收敛慢，效果较差，需要对系数方阵进行预处理．本文给出了求解线性方　

程组的一种新方法——方阵乘幂求和法．该方法用于求解线性方程组，计算量较小．　

２雅克比和高斯塞德尔迭代法　

设线性方程组　

ｂｌ　

ｂ２　

；　

ｂ　（２．１）　

记式（２．１）为Ａｘ＝ｂ，其中Ａ为　阶非奇异系数方阵，Ｘ为　维解向量，ｂ为ｎ维非零输入向量．将Ａ分裂　

成Ａ—Ｄ—Ｌ—ｕ，其中　

Ｄ一　．Ｌ一　…　Ｏ　

…　Ｏ　。．　：　●　●　…　Ｏ　将式（２．１）第ｉ个方程移项整理，得到等价方程组　

１，　ｉ－１　ｎ　一　一　）　

用matlab解线性方程组

2008-04-12 17:00

一。高斯消去法

1.顺序高斯消去法

直接编写命令文件

a=[]

d=[]'

[n,n]=size(a);

c=n+1

a(:,c)=d;

for k=1:n-1

a(k+1:n, k:c)=a(k+1:n, k:c)-(a(k+1:n,k)/ a(k,k))*a(k, k:c); %消去

end

x=[0 0 0 0]' %回带

x(n)=a(n,c)/a(n,n);

for g=n-1:-1:1

x(g)=(a(g,c)-a(g,g+1:n)*x(g+1:n))/a(g,g)

end

2.列主高斯消去法

*由于“[r,m]=max(abs(a(k:n,k)))”返回的行是“k:n,k”内的第几行，所以要通过修正来把m 改成真正的行的值。该程序只是演示程序，真正机器计算不需要算主元素所在列以下各行应为零的值。

直接编写命令文件

a=[]

d=[] '

[n,n]=size(a);

c=n+1

a(:,c)=d; %(增广)

for k=1:n-1

[r,m]=max(abs(a(k:n,k))); %选主

m=m+k-1; %(修正操作行的值)

if(a(m,k)~=0)

if(m~=k)

a([k m],:)=a([m k],:); %换行