高中数学直线与平面平行直线与平面垂直知识点总结

专题08 空间直线与平面、平面与平面的垂直

一、考情分析

二、考点梳理

考点一 直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言

图形表示 符号表示

判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α 性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

a⊥αb⊥α⇒a∥b

考点二 平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言 图形表示 符号表示

判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 l⊥αl⊂β⇒α⊥β

性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α

考点三 知识拓展

1.两个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).

2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.

四、题型分析

重难点题型突破1 线面垂直

例1. （河北省石家庄二中2019届期中）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )

A.若m⊂α，则m⊥β

B.若m⊂α，n⊂β，则m⊥n

C.若m⊄α，m⊥β，则m∥α D.若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α

【答案】C

【解析】对于A：若m⊂α，则m与平面β可能平行或相交，所以A错误；对于B：若m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行、相交或异面，所以B错误；对于C：若m⊄α，m⊥β，则m∥α，C正确；对于D：α∩β＝m，n⊥m，则n不一定与平面α垂直，所以D错误.

第1页/共3页 高一数学知识点：直线和平面的位置关系知识点

高一数学知识点：直线和平面的位置关系知识点?

直线和平面的位置关系：

直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

①直线在平面内——有无数个公共点

②直线和平面相交——有且只有一个公共点

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)

规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角

由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]

最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直

直线和平面垂直

直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。 第2页/共3页 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线和平面平行——没有公共点

直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会第3页/共3页 用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。

1 直线与平面垂直的判定

直线与平面垂直的判定与证明方法：

①用线面垂直定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面.

②用线面垂直判定定理：若一直线与平面内两相交直线都垂直，这条直线与平面垂直.

③用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面，则另一条也必垂直这个平面.

④用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面.

⑤用面面平行性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面.

⑥用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面.

线面垂直的判定

1. 如图，直角ABC△所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点．

（１） 求证：SD平面ABC；

（２） 若ABBC，求证：BD面SAC．

答案：证明：（１）SASC∵，

D为AC的中点，SDAC∴．

连结BD．

在ABCRt△中，则ADDCBD．

ADSBDS∴△≌△，SDBD∴．

又ACBDD，SD∴面ABC．

（２）BABC∵，D为AC的中点，

BDAC∴．

又由（１）知SD面ABC， SDBD∴．

于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．

∴BD面SAC．

2. 如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC. 【探究】 根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直，根据H是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC两两垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，由此可知BC垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH，结论得证.

证明：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC. ①

∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.

又∵BC平面PBC，PA⊥BC， ②

由①②知，BC⊥PH，

高中数学证明几何的题的知识点总结 线面垂直线面平行点面面面的证明

几何证明是高中数学中的重要组成部分，它不仅锻炼了学生的逻辑思维能力，还培养了严密的数学推理能力。本文针对高中数学中常见的线面垂直、线面平行以及点面、面面关系证明的知识点进行总结，以帮助学生更好地掌握几何证明的技巧和方法。

一、线面垂直的证明

1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。

2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直。

3.证明方法：

（1）利用垂直的定义，找出直线与平面内任意一条直线垂直的关系。

（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条相交直线垂直的关系。

二、线面平行的证明

1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都没有公共点，则这条直线与该平面平行。

2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条平行直线都平行，则这条直线与该平面平行。

3.证明方法：

（1）利用平行的定义，找出直线与平面内任意一条直线没有公共点的关系。

（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条平行直线都平行的关系。

三、点面关系的证明

1.定义：如果一点在一个平面内，则这个点与该平面有公共点。

2.判定定理：如果一点与一个平面内的任意一条直线都有且只有一个公共点，则这个点在该平面内。

3.证明方法：

（1）利用定义，找出点与平面内任意一条直线有公共点的关系。

（2）利用判定定理，找出点与平面内任意一条直线有且只有一个公共点的关系。

四、面面关系的证明

1.定义：如果两个平面有公共点，则这两个平面相交。

2.判定定理：如果两个平面内分别有两条相交直线互相平行，则这两个平面平行。

3.证明方法：

（1）利用定义，找出两个平面有公共点的关系。

（2）利用判定定理，找出两个平面内分别有两条相交直线互相平行的关系。

通过以上对高中数学几何证明知识点的总结，相信同学们在解决相关问题时会更加得心应手。