数列-高考真题文科数学分项汇编(解析版)

专题 12 数列

1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设{an}是等比数列，且a1 a2 a3 1， a2 a3+a4 2，则 a6 a7 a8

A．12 B．24 C．30 D．32

【答案】D

q 【解析】设等比数列an的公比为，则a1 a2 a3 a1 1qq2 1，

a2 a3 a4 a1qa1q a1q a1q1qq q 2，

a1q a1q a1q 1qq q

2 3 2

因此，a6 a7 a8 a1q 5 6 7 5 2 5

32 .

故选：D.

【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．

S 2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则 n = a n

A．2

n –1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n

–1

【答案】B

q

【解析】设等比数列的公比为，

aq 4 a1q 2 12 q 2 ， 由a5a3 12,a6a4

24 1 可得： aq 5 a1q 3 24 a1 1 1

所以an a1qn1 2n1,Sn a1(1q n ) 1 2 n

2 1，

n 1q 1 2

Sn 2 1 2

21n . n

因此 an 2 n1

故选：B.

n

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了

数学运算能力.

3．【2020年高考北京】在等差数列an中，

TnA．有最大项，有最小项 a 9，a3 1．记Tn a1a2…an(n 1,2,…)，则数列 1

B．有最大项，无最小项

D．无最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项

【答案】B

1 a5 a1 1 9 2， 【解析】由题意可知，等差数列的公差d 51 51

则其通项公式为：an a1 n1 d 9 n1 2 2n11，

注意到a1 a2 a3 a4 a5 0 a6 1 a7 ，

且由T5 0可知T 0i 6,iN，

i

T i ai 1i 7,i N可知数列Tn不存在最小项， 由 T

i1

由于a1 9,a2 7,a3 5,a4 3,a5 1,a6 1， T 63，T4 6315 945 . 故数列Tn中的正项只有有限项： 2

T 故数列Tn中存在最大项，且最大项为

4 . 故选：B．

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，

属于中等题.

a1

d 4．【2020年高考浙江】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差 d 0，且 1．记b1

S 2，bn1 S2n2 – S2n，

nN ，下列等式不可能成立的是 ．．． A． 2a4 a2 a6 B． 2b4 b2 b6

D．b4 C．a4 2 a2a8 2

b2b8

【答案】D

【解析】对于 A，因为数列an为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 4 4 2 6可得，

2a4 a2 a6，A正确；

对于 B，由题意可知，bn1 S2n2 S2n a2n1 a2n2，b1 S2 a1 a2，∴b2 a3 a4，b4 a7 a8，b6 a11 a12，b8 a15 a16．

∴ 2b4 2 a a8，b2 b6 a3 a4 a11

a12． 7

根据等差数列的下标和性质，由311 77,412 88可得

b2 b6 a3 a4 a11 a12=2a7 a8=2b4，B正确；

2 2 1

a2a8 a 3d a d a 7d 2d

对于 C，a4 2a1d 2d d a，

2 2

1 1 1 当a1 d 时， a42 a2a8，C正确；

a a 2a1 13d 2

4a1 2 52a1d 169d 对于 D，b4 2 8 2 2

， 7

b2b8 a3 a4a15 a16 2a1 5d2a1 29d 4a1

b2b8 24d 16a1d 8d3d 2a1．

当d 0时，a1 d，∴3d 2a1 d 2d a1

0即b4

当d 0时，a1 d，∴3d 2a1 d 2d a1

0即b4 2 68a1d 145d 2，b 2

4 2

2 b2b8 0；

b2b8 0，所以b4 b2b8 0，D不正确．

2 2

故选：D . .

【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．

5．【2019年高考全国 III卷文数】已知各项均为正数的等比数列an的前 4项和为 15，且

则a3 a 3a3 4a1，

5

A．16 B．8

D．2 C．4

【答案】C

a1 a1q a1q a1q 15

2 3

， q 【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则 a1q 4 3a1q 2 4a1

a1 1, ，a3 a1q2 4，故选 C． 解得q 2

【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.

6．【2019年高考浙江卷】设 a，b∈R，数列{an}满足 a1=a，an+1=an +b，nN，则 2

A．当b 1 ,a10 10 B．当b 1 ,a10 10 4 2

C．当b 2,a10

10 D．当b 4,a10

10

【答案】A

【解析】①当 b=0时，取 a=0，则an 0,nN .

3 ②当b<0时，令 x x 则该方程 1 4b 0，即必存在 x0，使得 n1 an 2 b，即 x 2 x b

0 .

x

2 0 x0 b 0，

则一定存在 a1=a=x0，使得 a 2 b an对任意nN

成立，

解方程a 2 a b 0，得a 1

1 4b

，

2

1 1 4b 10时，即b 90时，总存在a

1 1 4b，使得a1 a2 a10 10，当 2 2

故 C、D两项均不正确.

③当b 0时，a2 a1 b b，

2

则a3 a2

a4 a3 b

b

（ⅰ）当b 1 2 b b 2

b，

2 2 2

b

b .

2 1 2 1 1 17 1,a5 1 1

， 2 2时，a4 2 2 2 16

1 2 11 1

2， 则a6

1

2 2

4

a7

2 ，

2 1 9

2 2 2 a8

9

1 83

4 10，

2 2

则a9

a8

2 1 10，

2

a10

a9

2

1

10，

2

故

A项正确.

2 1 1 1 ， 4

4 2 （ⅱ）当b 1 时，令a1=a=0，则a2 1 ,a3

4 4

2 1

1

1

1

，以此类推，

2

， 所以a4

a3

2

4

2

4

2

1 1

1 1 4 2 所以a10 a9

2 4 2

4 故 B项不正确.

故本题正确答案为 A.

【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步

a

讨论的可能取值，利用“排除法”求解.

7．【2018年高考浙江卷】已知 a1,a2,a3,a4成等比数列，且 a1 a2 a3 a4 ln(a1 a2 a3)．若 a1 1，则

A． a1 a3,a2 a4 B． a1 a3,a2 a4

D．a1 a3,a2 a4 C． a1 a3,a2 a4

【答案】B

【解析】令 f x xlnx1,则 f x 1 1，令 f x 0,得 x 1，所以当 x

时， f x 0， x

当0 x 1时， f x 0，因此 f x f 1 0,x lnx1.

若公比q 0，则a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 lna1 a2 a3，不合题意；

若公比q 1，则a1 a2 a3 a4 a11 q1 q 2 0,但 lna1 a2 a3 ln a11 q q 2 lna1 0，即a a2 a3 a4 0 lna1 a2 a3，不合意； 1

因此1 q 0,q 0,1，a1 a1q 2

a3,a2 a2q 2 2

a4 0，故选 B. 【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法

x lnx1,e x1,e x 1x 0.

x x 2 8．【2018年高考北京卷文数】设 a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

【答案】B B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

1

4 【解析】当a 4,b 1,c 1,d 时，a,b,c,d不成等比数列，所以不是充分条件；当a,b,c,d成等比

数列时，则 ad bc，所以是必要条件.综上所述，“ad bc ”是“a,b,c,d成等比数列”的必要不充分条

件，故选 B.

【名师点睛】证明 “ ad bc ” “ a,b,c,d成等比数列 ”只需举出反例即可，论证 “ a,b,c,d成等比数