高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义：第2篇 第5讲 指数与指数函数

第5讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a,则x 叫做a 的n 次方根,其中n>1且n∈N *.n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n∈N *，n>1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n∈N *时.(2)根式的性质①(n a)n ＝a(n∈N *,且n>1)． ②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a<0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn n a m (a>0,m,n ∈N *,且n>1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a>0,m,n∈N *,且n>1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a>0,r,s ∈Q)；②(a r )s ＝a rs(a>0,r,s ∈Q)； ③(ab)r＝a r b r(a>0,b>0,r ∈Q)． 3．指数函数的图象及性质函数 y ＝a x(a>0,且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征在x 轴上方,过定点(0,1)当x 逐渐增大时,图象逐渐下降当x 逐渐增大时,图象逐渐上升性质定义域 R 值域(0,＋∞)单调性 减增函数值 变化 规律当x ＝0时,y ＝1当x<0时,y>1； 当x>0时,0<y<1当x<0时,0<y<1； 当x>0时,y>14.指数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中,分别作出指数函数y ＝a x,y ＝b x,y ＝c x,y ＝d x(a ＞1,b ＞1,0＜c ＜1,0＜d ＜1)的图象,如图所示．作出直线x ＝1,分别与四个图象自上而下交于点A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),得到底数的大小关系是：a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0.根据y 轴右侧的图象,也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)n a n ＝(n a)n＝a.( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝a －x是R 上的增函数．( )(4)函数y ＝ax2＋1(a>1)的值域是(0,＋∞)．( ) (5)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(6)若a m<a n(a>0,且a≠1),则m<n.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× [教材衍化]1．(必修1P59A 组T4改编)化简416x 8y 4(x<0,y<0)＝________． 解析：因为x<0,y<0,所以416x 8y 4＝(16x 8·y 4)14＝(16)14·(x 8)14·(y 4)14＝2x 2|y|＝－2x 2y.答案：－2x 2y2．(必修1P55“思考”改编)函数y ＝2x与y ＝2－x的图象关于________对称．解析：作出y ＝2x与y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象(图略),观察可知其关于y 轴对称． 答案：y 轴3．(必修1P56例6改编)已知函数f(x)＝a x －2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则A 的坐标为________．解析：令x －2＝0,则x ＝2,f(2)＝3,即A 的坐标为(2,3)． 答案：(2,3) [易错纠偏](1)忽略n 的范围导致式子n a n(a∈R)化简出错； (2)不能正确理解指数函数的概念致错； (3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况； (4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错． 1．计算3（1＋2）3＋4（1－2）4＝________．解析：3（1＋2）3＋4（1－2）4＝(1＋2)＋(2－1)＝2 2. 答案：2 22．若函数f(x)＝(a 2－3)·a x为指数函数,则a ＝________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a ，a ≠1，a 2－3＝1，即a ＝2.答案：23．若函数f(x)＝a x 在[－1,1]上的最大值为2,则a ＝________． 解析：当a>1时,a ＝2；当0<a<1时a －1＝2, 即a ＝12.答案：2或124．函数y ＝21x －1的值域为________． 解析：因为1x －1≠0,所以21x －1>0且21x －1≠1. 答案：(0,1)∪(1,＋∞)指数幂的运算化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312(a,b>0)．【解】 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数,先化成分数；底数是带分数的,先化成假分数．(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答．[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12. 解：(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100.(2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b －3210a 32b －32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为( )(2)函数f(x)＝|a x＋b|(a>0,a ≠1,b ∈R)的图象如图所示,则a ＋b 的取值范围是________．(3)若方程|3x－1|＝k 有一解,则k 的取值范围为________．【解析】 (1)函数f(x)＝21－x＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,单调递减且过点(0,2),选项A 中的图象符合要求．(2)因为根据图象得a>1,f(12)＝0,b<0.所以a ＋b ＝0,所以a ＋b ＝a －a>1－1＝0.(3)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的,函数图象如图所示．当k ＝0或k≥1时,直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解．【答案】 (1)A (2)(0,＋∞) (3){0}∪[1,＋∞)应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y ＝a x(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点：(1,a),(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除． (3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地,当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(4)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解．1．函数y ＝xax|x|(a>1)的图象大致是( )解析：选B.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x>0，－a x ，x<0，因为a>1,依据指数函数的图象特征可知选B.2．若函数y ＝21－x＋m 的图象不经过第一象限,则m 的取值范围为________．解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m,函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象如图所示,则要使其图象不经过第一象限,则m≤－2.答案：(－∞,－2]指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性,特别受到高考命题专家的青睐,常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)比较指数式的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)复合函数的单调性； (4)函数的值域(最值)． 角度一 比较指数式的大小设a ＝0.60.6,b ＝0.61.5,c ＝1.50.6,则a,b,c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ．b<a<cD ．b<c<a【解析】 因为函数y ＝0.6x是减函数,0<0.6<1.5,所以1>0.60.6>0.61.5,即b<a<1.因为函数y ＝1.5x在(0,＋∞)上是增函数,0.6>0,所以1.50.6>1.50＝1,即c>1.综上,b<a<c. 【答案】 C角度二 解简单的指数方程或不等式设函数f(x)＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x<0，x ，x ≥0 ，若f(a)<1,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－3)B ．(1,＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)【解析】 当a<0时,不等式f(a)<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3,因为0<12<1,所以a>－3,此时－3<a<0；当a≥0时,不等式f(a)<1可化为a<1,所以0≤a<1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.【答案】 C角度三 复合函数的单调性(1)函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________． (2)(2020·金华十校联考)若函数f(x)＝2|x －a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x),且f(x)在[m,＋∞)上单调递增,则实数m 的最小值等于________．【解析】 (1)设u ＝－x 2＋2x ＋1,因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在R 上为减函数, 所以函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞,1], 所以f(x)的减区间为(－∞,1]． (2)因为f(x)＝2|x －a|,所以f(x)的图象关于x ＝a 对称．又由f(1＋x)＝f(1－x),知f(x)的图象关于直线x ＝1对称,故a ＝1,且f(x)的增区间是[1,＋∞),由函数f(x)在[m,＋∞)上单调递增,知[m,＋∞)⊆[1,＋∞),所以m ≥1,故m 的最小值为1. 【答案】 (1)(－∞,1] (2)1 角度四 函数的值域(最值)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a>0,a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14,则a 的值为( ) A.13 B ．1 C ．3D.13或3 【解析】 令a x＝t,则y ＝a 2x＋2a x－1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a>1时,因为x∈[－1,1],所以t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a , 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增,所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14,解得a ＝3(负值舍去)． 当0<a<1时,因为x∈[－1,1],所以t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a , 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增,则y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14,解得a ＝13(负值舍去)． 综上知a ＝3或a ＝13.【答案】 D有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题,应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a 的取值范围,并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．[提醒] 在研究指数型函数单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确时,要分类讨论．1．已知函数f(x)＝a x＋b(a ＞0,a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0],则a ＋b ＝________．解析：当a ＞1时,函数f(x)＝a x＋b 在[－1,0]上为增函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时,函数f(x)＝a x＋b 在[－1,0]上为减函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－322．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ≤x<0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1],则实数a 的取值范围是________．解析：当0≤x≤4时,f (x)∈[－8,1],当a≤x<0时,f(x)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－1,所以⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，－1[－8,1],即－8≤－12a <－1,即－3≤a<0,所以实数a 的取值范围是[－3,0)． 答案：[－3,0)[基础题组练]1．函数f(x)＝1－e |x|的图象大致是( )解析：选A.将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)＝1－e |x|是偶函数,且值域是(－∞,0],只有A 满足上述两个性质．2．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab解析：选C.原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6a b ,故选C.3．下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1解析：选B.A 中,因为函数y ＝1.7x在R 上是增函数,2.5<3,所以1.72.5<1.73.B 中,因为y ＝0.6x在R 上是减函数,－1<2,所以0.6－1>0.62.C 中,因为0.8－1＝1.25,所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y ＝1.25x在R 上是增函数,0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8－0.1<1.250.2.D 中,因为1.70.3>1,0<0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.4．(2020·宁波效实中学高三质检)若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0,a ≠1)满足f(1)＝19,则f(x)的单调递减区间是 ( )A ．(－∞,2]B ．[2,＋∞)C ．[－2,＋∞)D ．(－∞,－2]解析：选B.由f(1)＝19得a 2＝19.又a>0,所以a ＝13,因此f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 因为g(x)＝|2x －4|在[2,＋∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,＋∞)．5．已知函数y ＝f(x)与y ＝F(x)的图象关于y 轴对称,当函数y ＝f(x)和y ＝F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫作函数y ＝f(x)的“不动区间”,若区间[1,2]为函数y ＝|2x－t|的“不动区间”,则实数t 的取值范围是( )A ．(0,2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2∪[)4，＋∞ 解析：选C.因为函数y ＝f(x)与y ＝F(x)的图象关于y 轴对称,所以F(x)＝f(－x)＝|2－x－t|,因为区间[1,2]为函数f(x)＝|2x－t|的“不动区间”,所以函数f(x)＝|2x－t|和函数F(x)＝|2－x－t|在[1,2]上单调性相同, 因为y ＝2x－t 和函数y ＝2－x－t 的单调性相反, 所以(2x－t)(2－x－t)≤0在[1,2]上恒成立, 即1－t(2x＋2－x)＋t 2≤0在[1,2]上恒成立, 即2－x≤t ≤2x 在[1,2]上恒成立, 即12≤t ≤2,故答案为C. 6．指数函数y ＝f(x)的图象经过点(m,3),则f(0)＋f(－m)＝________． 解析：设f(x)＝a x(a ＞0且a≠1),所以f(0)＝a 0＝1. 且f(m)＝a m＝3.所以f(0)＋f(－m)＝1＋a －m＝1＋1a m ＝43.答案：437．(2020·杭州中学高三月考)已知e x＋x 3＋x ＋1＝0,1e3y －27y 3－3y ＋1＝0,则ex ＋3y的值为________． 解析：因为e x＋x 3＋x ＋1＝0,1e3y －27y 3－3y ＋1＝0等价于e－3y ＋(－3y)3＋(－3y)＋1＝0,所以x ＝－3y,即x ＋3y ＝0,所以ex ＋3y ＝e 0＝1.答案：18．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x>1，（2－3a ）x ＋1，x ≤1是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是________．解析：依题意,a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a<1，2－3a<0，（2－3a ）×1＋1≥a 1，解得23<a ≤34.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤23，349．当x∈(－∞,－1]时,不等式(m 2－m)·4x－2x<0恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x, 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞,－1]上是减函数, 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2,当x∈(－∞,－1]时,m 2－m<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m<2,解得－1<m<2. 答案：(－1,2)10．已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1,求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3,求a 的值．解：(1)当a ＝－1时,f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3, 令g(x)＝－x 2－4x ＋3, 由于g(x)在(－∞,－2)上单调递增,在(－2,＋∞)上单调递减,而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减, 所以f(x)在(－∞,－2)上单调递减,在(－2,＋∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(－2,＋∞),单调递减区间是(－∞,－2)． (2)令g(x)＝ax 2－4x ＋3,f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ）,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值－1,因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1, 即当f(x)有最大值3时,a 的值为1.11．已知函数f(x)＝a |x ＋b|(a>0,a ≠1,b ∈R)．(1)若f(x)为偶函数,求b 的值；(2)若f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,试求a,b 应满足的条件．解：(1)因为f(x)为偶函数,所以对任意的x∈R ,都有f(－x)＝f(x),即a |x ＋b|＝a |－x ＋b|,|x ＋b|＝|－x ＋b|,解得b ＝0.(2)记h(x)＝|x ＋b|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x<－b. ①当a>1时,f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,所以－b≤2,b ≥－2.②当0<a<1时,f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,＋∞)上是减函数,但h(x)在区间[－b,＋∞)上是增函数,故不存在a,b 的值,使f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数．所以f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数时,a,b 应满足的条件为a>1且b≥－2.[综合题组练]1．已知函数f(x)＝|2x－1|,a<b<c 且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( )A ．a<0,b<0,c<0B ．a<0,b ≥0,c>0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析：选D.作出函数f(x)＝|2x －1|的图象,如图,因为a<b<c 且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知,0<f(a)<1,a<0,c>0,所以0<2a <1.所以f(a)＝|2a －1|＝1－2a <1,所以f(c)<1,所以0<c<1.所以1<2c <2,所以f(c)＝|2c －1|＝2c －1,又因为f(a)>f(c),所以1－2a >2c －1,所以2a ＋2c <2,故选D.2．(2020·衢州市高考模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0,则此函数图象上关于原点对称的点有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 解析：选B.作出函数y ＝f(x)图象如图所示：再作出－y ＝f(－x),即y ＝x 2－4x,恰好与函数图象位于y 轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称,记为曲线C,发现y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与曲线C 有且仅有一个交点, 因此满足条件的对称点只有一对,图中的A 、B 就是符合题意的点．故选B.3．(2020·杭州模拟)已知函数y ＝a x ＋b(a>0,且a≠1,b>0)的图象经过点P(1,3),如图所示,则4a －1＋1b的最小值为________,此时a,b 的值分别为________． 解析：由函数y ＝a x ＋b(a>0且a≠1,b>0)的图象经过点P(1,3),得a ＋b ＝3,所以a －12＋b 2＝1,又a>1,则4a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋b 2＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋2 2b a －1·a －12b ＝92,当且仅当2b a －1＝a －12b ,即a ＝73,b ＝23时取等号,所以4a －1＋1b 的最小值为92. 答案：92 73,23 4．(2020·绍兴一中高三期中)已知函数f(x)＝e |x|,将函数f(x)的图象向右平移3个单位后,再向上平移2个单位,得到函数g(x)的图象,函数h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e （x －1）＋2，x ≤5，4e 6－x ＋2，x>5，若对于任意的x∈[3,λ](λ>3),都有h(x)≥g(x),则实数λ的最大值为________．解析：依题意,g(x)＝f(x －3)＋2＝e |x －3|＋2,在同一坐标系中分别作出g(x),h(x)的图象如图所示,观察可得,要使得h(x)≥g(x),则有4e 6－x ＋2≥e (x －3)＋2,故4≥e 2x －9,解得2x －9≤ln 4,故x≤ln 2＋92,实数λ的最大值为ln 2＋92. 答案：ln 2＋925．已知函数f(x)＝2a·4x －2x－1.(1)当a ＝1时,求函数f(x)在x ∈[－3,0]上的值域；(2)若关于x 的方程f(x)＝0有解,求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时,f(x)＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1, 令t ＝2x ,x ∈[－3,0],则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1, 故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a(2x )2－2x－1＝0有解,设2x ＝m>0,等价于方程2am 2－m －1＝0在(0,＋∞)上有解,记g(m)＝2am 2－m －1,当a ＝0时,解为m ＝－1<0,不成立．当a<0时,开口向下,对称轴m ＝14a<0, 过点(0,－1),不成立．当a>0时,开口向上,对称轴m ＝14a>0,过点(0,－1),必有一个根为正,综上得a>0.6．(2020·宁波效实中学模拟)已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,x ∈[－1,1],函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值为h(a)．(1)求h(a)；(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①m>n>3；②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n 2,m 2]？若存在,求出m,n 的值；若不存在,说明理由． 解：(1)因为x∈[－1,1], 所以f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3, 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3. 则y ＝φ(t)＝t 2－2at ＋3＝(t －a)2＋3－a 2.当a<13时,y min ＝h(a)＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时,y min ＝h(a)＝φ(a)＝3－a 2； 当a>3时,y min ＝h(a)＝φ(3)＝12－6a. 所以h(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a<13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a>3. (2)假设存在m,n 满足题意．因为m>n>3,h(a)＝12－6a 在(3,＋∞)上是减函数,又因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n 2,m 2],所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n)＝(m －n)(m ＋n),即m ＋n ＝6,与m>n>3矛盾, 所以满足题意的m,n 不存在．。

第5节 指数与指数函数考试要求 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.知 识 梳 理1.根式的概念及性质(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈R. 4.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数[常用结论与微点提醒]1.画指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a.2.指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.3.在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘.()(3)函数y＝2x－1是指数函数.()(4)函数y＝a x2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).()解析(1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)当mn<1时，不可以，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y＝a x(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(老教材必修1P56例6改编)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝( ) A.1B.2C. 3D.3解析 依题意可知a 2＝13，解得a ＝33， 所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝ 3.答案 C3.(新教材必修第一册P119习题4.2T6改编)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <cD.b <c <a解析 根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c ＝1.50.6>1，∴b <a <c . 答案 C4.(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数 解析 函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数.又y ＝3x 在R 上是增函数，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数.答案 B5.(2020·河南名校联盟调研)函数f (x )＝a x －2 020＋2 020(a >0且a ≠1)的图象过定点A ，则点A 的坐标为______.解析 令x －2 020＝0，得x ＝2 020，则y ＝2 021， 故点A 的坐标为(2 020，2 021). 答案 (2 020，2 021)6.(2020·菏泽一中月考)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 2考点一 指数幂的运算 【例1】 化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0＝______. (2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)＝________.解析 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－2＋50012－10（5＋2）（5－2）（5＋2）＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝(a 3b 2a 13b 23)12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab .答案 (1)－1679 (2)a b规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；(2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 解 (1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1＝0.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312＝－54a －16b －3÷(a 13b －32)＝－54a －12·b －32 ＝－54·1ab3＝－5ab 4ab 2.考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)已知实数a ，b 满足等式2 020a ＝2 021b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 解析 (1)如图，观察易知a ，b 的关系为a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点. ∴b的取值范围是(0，2).答案(1)B(2)(0，2)规律方法 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【训练2】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0(2)如果函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________.解析(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|3x－1|与y＝－m的图象，如图所示.由函数y＝|3x －1|＋m 的图象不经过第二象限，则y ＝|3x －1|与y ＝－m 在第二象限没有交点，由图象知m ≤－1.答案 (1)D (2)(－∞，－1]考点三 解决与指数函数性质有关的问题多维探究角度1 比较指数式的大小【例3－1】 下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1解析 A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误. 答案 B规律方法 比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 角度2 解简单的指数方程或不等式【例3－2】 (1)(2020·包头模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______.(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当a <1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立.故a 的值为12.(2)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1，则2－a <8，解得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1，0≤a <1. 综上，实数a 的取值范围是(－3，1). 答案 (1)12 (2)(－3，1)规律方法 (1)a f (x )＝a g (x )(a >0且a ≠1)⇔f (x )＝g (x ).(2)a f (x )>a g (x )，当a >1时，等价于f (x )>g (x )；当0<a <1时，等价于f (x )<g (x ).(3)有些含参数的指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题. 角度3 指数函数性质的综合应用【例3－3】 (1)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞)(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.解析 (1)不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，如图在同一平面直角坐标系中作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，由题意知，在(0，＋∞)内，直线有一部分在y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图象的下方，由图可知，－a <1，所以a >－1.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13. 答案 (1)D (2)3或13规律方法 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练3】 (1)(角度1)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >c >a(2)(角度2)(2020·安徽江南名校联考)若e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，则有( ) A.a ＋b ≤0 B.a －b ≥0 C.a －b ≤0D.a ＋b ≥0(3)(角度3)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________.(4)(角度3)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24).若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数m 的最大值为________.解析 (1)因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，c ＝0.40.6<1，所以a >b ，a >c .又y ＝0.4x 是以0.4为底的指数函数，且在R 上单调递减，所以0.40.2>0.40.6，即b >c ，所以a >b >c . (2)令f (x )＝e x －π－x ，则f (x )在R 上是增函数， 由e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，得e a －π－a ≥e －b －πb ， 则f (a )≥f (－b )，所以a ≥－b ，则a ＋b ≥0. (3)原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.(4)把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x ，得⎩⎨⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥m 在区间(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在区间(－∞，1]上的最小值不小于m 即可.因为函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56.所以只需m ≤56即可.所以m 的最大值为56. 答案 (1)A (2)D (3)(－1，2) (4)56A 级 基础巩固一、选择题1.(2019·永州模拟)下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝x 3 C.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.y ＝log 2x解析 y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数.y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数，不符合题意； y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数，符合题意. 答案 B2.函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A.y ＝1－x B.y ＝|x －2| C.y ＝2x －1D.y ＝log 2(2x )解析 f (x )过定点A (1，1)，将点A (1，1)代入四个选项，y ＝1－x 的图象不过点A (1，1). 答案 A3.(2020·西安调研)已知0<b <a <1，则a b ，b a ，a a ，b b 中最大的是( ) A.b aB.a aC.a bD.b b解析 ∵0<b <a <1，∴y ＝a x 与y ＝b x 均为减函数， ∴a b >a a ，b a <b b .又y ＝x b 在(0，＋∞)上递增，∴a b >b b . 综上，a b 最大. 答案 C4.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析 设原有荒漠化土地面积为b ，经过x 年后荒漠化面积为z ，则z ＝b (1＋10.4%)x ，故y ＝zb ＝(1＋10.4%)x ，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D. 答案 D5.若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减. 答案 B 二、填空题6.化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5＝________.解析 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a .答案 1a 7.若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3有最大值3，则a ＝________.解析 令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 答案 18.设偶函数g (x )＝a |x ＋b |在(0，＋∞)上单调递增，则g (a )与g (b －1)的大小关系是________.解析 由于g (x )＝a |x ＋b |是偶函数，知b ＝0， 又g (x )＝a |x |在(0，＋∞)上单调递增，得a >1. 则g (b －1)＝g (－1)＝g (1)，故g (a )>g (1)＝g (b －1). 答案 g (a )>g (b －1) 三、解答题9.已知函数f (x )＝3x ＋a3x ＋1为奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并加以证明.解 (1)因为函数f (x )是奇函数，且f (x )的定义域为R ；所以f (0)＝1＋a1＋1＝0，所以a ＝－1(经检验，a ＝－1时f (x )为奇函数，满足题意).(2)由(1)知f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，函数f (x )在定义域R 上单调递增.证明如下：设x 1<x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝2（3x 1－3x 2）（3x 1＋1）（3x 2＋1）.因为x 1<x 2，所以3x 1<3x 2，所以3x 1－3x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在定义域R 上单调递增. 10.已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)，其中a ，b 均为实数. (1)若函数f (x )的图象经过点A (0，2)，B (1，3)，求函数y ＝1f （x ）的值域； (2)如果函数f (x )的定义域和值域都是[－1，0]，求a ＋b 的值. 解 (1)因为函数f (x )的图象经过点A (0，2)，B (1，3)， ∴⎩⎨⎧1＋b ＝2，a ＋b ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1， ∴函数f (x )＝2x ＋1>1，函数y ＝1f （x ）＝12x ＋1<1. 又1f （x ）＝12x ＋1>0，故函数y ＝1f （x ）的值域为(0，1). (2)如果函数f (x )的定义域和值域都是[－1，0]，若a >1，则函数f (x )＝a x ＋b 为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b ＝－1，1＋b ＝0，无解. 若0<a <1，则函数f (x )＝a x ＋b 为减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b ＝0，1＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2， ∴a ＋b ＝－32.B 级 能力提升11.设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1的大小关系是( )A.M ＝NB.M ≤NC.M <ND.M >N解析 因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1<1，所以M >N .答案 D12.(2020·衡水中学检测)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－x 23且满足f (2a －1)>f (3)，则a 的取值范围为( ) A.a >2 B.a <2C.－1<a <2D.a <－1或a >2解析 易知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－x 23是R 上的偶函数，又当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x－x 23单调递减.由f (2a －1)>f (3)⇔f (|2a －1|)>f (3)， ∴|2a －1|<3，解得－1<a <2.答案 C13.(2018·上海卷)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________.解析 因为f (x )＝2x 2x ＋ax＝11＋ax 2x ，且其图象经过点P ，Q ， 则f (p )＝11＋ap 2p＝65，即ap 2p ＝－16，①f (q )＝11＋aq 2q＝－15，即aq2q ＝－6，② ①×②得a 2pq2p ＋q ＝1，则2p ＋q ＝a 2pq ＝36pq ，所以a 2＝36，解得a ＝±6，因为a >0，所以a ＝6. 答案 614.已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对任意t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)当x <0时，f (x )＝0，故f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0， 将上式看成关于2x 的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x >0，所以2x ＝2，所以x ＝1.(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，因为22t －1>0， 所以m ≥－(22t ＋1)，又y ＝－22t －1，t ∈[1，2]为减函数， ∴y max ＝－22－1＝－5，故m ≥－5.C级创新猜想15.(多填题)已知函数f(x)＝2x1＋a·2x的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫0，12对称，则a＝________，f(x)的值域为________.解析依题设f(x)＋f(－x)＝1，则2x1＋a·2x＋2－x1＋a·2－x＝1，整理得(a－1)[4x＋(a－1)·2x＋1]＝0. 所以a－1＝0，则a＝1.因此f(x)＝2x1＋2x＝1－11＋2x.由于1＋2x>1，∴0<11＋2x<1，∴0<f(x)<1.故f(x)的值域为(0，1).答案1(0，1)莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。