arcgis 曲线插值拟合算法

湖南大学电气与信息工程学院

《数值计算》课程 上机实验报告

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指导老师：

本次实验题号：第 3 次实验

1) 实验目的：

1) 用MATLAB实现拉格朗日插值和分段线性插值。

2) 了解matlab实现曲线拟合方法的实际应用。

二. 实验内容：

1) 插值算法的应用：

题目：用拉格朗日插值程序，分段线形插值函数分别研究f（X）的数据表，计算f(0.472)

X 0.46 0.47 0.48 0.49

Y 0.4846555 0.4937542 0.5027498 0.5116683

2) 曲线拟合方法的实际应用

用电压V=10V的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压v(t)=V-(V-V0)e^(-t/T)，其中V0是电容器的初始电压，T是充电常数。实验测量了一组数据如下，请根据数据表确定V0和T的大小。

t 0.5 1 2 3 4 5 7

9

V(t) 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63

三. 算法介绍或方法基础

1.1 拉格朗日插值法

对于已给定的点 00(,),...,(,)kkxyxy 和待估计的点的横坐标x，如上述理论，将其值代入

1100,011()()()()():......()()()()kjjikjiijjijjjjjjkxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxx

计算出插值基函数的值，然后根据公式：

0():()kiijLxylx

计算出纵坐标的估计值，由此完成对该点的插值过程，其中k为该点插值的阶数。

1.2 线性分段插值 利用已给定的点 00(,),...,(,)kkxyxy 对插值区间分为1k段，将每段的端点(,)iixy与 11(,)iixy作为数据点利用公式

100010()()()()()fxfxpxfxxxxx

1

20/"geometry.cfg"

20/"natbib.cfg"

20/"bblopts.cfg"

20/"english.cfg"20/"____________.aux"插值算法

February3,20201

需要根据已知的函数点进行数据，模型的处理和分析，有时候现有的数据是极少的，不足

以分析支撑的比较，这时候需要数学的方法，模拟产生一些洗呢但又比较靠谱的值来满足需求。

一维插值问题多项式插值分段插值

拉格朗日插值多项式公式

Ln(x)=n∑

k=0ykωn+1(x)(x−xk)ω′n+!(xk)

其中ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)....(x−xn)

龙格现象(rungephenomenon)高次插值会产生龙格现象,在两端处的波动计大,产生明

显的震荡.在不熟悉曲线的运动趋势下,不要轻易使用高次插值.

采用分段低次插值的思路:在随便两个点之间,采用分段二次或者三次插值的方法/又叫分段

抛物插值.

牛顿插值法:f(x)=f(x0)+f|x0,x1|(x−x0)+f|x0,x1,x2|(x−x0)(x−x1)+.....差商的定义:

称f|x0,xk|=f(xk)−f(x0)xk−x0两种插值的区别在于没有体现在导数的一致上

埃尔米特插值法:要求节点处的函数值相同,同时要求对应的导数值也相同

分段三次埃尔米特插值法:

matlab里有内存的函数pchip(x,y,new_w)x是已知样本点的横坐标,y是已知样本点的纵

坐标,new_x是要插入的对应的横坐标

n维数据的插值了解:p=interpn(x1,x2,...xn,y,new_x1,newx_2,....newx_n,method)

x1,x2,x3...是样本点的横坐标

y是样本点的纵坐标

输入的new是要输入点的横坐标

method是要插值的方法拟合算法

拟合和插值的区别:找到一个确定的曲线保证误差足够小,不要求曲线经过每一个样本点,

只要足够接近就可以.2

最小二乘法的几何解释:

黑龙江大学数学学院2010届毕业论文

第 1 页 共 15 页 拟合及插值问题研究

摘 要 本文讨论了插值函数的基本概念及线性插值和多项式插值存在唯一性.主要介绍了基于基函数的拉格朗日插值、基于均差的牛顿插值和基于导数埃尔米特插值及三次样条插值.曲线拟合及基于最小二乘拟合的多项式插值和正交多项式插值.

关键词 拉格朗日插值 牛顿插值 曲线拟合 最小二乘法

1 引 言

函数常被用来描述客观事物变化的内在规律（数量关系）.但在生产和科研实践中遇到的大量函数,却是复杂函数.对于实际中的这些复杂函数,我们希望能构造一个能反映函数本身的特性,又便于计算的简单函数,近似代替原来的函数.

解决上述问题的方法有两类:一类是对于一组离散点),,2,1,0()),(,(nixfxii,选定一个便于计算的函数形式)(xp,如多项式函数、分段性函数、有理函数、三角函数等,要求简单函数)(xp满足),,2,1,0(),()(nixfxpii.由此确定函数)(xp作为)(xf的近似函数,这就是插值方法.令一类方法在选定近似函数)(xp的形式时,不要近似函数)(xp必须满足),,2,1,0(),()(nixfxpii,而只要在某种意义下(最小二乘法原理),使近似函数)(xp在这些点上的总偏差量最小,这类方法称为曲线拟合.

2 插值问题与插值多项式

定义1 设)(xfy为区间],[ba上函数，nxxx,,,10为],[ba上1n互不相同的点，为给定的某一函数类，若上有函数)(x，满足

nixfxii,,2,1,0),()(.

则称)(x为)(xf关于节点nxxx,,,10在上的插值函数，称点nxxx,,,10为插值节点；称nixfxii,,2,1,0),(,(为插值型值点，简称型值点或插值点;)(xf称为被插函数.

定义2 已知函数)(xf在区间],[ba上的1n个点的值，即已知],[baxi，寻求一个解析形式的函数)(x，使之满足

第１期　２０１１年１月　组合机床与自动化加工技术　Ｍｏｄｕｌａｒ　Ｍａｃｈｉｎｅ　Ｔｏｏｌ＆Ａｕｔｏｍａｔｉｃ　Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ　Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ　ＮＯ．１　

Ｊａｎ．２０１１　

文章编号：ｌＯＯｔ一２２６５（２０１１）Ｏｌ一００２６—０４　

ＮＵＲＢＳ曲线自适应插值拟合算法　

粟烂芝　一，王　品　＇　

（１．中国科学院研究生院，北京　１０００４９；２．中国科学院沈阳计算技术研究所，沈阳　１　１０１７１；３．沈　

阳高精数控技术有限公司，沈阳　１　１０１７１）　

摘要：针对从ＤＸＦ文件中构造的ＮＵＲＢＳ曲线，提出了一种曲线的自适应分解算法。该算法结合了　

ＮＵＲＢＳ曲线的形状信息，通过计算比较插补点的曲率半径与给定阂值的大小，以决定当前插补类型　

为直线段或是圆弧段，在满足加工精度的前提下，采用伸缩步长法使得拟合的区间尽可能大。经实　

际运行表明，此方法拟合的加工程序段少，能简化数值计算和编程，减少数控机床的预处理时间。该　

算法具有通用性，为其他曲线的插值拟合也提供了一种有效途径。　

关键词：ＤＸＦ；ＮＵＲＢＳ曲线；形状信息；曲率半径；自适应分解　

中图分类号：ＴＨ１６；ＴＧ６５　文献标识码：Ａ　

Ａｎ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ＮＵＲＢＳ　Ｃｕｒｖｅ　Ａｄａｐｔｉｖｅ　ＩｎｔｅｒｐＯｌａｔｉＯｎ　

ＳＵ　Ｌａｎ—ｚｈ　．ＷＡＮＧ　Ｐｉｎ　，　

（１．Ｇｒａｄｕａｔｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ａｃａｄｅｍｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１　０００４９，Ｃｈｉｎａ；２．Ｓｈｅｎｙａｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　

Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ａｃａｄｅｍｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ　１　１　０　１　７　１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ　ａ　ｗａｙ　ｏｆ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ＮＵＲＢＳ　ｃｕｒｖｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ　ｆｏｒｍ