2.基本不等式 (3)

不等式3知识梳理： 基本不等式：1、和积不等式：,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a b =时取到“=”)．【变形】：①222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==） 【注意】：(,)2a ba b R ++∈，2()(,)2a b ab a b R +∈≤2、均值不等式：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”22“”112ab a b a b a b a b+===++时取）*.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）*.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：3333a b c abc ++≥（0a b c ++>等式即可成立，时取等或0=++==c b a c b a ）；3a b c ++ ⇒3()3a b c abc ++≤3333a b c ++≤*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，变式： ①222b a ab +≤ ； ②2)2(b a ab +≤； ③2)2(222b a b a +≤+ ④)(222b a b a +≤+；最值定理（积定和最小）①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值，则当x y =时和x y +有最小值（和定积最大）②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值1. (1) 已知x,y 为正数，且1,________.2yx +=(2)下列最小值是2的 （ ）A ．1xx+ B.C.2 D. 3x +2. 制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择， 较经济的(够用，又耗材最少)是( ) A ．4.6 m B ．4.8 m C ．5 m D ．5.2 m3. 已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋1y 的最小值是________.4. 已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________.5. 已知x>0，y>0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是____.6. 若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．7. 已知c 是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的半焦距，则b ＋ca 的取值范围是________.8. 已知正项等比数列{an}满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项am ，an 使得aman ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为__________.9. 设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为____________10. 求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值__________.11. 若实数,,,m n x y 满足2222,m n a x y b+=+=()a b ≠，则m x n y +的最大值是__________.12. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.13. 已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z =11()()x y xy++的最小值为 ．14. 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？15. 如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。

第3讲 基本不等式一、知识梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．[点拨] 应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错．2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)[点拨] 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(3)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 二、教材衍化1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析：选C ．xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C ． 2．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10，所以S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案：25 m 2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0； (2)忽视定值存在； (3)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1x ( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2 解析：选D ．因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2.2．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：53．设0<x <1，则函数y ＝2x (1－x )的最大值为________．解析：y ＝2x (1－x )≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝12.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．答案：12考点一 利用基本不等式求最值(基础型) 复习指导| 探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．核心素养：逻辑推理 角度一 通过配凑法求最值(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ， 即x ＝23时，取等号．(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2（5－4x ）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【答案】 (1)23(2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 【解析】 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a · ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案：4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为：已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案：114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．223B ．23C ．33D ．233【解析】 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223. 【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝(ab )32，则ab 的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．4解析：选C ．(ab )32＝a ＋b ≥2ab ＝2(ab )12，所以ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故ab 的最小值为2，故选C ．2．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为( ) A ．53B ．103C ．32D ．3解析：选D ．由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4xx ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y·x ＋3yx －1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．3．已知x >0，y >0，且x ＋16y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________． 解析：已知x >0，y >0，且x ＋16y ＝xy .即16x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫16x ＋1y ＝16＋1＋16y x ＋x y ≥17＋2 16y x ·xy＝25，当且仅当x ＝4y ＝20时等号成立，所以x ＋y 的最小值为25. 答案：25考点二 利用基本不等式解决实际问题(应用型) 复习指导| 利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题抽象出数学模型，列出函数关系，然后利用基本不等式求最值．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400，600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； (2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值； (3)还原为实际问题，写出答案．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低．解：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x ＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．[基础题组练]1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，则1xy 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A ．因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy≥1.2．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D ．因为1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ，(当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立)所以2x ＋y ≤12，所以2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.3．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析：选C ．因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.4．(多选)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b >1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2≥2ab解析：选CD ．因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．所以选项C 正确，又a ，b ∈R ，所以(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab 一定成立．5．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C ．因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x3y＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y的最小值为4.故选C ．6．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x >0，所以y >0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．所以x ＋y 的最小值为2 2.答案：2 27．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．(2020·湖南岳阳期末改编)若a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，则ab 的最大值为________，1a ＋2b的最小值为________． 解析：因为a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，所以a ＋2b ＝4，所以ab ＝12a ·2b ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝2，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立，所以ab 的最大值为2，因为1a ＋2b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b 4＝14(5＋2b a ＋2a b )≥14⎝⎛⎭⎫5＋2·2b a ·2a b ＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以1a ＋2b 的最小值为94.答案：2 949．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．设a >0，若关于x 的不等式x ＋a x －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A ．16B ．9C ．4D ．2解析：选C ．在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2 （x －1）×a （x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号)．由题意知2a ＋1≥5，所以a ≥4.2．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A ．3B ．5C ．7D ．9解析：选C ．因为x >0，y >0.且1x ＋1＋1y ＝12，所以x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2(1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y )≥2(2＋2y x ＋1·x ＋1y )＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，所以x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7，故选C ．3．已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，①则x 2＋y 2的最小值为________；②若1x ＋4y≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为x ＋y ＝1，所以xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14，所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14×2＝12，所以x 2＋y 2的最小值为12. 若a ≤1x ＋4y 恒成立，则a 小于等于⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值，因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y≥5＋2y x ×4x y ＝9，所以1x ＋4y的最小值为9，所以a ≤9，故实数a 的取值范围是(－∞，9]． 答案：12(－∞，9] 4．(2020·洛阳市统考)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析：因为1x ＋2y ＝1，所以2x ＋y ＝xy ，所以xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ，因为3x ＋2y ＝(3x ＋2y )·(1x＋2y )＝7＋6x y ＋2y x，且x >0，y >0，所以3x ＋2y ≥7＋43，所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3. 答案：7＋4 35．已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y .(1)求1x ＋1y的最小值； (2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解：(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋（y ＋1）22≤4， 因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.6．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入为多少万元时，厂家获取利润最大？解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1(m ≥0)， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x(元)，所以2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x－8－16x －m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入为3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．。

基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。

2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。

3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。

2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。

5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。

2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。

3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。

4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。

5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。

基本不等式及其应用讲义一、知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤)2(b a +2 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥)2(b a +2 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 注意：不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈)2,0( 的最小值等于4.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( ) (5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( )题组二：教材改编2．例1(2)]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．823．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.题组三：易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B.12 C ．1 D.326．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5三、典型例题题型一：利用基本不等式求最值命题点1：通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． 命题点2：通过常数代换法利用基本不等式典例 若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2思维升华：(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．跟踪训练 (1)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． (2)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．题型二：基本不等式的实际应用典例 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？思维升华：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．跟踪训练：某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．题型三：基本不等式的综合应用命题点1：基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A ．9 B ．8 C ．4 D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________． 命题点2：求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9 B ．12 C ．18 D ．24(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________． 思维升华：(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.32C ．1D ．2 (2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.94D.256注意：利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________． (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为________． 四、反馈练习1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg )41(2 x >lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5 4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( ) A ．4 B ．22 C ．8 D ．165．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．46．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥15 B ．a >15 C ．a <15 D ．a ≤157．已知a >b >0，且ab ＝1，那么a 2＋b 2a －b取最小值时，b ＝________. 8．已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y的最小值为________． 9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．10．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？成立，故(a＋1)(b＋2)的最小值为27.。

【高中新知识预习篇】第14讲 基本不等式解析版一、基本知识及其典型例题知识点一 基本不等式1.基本不等式的概念：当a ，b > 0，ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2.基本不等式的意义：一般地，对于正数a ，b ，a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即ab ≤ a ＋b2. 3.基本不等式的常见推论 :(1) (重要不等式) ∀a ，b ∀R ，有a 2＋b 2 ≥ 2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2) ab ≤ 2)2(b a +≤ a 2＋b 22 (R b a ∈、)；(3) b a ＋ab≥ 2 (a ，b 同号)；(4)a 2＋b 2＋c 2 ≥ ab ＋bc ＋ca (R c b a ∈、、). 4.利用基本不等式证明不等式(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2) 注意事项：∀多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；∀累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；∀对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.【例1】证明不等式: a ，b ∀R , ab ≤2)2(b a +≤a 2＋b 22,当且仅当a=b 时取等号.【证明】∀化简得：2)2(b a ab +≤.0)(,0224,422222222≥-≥+-++≤++≤b a b ab a b ab a ab b ab a ab 即，即即.时取等号当且仅)2(0)(2b a b a ab b a =+≤∴≥-当恒成立，恒成立， ∀)(22,2422)2(22222222222b a b ab a b a b ab a b a b a +≤+++≤+++≤+即化简得：.0)(,02222≥-≥+-b a b ab a 即即.2)2(222时等式成立恒成立，当且仅当同理，b a b a b a =+≤+综上， a ，b ∀R , ab ≤2)2(b a +≤a 2＋b 22,当且仅当a=b 时取等号.【变式1】已知x ，y 都是正数. 求证：(1)y x ＋xy ≥2； (2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3;（3）已知a ，b ，c 为任意的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 【证明】 (1)∀x ，y 都是正数，∀x y > 0，yx > 0，∀y x ＋xy≥ 2y x ·x y ＝ 2， 即 y x ＋xy≥ 2， 当且仅当x ＝y 时，等号成立.(2)∀x ，y 都是正数，∀x ＋y ≥ 2xy > 0， x 2＋y 2 ≥ 2x 2y 2 > 0，x 3＋y 3 ≥ 2x 3y 3 > 0.∀(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥ 2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3，即 (x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥ 8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立. (3)∀a 2＋b 2≥2ab ；b 2＋c 2≥2bc ；c 2＋a 2≥2ca ， ∀2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立..1.a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 都是带有等号的不等式.“当且仅当…时，取等号”这句话的含义是：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.【例2】(多选题)设a >0，b >0，下列不等式中恒成立的有（ ） A.a 2＋1>a B.4)1)(1(≥++bb a a C.4)11)((≥++ba b a D.a 2＋9>6a .【解析】由于a 2＋1－a ＝2)21(-a ＋34>0，故A 恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∀4)1)(1(≥++bb a a ，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故B 恒成立； 由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b≥21ab， 故4)11)((≥++ba b a ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故C 恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故D 不恒成立. 综上，恒成立的是ABC.【变式2】下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是（ ）. A．x y +≥B ．21x x +>2C ．2111x ≤+ D ．12x x+≥ 【答案】C【分析】取特殊值可得a,b,D 不恒成立，由211x +≥可得C 对应的不等式2111x ≤+恒成立，得解. 【解析】对于A ，当0x <时，根式无意义，故A 不恒成立； 对于B ，当1x =时，212x x +=，故B 不恒成立； 对于C ，211x +≥，所以2111x ≤+成立，故C 成立； 对于D ，当0x <时，12x x+<，故D 恒不成立， 即对任何实数x 都成立的一个式子是2111x ≤+ 【例3】已知，，若，证明：。

微专题03 基本不等式和积问题【方法技巧与总结】 一．重要不等式,a b R ∀∈，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．二．基本不等式如果0a >，0b >2a bab +≤，当且仅当a b =时，等号成立． 2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数ab a ，b 的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．三．与基本不等式相关的不等式（1）当,a b R ∈时，有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立．（2）当0a >，0b >时，有211ab a b≤+a b =时，等号成立．（3）当,a b R ∈时，有22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立． 四．利用基本不等式求最值 已知0x >，0y >，那么（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值2P （2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S ． 【题型归纳目录】题型一：比较大小及不等式证明问题 题型二：简单的和为定值或积为定值型 题型三：含+y x x y 或1+t t以及可以转化为此的类型 题型四：含22,,,++=++y x ax by ax by xy ax by a b ab类型 【典型例题】题型一：比较大小及不等式证明问题例1．（多选题）（2022·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x ，y 满足x y >，则下列结论正确的是（ ）A ．11x y> B ．11x y< C ．2x yy x+≥D ．22222x y x y ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】CD【解析】当0x y >>时，得11x y<，A 错； 当0x y >>时，11x y>，B 错； 0,0x y y x >>，2x y x y y xyx+≥⋅=，当且仅当x y =时，等号成立．C 正确；,x y 是实数，则222x y xy +≥，222222()2()x y x xy y x y +≥++=+，所以22222x y x y ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立，D 正确． 故选：CD ．例2．（多选题）（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）设a ＞0，b ＞0，则（ ） A ．12(2)9a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．2221)a b a b +≥++（C ．22a b a b b a++≥D ．2abab a b≤+【答案】ACD 【解析】a ＞0，b ＞0，对A ：122222(2)5529b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，故选项A 正确； 对B ：因为()()222221)114a b a b a b +-++=-+--（4≥-，所以选项B 错误； 对C ：因为22222222a b a b b a b a a b b a b a +++≥⨯⨯=+，所以22a b a b b a++≥，当且仅当a b =时等号成立，故选项C 正确；对D ：因为2a b ab +≥，所以(2a b ab ab +≥，即2abab a b≤+a b =时等号成立，故选项D 正确． 故选：ACD ．例3．（2022·河南·高一期中）已知x 、y 、z 都是正数． （1）求证：0x y y z z xyz zx xy---++≥；（2）若()2221122x y m m y x x y ⎛⎫+≥--+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）证明：要证0x y y z z xyz zx xy---++≥， 左右两边同乘以xyz 可知即证2220x xy y yz z xz -+-+-≥， 即证222x y z xy yz xz ++≥++．因为x 、y 、z 都是正数，由基本不等式可知222x y xy +≥，222y z yz +≥，222x z xz +≥， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号成立，将上述三个不等式两边分别相加并除以2，得222x y z xy yz xz ++≥++． 所以，原不等式得证．（2）()()33222222112222x y x y x xy y m m m m y x x y xy x y xy ⎛⎫+-++≥--+⇔--≤= ⎪+⎝⎭，因为221211x xy y x y x yxy y x y x -+=+-≥⋅=，当且仅当x y =时等号成立， 所以，2221m m --≤，即2230m m -≤-，解得13m -≤≤， 故实数m 的取值范围为13m -≤≤．例4．（2022·广东茂名·高一期末）已知,,a b c 均为正数，且3a b c ++=，证明：2221116a b c ab bc ac+++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立．【解析】证明：因为,,a b c 均为正数，所以2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++． 所以222a b c ab bc ac ++++①故222111111a b c ab bc ac ab bc ac ab bc ac++++++++++， 而111111226ab bc ac ab bc ac ab bc ac ab bc ac+++++≥⋅⋅⋅．① 所以原不等式成立．当且仅当①式和①式等号成立，即当且仅当,1a b c ab bc ac =====时，故当且仅当1a b c ===时，原不等式等号成立． 例5．（2022·辽宁沈阳·高一期中）已知a ，b ，0c >，求证：222a b c a b c b c a++≥++．【解析】因为a ，b ，0c >，则20a b >，20b c >，20c a>，于是得2222a a b b a b b+≥⋅=，当且仅当2a b b =，即a b =时等号成立，2222b b c c b c c+≥⋅=，当且仅当2b c c =，即b c =时等号成立，2222c c a a c a a+≥⋅=，当且仅当2c a a =，即c a =时等号成立，将上述三个不等式相加得：222222a b c b c a a b c b c a+++++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立，因此有222a b c a b c b c a ++≥++，所以，当a ，b ，0c >时，222a b c a b c b c a++≥++．例6．（2022·江苏·高一单元测试）设a >0，b >0，a +b ＝2． （1）证明：(1)(1)a b ab++≥4；（2）证明：a 3+b 3≥2．【解析】（1）证明：因为0a >，0b >，2a b +=．()()13111ab a b aba a bb ab+++++==+． 且()214a b ab +≤=（当且仅当a b =时取等号）， 故331141ab +≥+=． 所以()()114a b ab++≥（2）证明：()3322333a b a a b ab b +=+++()333a b ab a b =+++336a b ab =++()23333664a b a b a b +++⋅=++≤当且仅当1a b ==时取等号， 又()3328a b +==， 故332a b +≥．题型二：简单的和为定值或积为定值型例7．（2022·陕西安康·高一期中）若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．2ab ≥ B 2a b ≤C ．213a b+≥D ．222a b +≥【答案】D【解析】对于选项A ：∵212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，∴A 错误；对于选项B ：12a b a b++≤=2a b ≤，∴B 错误； 对于选项C ：()2112112322322b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3223+< ∴C 错误； 对于选项D ：∵2222a b a b ++，当且仅当a b =时取等号， ∴222a b +≥，D 正确； 故选：D例8．（2022·广东·华南师大附中高一期末）若正实数,a b 满足1a b +=，则（ ）A ．ab 有最大值14B ．11a b +有最大值4 C ．ab 有最小值14D ．11a b+有最小值2 【答案】A【解析】因为正实数,a b 满足1a b +=所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b +=，a b =，即12a b ==取等号，故A 正确、C 错误． 2111142+=≥=⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b ab a b ，当且仅当1a b +=，a b =，即12a b ==取等号，故B 、D 错误． 故选：A例9．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数x y ，满足 4x y +=，则xy 的最大值（ ） A ． 2 B ．4C ． 6D ．8【答案】B【解析】因为正数x y ，满足 4x y +=，所以有4224x y xy xy xy =+≥⇒≤，当且仅当2x y ==时取等号， 故选：B例10．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）若()0,4,x ∈则()4x x -的最大值是（ ） A ．4 B ．1C ．0D ．不存在【答案】A【解析】因为()0,4x ∈，所以()40,4x -∈，所以()()24442x x x x ⎡⎤+--≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当4x x =-，即2x =时取等号；故选：A例11．（2022·河南郑州·高一期中）设正实数x ，y 满足x +2y =1，则下列结论正确的是（ ）A ．x 的最大值为14B ．224x y +的最小值为12，C ．y x +1y的最大值为4 D 2x y 2【答案】B【解析】正实数x ，y 满足x +2y =1，则1x <，无最大值，A 错误；由基本不等式得：()2222441x y x xy y +=++=，而2244xy x y ≤+，所以22142x y +≥，当且仅当2x y =，即11,24x y ==时，等号成立，B 正确；111112212y x y y x x x y +=+-=+-+，其中()111115922222222y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，所以1111422y x y x y +=-++≥，故y x +1y的最小值为4，C 错误； 20x y ，其中(2222212x yx y xy xy =++=+221224x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,24x y ==时，等号成立，所以(221222x yxy =+≤，所以022x y 2x y2D 错误．． 故选：B例12．（2022·山东青岛·高一期末）已知,,x y z 都是正实数，若1xyz =，则 ()()()x y y z z x +++ 的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】由0,0,0x y z >>>可知20x y xy +≥>（当且仅当x y =时等号成立）20y z yz +≥>（当且仅当y z =时等号成立）20x z xz +≥>（当且仅当x z =时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得()()()22288x y z x y y z z x ≥++=+（当且仅当1x y z ===时等号成立）故选：D例13．（2022·江苏·常州市第一中学高一期末）若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D 【解析】∵72x ≥，∴30x ->， ∴()()()223161011()=32323333x x x f x x x x x x x -+-+==-+≥-⨯----， 当且仅当133x x -=-，即4x =时，等号成立，即()f x 有最小值2． 故选：D ．例14．（2022·湖北黄石·高一期中）若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】因为1x >，所以10x ->， 所以()2142211x x y x x x x -++=+=+--()()4442132137111x x x x x x =++=-++≥-⋅=---， 当且仅当()411x x -=-，即3x =时取等号， 所以函数221x y x x +=+-的最小值为7； 故选：C例15．（2022·云南楚雄·高一期末）下列函数中最小值为8的是（ ） A ．16y x x=+B ．16sin sin y x x=+C ．22644x y x=+D ．227y x x =-+【答案】C【解析】对于A ，当0x <时，显然不满足题意； 对于B ，因为0sin 1x <，又16y x x=+在(]0,1上单调递减，所以当sin 1x =时min 17y =，所以其最小值不为8，B 不符合题意；对于C ，226421684x y x=+=，当且仅当216x =，即4x =±时取等号，所以其最小值为8，C 符合题意；对于D ，()2227166y x x x =-+=-+≥，当1x =时，取得最小值，D 不符合题意． 故选：C例16．（2022·贵州遵义·高一期末）负实数x ，y 满足2x y +=-，则1x y的最小值为（ ） A ．0 B ．1- C ．2-D ．3【答案】A【解析】根据题意有2x y =--，故11122xy yyyy1220yy，当且仅当1y =-，1x =-时取等号．故选：A题型三：含+y x x y 或1+t t以及可以转化为此的类型 例17．（2022·四川·华阳中学高一期中）若正实数x ，y ，z 满足2243x y z xy =++，则当xyz取最大值时，1112x y z+-的最大值为______． 【答案】12【解析】正实数x ，y ，z 满足2243x y z xy =++ 则2234z x xy y =-+ 则2234xy xy z x xy y =-+ 143x y y x+=- 4231x y y x⋅-=，当且仅当2x y =时取得等号 所以max1xy z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时2x y =所以222234z x xy y y =-+= 所以1112x y z+-2111222y y y=+- 211111222y ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭所以1112x y z+-的最大值为12 故答案为：12例18．（2022·四川内江·高一期末（文））已知正实数a 、b 满足4a b +=，则11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．222 B ．4C ．254D ．221【答案】B【解析】∵正实数a 、b 满足4a b +=，∴11112224a b ab ab b a ab ab ⎛⎫⎛⎫++=++⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥， 当且仅当1ab ab=，即1,4ab a b =+=时，取等号， 故选：B ．例19．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，则ab 的最小值为（ ） A ．9 B ．16 C ．49 D ．81【答案】D【解析】由题意得3327627ab a b ab =++≥，得)627930ab ab ab ab -=≥9ab ，即81ab ≥，当且仅当9a b ==时，等号成立． 故选：D例20．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期中）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴221114344323===-++-⋅-xy xy x y zx xy y x y y xy x， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D例21．（2022·浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a 和b 满足ab +a +2b =7，则14299a b +++的最小值为（ ） A ．49B 815C ．1327D 13375-【答案】A【解析】因为ab +a +2b =7， 所以72+1b a b -=，72+2297+2,+112b b a b b b -+==<+， 所以141414422999999999b b a b b b +++=+≥⋅=++++， 当且仅当51,2b a ==时等号成立， 故选：A例22．（2022·浙江·宁波市鄞州高级中学高一期中）若正实数x ，y 满足()()1419x y ++=，则4x y +的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．265D ．425【答案】B【解析】()()()2242141914124x y x y x y +++++⎛⎫=++≤=⎪⎝⎭， 可得()24236x y ++≥，426x y ++≥，所以44x y +≥， 所以4x y +的最小值为4， 故选：B例23．（2022·江西省丰城中学高一期中）已知正实数a ，b ，若()1126a b a b+++=，z a b =+，则z 的取值范围是（ ）A ．{}13z z ≤≤B ．{}12z z ≤≤C ．{}23z z ≤≤D ．{}34z z ≤≤【答案】B【解析】由()()111226a b a b a b ab ⎛⎫+++=++= ⎪⎝⎭， 得()2661422a b aba b +=≤+++，化简得()()2320a b a b +-++≤，解得12a b ≤+≤，即z 的取值范围为{}12z z ≤≤， 故选：B ．例24．（2022·河南三门峡·高一期末）若正实数x ，y 满足30x y xy ++-=，则x y +的最小值为（ ） A ．3 B ．2C 3D 3【答案】B【解析】由题意，正实数,x y 满足30x y xy ++-=，则23()2x y x y xy +⎛⎫-+=≤ ⎪⎝⎭，令(0)x y t t +=>，可得232t t ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，即24120t t +-≥，解得2t ≥，或6t ≤-（舍去），所以当且仅当1x y ==时，x y +取得最小值2， 故选：B ．例25．（2022·贵州·六盘水红桥学校高一期中）设x ，y ，z 为正实数，满足0x y z -+=，则2yxz的最小值是（ ） A ．4 B ．2C ．12D ．14【答案】A【解析】由题设，y =x+z ，∴22()y x z xz xz+=，又x ，y ，z 为正实数，则2()4x z xz +≥， ∴24y xz ≥，当且仅当2y x z ==时等号成立． ∴2y xz的最小值是4． 故选：A例26．（2022·重庆八中高一期中）已知0a >，0b >，2a b +=，则22a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ）A ．8B ．434C ．9D ．34【答案】C【解析】由题意得，()22222244222222aa b a a a a a b a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-+=-++-+ ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭224(2)412(2)2(2)4(2)(2)a a a a a a a a a a +-+=--+=-+---，因()0,2a ∈，所以(](2)0,1a a -∈，结合对勾函数的性质得，12(2)4(2)a a a a -+--在(2)1a a -=时取得最小值9．故选：C ．题型四：含22,,,++=++y x ax by ax by xy ax by a b ab类型 例27．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．14 D ．16【答案】A【解析】因为8ab =，所以()222216a b ab a b a b a b a b a b-++==-+---．因为a b >，所以0a b ->，所以1616()8a b a b a b a b -+≥-⋅--，即28a b a b+≥-，当且仅当4a b -=时，等号成立，故222a b a b+--的最小值是6． 故选：A例28．（2022·全国·高一单元测试）若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．22D 3【答案】A【解析】因为a ，b 均为正实数，则()222222222222222ab bc a c a c a b c a c a c b bb b ++=≤++++++⨯()222222*********22222222a ac c ac ac a c a c a c ++=++=++⨯， 当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号， 则2222ab bc a b c +++的最大值为12． 故选：A ．例29．（2022·湖北恩施·高一期末）若2a >，3b >，则2223a b a b +--的最小值是（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．22【答案】C【解析】因为2a >，3b >，所以22224499492310232323a b a b a b a b a b a b -+-++=+=-++-++------ ()()492223102023a b a b ≥-⋅-+=--（当且仅当4,6a b ==时，等号成立），所以2223a b a b +--的最小值是20． 故选：C例30．（2022·天津·南开中学高一期中）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________．【答案】2【解析】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=， 又因为224(1111111()4424)xy xy y y x xy xy xy x -+=+=+≥⋅，当且仅当14xy xy =，即22,22x y ==等号成立，所以21=14x y+≥．故答案为：2例31．（2022·云南丽江·高一期末）若正数a ，b 满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为___________． 【答案】9【解析】因为正数a ，b 满足2a b ab +=， 所以121b a+=，则()212222522529b a b a a b a a b b a b a b ⎛⎫+=++≥+⋅ ⎪⎝+=+⎭， 当且仅当22b a a b =且121b a+=，即3a b ==时取等号， 所以2a b +的最小值为9． 故答案为：9．例32．（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x ，y 满足111x y+=，则4x y +最小值为______．【答案】9【解析】正数x ，y 满足：111x y+=，∴()1144445529y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即2x y =，233x y ==，时 “=”成立， 故答案为：9．例33．（2022·青海青海·高一期末）已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y+的最小值为（ ）A ．74B ．92C ．134D ．1【答案】B【解析】因为2x y +=，所以1414141422x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+⋅=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为x ，y 都是正数，由基本不等式有：4424y x y xx y x y+≥⋅， 所以141491422y x x y x y ⎛⎫+=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2,? 2,y x x y =⎧⎨+=⎩即2,343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“＝”．故A ，C ，D 错误．故选：B ．例34．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知 x y ， 为正实数， 且 2x y xy +=， 则 2x y + 的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】因为x y ， 为正实数， 所以2121x y xy y x+=⇒+= 所以214(2)()44248y xx y y x x y++=++≥+= 当且仅当42y x x y x y xy ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即2,4x y ==时，取等号， 故2x y + 的最小值为8． 故选：C例35．（2022·江西·高一期中）已知0a >，0b >，且12a b +=，则4b a+的最小值是（ ）2【答案】A【解析】由题意可得411414522b a b ab a b a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为0a >，0b >，所以44ab ab +≥，则492b a +≥， 当且仅当43a =，32b =时，等号成立． 故选：A例36．（2022·广东·化州市第三中学高一期中）下列结论中，所有正确的结论是（ ） A ．若3x <-，则函数13y x x =++的最大值为3- B ．若0xy >，234x y xy +=，则2x y +的最小值为23C ．若x ，(0,)∈+∞y ，223x y xy ++=，则xy 的最大值为1- D ．若2x >，2y >-，22x y +=，则11224x y +-+的最小值为322+【答案】B【解析】对于A ，若3x <-，则函数 ()()()1111333323()353333y x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++-=--++----+⋅--=- ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦， 当且仅当4x =-时等号成立，故A 错误； 对于B ，若0xy >，234x y xy +=，则234y x+=， 所以()13214314322628223444x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++++⋅=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当2243x y =时等号成立，故B 正确； 对于C ，若x ，(0,)∈+∞y ，223x y xy ++=，则由222x y xy +可得：323xy xy xy +=，即1xy ，故C 错误； 对于D ，若2x >，2y >-，22x y +=，则()()11111124212422242221224422442244224y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+-+-⎡⎤+=+-++=+++⋅= ⎪ ⎪⎣⎦ -+-+-+-+⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当224x y -=+，即4x =，1y =-时等号成立，故D 错误． 故选：B ．例37．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知p ，q 为正实数且3p q +=，则1121p q +++的最小值为（ ）3345【答案】A【解析】由3p q +=可知216p q +++=，11112111212121663612p q p q p q p q q p ⎛⎫⎛⎫++++⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11212236123p q q p ++≥+⨯⋅=++， 当21p q +=+，即12p q =⎧⎨=⎩时，“=”成立，故选：A ．例38．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（ ） A ．134 B ．94C ．74D ．95【答案】B【解析】∵2m n +=， ∴()()114m n +++=，即11144m n +++=， ∴4111m n +++41141114m n m n ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝++⎭+()1151414n m m n ++=++++ ()11521414n m m n ++≥⋅++94=，当且仅当()11141n m m n ++=++，且2m n +=时，即 53m =，13n =时等号成立．故选：B ．例39．（2022·江苏·常州市第一中学高一期中）已知0x >，0y >，2x y +=，则11xx y ++的最小值为（ ）． A ．1532B ．133C ．1233+D ．32【答案】C【解析】因为2x y +=， 所以2y x =-， 又0x >，0y >， 所以02x <<，111131=1213333x x x x x x y x x x x x x -+=+=+⨯+++-+--， 因为02x <<， 所以30x ->，所以13113123123333333x x x x x x x x --⨯++≥⨯⨯--， 当且仅当13=33x x x x -⨯-，即333x -所以11x x y ++2313，故选：C【过关测试】 一、单选题1．（2022·江苏·高一期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0,0)2a bab a b +≥>> B ．220,0)a b ab a b +≥>>C ．20,0)abab a b a b ≤>>+ D ．220,0)22a b a b a b ++>>【答案】D【解析】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=， 因为FO FC ≤，所以2222a b a b ++≤a b =时取等号． 故选：D ．2．（2022·福建三明·高一期中）已知正实数,a b 满足418a b +=，使得11a b+取最小值时，实数,a b 的值为（ ） A ．94a =，9b = B ．2a =，10b = C ．3a =，6b = D ．185a =，185b = 【答案】C 【解析】418a b +=，21918a b∴+= 1111252521291818189181892a b b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2189b aa b =，即2418b a a b =⎧⎨+=⎩，即36a b =⎧⎨=⎩时，等号成立故当3a =，6b =时，11a b+取最小值． 故选：C3．（2022·浙江杭州·高一期末）若a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b +，1b c +，1c a+（ ）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【解析】A ．都不大于2，结论不一定成立，如2,3,4a b c ===时，三个数1a b +，1b c +，1c a+都大于2，所以选项A 错误；B ．都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如1,2,a b ==则12a b+<，所以选项B 错误； C ．至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如2,3,4a b c ===时，三个数1a b +，1b c +，1c a+都大于2，所以选项C 错误． 由题意，∵a ，b ，c 均为正实数，∴1111112226a b c a b c b c a a b c+++++=+++++≥++=．当且仅当a b c ==时，取“=”号， 若12 a b +<，12b a+<，12c c +<，则结论不成立， ∴1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2，所以选项D 正确；故选：D ．4．（2022·云南玉溪·高一期末）现有以下结论： ①函数1y x x=+的最小值是2； ①若a 、b R ∈且0ab >，则2b aa b+≥；①2233y x x ++2；①函数()4230y x x x=-->的最小值为243-． 其中，正确的有（ ）个 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】取0x <，可判断①的正误；利用基本不等式可判断①①①的正误． 【详解】对于①，当0x <时，10y x x=+<，①错误； 对于①，若a ，b R ∈且0ab >，说明0b a >，0a b >，则22b a b aa b a b+≥⨯，当且仅当22a b =时取等号，显然成立，①正确；对于①，22221323233y x x x x =+≥+⨯++，2233x x +=+231x +=，显然这样的x 不存在，所以结论不正确，①错误；对于①，因为0x >，所以433x x+≥ 函数()4230y x x x=-->的最大值为23-①错误． 故选：B ．5．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知0a >，0b >，且115a b a b+++=，则a b +的取值范围是（ ） A ．14a b ≤+≤ B ．2a b +≥C ．14a b <+<D ．4a b +>【答案】A【解析】当2a b ==时，115a b a b+++=，4a b +=，所以CD 选项错误． 当12a b ==时，115a b a b +++=，1a b +=，所以B 选项错误．211452a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b ++=+++=++≥++=++++⎛⎫⎪⎝⎭， 即45a b a b++≤+当且仅当2a b ==或12a b ==时等号成立．则()()2540a b a b +-++≤，()()140a b a b +-+-≤，解得14a b ≤+≤． 故选：A6．（2022·甘肃兰州·高一期末）已知x ，y R ∈，且0x >，0y >，2x y +=，那么xy 的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】根据题意，0x >，0y >，2x y +=，则212x y xy +⎛⎫= ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，即xy 的最大值为1． 故选：C7．（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）已知实数,1x y >11x y -+- ）A ．1B 2C ．2D ．2【答案】C【解析】因为,1x y >，所以10,10x y ->->， 221121111x y x y x y -+-+=-+--+-2112211x y x y --+-+-11x y -=-x y =时取等号，1111x y x y -+-=-+-11222211x y x y -+-≥⋅=-+-，1111x y x y -+-=-+-2x y ==时取等号，11x y -+-2，故选：C8．（2022·河南新乡·高一期末）已知0x >，0y >，且22x y +=，则321x y+的最小值为（ ） A ．24 B ．25C ．26D ．27【答案】B【解析】因为0x >，0y >，且22x y +=， 所以()321132116464234172522y x y x x y x y x y x y x y⎛⎫⎛⎫+=++=++⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当64y x x y =，即85x =，15y =，等号成立． 所以321x y+的最小值为25， 故选：B 二、多选题9．（2022·江苏省沭阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（ ） A ．21x y x+=的最小值为2B ．任意的正数a b 、， 且1a b +=2a bC ．若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为3D ．设x 、y 为实数，若2291x y xy ++=，则3x y +221【答案】BCD【解析】选项A ：211+==+x y x x x， 当0x > 时，11.2y x x x x=+≥= ，当且仅当1x =时有最小值． 故A 不正确． 选项B ()()2212a b a ba b ab ab ++++对于任意正数a b 、 ，a b ab +≥，而1a b += ，所以21ab ， 当且仅当12a b ==时取得最大值． +2a b ≤，当且仅当12a b ==时取得最大值． 故B 正确．选项C ：对于正数x y 、，23x y xy += ，所以213x y+=所以()()1121232233x y x y x y x y ⎛⎫+=⨯+=++ ⎪⎝⎭122122552333y x y x x y x y ⎛⎛⎫=++≥+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝ 当且仅当22y xx y= ，即1x y ==时取得最小值． 故C 正确．选项D ：因()2229351x y xy x y xy ++=+-=所以()2253+315()32x y x y xy +-=≤⨯ ，即()21237x y +≤ 所以2212213x y ≤+≤，当且仅当213x y ==时等号成立． 故D 正确． 故选：BCD ．10．（2022·福建·福州三中高一期末）已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列说法正确的是（ ）A ．22a b +的最小值为15B ．ab 的最大值为18C ．1a b +的最大值为43D ．11a b+的最小值为42【答案】AB【解析】对于A ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以22222221(12)541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当25b =时，22a b +有最小值15，故A 正确． 对于B ：由0a >，0b >，122a b ab =+≥18ab ≤，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时等号成立，所以ab 的最大值是18，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以111121a b b b b -==+-+-，因为102b <<，所以1112b -<-<-， 所以1211b -<<--，所以1121b -<<-，即112a b <<+，故C 错误；对于D ：11222212332a b a b b a b aa b a b a b a b+++=+=+++≥+⋅=+ 当且仅当2b a a b =，即22b -=21a =时取等号，故D 错误； 故选：AB11．（2022·河北·邢台市第二中学高一开学考试）若0a >，0b >，且5a b +=，则（ ） A ．ab 的最大值为254B a b 10C ．22a b +的最小值为252D ．11a b+的最小值为45【答案】ACD【解析】因为5a b ab +=≥52a b ==时，等号成立），所以254ab ≤，A 正确．因为25510a ba b ab ab a b =++=+≤++=，（当且仅当52a b ==时，等号成立）10a b ≤B 错误． 因为()22222252252a b a b ab a b +=++=≤++（当且仅当52a b ==时，等号成立），所以22252a b +≥，C 正确．()111111142225555b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝， （当且仅当52a b ==时，等号成立），D 正确， 故选：ACD12．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知,0,260x y x y xy >++-=，则（ ） A ．xy 2B ．2x y +的最小值为4 C ．x y +的最小值为423- D ．22(2)(1)x y +++的最小值为1 【答案】BC【解析】由,0,2622x y x y xy xy >+=-≥32200202xy xy xy xy ≤⇒<⇒<≤，当且仅当2,1x y ==时等号．故A 错，()()()222112,0,262622228x y x y x y x y x y x y ++⎛⎫>⋅=-+≤⇒-+≤ ⎪⎝⎭， 进而可得：()()21224024x y x y x y +++-≥⇒+≥，当且仅当2,1x y ==取等号，故B 正确， 令x y m +=，则0m >，所以y m x =-，故260x y xy ++-=可化为2()()60x m x x m x +-+--=，整理得2(1)620x m x m +-+-=，由0∆，得2(1)4(62)0m m --⨯-，即26230m m +-，解得423m -或423m --（舍去），C 正确，D ，22(2)(1)2(2)(1)2(22)16x y x y xy x y +++++=+++=，当且仅当222,221x y ==时等号成立，D 错误故选：BC ．13．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a ＞0，b ＞0，则（ ） A ．12(2)()9a b ab++≥ B ．222(1)a a b b +++≥ C ．22a b a b b a++≥D ．22a b ab a b+≥+【答案】ACD【解析】A ．122222(2)()5529≥++=+++⋅b a b aa b aba b a b ，当且仅当22b a a b=时，等号成立，故正确；B ．因为()()2222121-2b-2=-4-++--a a b b a ，正负不定，故错误；C ．2222222+≥2++⋅⋅=+a b a b a b b a a b b a b a ，当且仅当2a b b =，2b a a =时，等号成立，故正确；D ．()()()()23322443322--⎛⎫++---==≥ ⎪+++⎝⎭a b a ba b a b a b ab ab a b a b a b ，故正确；故选：ACD 三、填空题14．（2022·江苏扬州·高一期中）若20,x y >>则2y xx y y+-的最小值为_________． 122【解析】因为20x y >>，则20x y ->，221212222222222y x y x y y y x y y x y x y y x y y x y y x y y -+--∴+=+=++≥⋅----1122222=+=，当且仅当222y x yx y y-=-，即当(122y x =时，等号成立， 因此，2y x x y y +-122． 122．15．（2022·湖北十堰·高一期中）已知1x >，则2241x x x -+-的最小值为___________．【答案】23【解析】由1x >，则()()22132433121231111x x x x x x x x x -+-+==-+≥-⋅---- 当且仅当311x x -=-时，即31x =时取等号，此时取得最小值3 故答案为：2316．（2022·上海交大附中高一期中）已知正实数a ，b ，满足6a b +=，则2211a ba b +++的最大值为___． 110+【解析】因为正实数a ，b ，满足6a b +=，则222222222226(1)6(1)6(1)11(1)(1)()1()237(1)36a b ab a b a b ab ab ab a b a b ab a b ab ab ab +++++++====+++++++-+-+， 因为6a b +=，0a >，0b >， 所以20()92a b ab +<=，当且仅当3a b ==时取等号， 令1=-t ab ，18t -<， 则原式26(2)36t t +=+ 26(2)611040(2)4(2)4040242(2)422t t t t t t t ++==+-++++-+⋅-++当且仅当4022t t +=+，即2102t =110+， 110+ 17．（2022·江西·上高二中高一期末（理））已知a ，b 为正实数，且()(2)9a b a b a b ++++=，则34a b +的最小值为___________． 【答案】621【解析】由,a b 为正实数，且()(2)9a b a b a b ++++=，可化为()(21)9a b a b +++=， 则(22)(21)18a b a b +++=所以341(22)(21)2(22)(21)21862a b a b a b a b a b ++=++++≥+⨯++== 当且仅当2221a b a b +=++时，即1a =时，等号成立， 所以34a b +的最小值为621． 故答案为：621．18．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知0x >，0y >，1x y +=，则311y x x y++的最小值为__．【答案】6 【解析】311y x x y++3y x y x y x x y ++=++311y yx x x y =++++ 42y x x y =++422y xx y≥⋅=6，当且仅当析23x =，13y =时，等号成立． 故答案为：6 四、解答题19．（2022·河南焦作·高一期中）已知a ，b 是正实数，且2a b +=，证明下列不等式并指出等号成立的条件：（1）222a b +≥；（2）()()334a b a b ++≥．【解析】（1）因为222a b ab +≥，所以()()22222224a b ab a b a b +≥++=+=所以222a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立；（2）()()()233443344222224a b a b a b ab a b a b a b a b ++=+++≥++=+≥当且仅当33ab a b a b ⎧=⎨=⎩即1a b ==时等号成立．20．（2022·全国·高一单元测试）已知a ，b ，c 均为正数． （1）若40a b ab +-=，求a b +的最小值；（2）若1a b c ++=，求证：()()()1118a b c abc ---≥． 【解析】（1）由40a b ab +-=得411a b+=，所()41445529b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当4b aa b=时，等号成立，即6a =，3b =．故a b +的最小值为9，此时6a =，3b =； （2）因为1a b c ++=，所以()()()()()()111a b c b c a c a b ---=+++又因为a ，b ，c 均为正数，所以2a b ab +≥2b cbc +≥2a a c c +≥ 所以()()()8a b b c a c abc +++≥，故()()()1118a b c abc ---≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立．。

第三节 基本不等式(对应学生用书第50页)一、基本不等式 基本不等式2a b +(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b 时取等号.(3)其中2a b+称为正数a,b 的算术平均数,a,b 的几何平均数.1.概念理解(1)基本不等式成立的条件是a,b 都是正数,在解题时,如果a,b 为负数,可提取负号,创造变量为正数的条件,再利用基本不等式解题. (2)在运用基本不等式解题时,注意一定要验证它们成立的条件是否满足.2.与之相关联的结论 几个常用的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R).(2)ab ≤(2a b +)2(a,b ∈R). (3)(2a b +)2≤222a b +(a,b ∈R).(4)b a +ab≥2(ab>0).(5)211a b+2a b+≤(6)a+1a ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+1a≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号.二、利用基本不等式求最值问题1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b 为正实数,且a+b=M,M 为定值,则ab ≤24M ,等号当且仅当a=b 时成立.(简记:和定积最大)2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b 为正实数,且ab=P,P 为定值,则a+b ≥等号当且仅当a=b 时成立.(简记:积定和最小)1.理解辨析利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:一正、二定、三相等.(1)“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”即检验等号成立的条件,判断等号能否取到,只有等号能成立,才能利用基本不等式求最值. 2.与基本不等式相关联的结论 用f(x)+()b f x ≥或f(x)+()b f x ≤求最值时,若使等号成立的条件不存在,常借助函数y=x+b x (b>0)的图象和单调性求式子的最值.1.已知a,b ∈R,a,b ≠0,则“a>0,b>0”是“2a b +≥( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a>0,b>0时,显然2a b +.当2a b +,有两个结论出现:0,0,a b ab ⎧+≥⎪⎨≥⎪⎩ 所以a>0,b>0. 故选C.2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( C ) (A)72 (B)4 (C)92(D)5 解析:依题意,得1a +4b =12(1a +4b )·(a+b)= 12[5+(b a+4a b )]≥1292,当且仅当2,4,0,0,a b b aa b a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪>>⎩即a=23,b=43时取等号,即1a +4b 的最小值是92.故选C. 3.若实数x,y 满足xy=1,则x 2+2y 2的最小值为 . 解析:因为x 2+2y 2≥当且仅当x 2=2y 2时取“=”, 所以x 2+2y 2的最小值为答案4.已知a,b 为正数且a+b=1,则(1+1a )(1+1b)的最小值为 . 解析:因为a+b=1,所以原式=(1+a b a +)(1+a b b +) =(2+b a )(2+a b ) =5+2(b a +a b)≥9, 当且仅当a=b=12时取等号, 所以最小值为9. 答案:9(对应学生用书第50～52页)考点一 利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2018·浙江六校联考)已知x>0,y>0,且x+y+1x+1y =5,则x+y 的最大值是( )(A)3 (B)72 (C)4 (D)92(2)(2018·嘉兴高三测试)已知a>0,b>0,且满足3a+b=a 2+ab,则2a+b 的最小值为 ;(3)已知正实数a,b 满足1a +2b=3,则(a+1)(b+2)的最小值是 ;(4)已知实数x,y>0,且xy=2,则3322848x y x y +++的最小值是 .解析:(1)由x+y+1x+1y =5, 得5=x+y+x yxy +,因为x>0,y>0, 所以5≥x+y+2()2x yx y ++=x+y+4x y+, 所以(x+y)2-5(x+y)+4≤0, 解得1≤x+y ≤4,所以x+y 的最大值是4.故选C. (2)由a>0,b>0,3a+b=a 2+ab,可得b=231a aa-->0, 解得1<a<3. 故2a+b=2a+231a aa --=a-1+21a -+3 ≥当且仅当a-1=21a -, 即时取等号.故2a+b 的最小值为(3)因为a>0,b>0, 所以3 =1a+2b≥ab ≥89.当且仅当12,123,a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2,343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立, 所以ab 的最小值是89,又1a +2b=2b aab +=3, 所以2a+b=3ab,所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×89+2=509. (4)因为x,y>0,且xy=2,所以3322848x y x y +++=2222(2)(24)44x y x xy y x y xy +-+++=22(2)[(2)6](2)x y x y xy x y ++-+ =2(2)2x y x y++=(x+2y)-122x y+, 令x+2y=t,则t=x+2y ≥f(t)=t-12t在[4,+∞)上单调递增, 所以当t=4时有最小值4-124=1,当且仅当x=2,y=1时,取等号. 答案:(1)C(3)509(4)1 (1)利用基本不等式解决最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解;②条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过变形使之能运用基本不等式,常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因数法、分离常数法、换元法、整体代换法等.1.(2018·杭州二中月考)若正数a,b 满足1a +1b=1,则11a -+91b -的最小值为( B )(A)1 (B)6 (C)9 (D)16解析:因为正数a,b 满足1a +1b=1, 所以b=1a a ->0,解得a>1,同理b>1, 所以11a -+91b -=11a -+911aa --=11a -+9(a-1)≥=6,当且仅当11a -=9(a-1), 即a=43时等号成立, 所以11a -+91b -的最小值为6.故选B. 2.已知log 2(x+y)=log 2x+log 2 y,则1x+1y = ,x+2y 的最小值为 .解析:由log 2(x+y)=log 2 x+log 2 y 得, x+y=xy 且x>0,y>0,所以1x+1y =1. x+2y=(x+2y)(1x + 1y ) =3+x y +2y x≥当且仅当x y =2yx,即. 答案:1考点二 利用基本不等式证明不等式 【例2】 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证:1a +1b+1c≥9. 证明:因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, 所以1a+1b +1c =a b c a +++a b c b +++a b c c ++=3+b a +c a +a b +c b +a c +b c =3+(b a +a b )+(c a +a c)+(c b +b c)≥3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c=13时,取等号.利用基本不等式证明不等式的策略(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;(2)若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换; (3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立.1.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1a +1b +1ab ≥8. 证明:1a +1b +1ab =2(1a +1b), 因为a+b=1,a>0,b>0.所以1a +1b =a b a ++a b b +=2+a b +ba≥2+2=4. 所以1a +1b +1ab ≥8(当且仅当a=b=12时等号成立).2.已知a>0,b>0,a+b=1,证明 2.证明:因为a>0,b>0,且a+b=1,≤1122a +++1122b ++=32a b ++=42=2.当且仅当a+12=1,b+12=1, 即a=b=12时等号成立. 考点三 基本不等式的综合应用【例3】 运货卡车以每小时x(50≤x ≤100)千米的速度匀速行驶130千米,假设汽油的价格是每升2元,而卡车每小时耗油(2+2360x )升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 解:(1)设所用时间为t=130x (小时), y=130x×2×(2+2360x )+14×130x,x ∈[50,100]. 所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=2340x +1318x,x ∈[50,100]. (2)y=2340x +1318x=13018x ⨯+2130360⨯x ≥,当且仅当13018x ⨯=2130360⨯x,即时,等号成立.故当千米/时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为元.有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值;(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围;(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.1.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).(1)写出楼房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平)均购地费用=购地总费用建筑总面积解:(1) 依题意得y=(560+48x)+2160100002000x=560+48x+10800(x≥10,x∈N*).x(2)因为x>0,所以48x+10800x≥当且仅当48x=10800x,即x=15时取到“=”, 此时,楼房每平方米的平均综合费用的最小值为560+1 440=2 000(元).故当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2 000元.2.为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在某年年初举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t ≥0)万元满足x=4-21k t +(k 为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知这一年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).(1)将该厂家这一年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数;(2)该厂家这一年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?解:(1)由题意有1=4-1k ,得k=3,故x=4-321t +. 故y=1.5×612x x +·x-(6+12x)-t=3+6x-t =3+6(4-321t +)-t =27-1821t +-t(t ≥0). (2)由(1)知,y=27-1821t +-t=27.5-[912t ++(t+12)].912t ++(t+12)≥2故y=27-1821t +-t=27.5-[912t ++(t+12)]≤27.5-6=21.5. 当且仅当912t +=t+12,即t=2.5时,等号成立,y 有最大值21.5. 所以,该厂家这一年的年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大,最大利润为21.5万元. 考点四 易错辨析【例4】 已知x<54,求函数y=4x-2+145x -的最大值. 解:因为x<54,所以5-4x>0. y=4x-2+145x - =-(5-4x+154x -)+3≤当且仅当5-4x=154x -,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,y max =1.运用基本不等式求最值,当条件不满足和或积为定值时,可以通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的代数式化为ax+b x (ab>0)等形式,本题就是一个典型例子,盲目使用条件是本题的易错点.1.(2017·天津卷)若a,b ∈R,ab>0,则4441a b ab ++的最小值为 .解析:因为a,b ∈R,ab>0,所以4441a b ab ++≥2241a b ab +=4ab+1ab≥=4,当且仅当222,14,a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩即22a b ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩时取得等号. 故4441a b ab ++的最小值为4.答案:4 2.设常数a>0,若9x+2a x≥a+1对一切正实数x 成立,求a 的取值范围.解:常数a>0,若9x+2a x ≥a+1对一切正实数x 成立,故(9x+2a x )min ≥a+1, 又9x+2a x≥6a,当且仅当9x=2a x,即x=3a 时,等号成立. 故6a ≥a+1,解得a ≥15. 即a 的取值范围为[15,+∞).(对应学生用书第53页)类型一 利用基本不等式比较大小1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是( B )2a b+2a b +<b2a b +2a b +<b解析:因0<a<b,所以a 2<ab<b 2,即又因a+b<2b,所以2a b+<b,2a b+,所以2a b +<b.故选B.类型二 利用基本不等式求最值2.(2018·金华模拟)已知x>0,y>0,且x+2y=xy,若x+2y-m 2-2m>0恒成立,则实数m 的取值范围是( B )(A)[-4,2) (B)(-4,2) (C)(-3,3) (D)[-3,3]解析:由x>0,y>0,x+2y=xy 变形得,2x+ 1y =1,所以x+2y=(x+2y)(2x +1y )=4y x +x y +4≥4+4=8,当且仅当4y x =x y ,即x=2y 时等号成立,又2x+1y =1,得x=4,y=2,即当x=4,y=2时,x+2y 取得最小值,且最小值为8.由x+2y-m 2-2m>0恒成立,得(x+2y)min >m 2+2m,从而8>m 2+2m,解得-4<m<2.所以实数m 的取值范围是(-4,2).故选B.3.(2018·杭州质检)已知正数x,y 满足x 2+2xy-3=0,则2x+y 的最小值是 . 解析:由题意得y=232x x-,所以2x+y=2x+232x x -=2332x x +=32(x+1x)≥3, 当且仅当x=y=1时,等号成立. 答案:34.函数f(x)=lg 2x x -,若f(a)+f(b)=0,则3a +1b的最小值为 .解析:依题意得0<a<2,0<b<2,且lg (2a a -·2b b-)=0, 即ab=(2-a)(2-b),2a b +=1, 3a+1b =2a b +(3a +1b )=12(4+3b a +a b )≥12,当且仅当3ba =ab ,即-1时取等号,因此3a +1b 的最小值是答案5.若a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3ma b+恒成立,则m 的最大值为 .解析:因为a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3m a b +恒成立, 所以m ≤[(a+3b)( 3a +1b )]min .因为(a+3b)(3a +1b)=6+9b a +a b ≥=12,当且仅当a=3b 时取等号, 所以m 的最大值为12. 答案:12类型三 基本不等式的综合应用6.(2018·天津卷)已知a,b ∈R,且a-3b+6=0,则2a +18b的最小值为 .解析:因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6, 所以2a +18b=2a +2-3b ≥×2-3=14, 当且仅当3,360a b a b =-⎧⎨-+=⎩时等号成立,即3,1a b =-⎧⎨=⎩时取到等号. 答案:147.规定一种运算:a ⊗为正实数).若1⊗k=3,则k 的值为 ,此时函数的最小值为 .解析:1⊗+1+k=3,即-2=0,=1=-2(舍去),所以k=1,≥1+2=3,当且仅当x=1时取“=”. 答案:1 38.已知a>0,b>0,设M=max(a,b a +9ab),则M 的最小值为 . 解析:在同一坐标系中作出函数y=a,y=9b ba+的图象(图略),可得M=09,,,b b a a a a ⎧+⎪⎪⎨⎪>⎪⎩0<a ≤a 0, 其中a 0是函数y=a,y=9b ba +图象的交点横坐标,即20a =b+9b ≥6(当且仅当b=3时,取得“=”),所以M 的最小值为a 0,而a 0所以M答案。

高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。

2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。

2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。

4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。

2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。

3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。

4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。

5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。

6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。

7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。

二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。

题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。

2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。

3.4 基本不等式一、教学目标：1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。

3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。

二、教学重点：（1）用数形结合的思想理解并探索基本不等式的证明；（2）运用基本不等式解决实际问题。

教学难点：基本不等式的运用。

重、难点解决的方法策略：本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体图形到抽象代数的教学策略．利用数形结合思想，层层深入，通过学生自主活动探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

三、学情及导入分析：对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。

教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等。

四、教学过程：合作探究探究一：观察上面的会标。

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。

将代数与几何紧密的结合在了一起。

师：从图形上你能观察到了什么？ 生：边、角、三角形、正方形 师：我们根据弦图可知勾股定理，那么我们对三角形、正方形可以研究哪些数量关系呢？生：正方形和三角形的面积、周长，根据给的边可以求。

师：那么面积之间又有怎样的关系呢？ 生：大正方形面积22a b +，四个直角三角形面积2ab ，并且22a b +>2ab 。

师：仅此而已吗？你还能发现怎样的关系？生：还会相等。

《2.2 基本不等式(第一课时)》教学设计1．理解基本不等式2b a ab +≤ (a ＞0，b ＞0)，会利用不等式性质证明，发展逻辑推理素养； 2．了解基本不等式的几何解释，发展直观想象素养；3．结合具体实例，形成用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题的基本模型，发展数学运算核心素养．教学重点：基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题．教学难点：基本不等式的证明和运用基本不等式求最值．PPT 课件，及GEOGEBRA 制作的动画课件．一、创设情境★资源名称： 【情景演示】基本不等式引入★使用说明：本资源以欧拉智改羊圈的小故事为出发点，引出基本不等式的知识.注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：请同学们阅读课本第44页，说一说今天我们将要学习的内容是什么？在不等式中起着怎样的作用？师生活动：学生自主阅读课本，思考并回答，教师给予简单总结．预设的答案：基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，与乘法公式在代数运算的地位一样，在解决不等式问题中有重要的作用，它之所以被称为“基本不等式”，主要是因为它可以作为不等式论的基本定理，成为支撑其他许多非常重要结果的基石。

◆ 课前准备◆ 教学过程◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标师生活动：学生思考后回答．教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然×××成立”．设计意图：利用不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，提高学生逻辑推理的数学素养．3．基本不等式的几何解释问题4：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ，BC =b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？师生活动：如图1，连接OD ，教师引导学生先寻找图中的不等关系，利用动画，观察从弦DE 长和圆的直径AB 这两个几何元素在变化中的不等关系，及半弦CD ≤OD ，并将此不等关系用符号表示．学生独立思考，并说出思路：半径OD 为2b a +，利用射影定理可得弦DE 长的一半CD 为ab ，由OD CD ≤ ，得到2b a ab +≤．教师评价并总结，基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释．当且仅当弦DE 过圆心时，二者相等．设计意图：让学生观察图形，先将图形中的不等关系找出来，再用代数语言表示，从而获得基本不等式的几何解释，提高学生数学直观的核心素养．★资源名称： 【数学探究】基本不等式a+b ≥2根号（ab ）★使用说明：本资源通过交互式动画展示了基本不等式的几何意义，运用本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为“动画”截图，如需使用资源，请于资源库调用．图1b a B A C DE O。

基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。