线性代数试题1999

第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。

线性代数习题及解答完整版线性代数习题及解答HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A ．??A B 可逆，且其逆为-1-1A B B ．??A B 不可逆 C ．??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???B AD ．??A B 可逆，且其逆为-1-1??A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

第一章随堂检测1.已知行列式333231232221131211a a a a a a a a a D = 展开式的六项中含有,则i+j=( )A.1B.2C.4D.6我的答案：D2.某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( ) A.一定是整数 B.一定不是零 C.一定是正数 D.一定是负数 我的答案：A3.[单选题] 行列式=bb a a ( )A.0B.b a 22- C.b a 22+ D.2ab我的答案：A4.[单选题] 方程组⎩⎨⎧=-=+2121212x x x x 的解是( )A.⎩⎨⎧==0121x x B.⎩⎨⎧==1121x xC.⎩⎨⎧==1021x xD.⎩⎨⎧==0021x x 我的答案：A 5.[单选题] 行列式34-43的结果是( )A.0B.7C.10D.25我的答案：D6.[单选题] 某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( ) A.3 B.4 C.7 D.0我的答案：D7.[单选题] 关于三阶行列式说法正确的是( )A.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零B.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零C.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零D.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零 我的答案：A8.[单选题]行列式101010102( )A.0B.1C.2D.4我的答案：B9.[单选题] 一元一次方程1211x =的解是( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4我的答案：A10.[单选题] 已知行列式,3333333331=D ,5555555552=D 则( )A.4B.2C.8D.0我的答案：D11.[单选题] 若a 、b 、c 、d 的绝对值都是1,则行列式dc ba 的最大值是( )A.1B.2C.3D.4我的答案：B12.[单选题] 若某二阶行列式的结果为零,则关于该行列式的以下说法正确的是( )A.至少有一行元素为零B.至少有一列元素为零C.至少有一个元素为零D.以上答案都不对 我的答案：D1.[单选题] 三级排列321的逆序数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0我的答案：A2.[单选题] 以下四个4级排列中,逆序数为零的是( ) A.1234 B.4231 C.1324 D.1423我的答案：A3.[单选题] 一个偶排列的逆序数可能是( )A.1B.3C.4D.5我的答案：C4.[单选题] 已知由1、2、3、4、5组成的某个5级排列中,数字5排在最前面,则该排列的逆序数至少是( )A.1B.3C.4D.5我的答案：C5.[单选题] 关于逆序数说法正确的是( )A.相同的排列一定有相同的逆序数B.相同的排列一定有不同的逆序数C.不同的排列一定有相同的逆序数D.不同的排列一定有不同的逆序数我的答案：A6.[单选题] D是四阶上三角行列式,主对角线元素分别是1、2、3、4,则该行列式的值是( )A.2B.6C.10D.24我的答案：D7.[单选题] 某对角行列式结果等于1,说明该行列式( )A.主对角线上所有元素都等于1B.主对角线上所有元素都大于1C.主对角线上所有元素都小于1D.主对角线上所有元素乘积为1我的答案：D8.[单选题] D是四阶行列式,且结果不等于零,则该行列式的非零元素个数可能是( )A.1B.2C.3D.4我的答案：D9.[单选题] 若某四阶行列式所有元素都是奇数,则该行列式的结果( ) A.一定是奇数 B.可能是奇数 C.一定是正数 D.一定是偶数 我的答案：D10.[单选题] D 是五阶行列式,且位于前三数行和前三列交叉点处的9个元素都是0,而位于其它位置的16个元素都是1,该行列式的值是( ) A.4 B.16 C.25 D.0我的答案：D1.[单选题] 某三阶该行列式共有三个元素为零,则以下说法正确的是( ) A.该行列式的结果一定为零B.若三个零元素在同一行,则该行列式的结果为零C.若三个零元素都在主对角线上,则该行列式的结果为零D.若三个零元素都在副对角线上,则该行列式的结果为零 我的答案：B2.[单选题] 已知行列式13332312322211312111==a a a a a a a a a D 则==3332312322211312112a a a a a a a a a D ( )A.1B.2C.4D.6我的答案：A3.[单选题] 已知222112111a a a a D =,，121122212a a a a D =，且a D D ==21，则a=( )A.0B.1C.2D.4我的答案：A4.[单选题] 行列式ab bb a b a ab a b a ------+( ) A.0 B.b a 22- C.b a 22+ D.2ab我的答案：A5.[单选题] 已知行列式13332312322211312111==a a a a a a a a a D ,==333231223222121341241182a a a a a a a a a D ( ) A.1B.2C.4D.8我的答案：D6.[单选题] 行列式=11-1-111-111( )A.0B.2C.8D.4我的答案：D7.[单选题] 关于行列式说法正确的是( ) A.交换行列式的两行,行列式的结果不变 B.交换行列式的两列,行列式的结果不变C.交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式的结果不变D.交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式变号 我的答案：C8.[单选题] 行列式987654321=( )A.2B.0C.8D.4我的答案：B9.[单选题] 行列式30219910132121-1=( ) A.2 B.0 C.8 D.4我的答案：B10.[单选题] 若dc bD a =,则=D T( )A. B. C. D.我的答案：B1.[单选题] 在下列四个二阶行列式中,不满足a A ijij =（i,j=1,2,）的是( )A.1111B.111-1C.1001D.2002我的答案：A2.[单选题] 已知行列式,1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=++231322122111a a a A A A （）A.1B.2C.3D.0我的答案：D3.[单选题] 对于二阶行列式D,中若a 2a 2112=,则有( )A.A 1212a =B.A 2121a =C.A 2A 2112=D.A 2A 1221=我的答案：D4.[单选题] 已知行列式1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则下列式子结果为1的是( )A.M a M a M a 232322222121++B.M a M a M a 333332323131++C.A a A a A a 131312121111++D.A a A a A a 131312121111+-我的答案：C5.[单选题] 对于二阶行列式D,中若a a 21211=,则有( )A.A 2A 1112=B.A 2A 1211=C.A1211A =D.以上都不对我的答案：D6.[单选题] 行列式300220111=D ,则A A A 131211++( )A.0B.2C.4D.6我的答案：D7.[单选题] 满足122211211====AAAA 的二阶行列式是( )A.1111B.1111----C.1111--D.1111--我的答案：D8.[单选题] 行列式694432111=( )A.2B.0C.8D.4我的答案：A9.[单选题] 行列式c b a D c ba 2221111=,）（）（）（1112222111111++++++=c b a D c b a ,则( )A.由D D 21=可得a+c=bB.由D D 21=可得a-c=bC.由D D 21=可得a ·c=bD.以上答案都不对我的答案：D10.[单选题] 若D 是二阶对角行列式,且202211=AA,则D=( )A.2B.1C.8D.4我的答案：A1.[单选题] 若b >a ,则线性方程组⎩⎨⎧=+=+c cax bx bx ax 2121解的情况与c 的关系是( )A.当等于零时,方程组无解B.当不等于零时,方程组无解C.当时,方程组无解D.在任何情况下,方程组都有解 我的答案：D2.[单选题] 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 333323213123232221211313212111无解,则行列式==333231232221131211a a a a a a a a a D( ) A.1 B.2 C.3 D.0我的答案：D3.[单选题] 对于⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++000-42-622-53121321x x x x x x x ）（）（）（λλλ有非零解,则不可能取的值是( ) A.5B.8C.2D.6我的答案：D4.[单选题] 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 解的情况是( )A.一定有解B.一定无解C.可能无解D.当系数行列式为零时无解 我的答案：A5.[单选题] 若齐次线性方程组有一个非零解,则该方程组一定( ) A.有无穷多解 B.恰有两个非零解 C.没有零解 D.恰有三个解 我的答案：A6.[单选题] 在平面直角坐标系中,直线CB A Y X 1111:l =+与直线C B A Y X 2222:l =+相交,则线性方程组⎩⎨⎧=+=+C B A C B A Y X Y X 222111解的情况是( ) A.有无穷多解B.恰有一个解C.恰有两个解D.恰有三个解 我的答案：B7.[单选题] 关于X 、Y 、Z 的齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++0ey 0fz dx cz by ax 解的情况是( )A.无解B.有非零解C.没有零解D.只有零解 我的答案：B8. [单选题] 已知方程组⎩⎨⎧=+=+24622y x y ax 无解,则a=( )A.1B.2C.3D.0我的答案：C9.[单选题] 已知方程组⎩⎨⎧=++=+p y x p y 3225x 3的解满足x+y=2,则p=( )A.1B.2C.3D.4我的答案：D10.[单选题] 若cx a x 2bx )(f ++=,f(d)=f(e)=f(g)=0,且d 、e 、g 两两不等,则关于a 、b 、c 的取值情况是( ) A.a=0,b ≠0,c=0 B.a=0,b=0,c=0 C.a ≠0,b=0,c=0 D.a=0,b ≠0,c ≠0 我的答案：B作业1计算行列式 ____正确答案：132计算行列式 ____正确答案：13计算行列式 ____正确答案： 04计算行列式____正确答案：-275计算行列式____正确答案：06解方程,结果是____正确答案：47解方程,结果是或____正确答案：38解方程,结果是或____正确答案：-21在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____（本节课习题凡是涉及符号问题的，正号请在横线上填“+；正；正号；➕”，负号请在横线上填“-；负；负号；➖”）正确答案：+；正；正号；➕2在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案：-；负；负号；➖3在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案：+；正；正号；➕4在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案：-；负；负号；➖5项是不是五阶行列式中的一项____（是/不是）,若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案：第一空：是第二空：+；正；正号；➕6项是不是五阶行列式中的一项____（是/不是）,若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案：不是7项是不是五阶行列式中的一项____,若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案：第一空：是第二空：-；负；负号；➖8四阶行列式中乘积前应冠以什么符号? ____ 正确答案：-；负；负号；➖9计算行列式____正确答案：2410计算行列式____正确答案：1某三阶该行列式共有三个元素为零,则以下说法正确的是( )A、该行列式的结果一定为零B、若三个零元素在同一行,则该行列式的结果为零C、若三个零元素都在主对角线上,则该行列式的结果为零D、若三个零元素都在副对角线上,则该行列式的结果为零正确答案： B2已知行列式,则( )A、1B、2C、4D、6正确答案： A3已知,,且,则( )A、0B、1C、2D、4正确答案： A4行列式( )A、0B、C、D、正确答案： A5已知行列式,则( )A、1B、2C、4D、8正确答案： D6行列式( )A、0B、2C、8D、4正确答案： D7关于行列式说法正确的是( )A、交换行列式的两行,行列式的结果不变B、交换行列式的两列,行列式的结果不变C、交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式的结果不变D、交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式变号正确答案： C8行列式( )A、2B、0C、8D、4正确答案： B9行列式( )A、2B、0C、8D、4正确答案： B10若,则( )A、B、C、D、正确答案： B1用行列式的性质计算行列式的值____正确答案：40131002用行列式的性质计算行列式的值____正确答案：53用行列式的性质计算行列式的值____正确答案：84已知,求行列式的值____ 正确答案：125已知,求行列式的值____ 正确答案：-486计算行列式的值____正确答案：607计算行列式的值____正确答案：-218计算行列式的值____正确答案：09计算行列式的值____正确答案：n!10计算行列式的值____正确答案：-2(n-2)!1求行列式中元素-4的代数余子式(计算出结果).____正确答案：102若某四阶行列式第三行元素依次为,,,,对应的余子式依次为,,,,求此行列式的值.____正确答案：-113计算行列式的值____正确答案：44计算行列式的值____正确答案：435计算行列式的值____正确答案：-246计算行列式的值____正确答案：-277计算行列式的值____正确答案：278计算行列式的值____正确答案：481已知4阶行列式,则中的系数是____正确答案：-4；➖42设4阶行列式,则=____,其中为元素的代数余子式.正确答案：0；零3设4阶行列式,则第一列各元素的代数余子式之和____正确答案：0；零4设5阶行列式,则____ 和____,其中为的第四行第列元素的代数余子式.正确答案：第一空：-9；➖9第二空：185用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ .正确答案：第一空： 1第二空： 2第三空： 36用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ .正确答案：第一空：-8；➖8第二空： 3第三空： 6第四空：07用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ .正确答案：第一空：0第二空： 2第三空：0第四空：08用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ ,____ .正确答案：第一空： 1第二空：-1；➖1第三空： 1第四空：-1；➖1第五空： 19当____ 或____时,齐次线性方程组有非零解.(小数在前,大数在后)正确答案：第一空：-2；➖2第二空： 1二.判断题（共1题,10.0分）1判断:齐次线性方程组仅有零解( ) .正确答案：√1已知行列式展开式的六项中含有,则( )A、1B、2D、6我的答案：D2某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( )A、一定是整数B、一定不是零C、一定是正数D、一定是负数我的答案：A3行列式( )A、0B、C、D、我的答案：A4方程组的解是( )A、B、C、D、我的答案：A5行列式的结果是( )A、0C、10D、25我的答案：D6某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( )A、3B、4C、7D、0我的答案：D7关于三阶行列式说法正确的是( )A、若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零B、若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零C、若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零D、若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零我的答案：A8行列式( )A、B、1C、2D、4我的答案：B9一元一次方程的解是( )A、B、C、D、我的答案：A10已知行列式,,则( )A、4B、2C、8D、0我的答案：D11若、、、的绝对值都是1,则行列式的最大值是( )A、1B、2C、3D、4我的答案：B12若某二阶行列式的结果为零,则关于该行列式的以下说法正确的是( )A、至少有一行元素为零B、至少有一列元素为零C、至少有一个元素为零D、以上答案都不对我的答案：D第二章随堂检测1【单选题】已知矩阵是二阶单位矩阵,则( )A、1B、2C、3D、0我的答案：A2【单选题】已知矩阵的四个元素中任意两个都互为相反数,则该矩阵是( )A、单位矩阵B、四阶矩阵C、负矩阵D、零矩阵我的答案：D3【单选题】下列四个矩阵中是单位矩阵的是( )A、B、C、D、我的答案：B4【单选题】关于矩阵说法正确的是( )A、该矩阵是3阶单位矩阵B、该矩阵是9阶单位矩阵C、该矩阵是27阶单位矩阵D、该矩阵不是单位矩阵我的答案：D5【单选题】关于矩阵的行数与列数说法正确的是( )A、四行八列B、八行四列D、两行三列我的答案：D6【单选题】下列关于单位矩阵、对角矩阵以及数量矩阵说法正确的是( )A、对角矩阵是单位矩阵B、单位矩阵是数量矩阵C、对角矩阵是数量矩阵D、以上说法都不对我的答案：B7【单选题】四阶单位矩阵所有元素的和等于( )A、1B、2C、4D、16我的答案：C8【单选题】下列关于零矩阵说法正确的是( )A、所有元素都是零B、未必所有元素都是零,但第一行的元素一定都是零C、未必所有元素都是零,但所有元素的和一定等于零D、未必所有元素都是零,但所有元素的乘积一定等于零我的答案：A9【单选题】一个3×4矩阵和一个4×3矩阵的共同点是( )A、行数相同B、列数相同C、行数及列数都相同D、所含元素的个数相同我的答案：D10【单选题】某方阵共有16个元素,则它的行数是( )A、2B、4C、8D、16我的答案：B1【单选题】在矩阵等式中,已知和都是二行三列,则是( )A、二行三列B、三行二列D、六行六列我的答案：A2【单选题】已知是非零常数,是非零矩阵,则是否是零矩阵( )A、一定是B、一定不是C、可能是D、不确定我的答案：B3【单选题】已知,,则( )A、B、C、D、我的答案：D4【单选题】矩阵不可能是( )A、两个单位矩阵的和B、两个上三角矩阵的和C、两个下三角矩阵的和D、两个对角矩阵的和我的答案：A5【单选题】已知是负数,是上三角矩阵,则是( )A、下三角矩阵B、上三角矩阵C、数量矩阵D、对角矩阵我的答案：B6【单选题】已知矩阵是六行九列,则矩阵是( )A、十八行二十七列B、两行三列C、六行九列D、九行六列我的答案：C7【单选题】当取何值时,矩阵等式成立( )A、1B、2C、3D、不论取何值,等式都不成立我的答案：D8【单选题】是二阶单位矩阵,则( )A、B、C、D、以上答案都不对我的答案：D1【单选题】,,则( )A、B、C、D、我的答案：D2【单选题】在矩阵等式中,若是上三角矩阵,是下三角矩阵,,则关于的说法正确的是( )A、一定是上三角矩阵B、一定是下三角矩阵C、一定是对角矩阵D、以上答案都不对我的答案：D3【单选题】二阶方阵乘以二阶方阵等于( )A、四阶方阵B、四行四列矩阵C、行数和列数相等且含有十六个元素的方阵D、二阶方阵我的答案：D4【单选题】在矩阵等式中,和的元素都是负数,则的元素符号( )A、都是正数B、都是负数C、正负交替出现D、不确定,与矩阵的行数与列数有关我的答案：A5【单选题】关于矩阵和,以下说法不正确的是( )A、若有意义,则必有的行数等于的行数B、若有意义,则必有的行数等于的列数C、若有意义,则必有的列数等于的行数D、若有意义,则必有的行数等于的列数我的答案：B6【单选题】某矩阵既是对称矩阵又是反对称矩阵,则关于该矩阵说法正确的是( )A、是上三角矩阵,但未必是对角矩阵B、是下三角矩阵,但未必是对角矩阵C、是对角矩阵,但未必是零矩阵D、是零矩阵我的答案：D7【单选题】已知矩阵等式成立,则有( )A、,B、,C、,D、,我的答案：A8【单选题】,,,,则在,,,四个矩阵中,对称矩阵的个数是( )A、1B、2C、3D、4我的答案：D9【单选题】是阶方阵,,则( )A、B、C、D、4我的答案：C10【单选题】如果,则( )A、B、C、D、我的答案：A11【单选题】如果是同阶方阵,则以下说法正确的是( )A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则我的答案：D12【单选题】,,且第列的元素和是(,,),则( )A、B、C、D、我的答案：A13【单选题】矩阵的结果是零矩阵,说明( )A、的行数等于的列数B、的列数等于的行数C、和至少有一个是零矩阵D、我的答案：D1【单选题】和是同阶可逆矩阵,则( )A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则我的答案：A2【单选题】若,则( )A、可逆,且B、可逆,且C、可逆,且逆矩阵不唯一D、未必可逆我的答案：A3【单选题】逆矩阵不唯一的三阶可逆矩阵有( )个A、0B、1C、2D、3我的答案：A4【单选题】若,且,则( )A、B、C、D、我的答案：A5【单选题】是可逆矩阵,且,若,则( ) A、B、C、D、我的答案：A6【单选题】、、是同阶可逆矩阵,且,则( )A、B、C、D、我的答案：A7【单选题】是阶矩阵,是的伴随矩阵,以下说法正确的是( )A、可逆时,也可逆B、可逆时,不可逆C、不可逆时,可逆D、可逆时,不可逆我的答案：A8【单选题】,则的伴随矩阵( )A、B、C、D、我的答案：B9【单选题】是阶方阵,以下说法正确的是( )A、当可逆时,有B、当是数量矩阵时,有C、当是对角矩阵时,有D、当不可逆时,有我的答案：B10【单选题】、是同阶可逆矩阵,则下列矩阵未必可逆的是( ) A、B、C、D、我的答案：B1【单选题】是3阶初等矩阵,则的值不可能是( )A、3B、2C、1D、0我的答案：D2【单选题】下列关于初等矩阵的说法正确的是( )A、初等矩阵一定是可逆矩阵B、可逆矩阵一定是初等矩阵C、初等矩阵的行列式可能为零D、初等矩阵可能是退化矩阵我的答案：A3【单选题】已知矩阵是一行三列,矩阵是三行四列,则的结果是( )A、矩阵的第一列B、矩阵的第一行C、矩阵的第一列D、矩阵的第一行我的答案：B4【单选题】方阵经过一次初等变换后得到方阵,且,则( )A、0B、1C、2D、不确定我的答案：D5【单选题】交换方阵的第一、二行得到矩阵,交换方阵的第一、二列得到矩阵,则下列说法正确的是( )A、与不等价,且B、与不等价,且C、与等价,且D、与等价,且我的答案：C6【单选题】,则( )A、B、C、D、我的答案：A7【单选题】,则的标准形是( )A、B、C、D、我的答案：D8【单选题】,且已知矩阵可以经过行初等变换得到矩阵,其中,,则( )A、B、C、D、我的答案：A9【单选题】某初等矩阵一共有三行,则该矩阵一共有( )列A、27B、9C、3D、1我的答案：C10【单选题】四阶方阵的标准形中含元素1的个数最多是( )个A、2B、4C、1D、3我的答案：B1【单选题】,,则矩阵方程的解是( ) A、B、C、D、我的答案：B2【单选题】,,则矩阵方程的解是( ) A、B、C、D、我的答案：A3【单选题】可逆,且,则( )A、B、C、D、我的答案：C4【单选题】是阶方阵,且,则有( )A、不可逆B、可逆且C、可逆且D、可逆且我的答案：B5【单选题】是三阶可逆方阵,且,,则矩阵方程的解( )A、B、C、D、我的答案：D1【单选题】A是n阶矩阵,是非零常数,则一定有( )A、B、C、D、我的答案：B2【单选题】A=,则有( )A、B、C、D、我的答案：C3【单选题】A是n阶可逆矩阵,则下列结论正确的是( )A、B、C、D、我的答案：D4【单选题】一个六行八列矩阵的秩可能是( )A、6B、8C、66D、88我的答案：A5【单选题】矩阵A是m行n列且,若,则( )A、1B、2C、3D、4我的答案：D6【单选题】A是一个矩阵,则“是零矩阵”是“”的( )条件A、充分不必要B、必要不充分C、充分必要D、不充分不必要我的答案：C7【单选题】A是n阶矩阵,,,则有( )A、B、C、D、以上答案都错我的答案：A8【单选题】k是常数,,则不可能是( )A、1B、2C、3D、4我的答案：B9【单选题】,则有( )A、B、C、D、我的答案：A10【单选题】矩阵经过3次初等变换得到矩阵,,则( )A、8B、2C、5D、15我的答案：C作业1已知矩阵,、是常数且,则____正确答案：第一空： 12已知,满足,则常数____正确答案：第一空： 43矩阵,(),且,则____正确答案：第一空：504矩阵,及常数,满足,则____正确答案：05,是常数,,是未知数,且矩阵方程组有无穷多组解,则常数____正确答案：101某数量矩阵第四行的非零元素是2,则该矩阵第二行的非零元素是4( ) 正确答案：×2对角矩阵主对角线上的元素都不等于零( )正确答案：×3既是上三角矩阵又是下三角矩阵的矩阵是零矩阵( )正确答案：×4非负矩阵的行数不超过列数( )正确答案：×5五阶方阵的每个元素不小于5( )正确答案：×6数量矩阵不可能是单位矩阵( )正确答案：×7上三角矩阵第一行的元素都不等于零( )正确答案：×8某矩阵共四行,且所有元素都是4,则该矩阵是四阶方阵( )正确答案：×9下三角矩阵的行数不等于列数( )正确答案：×10数量矩阵的所有元素都相等( )正确答案：×1已知矩阵,且,则____正确答案：32已知且,是方阵,则是____阶方阵正确答案：4；四3矩阵,,且,又,则主对角线上所有元素的和等于____正确答案：34矩阵是行3列矩阵,是3行列矩阵,且,则____正确答案：35、、、、、是六个矩阵,且,,, 则矩阵所有元素的和等于____正确答案：06,,其中是单位矩阵,,则____正确答案： 27是反对称矩阵,则____正确答案：08二阶方阵、满足,且,, 则____正确答案：109,,则____正确答案：010是矩阵,是矩阵,的行数与列数相等,则____正确答案：81已知矩阵,且是的逆矩阵,则____正确答案：12是反对称矩阵且可逆,则主对角线上元素的和等于____正确答案：03矩阵可逆且,,则____正确答案：24矩阵是8阶方阵,则是 ____阶方阵正确答案：8；八5,是退化矩阵,则常数____正确答案：26方阵不可逆,则____正确答案：07方阵,且可逆,则____正确答案：18方阵,则____正确答案：29可逆矩阵的逆矩阵,若,则____ 正确答案：410矩阵,且,则____正确答案：01方阵经过初等变换后得到方阵,且,则的值不可能是____正确答案：02是四阶方阵且,是的标准形,则____正确答案：13矩阵,若,则____正确答案：24矩阵与等价,且是3行5列,是行列,则____正确答案：85矩阵,,,,,则____正确答案：36矩阵,,,则____正确答案：7矩阵,,,则____正确答案：18、是同阶方阵且,,则将矩阵的第二行乘以____就能得到矩阵正确答案：29在、、,三个矩阵中,逆矩阵等于自身的有____个正确答案：310矩阵,且矩阵序列,实数序列。

浙江大学1999年研究生高等代数试题一．n a a a ,,,21 是n 个不相同的整数，证明1)())(()(21+---=n a x a x a x x f 在有理数域上可约的充分必要条件是)(x f 可表示为一个整数多项式的平方二．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α，且0=ααT，求(1)T n E αα- (2)1)(--T n E αα(其中n E 为n 阶单位阵，的转置为ααT)三．矩阵n m A ⨯是行满秩)(m A =即秩，证明(1)存在可逆阵Q ，使得Q E A m )0,(= (2) 存在矩阵m n B ⨯，使得m E AB =四．设n 阶方阵A 满足A A =2，n ααα,,,21 是nP 中n 个线形无关的列向量，设2V 是由n A A A ααα,,,21 生成的子空间，1V 是0=AX 的解空间，证明：21V V P n ⊕=(21V V ⊕表示1V 与2V 的直和)五．设B A ,都是n 阶实对称矩阵，且B 正定，则存在⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n D S λλ 1及，使得T T SS B SDS A ==,六．设n 阶矩阵)(ij a A =，满足下列条件：)0≤ij a ≤1,j i ,∀求证：(1)A 的每一个特征值λ，都有1≤λ(2)10=λ为A 的一个特征⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ℜ是实数i n nx x x |1 ，阶正定阵是n A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x 1α，n n y y ℜ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 1β，求证：(1)))(()(2ββααβαA A A TTT≤等号成立当且仅当βα与线形相关时成立 （2）若是正定矩阵，则A ))(()(2ββααβαA A A TTT≤也成立八（1）设B A ,分别为复数矩阵域上的阶方阵阶和l k ，并且B A ,没有公共的特征值，求证XB AX =只有空解（这里k k ij x X ⨯=)(）（2）在nn ⨯ℜ中，变换n n A XA AX X ⨯ℜ∈+A ,: ，A 为一个固定的矩阵，且A 的特征值不为（-A ）的特征值，求证：A 为一个线形变换。

线性代数真题选择题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020二、选择题1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)设A 为n 阶方阵,且A 的行列式0A a =≠,而*A 是A 的伴随矩阵,则*A 等于（ C ） (A)a . (B)1a. (C)1n a -. (D)n a . 【考点】伴随矩阵的性质. 解1*n A A-=.2.(1987—Ⅳ,Ⅴ)假设A 是n 阶方阵,其秩r n <,那么在A 的n 个行向量中（ ）(A) 必有r 个行向量线性无关. (B) 任意r 个行向量线性无关.(C) 任意r 个行向量都构成最大线性无关向量组. (D) 任何一个行向量都可以由其他r 个行向量线性表出. 【考点】矩阵的秩,向量组的线性相关性及向量组的最大无关组. 解 ()R A rn A =<⇒的行秩r n A =<⇒的行向量组的最大无关组含r 个行向量.选(A).3.(1988—Ⅰ,Ⅱ)n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤线性无关的充分必要条件是（ D ） (A) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ,使11220s s k k k ααα++≠.(B)12,,,s ααα中任意两个向量都线性无关.(C)12,,,s ααα中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出. (D)12,,,s ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.【考点】向量组线性相关的性质.解 “向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示”的逆否命题是(D). 对(A):“存在”改为“任意”就正确.对(B):如123101,,011ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中任意两个向量都线性无关,但123,,ααα线性相关.对(C):123100,,012ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中1α不能由23,αα线性表示,但123,,ααα线性相关. 4.(1989—Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ,Ⅴ)设A 是n 阶方阵,且A 的行列式0A =,则A 中（ ）(A)必有一列元素全为零. (B)必有两列元素对应成比例.(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合. (D)任一列向量是其余列向量的线性组合. 【考点】向量组线性相关的判别定理.解0A =()R A n A ⇔<⇒的列(或行)秩n A <⇒的列(或行)向量组线性相关.选(C).5.(1989—Ⅳ)设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有（ ）(A)A B A B +=+. (B)AB BA =.(C)AB BA =. (D)111()A B A B ---+=+.【考点】矩阵的性质. 解AB A B BA ==.选(C).6.(1989—Ⅴ)设n 元齐次线性方程组0Ax =的系数矩阵A 的秩为r ，则0Ax =有非零解的充分必要条件是（ ）(A)rn =. (B)r n <. (C)r n ≥. (D)r n >.【考点】齐次线性方程组解的理论. 解 齐次线性方程组110m n n m A x ⨯⨯⨯=有非零解的充分必要条件是()R A n <.选(B).7.(1990—Ⅰ,Ⅱ)已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,12,αα是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,12,k k 为任意常数,则方程组Ax b =的通解（一般解）必是（ ）(A)1211212()2k k ββααα-+++. (B)1211212()2k k ββααα++-+. (C)1211212()2k k ββαββ-+++. (D)1211212()2k k ββαββ++-+.【考点】非齐次线性方程组解的结构.解 112,ααα-线性无关且为对应齐次线性方程组的解,故112,ααα-是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系;又121222A A Ab ββββ++==,故122ββ+为Ax b =的一个特解;由非齐次线性方程组解的结构,知选(B). 对(A):122ββ-为0Ax =的解.对(C):12ββ+为2Ax b =的解,且122ββ-为0Ax =的解.对(D):112,αββ-不一定线性无关.8.(1990—Ⅳ,Ⅴ)向量组12,,,s ααα线性无关的充分条件是（ ）(A)12,,,s ααα均不为零向量.(B)12,,,s ααα任意两个向量的分量不成比例.(C)12,,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示.(D)12,,,s ααα中有一部分向量线性无关.【考点】向量组线性无关的性质.解 向量组12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是12,,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示.选(C).对(A):如123101,,011ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦均不为零向量,但123,,ααα线性相关. 对(B):如123101,,011ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中任意两个向量的分量不成比例,但123,,ααα线性相关.对(D):如123101,,011ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中1α线性无关. 9.(1990—Ⅴ)设A 是n 阶可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,则（ ）(A)1*n A A-=. (B)*A A =. (C)*nA A=. (D)*1A A -=.参考1.(1987—Ⅰ,Ⅱ). 选(A). 10.(1991—Ⅰ,Ⅱ)设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有（ ） (A)ACB E =. (B)CBA E =. (C)BAC E =. (D)BCA E =.【考点】可逆矩阵的判别定理之推论.解 由()EABC A BC ==知BC 是A 的逆矩阵.选(D).11.(1991—Ⅳ)设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征值,则A 的伴随矩阵*A 的特征值之一是（ ） (A)1nAλ-. (B)1A λ-. (C)A λ. (D)nAλ.【考点】特征值的性质.解 选(B).****()()()AAxx A Ax A x A x A x A x x λλλλ=⇒=⇒=⇒=.12.(1991—Ⅴ)设,A B 为n 阶方阵,满足等式AB O =,则必有（ ）(A)A O =或B O =. (B)A B O +=. (C)A O =或B O =. (D)A B O +=.【考点】矩阵的性质. 解 选(C).00AB O AB A B =⇒=⇒⋅=.13.(1991—Ⅴ)设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是（ ）(A)若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解. (B)若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解. (C)若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解. (D)若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解.【考点】非齐次线性方程组解的理论.解 选(D).Ax b =有无穷多个解()()()R A R B n R A n ⇒=<⇒<⇒0Ax =有非零解.对(A):如1212120200x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩仅有零解,但1212120201x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩无解.对(B):如12120220x x x x +=⎧⎨+=⎩有非零解,但12120222x x x x +=⎧⎨+=⎩无解.对(C):Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解.14.(1992—Ⅰ,Ⅱ)要使12100,121ξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦都是线性方程组0Ax =的解,只要系数矩阵A 为（ ）(A)[]211-. (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. (D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【考点】齐次线性方程组解向量的定义. 解 选(A). 【注意】只需验证[]12,A O ξξ=.15.(1992—Ⅳ)设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分条件是（ ）(A)A 的列向量线性无关. (B)A 的列向量线性相关. (C)A 的行向量线性无关. (D)A 的行向量线性相关.【考点】齐次线性方程组解的理论,矩阵的秩及向量组的线性相关性. 解0Ax =仅有零解()R A n ⇔=A ⇔的列秩n A =⇔的列向量线性无关.选(A).16.(1992—Ⅴ)设11,,,A B A B A B --++均为n 阶可逆矩阵,则111()A B ---+等于（ ）(A)11A B --+. (B)A B +. (C)1()A A B B -+. (D)1()A B -+.【考点】逆矩阵的性质. 解 选(C).11111111(())()()A A B B B A B A AB E A A B --------+=+=+=+.或1111111()[()]()()()()A B A A B B E B A A B B B A B A B B E -------++=++=++=.17.(1992—Ⅴ)设12,,,m ααα均为n 维向量,那么,下列结论正确的是（ ）(A)若11220m m k k k ααα+++=，则12,,,m ααα线性相关.(B)若对任意一组不全为零的数12,,,m k k k ,都有11220m m k k k ααα+++≠,则12,,,m ααα线性无关.(C)若12,,,m ααα线性相关,则对任意一组不全为零的数12,,,m k k k ,都有11220m m k k k ααα+++=.(D)若120000m ααα⋅+⋅++⋅=,则12,,,m ααα线性无关.【考点】向量组线性相(无)关的定义.解 选(B).由线性相关定义的逆否命题可得.18.(1993—Ⅰ,Ⅱ)已知12324,369Q t P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为3阶非零矩阵,且满足PQ O =,则（ ） (A)6t=时P 的秩必为1. (B)6t =时P 的秩必为2.(C)6t ≠时P 的秩必为1. (D)6t ≠时P 的秩必为2.【考点】矩阵的秩及其性质.解 ()()31()3()PQ O R P R Q R P R Q =⇒+≤⇒≤≤-.当6t =时,()11()2()R Q R P R P =⇒≤≤⇒=1或2,则(A)和(B)都错; 当6t≠时,()21()1()1R Q R P R P =⇒≤≤⇒=.选(C).【注】(1)()()m s s n A B O R A R B s ⨯⨯=⇒+≤.(2)m s s nA B O ⨯⨯=,则B 的列向量组为m s s n A x O ⨯⨯=的解向量.19.(1993—Ⅳ)n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）(A)充分必要条件. (B)充分而非必要条件. (C)必要而非充分条件. (D)既非充分也非必要条件. 【考点】矩阵能对角化的判别定理(充分条件). 解 选(B).20.(1993—Ⅴ)若12312,,,,αααββ都是四维列向量,且4阶行列式1231,,,m αααβ=,1223,,,n ααβα=,则4阶行列式32112,,,()αααββ+等于（ ）(A)m n +. (B)()m n -+. (C)n m -. (D)m n -.【考点】矩阵的运算及行列式的性质. 解 选(C).3211232113212,,,(),,,,,,αααββαααβαααβ+=+12311223,,,,,,n m αααβααβα=-+=-.21.(1993—Ⅴ)设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵211()3A -有一特征值等于（ ） (A)43. (B)34. (C)12. (D)14. 【考点】特征值的性质. 解213A 有一特征值21433λ=,则211()3A -有一特征值34.选(B). 22.(1994—Ⅰ,Ⅱ)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组（ ） (A)12233441,,,αααααααα++++线性无关. (B)12233441,,,αααααααα----线性无关. (C)12233441,,,αααααααα+++-线性无关.(D)12233441,,,αααααααα++--线性无关.【考点】判别向量组线性相(无)关的方法. 解 对(A):12342341()()()()αααααααα+++=+++,则12233441,,,αααααααα++++线性相关.对(B):12233441()()()()αααααααα-+-=----, 则12233441,,,αααααααα----线性相关.对(D):12233441()()()()αααααααα+-+=----, 则12233441,,,αααααααα++--线性相关.故选(C). 或对(A):12233441123410011100[,,,][,,,]01100011αααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥++++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,10011001110001010110001100110000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 所以12233441(,,,)34R αααααααα++++=<,则12233441,,,αααααααα++++线性相关.同理可讨论(B),(C),(D).【注意】判别向量组线性相(无)关的常见方法如下. (1)用定义:一般对抽象的向量组.理论根据:n 维向量组12,,,m ααα线性相(无)关⇔齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++=有非零解(只有零解).(2)用向量组的秩:对具体的向量组直接求秩;对抽象的向量组用矩阵的秩的性质推导出来.理论根据: 向量组12,,,m ααα线性相(无)关⇔()(())R A m R A m <=.(3)用相关理论推导. (4)特殊情形: 若向量组12,,,m βββ可由12,,,m ααα线性表示,且12,,,m ααα线性无关时,设[][]1212,,,,,,m m K βββααα=,则向量组12,,,m βββ线性相(无)关⇔()(())R K m R K m <=.23.(1994—Ⅳ)设A 是m n ⨯矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,则( ) (A)1rr >. (B)1r r <. (C)1r r =. (D)r 与1r 的关系依C 而定.【考点】矩阵秩的性质. 解 1()()()r R B R AC R A r ====.选(C).【注】设,P Q 为可逆矩阵,则()()()()R A R PA R AQ R PAQ ===.24.(1994—Ⅴ)设,A B 都是n 阶非零矩阵,且AB O =,则A 和B 的秩( )(A)必有一个等于零. (B)都小于n . (C)一个小于n ,一个等于n . (D)都等于n .【考点】矩阵秩的性质.解 ()()AB O R A R B n =⇒+≤;又()1,()1(,)R A R B A O B O ≥≥≠≠,则(),()R A n R B n <<.选(B).25.(1994—Ⅴ)设有向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),ααα=-==45(1,2,2,0),(2,1,5,10)αα=-=,则该向量组的最大线性无关组是( )(A)123,,ααα. (B)124,,ααα. (C)125,,ααα. (D)1245,,,αααα.【考点】具体向量组的最大线性无关组的求法.解 1234510312103121302101101[,,,,]2172500010421401000000T T T T TA ααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 则向量组的最大线性无关组是124,,ααα.选(B). 【注意】(1)初等行变换保持矩阵的行向量组等价,保持矩阵的列向量组的线性相关性不变; (2)初等列变换保持矩阵的列向量组等价,保持矩阵的行向量组的线性相关性不变.26.(1995—Ⅰ,Ⅱ)设1112132122232122231112131313233311132123313010,,100,001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2100010101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则必有（ ） (A)12APP B =. (B)21AP P B =. (C)12PP A B =. (D)21P P A B =.【考点】初等变换与初等矩阵的关系. 解 B 可将A 的第一行加到第三行,再将A 的第一行与第二行交换得到.故选(C).【注】在矩阵的左(右)边乘以一个初等矩阵,相当于对矩阵作相应的初等行(列)变换.27.(1995—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵m n A ⨯的秩为(),m R A m n I =<为m 阶单位矩阵,下述结论中正确的是( ) (A)A 的任意m 个列向量必线性无关. (B)A 的任意一个m 阶子式不等于零. (C)若矩阵B 满足0BA =,则0B =.(D)A 通过初等行变换,必可以化为()m I O 的形式.【考点】向量组线性无关的判别,矩阵秩的定义及矩阵的行阶梯形和标准形.解 选(C).0T T BA A B O =⇒=.由()T R A m =,则齐次线性方程组T A x O =只有零解,即T B 的列向量全为零,故T B O B O =⇒=.28.(1995—Ⅴ)设n 维行向量11(,0,,0,)22α=,矩阵,2T T A I B I αααα=-=+,其中I 为n 阶单位矩阵,则AB 等于( )(A)0. (B)I -. (C)I . (D)T I αα+.【考点】矩阵的运算.解 选(C).29.(1996—Ⅰ,Ⅱ)四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ ）(A)12341234a a a a b b b b -. (B)12341234a a a a b b b b +.(C)12123434()()a a b b a a b b --. (D)23231414()()a a b b a a b b --.【考点】行列式的计算.解 选(D).将行列式按第一行展开. 30.(1996—Ⅳ,Ⅴ)设n 阶矩阵A 非奇异,*A 是A 的伴随矩阵,则( )(A)1**()n A AA -=. (B)1**()n A A A +=. (C)2**()n AAA -=. (D)2**()n A AA +=.【考点】矩阵运算的性质.解 选(C)..*1****1111()()()A A A A A A A A A A -----=⇒==211nn A A A A A A-=⋅⋅⋅=.31.(1996—Ⅳ,Ⅴ)设有任意两个n 维向量组1,,m αα和1,,m ββ,若存在两组不全为的数1,,m λλ和1,,m k k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=,则( )(A)1,,m αα和1,,m ββ都线性相关.(B)1,,m αα和1,,m ββ都线性无关.(C)1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性无关. (D)1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关.【考点】向量组线性相(无)关的定义. 解 由111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=,得111111()()()()m m m m m m k k O λαβλαβαβαβ+++++-++-=,所以1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关.选(D).32.(1997—Ⅰ)设111122232333,,a b c a b c a b c ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,则三条直线 0(1,2,3)i i i a x b y c i ++==（其中220,1,2,3i i a b i +≠=）交于一点的充分必要条件（ ） (A)123,,ααα线性相关. (B)123,,ααα线性无关. (C)秩123(,,)R ααα=秩12(,)R αα. (D)123,,ααα线性相关，12,αα线性无关.【考点】齐次线性方程组解的理论.解 三条直线交于一点的充分必要条件是线性方程组111222333000a xb yc a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有惟一解12123(,)(,,)2R R ααααα⇔=-=1212123123123(,)2,(,,)2(,,)2,,R R R ααααααααααααα=⇔⎧⇔⎨-=⇔=⇔⎩线性无关；线性相关.33.(1997—Ⅲ,Ⅳ)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组中,线性无关的是( )(A)122331,,αααααα++-(B)1223123,,2ααααααα++++(C)1223312,23,3αααααα+++(D)123123123,2322,355ααααααααα++-++-解 参考22.(1994—Ⅰ,Ⅱ).选(C).34.(1997—Ⅲ)设,A B 为同阶可逆矩阵,则( )(A)AB BA = (B)存在可逆阵P ,使1P AP B -=(C)存在可逆阵C ,使TC AC B = (D)存在可逆阵P 和Q ,使PAQ B =【考点】矩阵等价,合同,相似的判别. 解,A B 为同阶可逆矩阵,则,A B 都与同阶的单位矩阵等价,从而,A B 等价.故选(D).【注意】两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等.如果不是同型矩阵,则必要性不成立. 35.(1997—Ⅳ)非齐次线性方程组Ax b =中未知量个数为n ,方程个数为m ,系数矩阵A 的秩为r ,则( )(A)rm =时,方程组Ax b =有解. (B)r n =时,方程组Ax b =有惟一解. (C)m n =时,方程组Ax b =有惟一解. (D)r n <时,方程组Ax b =有无穷多解.【考点】线性方程组解的理论.解 选(A).()()()()m R A R B m R A R B m =≤≤⇒==.36.(1998—Ⅰ)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的，则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---（ ）(A)相交于一点. (B)重合. (C)平行但不重合. (D)异面. 【考点】空间两条直线位置的判别.解 设111333(,,),(,,),Pa b c Q a b c ==11212122232323(,,),(,,)s a a b b c c s a a b b c c =---=---.由1212121223232312313131[,,]0,,a a b b c c s s QP a a b b c c s s QP a a b b c c ---=---=⇒---共面,则两直线共面.又111121212222232323333333a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 则12,s s 不平行,即两直线不平行.选(A).37.(1998—Ⅱ)设A 是任一(3)n n ≥阶方阵,*A 是其伴随矩阵,又k 为常数,且0,1k ≠±,则必有*()kA =（ ）(A)*kA . (B)1*n kA -. (C)*n k A . (D)1*k A -.【考点】伴随矩阵的定义. 解 *1*()n kA k A -=(由伴随矩阵的定义得到).选(B).或由**1*()()()()n n n kA kA kA E k A E k AA kA k A -====看出.38.(1998—Ⅲ)齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A .若存在三阶矩阵0B ≠使得0AB =,则( )(A)2λ=-且0B =. (B)2λ=-且0B ≠. (C)1λ=且0B =. (D)1λ=且0B ≠.【考点】矩阵的性质,齐次线性方程组解的理论.解0,00AB B Ax =≠⇒=有非零解01A λ⇒=⇒=.若0B ≠,由0AB =得0A =,矛盾.故选(C).39.(1998—Ⅲ)设(3)n n ≥阶矩阵1111a a a a aa A aa a aa a⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,如果矩阵A 的秩为1n -,则a 必为( ) (A)1. (B)11n -. (C)1-. (D)11n -. 【考点】含参数的矩阵的秩的讨论. 解 ()01R A n A a <⇒=⇒=或11n-.当1a =时,显然()1R A =.故选(B). 40.(1998—Ⅳ)若向量组,,αβγ线性无关;,,αβδ线性相关,则( ) (A)α必可由,,βγδ线性表示. (B)β必不可由,,αγδ线性表示 (C)δ必可由,,αβγ线性表示. (D)δ必不可由,,αβγ线性表示.【考点】向量组线性相(无)关的性质.解 ,,αβγ线性无关,有,αβ线性无关;又,,αβδ线性相关,得δ必可由,αβ线性表示,也必可由,,αβγ线性表示.选(C). 41.(1999—Ⅰ)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则（ ）(A)当m n >时,必有行列式0AB ≠. (B)当m n >时,必有行列式0AB =.(C)当nm >时,必有行列式0AB ≠. (D)当n m >时,必有行列式0AB =.【考点】矩阵秩的性质.解 ()min{(),()}min{,}R AB R A R B m n ≤≤.选(B).42.(1999—Ⅱ)记行列式212322212223333245354435743x x x x x x x x x x x x xx x x ---------------为()f x ,则方程()0f x =的根的个数为（ ）(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.【考点】行列式的计算.解121()111122212223()5(1)333245354435743r r r x x x x x f x xx x x x x x xx x x -÷-----=-=--------.选(B).43.(1999—Ⅲ,Ⅳ)设向量β可由向量组12,,,m ααα线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):121,,,m ααα-线性表示,记向量组(Ⅱ):121,,,,m αααβ-,则( )(A)m α不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示. (B)m α不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示. (C)m α可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示. (D)m α可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示. 【考点】向量组的线性表示的定义及其判别.解 方法一: 若m α可由(Ⅰ)线性表示,则121121121121(,,,)(,,,,)(,,,,,)(,,,,)m m m m m m R R R R αααααααααααβαααβ----===与β不能由121,,,m ααα-线性表示,矛盾,则m α不能由(Ⅰ)线性表示.故(C),(D)错.且121121(,,,,)(,,,)1m m m R R ααααααα--=+,由β不能由121,,,m ααα-线性表示,则121121(,,,,)(,,,)1m m R R αααβααα--=+.所以 121121(,,,,)(,,,,)m m m R R αααβαααα--=121121(,,,,,)(,,,,,)m m m m R R ααααβαααβα--==,则m α可由121,,,,m αααβ-线性表示.故选(B).方法二:β可由向量组12,,,m ααα线性表示.若m α可由121,,,m ααα-线性表示,则β可由向量组121,,,m ααα-线性表示,矛盾.故(C),(D)错.β可由向量组12,,,m ααα线性表示,则存在一组数11,,,m m k k k -,使得1111m m m m k k k βααα--=+++,其中0mk ≠.若0m k =,则β可由向量组121,,,m ααα-线性表示,矛盾.m α可由121,,,,m αααβ-线性表示.故(A)错.选(B). 44.(1999—Ⅲ)设,A B 为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( )(A)E A E B λλ-=-.(B)A 与B 有相同的特征值和特征向量. (C)A 与B 都相似于一个对角矩阵.(D)对任意常数t ,tE A -与tE B -相似.【考点】矩阵相似的性质. 解 选(D).A 与B 相似,存在可逆矩阵P ,使得1P AP B -=,则1111()()tE B tE P AP P tE P P AP P tE A P -----=-=-=-,即tE A -与tE B -相似. 对(A):E A E B A B λλ-=-⇒=.对(B):A 与B 相似,则A 与B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同. 对(C):A 与B 不一定能对角化.45.(2000—Ⅰ)n 维列向量组1,,()m m n αα<线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为（ ）(A)向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示. (B)向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示. (C)向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价.(D)矩阵1(,,)m A αα=与矩阵1(,,)m B ββ=等价.【考点】向量组线性相(无)关的判别. 解 选(D). (A)是充分非必要条件.(1) (A)是充分条件:111(,,)(,,)(,,)m m m m R R m R m ααββββ=≤≤⇒=.(2) (A)是非必要条件:如12100,100αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性无关,12100,001ββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性无关,但12,αα不能由12,ββ线性表示.(B)是既非必要也非充分条件.(1) (B)是非必要条件:如12100,100αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性无关,12100,001ββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性无关,但12,ββ不能由12,αα线性表示.(2) (B)是非充分条件:如12100,100αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性无关,12100,000ββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.12,ββ可由12,αα线性表示,但12,ββ线性相关.(C)是充分非必要条件.(1) (C)是充分条件:11(,,)(,,)m m R R m ββαα==.(2) (C)是非必要条件:如12100,100αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性无关,12100,001ββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性无关,但12,αα不能由12,ββ线性表示,则12,αα与12,ββ不等价.(D)是充分必要条件.向量组1,,m ββ线性无关111(,,)(,,)(,,)m m m R m R R m ββααββ⇔=⇔==()()R A R B A B ⇔=⇔→.46.(2000—Ⅲ,Ⅳ)设123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量,且秩(A )=3,123(1,2,3,4),(0,1,2,3),T T C ααα=+=表示任意常数,则线性方程组Ax b =的通解x =( )(A)11213141C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (B)10213243C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (C)12233445C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (D)13243546C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【考点】线性方程组解的性质及非齐次线性方程组解的结构. 解 选(C).()30R A Ax =⇒=的基础解系含4()1R A -=个解向量ξ.可取1232()(2,3,4,5)T ξααα=-+=.47.(2000—Ⅲ)设A 为n 阶实矩阵,T A 是A 的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ):0Ax =和(Ⅱ):0T A Ax =,必有( )(A)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解, (Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解. (B)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解. (C)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解, (Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解. (D)(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解, 但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解. 【考点】0Ax =与0T A Ax =解的关系.解 选(A). 【注意】0Ax =与0T A Ax =同解.事实上(1)0()()0T T Ax A A x A Ax =⇒==,即0Ax =的解是0T A Ax =的解;(2)00()000TT T T AAx x A Ax Ax Ax Ax Ax =⇒=⇒=⇒=⇒=,即0T A Ax =的解是0Ax =的解.48.(2001—Ⅰ)设1111400011110000,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则A 与B （ ）(A)合同且相似. (B)合同但不相似. (C)不合同但相似. (D)不合同且不相似. 【考点】实对称矩阵的对角化. 解 选(A).A 为实对称矩阵且A 的特征值为4,0,0,0.【注意】实对称矩阵既正交合同也正交相似于对角矩阵.49.(2001—Ⅲ,Ⅳ)设11121314212223243132333441424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,14131211242322213433323144434241a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,10001010000101000P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,21000001001000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其中A 可逆,则1B -=( )(A)112A P P -. (B)112P A P -. (C)112P P A -. (D)121P A P -.【考点】初等矩阵与初等变换的关系及乘积矩阵的求逆.解 选(C).B 由A 的第二列与第三列交换,再将第一列与第四列交换得到,则112112B AP P B PP A --=⇒=. 50.(2001—Ⅲ)设A 是n 阶矩阵,α是n 维列向量.若秩0TA αα⎡⎤⎢⎥⎣⎦=秩(A ),则线性方程组( ) (A)Ax α=必有无穷多解. (B)Ax α=必有惟一解.(C)00TA x y αα⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦仅有零解. (D)00TA x y αα⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦必有非零解. 【考点】线性方程组解的理论.解 秩0TAαα⎡⎤⎢⎥⎣⎦=秩(A )1n n ≤<+,则00TAx y αα⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦必有非零解.选(D).51.(2002—Ⅰ)设有三张不同平面的方程123,1,2,3i i i i a x a y a zb i ++==，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为（ ）【考点】线性方程组解的理论.解 方程组111213121222323132333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有无穷多解.选(B).【注意】(1)三张不同平面123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==相交于一点111213121222323132333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b++=⎧⎪⇔++=⎨⎪++=⎩有惟一解;(2)三张不同平面123,1,2,3i i i i a x a y a zb i ++==相交于直线111213121222323132333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b++=⎧⎪⇔++=⎨⎪++=⎩有无穷多解;(3)三张不同平面123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==无交点111213121222323132333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b++=⎧⎪⇔++=⎨⎪++=⎩无解.52.(2002—Ⅱ)设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） (A)12312,,,k αααββ+线性无关. (B)12312,,,k αααββ+线性相关.(C)12312,,,k αααββ+线性无关. (D)12312,,,k αααββ+线性相关.【考点】向量组线性相(无)关与线性表示之间的关系. 解 令0k =,则1232,,,αααβ线性无关,(B)错;1231,,,αααβ线性相关,(C)错.令1k=,若12312,,,k αααββ+线性相关,则2β能由123,,ααα线性表示,(D)错.选(A).53.(2002—Ⅲ)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则线性方程组()0AB x =( )(A)当nm >时仅有零解. (B)当n m >时必有非零解.(C)当m n >时仅有零解. (D)当m n >时必有非零解.【考点】矩阵的秩的性质与齐次线性方程组解的理论. 解 ()min{(),()}R AB R A R B n ≤≤,又AB 为m 阶方阵.选(D).【注意】(1)()min{,}m n R A m n ⨯≤;(2)()min{(),()}R AB R A R B ≤.54.(2002—Ⅲ)设A 是n 阶实对称矩阵,P 是n 阶可逆矩阵.已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量,则矩阵1()T P AP -属于特征值λ的特征向量是( )(A)1Pα-. (B)T P α. (C)P α. (D)1()T P α-.【考点】矩阵的运算及矩阵的特征值与特征向量的定义.解11,()()T T T A P AP P A P αλα--==,从后式看出要利用前式,必须消去1()T P -,即在α的前面乘以TP .选(B). 或11()()[()]()T T T T T T T PAP P P A P P P A P αααλα--===.【注意】在做选择题及填空题时,要有意识地培养“只求目的,不择手段”.55.(2002—Ⅳ)设,A B 为n 阶矩阵,**,A B 分别为,A B 对应的伴随矩阵,分块矩阵A O C OB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则C 的伴随矩阵*C =( )(A)**A A O O B B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (B)**B B O O A A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)**A B O OB A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D)**B A O OA B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【考点】伴随矩阵的性质. 解 方法一:根据*AA A E =验证.选(D).(此方法在解决这类问题时一般较麻烦).方法二:若1A -易求得,由*1A A A -=最简便.显然111,A O C C A B OB ---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦1**11*A B A O B A O C C C O A B B O A B ---⎡⎤⎡⎤⇒===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 56.(2003—Ⅰ,Ⅱ)设向量组Ⅰ: 12,,,r ααα可由向量组Ⅱ:12,,,s βββ线性表示,则（ ）(A)当rs <时,向量组Ⅱ必线性相关. (B)当r s >时,向量组Ⅱ必线性相关.(C)当r s <时,向量组Ⅰ必线性相关. (D)当r s >时,向量组Ⅰ必线性相关.【考点】向量组线性表示与向量组秩的关系.解 1212(,,,)(,,,)r s R R s αααβββ≤≤.选(D).57.(2003—Ⅰ)设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =,其中,A B 均为m n ⨯矩阵,现有4个命题:①若0Ax =的解均是0Bx =的解,则秩(A )≥秩(B ). ②若秩(A )≥秩(B ),则0Ax =的解均是0Bx =的解. ③若0Ax =与0Bx =同解,则秩(A )=秩(B ). ④若秩(A )=秩(B ),则0Ax =与0Bx =同解.以上命题正确的是（ ）(A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ 【考点】线性方程组解的理论.解 若0Ax =的解均是0Bx =的解,则0Ax =的基础解系必是0Bx =的基础解系的一部分,故0Ax =的基础解系所含解向量个数必小于0Bx =的基础解系所含解向量个数,即()()()()n R A n R B R A R B -≤-⇒≥.则①对,从而③也对.选(B).或直观地判别结论.若0Ax =的解均是0Bx =的解,则0Ax =所含限制条件不少于0Bx =所含限制条件,从而0Ax =所含独立方程个数必不少于0Bx =所含独立方程个数,故()()R A R B ≥.①对. 【注意】(1)()R A =线性方程组0Ax =所含独立方程个数; (2)()R B =线性方程组0Ax b =≠所含独立方程个数.此题的后面解法又是“不择手段”,读者在考试中做选择题和填空题时稍加运用,可以提高考试的效率和得分率.这里要说明的,所谓“不择手段”是在对数学理论的直观理解的基础上,而不是记忆上. 58.(2003—Ⅲ)设12,,,s ααα均为n 维向量,下列结论不正确的是( )(A)若对于任意一组不全为零的数12,,,s k k k ,都有11220s s k k k ααα+++≠,则12,,,s ααα线性无关.(B)若12,,,s ααα线性相关,则对于任意一组不全为零的数12,,,s k k k ,有11220s s k k k ααα+++=.(C)12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s .(D)12,,,s ααα线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.【考点】向量组的线性相(无)关. 解 选(B).59.(2003—Ⅳ)设矩阵001010100B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.已知矩阵A 相似于B ,则秩(2)A E -与秩()A E -之和等于( )(A)2. (B)3. (C)4. (D)5. 【考点】相似矩阵的性质. 解 (2)()(2)()4R A E R A E R B E R B E -+-=-+-=.选(C).【注】 (1)若A 与B 相似,则111(0)k A l E k +≠与222(0)k A l E k +≠相似;(2)相似矩阵有相同的秩.60.(2004—Ⅰ,Ⅱ)设A 是三阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（ ）(A)010100101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (B)010101001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (C)010100011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (D)011100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【考点】初等矩阵与初等变换的关系.解 010100011100011100001001001Q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 61.(2004—Ⅰ,Ⅱ)设,A B 为满足AB O =的任意两个非零矩阵,则必有（）(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.(B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.【考点】向量组线性相(无)关的判别. 解0AB O Ax =⇒=有非零解,则A 的列向量组线性相关;0T T T AB O B A O B x =⇒=⇒=有非零解,则T B 的列向量组(即B 的行向量组线性相关).选(A). 62.(2004—Ⅲ,Ⅳ)设n 阶矩阵A 与B 等价,则必有( )(A)当(0)A a a =≠时,B a =. (B)当(0)A a a =≠时,B a =-.(C)当0A ≠时,0B =.(D)当0A =时,0B =.【考点】矩阵等价的性质. 解A 与B 等价,则()()R A R B =.选(D).63.(2004—Ⅲ)设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*A O ≠,若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系( )(A)不存在. (B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量. (D)含有三个线性无关的解向量. 【考点】A 的秩*A 的秩的关系,线性方程组解的理论.解**()1()1A O R A R A n ≠⇒≥⇒=-或n .若()R A n =,则Ax b =有惟一解,所以()1R A n =-.选(B).2005(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是 (A)01≠λ (B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B (D)交换*A 的第1行与第2行得*-B 2006(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关(D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP(B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T =C PAP2007(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A),,122331---αααααα (B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似 2008(5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则 (A)-E A 不可逆,+E A 不可逆 (B)-E A 不可逆,+E A 可逆 (C)-E A 可逆,+E A 可逆 (D)-E A 可逆,+E A 不可逆(6)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(,,)1x x y z y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 在正交变换下的标准方程的图形如图,则A 的正特征值个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2009(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基122331,,+++αααααα的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)120023103⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (D)111222111444111666⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A)**32O B AO ⎛⎫ ⎪⎝⎭(B)**23O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭(C)**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭(D)**23O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭2010(5)设A 为m n ⨯型矩阵,B 为n m ⨯型矩阵,若,=AB E 则 (A)秩(),m =A 秩()m =B (B)秩(),m =A 秩()n =B(C)秩(),n =A 秩()m =B (D)秩(),n =A 秩()n =B(6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于(A)1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(C)1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D)1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭20115、设A 为3阶矩阵，把A 的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B 的第二行与第3行得到单位阵E ，记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*******P ，则A=（ ）A 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -6、设)(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵。

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。

把正确答案填写在题中横线上。

)(1)2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰(3)2"4xy y e -=的通解为y =(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5)设两两相互独立的三事件A ,B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。

每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。

)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则()(A)当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。

(B)当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。

(C)当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。

(D)当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。

(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处()(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(D)可导(3)设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于()(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠(B)当m n >时，必有行列式AB 0=(C)当n m >时，必有行列式AB 0≠(D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A){}10.2P X Y +≤=(B){}1P X+Y 1.2≤=(C){}1P X-Y 0.2≤=(D){}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdx。

考研数学一（行列式，矩阵，向量）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1999年试题，二)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m&gt;n时，必有行列式｜AB｜≠0B．当m&gt;n时，必有行列式｜AB｜=0C．当n&gt;m时，必有行列式｜AB｜≠0D．当n&gt;m时，必有行列式｜AB｜=0正确答案：B解析：结合题设，应分析矩阵的秩，从而可判断其行列式是否为0．由已知，AB是m×m矩阵，则r(AB)≤m，又由r(AB)≤min(rA，rB)，知r(AB)≤min(n，m)，由此，当m&gt;n时，r(AB)≤n&lt;m，从而｜AB｜=0，因而B正确；当n&gt;m 时，r(AB)≤m，不能确定等式是否成立，综上，选B．对于未知矩阵AB的具体元素，其相关的计算和证明问题往往可考虑转化为利用：(1)矩阵的秩；(2)行或列向量组的线性相关性；(3)方程组解的判定；(4)特征值和相似矩阵的性质等来求解和证明．知识模块：行列式2．(2012年试题，一)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α2)，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设Q=(α1+α2，α2，α3)=(α1，α2，α3)因此应选B．知识模块：矩阵3．(2008年试题，一)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=0，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E一A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：由A3=0可得E—A3=(E一A)(E+A+A2)=E和E+A3=(E+A)(E一A+A2)=E显然｜E—A｜≠0，｜E+A｜≠0，所以E一A和E+A均可逆．故应选C．解析二由A3=0知，A的任意特征值满足λ3=0，即λ=0是A的n重特征值，从而λ=是E一A和E+A的n重特征值，即二者的特征值均不为0．故E 一A和E+A均可逆。

线性代数试题和答案（精选版）线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.1002 00 1 3C. 1 3 00 010 00 1 21200130013.设矩阵A= 312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< p="">B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334B.3426C.023035--D.111120102第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。