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勾股定理典型练习题(含答案)1.勾股定理典型练题勾股定理是几何中的一个重要定理。
在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。
如图1所示，由边长相等的小正方形和直角三角形构成，可以用其面积关系验证勾股定理。
图2是由图1放入矩形内，已知AC = 4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？已知AB = 3，得到∠BAC = 90°。
根据勾股定理，BC = 5.所以矩形KLMJ的面积为 4 × 5 + 3 × 4 = 32.因此，答案为C。
2.勾股定理典型练题XXX所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。
若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是多少？根据图中所示，正方形E的边长为2，所以面积为2 × 2 = 4.因此，答案为C。
3.勾股定理典型练题如图所示，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点。
则图中阴影部分的面积是多少？首先，根据勾股定理，AC = 4，BC = 4，AB = 4√2.因此，三角形ABC的面积为4√2 × 4 / 2 = 8√2.由于三角形ADE和三角形ABF相似，所以ADE的面积是ABF的面积的一半。
同理，三角形BDF和三角形BCE相似，所以BDF的面积是BCE的面积的一半。
因此，阴影部分的面积为8√2 - 2 × 2 - 2 ×1 = 8√2 - 6.因此，答案为C。
4.勾股定理典型练题如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为多少？根据图中所示，正方形a和正方形c的边长分别为√5和√11.因此，正方形b的边长为√11 - √5，所以面积为(√11 - √5)² = 6.因此，答案为C。
5.勾股定理典型练题如图所示，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则S1和S2的大小关系是什么？首先，根据勾股定理，AB = √(BC² + AC²) = 2√2.因此，半圆的面积为π × (2√2 / 2)² = 2π。
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =， 综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。
勾股定理练习题一、根底达标 :1.以下说法正确的选项是〔〕A. 假设 a 、b、c 是△ ABC的三边，那么 a2＋b2＝c2；B.假设 a 、b、c 是 Rt△ABC的三边，那么 a2＋b2＝c2；C. 假设 a 、b、c 是 Rt△ABC的三边，A 90 ，那么a2＋b2＝c2；222D. 假设 a 、b、c 是 Rt△ABC的三边，C 90 ，那么a＋b＝c．2.Rt △ABC的三条边长分别是a、b、c，那么以下各式成立的是〔〕A．a b c B. a b c C. a b c D. a2b2 c 2 3．如果 Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k〔k >1 〕，那么它的斜边长是〔〕A、2kB、k+1C、k2－ 1D、k2+14. a，b，c 为△ ABC三边，且满足 (a 2－b2)(a 2+b2－c2 ) ＝0，那么它的形状为〔〕A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为三角形的周长为〔〕A．121B．1206．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高A．42B．32C9，另两边为连续自然数，那么直角C ．90D．不能确定AD＝12，那么△ABC的周长为〔〕．42 或32D．37或337.※直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线长为 d ，那么这个三角形周长为〔〕〔A〕d2S 2d〔〕 d 2S d〔C〕2 d2BS 2d〔〕 2 d 2S dD8、在平面直角坐标系中，点 P的坐标是 (3,4)，那么 OP的长为〔〕A：3B：4C：5D： 79．假设△ ABC中，AB=25cm，AC=26cm高 AD=24,那么 BC的长为〔〕A．17 B.3 C.17或 3 D.以上都不对10． a、b、c 是三角形的三边长，如果满足(a 6)2 b 8 c 100那么三角形的形状是〔〕A：底与边不相等的等腰三角形B：等边三角形C：钝角三角形D：直角三角形11．斜边的边长为17cm，一条直角边长为8cm的直角三角形的面积是．12.等腰三角形的腰长为 13，底边长为 10，那么顶角的平分线为＿＿ .13.一个直角三角形的三边长的平方和为 200，那么斜边长为14．一个三角形三边之比是10 : 8 : 6 ，那么按角分类它是三角形．15.一个三角形的三边之比为 5∶12∶13，它的周长为 60，那么它的面积是＿＿＿ .22216. 在 Rt△ABC中，斜边 AB=4，那么 AB＋BC＋AC=_____．17．假设三角形的三个内角的比是1: 2 : 3 ，最短边长为1cm，最长边长为2cm ，那么这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是．18．如图，ABC中，C90 ，BA 15 ，AC12 ，以直角边 BC 为直径作半圆，那么这个半圆的面积是．19．一长方形的一边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长是．BCA二、综合开展 :1．如图，一个高4m、宽3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠ CAB的角平分线 AD折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE重合，你能求出 CD的长吗？CDB AE3. 一个三角形三条边的长分别为15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m，棚宽a=4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树 12m，高 8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民XX国道路交通管理条例〞规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70 km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方 30m处，过了 2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m，这辆小汽车超速了吗？小汽车小汽车BCA观测点答案 :一、根底达标1. 解析 : 利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案:D.2. 解析：此题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案： B.3．解析：设另一条直角边为x ，那么斜边为〔 x+1〕利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长 . 答案： C ．4．解析：解决此题关键是要画出图形来，作图时应注意高 AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解.答案： C.5．解析 : 勾股定理得到：17 2 82 152 ，另一条直角边是 15，1 15 860cm 2所求直角三角形面积为 2．答案:60cm 2．6．解析：此题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边, 反过来也是成立．答案 : a 2b 2c 2 ，c ，直角，斜，直角．7．解析 : 此题由边长之比是10 : 8 : 6 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角． 8．解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数 , 断定是直角三角形．答案：30 、6090，3．9．解析：由勾股定理知道：BC 2 AB 2 AC 2152 122 92，所以以直角边BC为直径的半圆面积为 10.125 π ．答案： 10.125 π ．10．解析 : 长方形面积长×宽，即12 长× 3，长4 ，所以一条对角线长为5．、9答案： 5cm ．二、综合开展11．解析：木条长的平方=门高长的平方 +门宽长的平方．答案： 5m ．12解析：因为 15 2202 252 ，所以这三角形是直角三角形，设最长边〔斜边〕上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得115201 25 x ，∴x12 ．答案：12cm2213．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出 .答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为 5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5× 20=100(m 2)．14．解析：此题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是 13m ，两再利用时间关系式求解 .答案： 6.5s ．15．解析：此题和 14 题相似，可以求出 BC的值，再利用速度等于路程除以时间后比拟.BC=40米，时间是2s，可得速度是20m/s=72km/h ＞70 km/h．答案：这辆小汽车超速了．。
勾股定理练习题及答案问题一：已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解答一：根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
设斜边的长度为c，则有：c^2 = 3^2 + 4^2c^2 = 9 + 16c^2 = 25取平方根得到c = 5cm。
所以，斜边的长度为5cm。
问题二：已知直角三角形的斜边长度为10cm，一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。
解答二：设另一条直角边的长度为a。
根据勾股定理，可得：a^2 + 6^2 = 10^2a^2 + 36 = 100a^2 = 100 - 36a^2 = 64取平方根得到a = 8cm。
所以，另一条直角边的长度为8cm。
问题三：已知直角三角形的一条直角边的长度为5cm，另一条直角边的长度为12cm，求斜边的长度。
解答三：设斜边的长度为c。
根据勾股定理，可得：c^2 = 5^2 + 12^2c^2 = 25 + 144c^2 = 169取平方根得到c = 13cm。
所以，斜边的长度为13cm。
问题四：已知直角三角形的斜边长度为15cm，一条直角边的长度为9cm，求另一条直角边的长度。
解答四：设另一条直角边的长度为a。
根据勾股定理，可得：a^2 + 9^2 = 15^2a^2 + 81 = 225a^2 = 225 - 81a^2 = 144取平方根得到a = 12cm。
所以，另一条直角边的长度为12cm。
问题五：已知直角三角形的一条直角边的长度为7cm，另一条直角边的长度为24cm，求斜边的长度。
解答五：设斜边的长度为c。
根据勾股定理，可得：c^2 = 7^2 + 24^2c^2 = 49 + 576c^2 = 625取平方根得到c = 25cm。
所以，斜边的长度为25cm。
以上是五道勾股定理练习题及答案的解答过程。
通过这些练习题，我们可以加深对勾股定理的理解，熟练掌握如何在已知条件下求解三角形的边长。
勾股定理在几何学和实际应用中都有广泛的应用，是数学中的重要概念之一。
勾股定理专题训练试题精选(二)一．选择题（共30小题）1．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．169 B．25 C．19 D．132．如图，小方格的面积是1，则图中以格点为端点且长度为5的线段有（）A．4条B．3条C．2条D．1条3．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（）A．2个B．3个C．4个D．6个4．如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为225和400，则正方形A的面积是（）A．175 B．575 C．625 D．7005．已知∠AOB=90°，点P在∠AOB的平分线上，OP=6，则点P到OA，OB的距离为（）A．6，6 B．3，3 C．3，3D．3，36．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）A．4B．3C．5D．4.57．如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么半圆的面积为（）A．4πcm2B．6πcm2C．12πcm2D．24πcm28．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（）A．4B．4或34 C．16或34 D．4或9．将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（）A．16 B．32 C．8πD．6410．如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，若矩形ABCD的周长为30cm，则AB的长为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．7.5cm11．如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，BD=2CD，则BC=（）A．7B．8C．9D．1012．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．﹣1 B．3﹣C．+1 D．﹣113．如图，每个小种房型的边长都为1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，若B、C两点的位置分别证为（2，0）、（4，0），△ABC是钝角三角形且面积为4，则满足条件的A点的位置记法正确的是（）A．（4，4）B．（1，4）C．（2，4）D．（3，4）14．如图，正方形ABCD边长为8，E为BC边上一点，EC=2，则AE长度为（）A．14 B．10 C．13 D．1115．下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（）①9，12，15；②13，12，6；③9，12，14；④12，16，20A．①④B．①②C．③④D．②④16．直角三角形中两个直角边为a，b，斜边为c，斜边上的高为h，那么c+h，a+b，h为三边构成的三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．钝角三角形17．△ABC的三边满足，则△ABC为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形18．下列说法中，正确的有（）①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形②三边分别是1，，3的三角形是直角三角形③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形④三个内角之比为1：2：3的三角形是直角三角形A．1个B．2个C．3个D．4个19．若一个三角形的三边长分别是3，6，，则最小角与最大角依次是（）A．30°，60°B．30°，90°C．60°，90°D．45°，90°20．如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为（）A．24平方米B．26平方米C．28平方米D．30平方米21．▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=，AO=2，OB=1，则▱ABCD为（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形22．如图，正方形组成的网格中标出AB、CD、DE、AE四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．A B、CD、AE B．A E、ED、CD C．A E、ED、AB D．A B、CD、ED 23．下列命题中不正确的是（）A．有两个角相等的三角形是等腰三角形B．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半C．等腰三角形两底角相等D．有一个角的平分线平分对边的三角形一定是等腰直角三角形24．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④=1．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④25．根据指令[s，A]（s≥0，0°＜A≤360°），机器人在平面上完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向行走s个单位．现机器人在平面直角坐标系的原点，且面对x轴的正方向，如果输入指令为[1，45°]，那么连续执行三次这样的指令，机器人所在位置的坐标是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（0，1+）26．如果一个三角形的三边之比为，那么最小边所对的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°27．一个等腰直角三角形的斜边为，则其面积为（）A．B．8C．16 D．28．一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端距墙脚2.4米．那么梯足离墙脚的距离是（）米．A．0.7 B．0.9 C．1.5 D．2.429．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B，C三点都在小方格的顶点上，则点C到AB所在直线的距离等于（）A．B．C．D．30．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AC：AB=（）A．1：2：3 B．1：4：9 C．1：：D．1：：2勾股定理专题训练试题精选(二)参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．169 B．25 C．19 D．13考点：勾股定理；完全平方公式．分析：先求出四个直角三角形的面积，再根据再根据直角三角形的边长求解即可．解答：解：∵大正方形的面积13，小正方形的面积是1，∴四个直角三角形的面积和是13﹣1=12，即4×ab=12，即2ab=12，a2+b2=13，∴（a+b）2=13+12=25．故选B．点评：注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．2．如图，小方格的面积是1，则图中以格点为端点且长度为5的线段有（）A．4条B．3条C．2条D．1条考点：勾股定理；勾股数．专题：网格型．分析：此题只需根据常见的勾股数3、4、5，构造以3、4为直角边的直角三角形即可．解答：解：如图所示，共4条．故选A．点评：考查了勾股数的运用．3．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（）A．2个B．3个C．4个D．6个考点：勾股定理．专题：分类讨论．分析：可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决．解答：解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个；当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．因而共有6个满足条件的顶点．故选D．点评：正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．4．如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为225和400，则正方形A的面积是（）A．175 B．575 C．625 D．700考点：勾股定理．专题：计算题．分析：根据两个正方形的面积计算正方形的边长，计算的边长即为直角三角形的两直角边，根据勾股定理可以计算斜边，即正方形A的边长，根据边长可以计算A的面积．解答：解：因为以两个直角边为边长的正方形面积为225，400，则边长为和，所以斜边长的平方=+=625，正方形A的面积=斜边长的平方，故正方形A的面积为625，故选 C．点评：本题考查了正方形各边相等，各内角为直角的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中根据勾股定理求斜边长的平方是解本题的关键．5．已知∠AOB=90°，点P在∠AOB的平分线上，OP=6，则点P到OA，OB的距离为（）A．6，6 B．3，3 C．3，3D．3，3考点：勾股定理．分析：利用角平分线的性质计算．解答：解：作PC⊥OA于C，由题意可得△OPC是等腰直角三角形，因为OP=6，根据勾股定理可得PC=3，根据角平分线的性质，点P到OB的距离为3．故选D．点评：此题主要考查角平分线的性质和勾股定理．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）A．4B．3C．5D．4.5考点：勾股定理；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，∵△DAB的面积为10，DA=5，∴DA•BC=10，∴BC=4，∴CD===3．故选B．点评：此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的理解和掌握，此题的突破点是利用三角形面积公式求出BC 的长．7．如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么半圆的面积为（）A．4πcm2B．6πcm2C．12πcm2D．24πcm2考点：勾股定理．专题：计算题．分析：先根据已知条件利用勾股定理可得三角形的直角边（即半圆的直径），再得出半径的值，然后求出圆的面积即可得出答案．解答：解；由已知条件利用勾股定理可得三角形的直角边（即半圆的直径）为：=4，那么r=2则S圆=πr2=12π，所以半圆面积为6π点评：此题主要考查学生对勾股定理和圆面积的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．8．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（）A．4B．4或34 C．16或34 D．4或考点：勾股定理．专题：分类讨论．分析：由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．解答：解：∵个直角三角形的两边长分别为3和5，∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x==4；②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x==．故选D．点评：本题考查的是勾股定理，解答此题时要注意要分类讨论，不要漏解．9．将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（）A．16 B．32 C．8πD．64考点：勾股定理．专题：几何综合题．分析：首先由面积为8π的半圆求出半圆的直径，即直角边的斜边，再根据勾股定理求出两直角边的平方和，即是这两个正方形面积的和．解答：解：已知半圆的面积为8π，所以半圆的直径为：2•=8，即如图直角三角形的斜边为：8，设两个正方形的边长分别为：x，y，则根据勾股定理得：x2+y2=82=64，即两个正方形面积的和为64．故选：D．点评：此题考查的知识点是勾股定理，关键是由面积为8π的半圆求出半圆的直径，再根据勾股定理求出这两个正方形面积的和．10．如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，若矩形ABCD的周长为30cm，则AB的长为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．7.5cm考点：勾股定理；矩形的性质．专题：计算题．分析：本题运用矩形的性质通过周长的计算方法求出矩形的边长．解答：解：矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA=OD，∠DAO=45°，所以∠BOA=∠BAO=45°，即BC=2AB，由矩形ABCD的周长为30cm得到，30=2AB+2×2AB，解得AB=5cm．故选A．点评：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．11．如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，BD=2CD，则BC=（）A．7B．8C．9D．10考点：勾股定理；角平分线的性质．专题：计算题．分析：要求BC，因为BC=BD+CD，且BD=2CD，所以求CD即可，求证△ADE≌△ADC即可得：CD=DE，可得BC=BD+DE．解答：解：∵在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC，∴CD=DE，∵BD=2CD，∴BC=BD+CD=3DE=9．故答案为：9．点评：本题考查了全等三角形的证明，解本题的关键是求证△ADE≌△ADC，即CD=DE．12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．﹣1 B．3﹣C．+1 D．﹣1考点：勾股定理；正方形的性质．分析：根据线段中点的定义求出MD，再利用勾股定理列式求出MC，即为ME的长度，然后求出DE，再根据正方形的四条边都相等可得DG=DE．解答：解：∵正方形ABCD的边长为2，M为边AD的中点，∴DM=1，MC==，∵ME=MC，∴ME=，∴DE=﹣1，∵以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，∴DG=﹣1．故选：D．点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，线段中点的定义，熟记性质是解题的关键．13．如图，每个小种房型的边长都为1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，若B、C 两点的位置分别证为（2，0）、（4，0），△ABC是钝角三角形且面积为4，则满足条件的A点的位置记法正确的是（）A．（4，4）B．（1，4）C．（2，4）D．（3，4）考点：勾股定理；三角形的面积．分析：设点A的位置记作（x，y）．根据三角形的面积公式求得△ABC的高y的值；然后利用钝角三角形的定义来确定x的值；从而作出选择．解答：解：设点A的位置记作（x，y）．∵△ABC的面积是4，BC=2，∴BC•y=4，∴y=4；又∵△ABC是钝角三角形，∴0≤x＜2；∴点A的位置可以记作（0，4）或（1，4）．故选B．点评：本题考查了勾股定理、三角形的面积．根据x的取值范围确定点A的横坐标是解答此题的关键．14．如图，正方形ABCD边长为8，E为BC边上一点，EC=2，则AE长度为（）A．14 B．10 C．13 D．11考点：勾股定理；正方形的性质．分析：根据正方形的性质可知AB=BC=8，再求出BE的长，根据勾股定理即可得到AE的长．解答：解：∵正方形ABCD边长为8，∴AB=BC=8，∵EC=2，∴BE=8﹣2=6，在Rt△ABE中，AE==10．故选：B．点评：考查了正方形的性质和勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．15．下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（）①9，12，15；②13，12，6；③9，12，14；④12，16，20A．①④B．①②C．③④D．②④考点：勾股定理的逆定理．分析：欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解答：解：①92+122=152，故是直角三角形，故正确；②62+122=180≠132，故不是直角三角形，故错误；③92+122=225≠142，故不是直角三角形，故错误；④122+162=202，故是直角三角形，正确．故选A．点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．16．直角三角形中两个直角边为a，b，斜边为c，斜边上的高为h，那么c+h，a+b，h为三边构成的三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．钝角三角形考点：勾股定理的逆定理．专题：应用题．分析：先利用勾股定理得到a，b，c，h之间的关系，再根据勾股定理逆定理判定所求的三角形是直角三角形．解答：解：根据题意可知：a2+b2=c2，ab=ch，∵（c+h）2=c2+2ch+h2，（a+b）2=a2+2ab+b2，∴（a+b）2+h2=（c+h）2，∴三角形是直角三角形．故选A．点评：主要考查了勾股定理逆定理的运用．要会熟练利用勾股定理的逆定理来判定直角三角形．17．△ABC的三边满足，则△ABC为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．分析：由题意可知a+b=50，a﹣b=32，c=40，就可求出a、b长分别为41，9，而412=402+92，所以△ABC为直角三角形．解答：解：由题意可知a+b=50，a﹣b=32，c=40，∴a=41，b=9∵412=402+92∴△ABC为直角三角形．故选A．点评：本题考查了勾股定理的应用，以及非负数的性质，是一道综合性的题目，难度中等．18．下列说法中，正确的有（）①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形②三边分别是1，，3的三角形是直角三角形③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形④三个内角之比为1：2：3的三角形是直角三角形A．1个B．2个C．3个D．4个考点：勾股定理的逆定理；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．专题：推理填空题．分析：分别根据等边三角形及直角三角形的判定定理解答即可．解答：解：①正确，符合等边三角形的判定定理；②正确，因为12+32=（）2，所以三边分别是1，，3的三角形是直角三角形；③正确，根据矩形对角线的性质的逆命题；④正确，三个内角之比为1：2：3的三角形的各个角的度数分别是30°、60°、90°，所以三个内角之比为1：2：3的三角形是直角三角形．故选D．点评：本题主要考查学生对等边三角形，直角三角形的判定定理和勾股定理的逆定理等知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题．19．若一个三角形的三边长分别是3，6，，则最小角与最大角依次是（）A．30°，60°B．30°，90°C．60°，90°D．45°，90°考点：勾股定理的逆定理；含30度角的直角三角形．分析：先根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，从而得到最大角的度数，再根据含30度角的直角三角形的性质得到最小角的度数．解答：解：∵32+（3）2=62，∴三角形是直角三角形，∴最大角是90°，∵3×2=6，∴最小角是30°．故选B．点评：本题考查了勾股定理的逆定理和含30度角的直角三角形的性质．20．如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为（）A．24平方米B．26平方米C．28平方米D．30平方米考点：勾股定理的逆定理；勾股定理．分析：连接AC，利用勾股定理可以得出△ACD和△ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．解答：解：如图，连接AC．由勾股定理可知AC===5，又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2∴△ABC是直角三角形故所求面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积=×5×12﹣×3×4=24（m2）．故选A．点评：考查了直角三角形面积公式以及勾股定理的应用．21．▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=，AO=2，OB=1，则▱ABCD为（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形考点：勾股定理的逆定理．专题：探究型．分析：先根据题意画出图形，再根据AB=，AO=2，OB=1可判断出△AOB的形状，再根据菱形的判定定理即可解答．解答：解：如图所示，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=，AO=2，OB=1，∵（）2=22+12，即AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．故选B．点评：本题考查的是勾股定理的逆定理及菱形的判定定理，根据勾股定理的逆定理判断出△AOB的形状是解答此题的关键．22．如图，正方形组成的网格中标出AB、CD、DE、AE四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．A B、CD、AE B．A E、ED、CD C．A E、ED、AB D．A B、CD、ED考点：勾股定理的逆定理；勾股定理；正方形的性质．分析：根据勾股定理分别求得四条线段的平方，再进一步根据勾股定理的逆定理进行分析．解答：解：根据勾股定理，得AB2=9+9=18，CD2=4=9=13，DE2=1=4=5，AE2=1+9=10，所以AB2=CD2+DE2，根据勾股定理的逆定理，则其中能构成一个直角三角形三边的线段是AB、CD、ED．故选D．点评：此题综合考查了勾股定理及其逆定理．23．下列命题中不正确的是（）A．有两个角相等的三角形是等腰三角形B．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半C．等腰三角形两底角相等D．有一个角的平分线平分对边的三角形一定是等腰直角三角形考点：等腰直角三角形；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：根据等腰三角形的性质和判定即可求出答案．解答：解：由等腰三角形的判定知：A、C正确；B、设等腰三角形的底角为x，则等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为：90°﹣x，顶角为：180°﹣2x=2（90°﹣x），故B正确；D、有一个角的平分线平分对边的三角形不一定是等腰直角三角形，故D错误．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质，锻炼了学生灵活运用所学知识的能力是一道好题．24．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④=1．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．分析：①根据：∠CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ECA=165°，从而得证结论正确；②根据CE⊥CD，∠ECA=165°，利用SAS求证△ACD≌△BCE即可得出结论；③根据∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，利用等腰三角形的性质和△ACD≌△BCE，求出∠CBE=30°，然后即可得出结论；④过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．由∠CAD=30°，可得CM=AC，求证△CMD≌△CND，可得CN=DM=AC=BC，从而得出CN=BN．然后即可得出结论．解答：解：①∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，∴∠ACD=∠ADC=（180°﹣30°）=75°，∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°，∴∠ECA=165°∴①正确；②∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已证），∴∠BCE=∠ECA﹣∠ACB=165﹣90=75°，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=BC，∴②正确；③∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，∴∠CAB=∠ABC=45°∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=45﹣30=15°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=30°，∴∠ABF=45+30=75°，∴∠AFB=180﹣15﹣75=90°，∴AD⊥BE．④证明：如图，过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．∵∠CAD=30°，且DM=AC，∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°，∴∠NCD=90°﹣∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC﹣∠ACD=15°，在△CMD和△CND中，，∴△CMD≌△CND，∴CN=DM=AC=BC，∴CN=BN．∵DN⊥BC，∴BD=CD．∴④正确．所以4个结论都正确．故选D．点评：此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题．25．根据指令[s，A]（s≥0，0°＜A≤360°），机器人在平面上完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向行走s个单位．现机器人在平面直角坐标系的原点，且面对x轴的正方向，如果输入指令为[1，45°]，那么连续执行三次这样的指令，机器人所在位置的坐标是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（0，1+）考点：等腰直角三角形；勾股定理；旋转的性质．专题：计算题；新定义．分析：根据题意得到指令[1，45°]表示首先逆时针旋转45°，然后朝其面对的方向行走1个单位到C，第二次道B点，第三次到A点，由此即可求出机器人所在位置的坐标．解答：解：如图所示：机器人所在的位置正好在y轴的A点上，过B作BM⊥OA于M，过C作CN⊥OA于N，根据题意得到四边形ABCO是等腰梯形，∵AB=1，∠ABM=45°，由勾股定理得：AM=BM=，同理CN=ON=，MN=CB=1，∴OA=+1+=1+，∴A的坐标是（0，1+），故选D．点评：本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形等知识点的应用，关键是根据题意画出图形，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，主要考查了学生的阅读问题的能力．26．如果一个三角形的三边之比为，那么最小边所对的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：等腰直角三角形．专题：计算题．分析：根据勾股定理的逆定理进行解答即可．解答：解：设三角形的三边分别为x、x、x，∴x2+x2=（）2，∴此三角形为直角三角形，∴最大角为90°，∵三边的比为，∴此三角形为等腰直角三角形，∴最小角为45°．故选B．点评：本题考查的是等腰直角三角形的知识及勾股定理的逆定理，即若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形．27．一个等腰直角三角形的斜边为，则其面积为（）A．B．8C．16 D．考点：等腰直角三角形．专题：计算题．分析：设等腰直角三角形的两直角边为x，由勾股定理得出方程x2+x2=，求出x，再根据三角形的面积公式求出即可．解答：解：设等腰直角三角形的两直角边为x，则由勾股定理得：x2+x2=，解得：x=4，即等腰直角三角形的面积是：×4×4=8，故选B．点评：本题考查了等腰直角三角形性质、勾股定理、三角形的面积等知识点，关键是求出等腰直角三角形的直角边，用了方程思想．28．一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端距墙脚2.4米．那么梯足离墙脚的距离是（）米．A．0.7 B．0.9 C．1.5 D．2.4考点：勾股定理．分析：梯子恰好与竖直的墙，地面组成一个直角三角形，由勾股定理可得梯足离墙角的距离．解答：解：如图所示，AB为梯子的长，AC为梯子的顶端距墙脚的距离，BC为梯足离墙脚的距离．在Rt△ACB中，AB=2.5米，AC=2.4米，由勾股定理得，BC====0.7米．所以梯足离墙脚的距离为：0.7米，故选：A．点评：正确理解梯子与墙、地面构成一个直角三角形，已知斜边和一个直角边的长，用勾股定理求出另一直角边．29．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B，C三点都在小方格的顶点上，则点C到AB所在直线的距离等于（）A．B．C．D．考点：勾股定理；点到直线的距离．专题：计算题．分析：连接AB，BC，AC可得△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形面积计算方法计算C到AB的距离（过C 作AB边上的高）．解答：解：连接AB，BC，AC．找到AC中点D，连接BD．设C到AB的距离为h，小方格边长为1，∴AD=，AB=BC=，∴△ABC为等腰三角形，∴BD⊥AC，且BD=△ABC的面积为S=AC•BD=4．又∵△ABC面积=×AB×h=4，∴h==．故选B．点评：本题考查了勾股定理的运用，考查了等腰三角形面积的计算，根据面积法求C到AB边的距离h是解题的关键．30．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AC：AB=（）A．1：2：3 B．1：4：9 C．1：：D．1：：2考点：勾股定理；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形．分析：根据三角形的内角和定理，可判断此三角形为直角三角形，再利用30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求解．解答：解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．设BC=x，则AB=2x，根据勾股定理，得AC=x，∴BC：AC：AB=1：：2．故选D．点评：注意这一结论：30°的直角三角形中，三边从小到大的比是1：：2．。
直角三角形与勾股定理练习题含参考答案（第3 题）直角三角形与勾股定理练习题含参考答案选择题1、(浙江杭州模拟14)如图折叠直角三角形纸片的直角，使点 C 落在斜边AB 上的点 E 处.已知AB= ,∠B=30°,则DE的长是(). A.6B.4C. D.2答案：B 2.（湖北崇阳县城关中学模拟）直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（）A.5B.C.7D.答案：A3 ．（年杭州市上城区一模）梯形ABCD 中AB ∥ CD ，∠ ADC +∠ BCD =90°，以AD 、AB 、BC 为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S 1 、S2 、S3 ，且S 1 + S 3 =4 S 2 ，则CD =（）A.2.5 ABB.3 ABC.3.5 ABD.4 AB 答案：B4．（年浙江省杭州市模2）直角三角形两直角边和为7，面3 83 4 3 积为6，则斜边长为（）A.5B.C.7D.答案：A填空题1、（年北京四中三模）如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5cm，则正方形A、B、C、D 的面积和是．答案：25cm22．（2010－学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为3：4：5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S A ，S B ，已知S A +S B =13，则纸片的面积是. B A C D答案：36 3、(浙江杭州模拟15)如图，将含30°角的直角三角尺ABC绕点B 顺时针旋转150°后得到△EBD，连结CD.若AB=4cm.则△BCD 的面积为．答案：4．(年宁夏银川)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm ，则阴影部分的面积_________cm2 ．答案：5.(浙江省杭州市8 模)如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得到图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________；23cmAB249第2 题图S AS B第4 题图A C E D B F 30°45°图2 A B C 图1 A B C(第5 题图)答案:76 6、（年浙江杭州二模）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12 米，那么该古城墙的高度是米. 答案：87、（年浙江杭州八模）如图，小明在A 时测得某树的影长为3米，B 时又测得该树的影长为12 米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____米. . 答案：6AB PDC第6 题图（第7 题）A 时B 时图2 A BC 图1 A B C第8 题图8、（年浙江杭州八模）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC =6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得到图2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________；答案：76 9 9 .(浙江省杭州市党山镇中年中考数学模拟试卷)如图，将边长为的等边△ ABC 折叠，折痕为DE ，点B 与点F 重合，EF 和DF 分别交于点M 、N ，DF AB ，垂足为D ，AD＝1，则重叠部分的面积为. 答案：B B 组1．（年杭州三月月考）将一副三角板按如图1 位置摆放,使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合.已知AB = AC =8cm,将△ MED 绕点 A ( M )逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积是▲cm2答案：3 3AC 3 934 4+3 16 48__A图2图1A(M)__BA(M)(第1 题)2．（年重庆江津区七校联考一模）一元二次方程的两根恰好是一直角三角形的两边长，则该直角三角形的面积为。
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解读：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2 =52－32 =16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解读：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解读：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC 交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
专题03直角三角形（十大题型+跟踪训练）题型一：直角三角形的两个锐角互余1．如图，在Rt ABC 中，C ∠＝90°，A ∠＝55°，则B ∠的度数为（）A ．25°B ．35°C ．45°D ．55°【答案】B 【分析】根据直角三角形的两锐角互余求解即可．【解析】解：90C ∠=︒ ，90A B ∴∠+∠=︒，55A ∠=︒ ，35B ∴∠=︒．故选：B ．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形的两锐角互余”是解题的关键．2．直角三角形的一锐角是50°，那么另一锐角是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】A【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可求解．【解析】解：∵直角三角形的一锐角是50°，∴另一锐角是905040︒-︒=︒．故选A ．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，掌握直角三角形的性质是解题的关键．3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，则与∠A 互余的角有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A 互余的角．【解析】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高线，∴∠A ＋∠B ＝90°，∠A ＋∠ACD ＝90°，∴与∠A 互余的角有2个，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．题型二：勾股定理的逆定理4．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A ．三内角之比为1∶2∶3B ．三边长的平方之比为1∶2∶3C ．三边长之比为3∶4∶5D ．三内角之比为3∶4∶5【答案】D【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．【解析】A 、设三个内角的度数为n ，2n ，3n 根据三角形内角和公式23180n n n ++= ，求得30n = ，所以各角分别为30°，60°，90°，故此三角形是直角三角形；B 、三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；C 、设三条边为3n ，4n ，5n ，则有()()()222345n n n +=，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D 、设三个内角的度数为3n ，4n ，5n ，根据三角形内角和公式345180n n n ++= ，求得15n = ，所以各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．5．在ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，下列条件中，能判断ABC 是直角三角形的有（）个．①3a =，4b =，5c =；②()()2c b c b a +-=；③123A B C ∠∠∠=::::；④9a =，40b =，41c =．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】利用勾股定理的逆定理可以判断①④；根据()()2c b c b a +-=即可推出222+=a b c 即可判断②；利用三角形内角和等于180度，即可求出∠A =30°，∠B =60°，∠C =90°，即可判断③．【解析】解：∵在ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，∴当3a =，4b =，5c =时，222+=a b c ，∴此时△ABC 是直角三角形，故①正确；∵()()2c b c b a +-=，∴222c b a -=即222+=a b c ，∴此时△ABC 是直角三角形，故②正确；∵123A B C ∠∠∠=::::，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠A =30°，∠B =60°，∠C =90°，∴此时△ABC 是直角三角形，故③正确；∵9a =，40b =，41c =，∴222222940168141a b c +=+===，40b =，41c =，∴此时△ABC 是直角三角形，故④正确；故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理．6．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（）A ．如果a 2=b 2−c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠A =90°B ．如果∠A :∠B :∠C =1:2:3，那么△ABC 是直角三角形C ．如果222::9:16:25a b c =，那么△ABC 是直角三角形D ．如果A B C ∠-∠=∠，那么△ABC 是直角三角形【答案】A【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【解析】解：A 、如果a 2=b 2-c 2，即b 2=a 2+c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠B =90°，选项错误，符合题意；B 、如果∠A ：∠B ：∠C =1：2：3，由∠A +∠B +∠C =180°，可得∠A =90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；C、如果a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．7．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（）A．5组B．4组C．3组D．2组【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形的三边关系为：a2+b2=c2时，它是直角三角形，由此可解出本题．【解析】①中有92+122=152，可以构成直角三角形；②中有72+242=252，可以构成直角三角形；③中(32)2+(42)2≠(52)2，不构成直角三角形；④中有(3a)2+(4a)2=(5a)2，可以构成直角三角形；m−n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2，可以构成直角三角形；⑤中有(2所以可以构成4组直角三角形.故选B.【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，只要计算出两数的平方和等于第三个数的平方即可．8．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）A．B．C ．D ．【答案】C 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解析】解：A 、22272425+=，222152024+≠，222222025+≠，故A 不正确，不符合题意；B 、22272425+=，222152024+≠，故B 不正确，不符合题意；C 、22272425+=，222152025+=，故C 正确，符合题意；D 、22272025+≠，222241525+≠，故D 不正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．题型三：勾股定理的逆定理的应用9．已知某开发区有一块四边形空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A =90°，∠CBD =90°，DB =5m ，CD =13m ，DA =4m ，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入?【答案】需要投入资金为7200元【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，连接BD ，在直角三角形CBD 中由勾股定理可求BC 的长，在直角三角形ABD 中可求得BA 的长，由此看，四边形ABCD 由Rt △ABD 和Rt △DBC 构成，则容易求解．【解析】证明：连接BD题型四：勾股定理的折叠问题10．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【点睛】本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．11．如图，在△ABC纸片中，∠ABC=90°，将其折叠，使得点C与点A重合，折痕为DE，若AB=3cm，AC=5cm，则△ABE的周长为（）A．4cm B．6cm C．7cm D．8cm12．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC 的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）A．2B．103C．83D．4【答案】B【分析】根据勾股定理求出AB的长，利用翻折得到AE=AB=10，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到题型五：勾股定理的逆定理的网格问题13．如图，在44⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD BC⊥于点D，则AD的长为（）A．1B．2C．32D．73【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．14．如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型六：直角三角形全等的判定15．判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等【答案】D【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．【解析】解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．题型七：直角三角形全等的判定的条件或理由16．如图，已知AC ⊥BD ，垂足为O ，AO ＝CO ，AB ＝CD ，则可得到△AOB ≌△COD ，理由是（）A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS 【答案】A 【分析】由AC ⊥BD ，可得∠AOB =∠COD =90°，根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得答案．【解析】解：由AC ⊥BD ，可得∠AOB =∠COD =90°，∴△AOB 和△COD 是直角三角形，AO ＝CO ，AB ＝CD ，直角边和斜边对应相等，所以用的是斜边和直角边对应相等的方法判定的△AOB ≌△COD ，故选A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，准确掌握方法的适用情况是解题的关键．17．如图，CD AB ⊥于点D ，EF AB ⊥于点F ，CD EF =．要根据“HL ”证明Rt ACD Rt BEF △≌△，则还需要添加的条件是（）A ．A B∠=∠B ．C D ∠=∠C ．AC BE =D ．AD BF=【答案】C 【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．【解析】解：∵CD ⊥AB 于点D ，EF ⊥AB 于点F ，∴∠ADC ＝∠BFE ＝90°，∵CD ＝EF ，∴当添加AC ＝BE 时，根据“HL ”判断Rt △ACD ≌Rt △BEF ．故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．18．如图，AD 为ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且有,BF AC FD CD ==，则BFD ACD ≌△△的理由根据是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．HL 【答案】D 【分析】根据AD 是三角形的高，得到∠BDF =∠ADC =90°，故可根据HL 可以判定．【解析】∵AD 是三角形的高，∴∠BDF =∠ADC =90°，∵BF =AC ，FD =CD ，∴BFD ACD ≌△△（HL ），故选D ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握高的意义和直角三角形全等的判定定理是解题的关键．19．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON ，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB ．做法中用到证明△OMP 与△ONP 全等的判定方法是（）A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．HL【答案】D 【分析】根据直角三角形全等的判定HL 定理，可证△OPM ≌△OPN ．【解析】解：∵OM =ON ，OP =OP ，∠OMP =∠ONP =90°，∴△OPM ≌△OPN所用的判定定理是HL ．故选D.【点睛】本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL 定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．20．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（）A ．AB ＝2cm ，BC ＝6cm ，AC ＝3cmB ．BC ＝3cm ，AC ＝5cm ，∠B ＝90°C ．∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°D ．AB ＝4cm ，AC ＝6cm ，∠C ＝30°【答案】B【分析】根据三角形三边的关系对A 进行判断；根据全等三角形的判定方法对B 、C 、D 进行判断．【解析】解：A 、因为AB +AC ＜BC ，三条线段不能组成三角形，所以A 选项不符合题意；B 、BC ＝3cm ，AC ＝5cm ，∠B ＝90°，根据直角三角形HL 可判断此三角形为唯一三角形，所以B 选项符合题意；C 、利用∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°根据AAA 不能确定三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以C 选项不符合题意；D 、利用AB ＝4cm ，AC ＝6cm ，∠C ＝30°根据SSA ，不能判断两个三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法——SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．题型八：利用直角三角形全等的判定求三角形中的元素21．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，DE AB ⊥于点D ，BC BD =．如果3cm AC =，那么AE DE +=（）A ．2cmB ．4cmC ．3cmD ．5cm【答案】C 【分析】通过HL 判定定理可证Rt∆BDE ≅Rt∆BCE ，得到ED=EC ，即可求解．【解析】在Rt BCE 和Rt BDE △中，BC BD =，BE BE =，∴()Rt Rt HL BCE BDE ≌△△，∴ED EC =，∴3cm AE DE AE EC AC +=+==．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意:直角三角形全等的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL ，全等三角形的对应边相等.22．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ，下列结论中不一定成立的是（）A ．PA PB=B ．PO 平分APB ∠C ．=OA OB D ．AB 垂直平分OP 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的判定和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．【解析】解：对A 、B 、C 选项，∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，∴PA PB =，∵在Rt PAO ∆和Rt PBO ∆中==PA PB OP OP ⎧⎨⎩，∴Rt Rt OPA OPB ∆∆≌，∴APO BPO ∠=∠，=OA OB ，∴PO 平分APB ∠，故A 、B 、C 正确，不符合题意；D ．∵PA PB =，=OA OB ，∴OP 垂直平分AB ，但AB 不一定垂直平分OP ，故D 错误，符合题意．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，根据题意证明Rt Rt OPA OPB ∆∆≌，是解题的关键．题型九：直角三角形全等的判定的综合23．如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为A 、B ，下列四个结论正确的个数是（）①PA =PB ②PO 平分∠APB ③OA =OB ④OP 垂直平分A B ．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据角平分线的性质可得PA ＝PB ，然后依据HL 证明Rt △AOP ≌Rt △BOP ，则OA ＝OB ，∠OPA ＝∠OPB ，进而可得OP 是AB 的垂直平分线，则结论可一一判断．【解析】解：∵OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA 于A ，PB ⊥OB 于B ，∴PA ＝PB ，故①正确；在Rt △PAO 和Rt △PBO 中，PA PB OP OP =⎧⎨=⎩，∴Rt △PAO ≌Rt △PBO （HL ），∴OA ＝OB ，∠OPA ＝∠OPB ，故②③正确；∵OA ＝OB ，AP ＝BP ，∴OP 是AB 的垂直平分线，故④正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．24．如图，ABC 中，ACF ∠、EAC ∠的角平分线CP 、AP 交于点P ，延长BA 、BC ，PM BE ⊥，PN BF ⊥．则下列结论中正确的个数（）①BP 平分ABC ∠；②2180ABC APC ∠+∠=︒；③2CAB CPB ∠=∠；③PAC MAP NCP S S S +=△△△．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个25．如图，ABC 中，60BAC BAC ∠=︒∠，的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于E ，DF AC ⊥于F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分EDF ∠;④2AB AC AE +=，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个在Rt BED △和Rt CFD 中DE DF BD DC =⎧⎨=⎩，Rt Rt BED CFD ∴≅△△．BE FC ∴=．AB AC AE BE AF FC∴+=-++又= AE AF ，BE FC =，2AB AC AE ∴+=．故④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．题型十：直角三角形全等的判定的相关几何证明26．如图，90A D ∠=∠=︒，AE DF =，EC FB =，求证：AB CD =．【答案】证明见解析【分析】利用HL 证明RtΔRtΔEAC FDB ≌，即可得到结论．【解析】证明：∵90A D ∠=∠=︒，在RtΔEAC 和ΔRt FDB 中，∵EC FB =，AE DF =，∴RtΔΔEAC Rt FDB ≌(HL )，∴AC DB =，AC BC DB BC -=-，即AB CD =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．27．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD △和ACD 的高．(1)请说明AE AF =的理由；(2)若2AB AC -=，1CF =，求线段BE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)3BE =【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到DE DF =，然后证明出Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△即可得到AE AF =；（2）由AE AF =得到AB BE AC CF -=-，然后代入求解即可．【解析】（1）解：∵DE 、DF 分别是ABD △和ACD 的高，∴DE AB ⊥，DF AC⊥∵AD 是ABC 的角平分线，∴DE DF =，在Rt ADE △和Rt ADF 中，∵AD AD DE DF =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△，∴AE AF =；（2）解：∵AE AF =，即AB BE AC CF -=-，∴213BE AB AC CF =-+=+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．28．如图所示，点M 是线段AB 上一点，ED 是过点M 的一条直线，连接AE BD 、，过点B 作BF AE ∥交ED 于F ，且EM FM =．(1)若5AE =，求BF 的长；(2)若90AEC AC DB ∠=︒=，，求证：ACE D ∠=∠．【答案】(1)5BF =(2)见解析【分析】（1）根据题意证明(AAS)AEM BFM ≌ ，根据全等三角形的性质可得结果；（2）根据题意证明()Rt Rt HL AEC BFD ≌ ，根据全等三角形的性质可得结果．【解析】（1）解：∵BF AE ∥，∴MFB MEA MBF MAE ∠=∠∠=∠，，∵EM FM =，∴(AAS)AEM BFM ≌ ，∴AE BF =，∵5AE =，∴5BF =；（2）∵BF AE ∥，∴MFB MEA ∠=∠，∵90AEC ∠=︒，∴90MFB ∠=︒，∴90BFD ∠=︒，∴90BFD AEC ∠=∠=︒，在Rt AEC △和Rt BFD 中，∵AC BD AE BF ==，，∴()Rt Rt HL AEC BFD ≌ ，∴ACE D ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．一、单选题1．如图，已知AC BD ⊥，垂足为O ，AO CO =，AB CD =，则可得到AOB COD ∆≅∆，理由是()A ．HLB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可．【解析】解:∵AC BD⊥∴∠AOB=∠COD=90°在Rt △AOB 和Rt △COD 中AO CO AB CD=⎧⎨=⎩∴AOB COD ∆≅∆（HL ）故选A ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定定理，掌握用HL 判定两个三角形全等是解决此题的关键．2．下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（）A ．斜边相等B ．面积相等C ．两对锐角对应相等D ．两对直角边对应相等【答案】D【解析】试题分析：当两直角边对应相等可以根据SAS 来进行判定三角形全等，或者也可以根据一条直角边和一条斜边对应相等，根据HL 进行判定.考点：直角三角形的全等3．如图，点C ，E 分别在BD ，AC 上，AC ⊥BD ，且AB ＝DE ，AC ＝CD ，则下列结论错误的是（）A ．AE ＝CEB ．∠A ＝∠DC ．∠EBC ＝45°D ．AB ⊥DE【答案】A 【分析】由“HL”可证Rt △ABC ≌Rt △DEC ，可得∠A=∠D ，BC=CE ，可得∠EBC=45°，由余角的性质可证AB ⊥DE ，利用排除法可求解．【解析】如图，延长DE 交AB 于点H ，∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ECD ＝90°，在Rt △ABC 和Rt △DEC 中，AB DE AC CD =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABC ≌Rt △DEC （HL ），∴∠A ＝∠D ，BC ＝CE ，∴∠EBC ＝45°，∵∠A +∠ABC ＝90°，∴∠D +∠ABC ＝90°，∴AB ⊥DE ，∴B ，C ，D 正确；故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明Rt △ABC ≌Rt △DEC 是本题的关键．A ．122+【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出22CD AD AD +=即可．【解析】解：如图所示，连接在Rt ABC △中，由勾股定理得∵4CD DA =，∴22CD AD +=∴ACD 是直角三角形，且∴ABCD S S =四边形故选B ．5．如图，在Rt 连接CF ，使CFA ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．无法计算【答案】B 【分析】证明Rt △ACB ≌Rt △FEC ，得到AC=10cm EF =，EC=4cm BC =，即可求出AE 的长度.【解析】∵EF AC ⊥，∴∠CEF=90ACB ∠=︒，在Rt △ACB 和Rt △FEC 中，AB FC BC CE =⎧⎨=⎩，∴Rt △ACB ≌Rt △FEC ，∴AC=10cm EF =，EC=4cm BC =，∴AE=AC-EC=6cm ，故选：B.【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理，根据题意准确确定对应相等的条件正确三角形全等是解题的关键.6．如图，在ABC 中，90BAC ∠= ，30C ∠= ，AD BC ⊥，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，EF AC ∥交BC 于点F ，下列结论不成立．．．的是（）A ．ABD DAC∠=∠B ．C BAD ∠=∠C ．2AC AD =D ．2AD DF=【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，直角三角形中30︒角所对的直角边等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质等知识．分别求出60ABD DAC ∠=∠=︒，得到A 选项成立；30C BAD ∠=∠=︒，得到B 选项成立；根据角三角形中30︒角所对的直角边等于斜边的一半，得到2AC AD =，得到C 选项成立；证明BE FE =，BD DF =，再证明2AB BD =，即可得到2AB DF =，即可证明2AD DF ≠，得到D 选项错误．A ．正南方向B ．正东方向【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据题意可求得【解析】解：由图可得：500,AC AB =∴222AC AB BC +=，∴CAB △是直角三角形，∴彬彬家C 在学校A 的正北方向，故选：D ．8．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形小正方形EFGH ．已知AM 为Rt △ABMA ．4个B ．3个【答案】B 【分析】首先过A 作AE ⊥BC ，当D 而可得BE 的长，利用勾股定理计算出【解析】解：如图：过A 作AE ⊥BC ∵在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，∴当AE ⊥BC ，EB =EC =4，∴AE =2222543AB BE -=+=，∵D 是线段BC 上的动点(不含端点B ，∴3⩽AD <5，∴AD =3或AD =4，当AD =4时，在靠近点B 和点C 端各一个，故选B .【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的计算.10．如图，在ABC 和ADE V 中，AB AC AD AE AD AB ==<，，，49BAC DAE ∠=∠=︒，连接CE BD ，，延长BD 交CE 于点F ，连接AF ．下列结论：①BD CE =；②AD BD =；③49BFC ∠=︒；④AF 平分BFE ∠．其中正确的结论个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】先证明BAD CAE ∠=∠，再证明BAD CAE ≌即可得到BD CE =，故①符合题意；记AC 、BF 的交点为O ，结合三角形全等的性质以及三角形内角和定理可得49OFC BAO ∠=∠=︒，故③符合题意；根据D 在BF 上可以是个动点，仍然满足ADE V 中，AD AE =，49DAE ∠=︒，可得AD 不一定等于BD ，故②不符合题意；作AK BD ⊥于K ，作AH CE ⊥于H ，由全等三角形的性质可得AK AH =，再证明Rt Rt AKF AHF ≌，即可得到④符合题意．【解析】解：49BAC DAE ∠=∠=︒ ，BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BAD CAE ∴△≌△，BD CE ∴=，故①正确，符合题意；如图，记AC 、BF 的交点为O ，，BAD CAE △≌△，ABD ACE ∴∠=∠，AOB COF ∠∠= ，180ABO BAO AOB ∠+∠+∠=︒，180OCF CFO COF ∠+∠+∠=︒，49OFC BAO ∴∠=∠=︒，故③正确，符合题意；D 在BF 上可以是个动点，仍然满足ADE V 中，AD AE =，49DAE ∠=︒，AD ∴不一定等于BD ，故②错误，不符合题意；如图，作AK BD ⊥于K ，作AH CE ⊥于H ，，则90AKF AHF ∠=∠=︒，BAD CAE △≌△，∴由全等三角形的对应高相等可得：AK AH =，在Rt AKF △和Rt AHF △中，AK AH AF AF=⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL AKF AHF ∴ ≌，AFD AFH ∴∠=∠，FA ∴平分BFE ∠，故④正确，符合题意；综上所述，正确的为①③④，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上性质，添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题=【答案】AB CD【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据条件即可得到答案．【解析】解：Rt△根据“HL”证明Rt故答案为：AB=13．如图，B∠=【答案】50°【解析】略14．如图，点D在则∠EDF＝．【答案】90【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先根据平方的三角形是直角三角形【解析】解：∵DE⊥【答案】5或10【分析】分两种情况：当【解析】分两种情况：当AQ=5时，∵5BC=，∴AQ=BC，∵AD⊥AC，∴∠QAP=∠ACB=90︒，∵AB=PQ，≌△PQA（HL）；∴ABC当AQ=10时，AC=，∵10∴AQ=AC，∵AD⊥AC，【答案】65°【答案】25 8【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接得DE AE EF==，根据四边形90BFE D A∠=∠=∠=︒，利用8CG DG DC x=-=-，BG222CG BC BG+=，进行计算即可得．【解析】解：如图所示，连接∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG=⎧⎨=⎩，∴(Rt Rt HL EFG EDG V V ≌∴8FG DG ==，三、解答题19．如图，A 、E 、F 、C 在一条直线上，AF ＝CE ，过E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AB ＝CD ，求证：(1)△ABF ≌△CDE(2)BG ＝DG【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用HL 证明△ABF ≌△CDE ，即可；（2）根据Rt ABF Rt CDE ≌，可得BF DE =，利用AAS 证明DEG BFG ≌，即可求证．【解析】（1）证明：∵,DE AC BF AC ⊥⊥，∴90AFB DEC ∠=∠=︒，在Rt ABF 和Rt CDE △中，90AFB DEC ∠=∠=︒，AB CD AF CE =⎧⎨=⎩，∴()Rt ABF Rt CDE HL ≌；（2）证明：∵Rt ABF Rt CDE ≌，∴BF DE =，在DEG △和BFG 中，DGE BGF DEG BFG DE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DEG BFG AAS △≌△，∴BG DG =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．20．如图，AB ＝AC ，直线l 过点A ，BM ⊥l ，CN ⊥l ，垂足分别为M ，N ，且BM ＝AN ．(1)求证：∠BAM =∠ACN ；(2)求证：∠BAC ＝90°．【答案】(1)见解析(2)∠BAC ＝90°【分析】（1）由题意知∠AMB ＝∠CNA ＝90°，证明()Rt AMB Rt CNA HL ≌即可；（2）由()Rt AMB Rt CNA HL ≌，可知∠BAM ＝∠ACN ，根据∠CAN +∠ACN ＝90°，可得∠CAN +∠BAM ＝90°，进而结论得证．【解析】（1）证明：∵BM ⊥直线l ，CN ⊥直线l ，∴∠AMB ＝∠CNA ＝90°，在Rt AMB 和Rt CNA △中，∵AB AC BM AN =⎧⎨=⎩，∴()Rt AMB Rt CNA HL ≌，∴∠BAM ＝∠ACN ；（2）证明：∵()Rt AMB Rt CNA HL ≌，∴∠BAM ＝∠ACN ，∵∠CAN +∠ACN ＝90°，∴∠CAN +∠BAM ＝90°，∴1809090BAC ∠=︒-︒=︒，得证．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．如图，在下面33⨯的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，在现有网格中，以格点为顶点画图．(1)在下图中，画一个正方形ABCD ，使它的面积为5；(2)在下图中，面一个直角三角形DEF ．使它的三边长都是无理数且面积为2．【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】本题考查网格作图，勾股定理，勾股定理逆定理．（1）根据题意画出一个边长为（2）根据题意，画出一个边长均为无理数的直角三角形即可．掌握勾股定理，勾股定理逆定理，是解题的关键．【解析】（1）解：如图所示，正方形由图可知，正方形的边长为：∴正方形ABCD 的面积为（2）如图所示：直角三角形有勾股定理得：2,DE =∴222DE EF DF +=，∴DEF 为直角三角形．22．探究题：如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，其底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从点B 出发向点C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当点P 运动多长时间时，点P 与顶点A 的连线PA 与腰垂直．【答案】当点P 运动的时间为7s 或25s 时，点P 与顶点A 的连线与腰垂直．【分析】利用勾股定理求出AD 的长，再利用勾股定理逆定理即可证明垂直.【解析】（1）过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵AB ＝AC ，BC ＝8cm ，∴BD ＝CD ＝BC ＝4cm.由勾股定理，得AD ＝＝3(cm)．分两种情况：(1)如图，当点P 运动t 秒后有PA ⊥AC （P 在线段BD 上）时，∵AP 2＝PD 2＋AD 2＝PC 2－AC 2，∴PD 2＋32＝(PD ＋4)2－52，∴PD ＝2.25cm ，∴BP ＝4－2.25＝1.75，∴0.25t ＝1.75，解得t ＝7.(2)当点P 运动t 秒后有PA ⊥AB （P 在线段CD 上）时，同理可得PD ＝2.25，∴BP ＝4＋2.25＝6.25，∴0.25t ＝6.25，解得t ＝25.综上所述，当点P 运动的时间为7s 或25s 时，点P 与顶点A 的连线与腰垂直．【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的应用，熟悉概念是解题关键.23．如图，ABC 中，P 为AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且PA CQ =，过点P 作PM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN AC ⊥交AC 的延长线于点N ，且PM QN =，连PQ 交AC 边于D ．求证：(1)APM CQN ≌△△；(2)12DM AC =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质（1）由“HL ”可证Rt APM （2）先由（1）可知AM =然后由线段的和差即可得证．【解析】（1）证明：PA Rt Rt APM CQN ∴ ≌(HL （2）由（1）已证：APM △AM CN∴=(1)猜想两支架AC 与BC 的位置关系并说明理由；(2)若FG 的长度为80cm,60EHG ∠=︒，求购物车把手F 到【答案】(1)垂直，见解析(2)112.5cm【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含（1）根据题意可得222AC BC AB +=，根据勾股定理的逆定理即可得出（2）过点F 作AB 的垂线，交,DG AB 的延长线分别于点Rt FGP △中，80FG =勾股定求得403FP =，根据等面积法，即可求解．【解析】（1）解：在ABC 中．∵72,54,90AC BC AB ===∵222725490+=，∴90ACB ∠=︒答：两支架AC 与BC 为垂直的位置关系（2）过点F 作AB 的垂线，交,DG AB 的延长线分别于点∵EH DG ∥60EHG ∠=︒∴60FGP ∠=︒求证：（1）111 +=2(1)求m 和b 的值；(2)求证：OAB 是直角三角形；(3)直线1l 上是否存在点D ，使得45ODB ∠=︒，若存在，请求出点【答案】(1)2m =，132b =(2)见解析，(3)存在，()15，或()51-，∴()22313322DB m m ⎛=-+-+- ⎝∴()()22133134m -=，解得，1m =或5m =，∴存在，D 点坐标为()15，或(5【点睛】本题考查了一次函数解析式，勾股定理，勾股定理的逆定理，等角对等边，利用平方根解方程．熟练掌握一次函数解析式，勾股定理，勾股定理的逆定理，等角对等边，利用平方根解方程是解题的关键．28．如图，已知在Rt ABC △中，发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点(1)当90BAP ∠=︒时，则BP =______；(2)当ABP 为以AP 为腰的等腰三角形时，求t 的值；(3)过点D 作DE AP ⊥于点E ．在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使【答案】(1)20(2)t 的值16或5(3)5t =或11【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可．（2）分AP AB =，PA PB =两种情况进行讨论求解即可；（3）分点P 在C 点的左侧和点P 在C 点的右侧，两种情况，进行求解即可．【解析】（1）当90BAP ∠=︒时，如图：由题意，得：2BP t =，∴216CP t =-，在Rt ACB △中，222AB BC AC =+，在Rt PAB 中，222PB AP BA =+，在Rt PAC △中，222AP AC CP =+，∴22222BP BC AC AC CP =+++，即：()()2222221688216t t =+++-，解得：10t =，∴20BP =；故答案为：20．（2）①当AP AB =时，如图∵,AP AB AC BC=⊥∴232BP BC ==，∴32216t =÷=；②若PA PB =，则2,162BP AP t CP t ===-，在直角三角形ACP 中，222PA CP AC +=，∴()()22221628t t =-+解得：5t =；综上所述：t 的值16或5；（3）∵3835,DE CD AD AC CD DE AP ===-=-=⊥，，∴4AE =，①若P 在C 点的左侧，则2BP t =，∴162CP t =-．又DE DC =，PD PD =，且90DEP DCP ∠=∠=︒，∴PED PCD ≌，∴162PE PC t ==-，∴202AP PE AE t =+=-，则()()2222021628t t -=-+，解得：5t =；②若P 在C 点的右侧，则2BP t =，∴216CP t =-，同法可得：216PE PC t ==-，∴212AP PE AE t =+=-，∴()()2222022168t t -=-+，解得11t =，综上所述：5t =或11．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用。
直角三角形与勾股定理【复习目标】1．掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，掌握勾股定理以及逆定理。
2．熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题． 3．掌握直角三角形常用的判定方法。
【直击考点】1．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝ 。
c 2 2．若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2＋b 2＝c 2，则∠C= 。
90° 3．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________． 1694．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ；三角形中一条边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角 。
5．直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半 ；一直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角等于 30 度。
【名题点拔】考点1 “双垂图”中的计算问题例1 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长。
点拨：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，对图形及性质应熟练掌握，能够灵活应用。
“双垂图”中有：3个直角三角形， 6条线段，4个锐角。
知道其中的任意两条线段，或一条线段和一个锐角，总可以求出其余的线段。
欲求AB ，可由AB=BD+CD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。
或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，CD求出AC=2和BC=23。
因此AB=4。
考点2 勾股定理在轴对称问题中的应用例2 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6c m ，BC =8c m ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长。
点拨：设CD =x ，在Rt △BDE 中使用勾股定理列方程即可。
勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，ο90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，ο90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42 或 32D ．37 或 337.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d（C ）2d （D ）d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A ：3 B ：4 C ：5D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形．15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是 ． 二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE3.一个三角形三条边的长分别为15，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？答案:一、基础达标 A C B A E1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3． 解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长.答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解.答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15， 所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9． 解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5．二、综合发展11． 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ．答案：这辆小汽车超速了．。
