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2017-2018学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质学业分层测评（含解析）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质学业分层测评（含解析）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章点、直线、平面之间的位置关系(建议用时：45分钟）［学业达标]一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．不确定【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.【答案】C2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β,则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β,则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α,m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中,m，n可能为异面直线；C中,m 应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．【答案】D3．已知平面α、β和直线m、l,则下列命题中正确的是（)A．若α⊥β，α∩β＝m,l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m,l⊂α，l⊥m,则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α,则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m,l⊂α，l⊥m，则l⊥β【解析】选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.【答案】D4．在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD 与CC1( )A．平行B．共面C．垂直D．不垂直【解析】如图所示，在四边形ABCD中,∵AB＝BC,AD＝CD.∴BD⊥AC。
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定教案新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定教案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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§2。
3。
2平面与平面垂直的判定【教学目标】⑴知识与技能①使学生正确理解和掌握“二面角"、“二面角的平面角"及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；②使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；③使学生理会“类比归纳”与“转化化归”思想在数学问题解决上的作用.⑵过程与方法①通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程;②类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.⑶情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生体会教学存在于现实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.【教学重点、难点】重点:平面与平面垂直的判定;难点:如何度量二面角的大小。
【教学手段】多媒体辅助教学。
【教学方法】启发式和讨论式相结合，类比教学.【新课探讨】〖创设情景,揭示课题〗学生动手操作教具,提出问题：如下图,将△ABC 沿着高AD 进行折叠后，观察并思考AD 与平面BCD 位置关系是什么？为什么?观察：平面ABD 与平面BCD 位置关系是什么？〖探讨新知〗探索一：平面与平面垂直的概念㈠二面角通过类比分别探讨半平面、二面角及其平面角的的概念，引导学生用二面角的平面角衡量二面角的大小，体会直二面角的定义。
2.3。
4 平面与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是（）A．垂直于同一条直线的两直线平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．答案：D2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（) A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β,β⊥α,则m⊥αC．若m⊥β,n⊥β，n⊥α则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：对于A，若m⊥n，n∥α，则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故A错误;对于B，若m∥β,β⊥α则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交,故B错误;对于C,若m⊥β,n ⊥β，则m∥n，又n⊥α，则m⊥α,故C正确；对于D,若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故D错误．答案：C3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( ）A．a∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C 都有可能．答案：D4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（)A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析:由线面垂直的性质可得．答案：B5．在正方体ABCD。
A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于（）A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析：如图所示，连接AC,BD,因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A,所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE。
答案:B二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED 是平行四边形，所以EF＝AD＝6。
陕西省澄城县高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定教案新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省澄城县高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定教案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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平面与平面垂直的判定教学目标：1、理解二面角的相关知识，能做简单二面角的平面角，会求简单二面角的平面角的大小。
2、了解平面垂直的含义,理解平面与平面垂直的判定定理并能初步运用定理证明垂直。
教学重点：理解平面与平面垂直的判定定理教学难点:利用判定定理证明两平面垂直教学方法:谈话法、演示法、相互探究法教学过程：一、课前准备1、预习课本P37—P39内容，找出疑惑之处.2、知识回顾直线与平面垂直的判定方法：（1）定义法（2）判定定理：二、新知导学【学习探究】探究任务一、二面角的相关知识思考：当我们在使用笔记本电脑时，为了便于操作，需要将显示屏打开一定的角度．这样我们就会得到两个平面,如何来刻画两个平面之间的这种张角呢？新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
如图：以直线AB为棱，半平面βα,为面的二面角记作：二面角βα--AB问题:二面角的大小如何确定呢？新知2、如下图所示，以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角（如图角AOB）平面角是直角的二面角叫做直二面角.思考：（1）你能找到身边的二面角吗?（2）你觉得二面角的平面角的取值范围是?探究任务二：平面与平面垂直的判定问题探究：在正方体ABCD-A1B1C1D1中（1）求二面角D1-AB-D的大小(2)求二面角A1-AB—D的大小,此时面A1AB与面ABD什么关系？新知3:（面面垂直的定义）两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直.问题：现在我们可以用二面角的大小判断两个平面是否垂直，但是操作性比较差，还能如何判定两个平面互相垂直呢？动手实践：动手做这样一个试验：将一支铅笔垂直于桌面,再用一本书紧贴着铅笔转动，观察书本和桌面什么关系？由此实际问题能否抽象为数学问题呢?新知4:（判定定理）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
2．3.3 & 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质第一课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质[提出问题]世界上的高楼大厦太多了：中国上海中心大厦632米，天津高银117大厦621米，位于深圳的平安国际金融大厦600米(如右图)．问题1：上海中心大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系？提示：垂直．问题2：每列玻璃形成的直线是什么位置关系？ 提示：平行． [导入新知]直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b .(4)作用：①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线． [化解疑难]对于线面垂直的性质定理的理解(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．[提出问题]教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直．问题1：在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？ 提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直)． 问题2：怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ 提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可． [导入新知]平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂αa ⊥l⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直； ②作面的垂线． [化解疑难]对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理成立的条件有三个： ①两个平面互相垂直； ②直线在其中一个平面内； ③直线与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.[例1] 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE .[解] 证明：取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE ， 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE .则GF ∥AB . 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG . ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . [类题通法]1．此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证，或从结论出发逆推分析．2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．[活学活用]如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥平面ABCD .(1)若AC ＝6，BD ＝8，PB ＝3，求三棱锥A PBC 的体积； (2)若点E 是DP 的中点，证明：BD ⊥平面ACE . 解：(1)∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD 与AC 相互垂直平分，∴底面ABCD 的面积S 菱形ABCD ＝12×6×8＝24，∴S △ABC ＝12S 菱形ABCD ＝12.又PB ⊥平面ABCD ，且PB ＝3，∴三棱锥A PBC 的体积V A PBC ＝V P ABC ＝13×PB ×S △ABC ＝12.(2)证明：如图，设BD 与AC 相交于点O ，连接OE ，∵O 为BD 的中点，E 是DP 的中点，∴OE ∥PB . 又PB ⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD . ∵BD ⊂平面ABCD ，∴OE ⊥BD ， 由(1)知AC ⊥BD ，又AC ∩OE ＝O ， ∴BD ⊥平面ACE .[例2] 如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB .[解] 证明：(1)连接PG ，由题知△PAD 为正三角形，G 是AD 的中点，则PG ⊥AD . 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PAD ，∴PG ⊥平面ABCD . ∵BG ⊂平面ABCD ， ∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形， 且∠DAB ＝60°， ∴△ABD 是正三角形． 则BG ⊥AD .又∵AD ∩PG ＝G ，且AD ，PG ⊂平面PAD ， ∴BG ⊥平面PAD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又∵BG ，PG 为平面PBG 内两条相交直线， ∴AD ⊥平面PBG .∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.[类题通法]证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[活学活用]如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H是线段EF 的中点．(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)求此几何体的体积．解：(1)证明：连接AE，在菱形ABEF中，因为∠ABE＝60°，所以△AEF是等边三角形．又因为H是线段EF的中点，所以AH⊥EF，所以AH⊥AB.因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以AH⊥平面ABCD，所以AH⊥BC.在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2CD＝4，∠BAD＝∠CDA＝90°，得到AC＝BC＝22，从而AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.又AH∩AC＝A，所以BC⊥平面AHC.又BC⊂平面BCE，所以平面AHC⊥平面BCE.(2)连接FC，因为V＝V EACB＋V FADC＋V CAEF，又易得S△ACB＝4，S△ADC＝2，S△AEF＝43，所以V＝V EACB＋V FADC＋V CAEF＝13(23×4＋23×2＋2×43)＝2033.[例3] 已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[解] 证明：(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理可证，DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．[类题通法]线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想．证明线面垂直常转化为线线垂直，证明面面垂直常转化为线面垂直．[活学活用]如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°，求证：平面PEF⊥平面PBC.证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.5.垂直性质定理应用的误区[典例] 已知两个平面垂直，有下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0[解析] 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，对于①AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，所成角为60°，①错误；②正确．对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于④，过平面AA1D1D内点D1作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，④错误．[答案] C[易错防范]对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内．[成功破障]如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案：A[随堂即时演练]1．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α答案：B3．若a，b表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a ⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的是________(填序号)．答案：①④4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．答案：平行5.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝2易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.[课时达标检测]一、选择题1．若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( )①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α，n⊂α⇒m⊥n.A．1 B．2C．3 D．0答案：C2．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有( )A．0条B．1条C．无数条D．任意条答案：C3．(浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案：B4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β答案：D5.如图，线段AB的两端在直二面角αlβ的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )A．30° B．45°C．60° D．75°答案：B二、填空题6.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．答案：平行7.如图，四面体PABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.答案：78.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有______(把所有正确的序号都填上)．答案：①④三、解答题9.如图，三棱锥PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC ⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.- 11 -。
2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质目标定位 1.证明并掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.自 主 预 习1.直线与平面垂直的性质定理2.1.判断题(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面.(√) (2)垂直于同一平面的两个平面平行.(×)(3)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直 线在第一个平面内.即α⊥β，A ∈α，A ∈b ，b ⊥β⇒b ⊂α.(√)(4)如果平面α⊥平面β，那么平面α内的所有直线都垂直于平面β.(×)提示(2)垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行.(4)直线与平面β位置关系不确定.2.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.不确定解析因为l⊥AB，l⊥AC，AB⊂α，AC⊂α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m. 答案 C3.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确.答案 D4.已知a、b为直线，α、β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________(填序号).①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假.答案①③类型一直线与平面垂直的性质及应用【例1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.证明如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.规律方法证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.【训练1】如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.证明因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.类型二平面与平面垂直的性质及应用【例2】已知：α、β、γ是三个不同平面，l为直线，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：l⊥γ. 证明法一设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内任取一点P，过P在γ内作直线m⊥a，n⊥b，如图.∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β，又∵α∩β＝l，∴m⊥l，n⊥l，又m∩n＝P，∴l⊥γ.法二如图，α∩γ＝a，β∩γ＝b，在α内作m⊥a，在β内作n⊥b.∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n.又∵n⊂β，m⊄β，∴m∥β，又α∩β＝l，m⊂α，∴m∥l，∴l⊥γ.规律方法 1.证明或判定线面垂直的常用方法有：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α则b⊥α；(a，b为直线，α为平面).(4)若a⊥α，α∥β则a⊥β；(a为直线，α，β为平面).2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.【训练2】设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，试判断直线a与平面α的位置关系.解如图，设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c.根据平面与平面垂直的性质定理有b⊥β.因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此a⊂α.类型三线线、线面、面面垂直的综合应用(互动探究)【例3】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.[思路探究]探究点一运用面面垂直的性质定理的一般策略是什么？提示运用面面垂直的性质定理时，一般要作辅助线：过其中一个平面内一点作交线的垂线.这样就把面面垂直转化成线面垂直或线线垂直了.探究点二线线、线面、面面垂直关系之间有怎样的转化关系？提示证明(1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，又G为AD的中点，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)连接PG，如图，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.规律方法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理.证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.【训练3】如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC ＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.PA与BD是否相互垂直？请证明你的结论.解PA与BD相互垂直.证明如下：如图，取BC的中点O，连接PO、AO.∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴PO⊥底面ABCD，又BD⊂平面ABCD.∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，∴BD⊥PA，即PA与BD相互垂直.[课堂小结]1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：1.下列说法正确的是( )A.垂直于同一条直线的两直线平行B.垂直于同一条直线的两直线垂直C.垂直于同一个平面的两直线平行D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行解析由线面垂直的性质定理知C正确.答案 C2.设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么( )A.a与b可能垂直，但不可能平行B.a与b可能垂直，也可能平行C.a与b不可能垂直，但可能平行D.a与b不可能垂直，也不可能平行解析当a，b都与l平行时，则a∥b，所以A、D错，如图，若a⊥b过a上一点P在α内作a′⊥l，因为α⊥β，所以a′⊥β，又b⊂β，∴a′⊥b，∴b⊥α，而l⊂α，∴b⊥l，与b和l不垂直矛盾，所以B错.答案 C3.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.解析∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，PA⊂平面PAC，∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝PA2＋AB2＝1＋4＝ 5.答案 54.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.证明∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面SCD.又∵BC⊂平面SBC，∴平面SCD⊥平面SBC基础过关1.下列命题中错误的是( )A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误.答案 D2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，故CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.答案 D3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误.平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误.AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误.故选D.答案 D4.a，b是两条不同直线，α为平面，以下命题中正确的是________(填序号).①⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥b ，b ⊥α⇒a ∥α；②⎩⎪⎨⎪⎧a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α；③⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ； ④⎩⎪⎨⎪⎧a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α. 解析 ①中a 可能在α内；②中b 也可能与α平行，③④正确 . 答案 ③④5.若α⊥β，α∩β＝AB ，a ∥α，a ⊥AB ，则a 与β的关系为________. 解析 如图，过a 作平面γ，设γ∩α＝b ， ∵a ∥α，∴a ∥b .又∵a ⊥AB ，∴b ⊥AB .又∵α⊥β，α∩β＝AB ，b ⊂α，∴b ⊥β，∴a ⊥β.答案 a ⊥β6.如图三棱锥P －ABC 中，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，△PAC 是直角三角形，∠PAC ＝90°，∠ACP ＝30°，平面PAC ⊥平面ABC .求证：平面PAB ⊥平面PBC .证明 ∵平面PAC ⊥平面ABC ， 平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PA ⊥AC ，PA ⊂平面PAC ，∴PA ⊥平面ABC .又BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC .又∵AB ⊥BC ，AB ∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAB . 又BC ⊂平面PBC ，∴平面PAB ⊥平面PBC .7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证：(1)PA ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面PAD ；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.能力提升8.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在( )A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部解析连接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.答案 A9.如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有( )A.①与②B.①与③C.②与③D.③与④解析由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.答案 B10.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________.解析取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，所以MG⊥平面DCEF，由于GN⊂平面CDEF，可得MG⊥NG，所以MN＝MG2＋NG2＝ 6.答案 611.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝3a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD 折成直二面角.求证：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.证明(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝3a，∴AB 2＋BD 2＝AD 2，∴∠ABD ＝90°，AB ⊥BD .又∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，∴AB ⊥平面BCD .(2)∵折叠前四边形ABCD 是平行四边形，且AB ⊥BD ，∴CD ⊥BD .∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD .∴AB ⊥CD .∵AB ∩BD ＝B ，∴CD ⊥平面ABD .又∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABD .探 究 创 新12.在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形.(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论.(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交的直线，所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条的相交直线，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点.由已知，O 为AC 1的中点.连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綉12AC ，OE 綉12AC ， 因此MD 綉OE .连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.。
