圆锥曲线中的最值问题2名师课件

高三专题复习：
圆锥曲线中
变量的最值（取值范围）问题
思考
求圆锥曲线的最值
常用哪些方法？
圆锥曲线中的最值（取值范围）问题按解题思路通常分三类：
圆锥曲线中的最值（取值范围）问题按解题思路通常分 三类： 第一类：数形结合法，通常利用相关的几何最值性质、 曲线的定义等求得,称数形结合法; 第二类：根据题中变量的关系,建立目标函数,用函数性 质或基本不等式等求出变量的最值（取值范围）,称函数 法; 第三类：根据题中条件列出有关所求变量的不等式,解得 其取值范围,称不等式法.
㈠焦半径有关的问题
2 例 1 .P 为抛物线 x 4 y 上的一动点，定点 A ( 8 , 7 ) ，则 P 到
9 x 轴与到 A 点的距离之和的最小值 为 ________ .
x P (x ,y ) ，则 y 方法一：建立目标函数 设 4 2 2 x x 2 2 2 2 d y ( x 8 ) ( y 7 ) ( x 8 ) ( 7 ) 4 4
别交于 M 、 N 两点，求 MON 的面积的最小值 .
2 2 5.若 菱形ABCD 的顶点 A， C 在椭圆 x 3y 4上，对角线B D 所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线 B D
1 ) 时，求直线 A C 过点 ( 0 ，
的方程；
A B C 6 0 时，求菱形 ABCD 面积的最大值． （Ⅱ）当
x
k2
P
O
k , k k , 1 2
k1
x2 y2 A、B是椭圆 1 变 如图，已知 16 9 题 的两个顶点， C、D是椭圆上两点， 且分别在 AB两侧，则四边形 ABCD 12 2 面积的最大值是 ________ .

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接
QE并延长交C于点G.
(i)证明:△PQG是直角三角形;
(ii)求△PQG面积的最大值.
[例1] (课标全国Ⅱ,21,12分)已知点A(-2,0), B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM
1
2
的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
2
=1.
1. (洛阳统考)已知椭圆C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0), O为坐标原点, F(- 2,0)为椭圆C
2
2
的左焦点,离心率为 , 直线l与椭圆相交于A,B两点.
(2)若M(1,1)是弦AB的中点, P是椭圆C上一点, 求△PAB面积的最大值.
设A(x1,y1), B(x2,y2).
,
y1y2=k x1x2+2k(x1+x2)+4=
,
3+4 2
3+4 2
1 +2 2 +2 1 2 +2 1 +2 +4
所以k1·k2=
·
=
=k2+12,
1
2
1 2
1
49
因为k2∈ , +∞ , 所以k2+12∈
, +∞ ,
4
4
49
所以k1·k2的取值范围是 , +∞ .
4
考向三
令Δ1=16m2-24(m2-4)=0,得m=±2 3.
∵P是椭圆C上一点,
∴P点到AB的最大距离即直线x+2y+2 3 =0到直线l的距离d.

2 5
x－
9 25
并化简，得k2x2－
2 5
x＋
9 25
＝0，令Δ＝
－252－4k2·295＝0，解得k＝±13， 所以直线OQ斜率的最大值为13.
2．(2019·全国卷Ⅱ)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足
直线AM与BM的斜率之积为－12.记M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G. ①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值．
(1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值．
[解]
(1)设直线AP的斜率为k，k＝xx2＋－1214＝x－12，
因为－12<x<32，
所以－1＜x－12＜1，
即直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．
(2)联立直线AP与BQ的方程kx＋ x－kyy＋ －2941kk－＋3214＝＝00，， 解得点Q的横坐标是xQ＝－2k2k＋2＋4k1＋ 3. 因为|PA|＝ 1＋k2x＋12＝ 1＋k2(k＋1)， |PQ|＝ 1＋k2(xQ－x)＝－k－1k2＋k＋1 12，
通性通法：构造函数法求最值或范围时的策略 解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、 角、斜率等)，把所求最值的几何量或代数表达式表示为某个参数的函 数，然后利用函数方法(单调性或导数)进行求解．
1．[借助二次函数求最值]已知椭圆E：
x2 4
＋
y2 3
＝1.若椭圆E的
左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，
设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，故xG＝

2 2 5 . 已 知 椭 圆 3 x + 1 2 y = 3 6 和 直 线 L : x y + 9 = 0 , 在 L 上 任 取
一 点 M , 经 过 点 M 且 以 椭 圆 的 焦 点 F , F 为 焦 点 作 椭 圆 . 1 2
求 M 在 何 处 时 所 作 的 椭 圆 长 轴 最 短 , 并 求 出 此 椭 圆 的 方 程 .
8 p ( p 2 a )
0 | A B |2 p ,0 8 p ( p 2 ap ) 2 p p 解 得 : a . 2 4
( 2 ) 设的 A B垂 直 平 分 线 交于令 A BQ , 坐 标 为 ( x ,y ) , 则 由 3 3 中 点 坐 标 公 式 , 得 x x y y ( x a ) ( x a ) 1 2 1 2 1 2 x a p ,y p , 3 3 2 2 2
圆锥曲线的有关最值
高三——圆锥曲线轮复习
教学目标： 灵活运用代数、三角、几何方法求解析 几何中的有关最值问题.
一、代数法： 借助代数函数求最值的方法，运用代数法时，先要 建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点 灵活运用求最值的方法。常用的方法有： 1、配方法：将“目标函数”与二次函数在某一闭区 间上的最值联系起来。 2、基本不等式法：转化为定和或定积问题。
2 2 83 k ( 1 k ) 4 2 1 3 ( 当 k 时 取 等 号 ) 2 2 ( 14 k) 3 3
解 法 2 : 设 椭 圆 上 的 点 ( 2 c o s , s i n ) , 设 弦 长 l 1 64 2 2 21 l 4 c o s ( s i n 1 ) 3 ( s i n ) 3 . 3 33