北京西城区2018年高三(上)期末数学理科

2018年北京各区高三上期末理科数学分类汇编---立体几何1.（西城）从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的 部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何 体的表面积是____．362. （西城）如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160A AC ︒∠=.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：四边形1AA EF 为平行四边形； （Ⅲ）若23BF BC =，求二面角1B AC F --的大小. 解：（Ⅰ）因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． 因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 4分] （Ⅱ）因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 5分] 因为 平面1AA EF平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [ 6分]因为 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF平面ABC AF =，平面1AA EF平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [ 7分] 所以 四边形1AA EF 为平行四边形． [ 8分] （Ⅲ）在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -． [ 9分]由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,1A ，1C ．因为23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-， 所以 24(,,0)33F ．由（Ⅰ）得平面1ABC 的法向量为1(0,1,A C −−→=设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即30,240.33y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，则2x =-，z =，所以(2,1,=-n ． [11分]所以111|||cos ,|||||A C A C A C −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以 二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分]3. （海淀）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形③所有正确的说法是 D （A ）① （B ）①② （C ）②③ （D ）①③4.（海淀）如图1，梯形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC CD ==，2AD =，E 为AD 中点.将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆的位置， 使11A E A D =如图2.（Ⅰ）求证：平面1A ED⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求1A B 与平面1A CD 所成角的正弦值；（Ⅲ）设M 、N 分别为1A E 和BC 的中点，试比较三棱锥1M ACD -和三棱锥1N ACD -（图中未画出）的体积大小，并说明理由.主视图左视图俯视图A E DB CD图1 图2（Ⅰ）证明：由图1，梯形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC =，2AD =，E 为AD 中点，BE AD ⊥故图2，1BE A E ⊥，BE DE ⊥……………..1分 因为1A E DE E =I ，1A E ，DE ⊂平面1A DE……………..2分所以BE ⊥平面1A DE ……………..3分 因为BE ⊂平面BCDE ，所以平面1A DE ⊥平面BCDE ……………..4分（Ⅱ） 解一：取DE 中点O ，连接1OA ，ON .因为在1A DE ∆中，111A E A D DE ===，O 为DE 中点所以1AO DE ⊥因为平面1A DE ⊥平面BCDE平面1A DE平面BCDE DE =1AO ⊂平面1A DE 所以1AO ⊥平面BCDE 因为在正方形BCDE 中，O 、N 分别为DE 、BC的中点， 所以ON DE ⊥ 建系如图. 则1A ，1(1,,0)2B -，1(1,,0)2C ，1(0,,0)2D ，1(0,,0)2E -.……………..5分11(1,,2A B=-uuu r11(0,,2A D =uuu r ，(1,0,0)DC =u u u r ，xy设平面1ACD 的法向量为(,,)n x y z =r，则100n A D n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r，即1020y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，令1z =得，y =所以n =r是平面1ACD 的一个方向量. ……………..7分111cos ,4||||A B n A B n A B n ⋅<>===-⋅uuu r ruuu r r uuu r r ……………..9分所以1A B 与平面1A CD……………..10分 （Ⅱ） 解二：在平面1A DE 内作EF ED ⊥， 由BE ⊥平面1A DE ，建系如图.则11(0,2A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,0)E . ……………..5分11(1,,2A B =-uuu r11(0,,2A D =uuu r ，(1,0,0)DC =u u u r ，设平面1ACD 的法向量为(,,)n x y z =r，则100n A D n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r，即10220y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令1z =得，y =所以n =r是平面1ACD 的一个方向量. ……………..7分111cos ,||||A B n A B n A B n ⋅<>===⋅uuu r ruuu r r uuu r r ……………..9分所以1A B 与平面1A CD所成角的正弦值为4……………..10分 （Ⅲ）解：三棱锥1M ACD -和三棱锥1N ACD -的体积相等.xy理由如下:方法一：由1(0,4M ，1(1,,0)2N，知1(1,,4MN =uuu r ，则0MN n ⋅=uuu r r……………..11分因为MN ⊂平面1ACD ，……………..12分所以//MN 平面1ACD . ……………..13分 故点M 、N 到平面1A CD 的距离相等，有三棱锥1M A CD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分方法二：如图，取DE 中点P ，连接MP ，NP ，MN .因为在1A DE ∆中，M ，P 分别是1A E ，DE 的中点，所以1//MP A D 因为在正方形BCDE 中，N ，P 分别是BC ，DE 的中点，所以//NP CD 因为MPNP P =，MP ，NP ⊂平面MNP ，1A D ，CD ⊂平面1ACD 所以平面MNP //平面1ACD ……………..11分因为MN ⊂平面MNP ，……………..12分 所以//MN 平面1ACD……………..13分故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分DD法二 法三 方法三：如图，取1A D 中点Q ，连接MN ，MQ ，CQ .因为在1A DE ∆中，M ，Q 分别是1A E ，1A D 的中点，所以//MQ ED 且12MQ ED =因为在正方形BCDE 中，N 是BC 的中点，所以//NC ED 且12NC ED =所以//MQ NC 且MQ NC =，故四边形MNCQ 是平行四边形，故//MN CQ ……………..11分 因为CQ ⊂平面1ACD ，MN ⊂平面1ACD ， ……………..12分 所以//MN 平面1ACD . ……………..13分 故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分5.（朝阳） 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为 AA. 4B.43D.6. （朝阳）如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上， CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时， ① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是CA . ① B. ①② C. ①③ D. ②③A7. （朝阳）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角 1A A B C --的余弦值. （Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A DAC D =，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =，连接DE ．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C ,ACBB 1C 1A 1DACBB 1C 1A 1DE所以1BC AC ⊥． 又因为11A B AC ⊥，1BCA B B =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA =，()2,2,0AB =，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20. y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --…………14分 8.（通州）如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，若点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交， 点Q 为MN 中点，则点的轨迹的长度是 BA．2 B ．C ．1 DQ NM C 1B 1A 1CBA9. （通州）网格中，某四面体的三视图如图所示．已知小正方形网格的边长为1，那么该四面体的四个面中，面积最大的面的面积是_______. 1210.(通州)在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形， //AD BC，AB DC ==1122AD AA BC ===， 点P ，Q 分别为11A D ，AD 的中点. （Ⅰ）求证：//CQ 平面1PAC ； （Ⅱ）求二面角1C AP D --的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点E ，使PE 与平面1PAC所成角的正弦值是21，若存在，求BE 的长；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）连接PQ ，因为点P ，Q 分别为11A D ，AD 的中点，所以1//PQ C C ，1PQ C C =. 所以四边形PQCC 1是平行四边形. 所以1//.CQ C P因为CQ ⊄平面1PAC ，1C P ⊂平面1PAC ，所以//CQ 平面1.PAC ……………………4分 （Ⅱ）因为1AA ⊥平面ABCD ,1//AA PQ ，所以PQ ⊥平面ABCD .……………………5分 所以以Q 为坐标原点，分别以直线QA ，QP 为x 轴，z 轴建立空间直角坐标系Qxyz ，则y 轴在平面ABCD 内．BC Q PD 1C 1B 1A 1DCB A所以(),,A 100，(),,P 002，(),,C -1212，(),,B 210， 所以()1,0,2PA =-，()12,1,0PC =-. ……………………7分设平面1PAC 的法向量为(),,n x y z =，所以,,n PA n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩100即,.x z x y -=⎧⎨-+=⎩2020所以()2,4,1n =. ……………………8分 设平面PAD 的法向量为()0,1,0m =，所以cos ,.21n m ==又二面角1C AP D --为锐角，所以二面角1C AP D --的余弦值是21……………………10分 （Ⅲ）存在. 设点(),,E a 10，所以(),1,2.PE a =-设PE 与平面1PAC 所成角为θ，所以2sin cos ,21n PE θ==21=，解得 1.a =所以 1.BE =……………………14分 11.（东城）图所示，则该三棱锥的体积为 A（A ）16（B ）13（C ）12（D ）112.（东城）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ⊥平面ABCD ,,O M 分别为线段,AD DE 的中点．四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE DE =，AE DE ⊥. （Ⅰ）求证：CM //平面ABE ；（Ⅱ）求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（III ）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长.正（主）视图侧（左）视图俯视图证明：（Ⅰ）取线段AE 中点P .连接BP 、MP . 因为点M 为DE 中点，所以//MP AD ，12MP AD =. 又因为B C D O 为正方形，所以//BC AD ，BC AD =，所以//BC MP ，BC MP =.所以四边形BCMP 为平行四边形，所以//CM BP . 因为CM ⊄平面ABE ，BP ⊂平面ABE ， 所以//CM 平面ABE . （Ⅱ）连接EO .因为AE DE =，O 为AD 中点，所以EO AD ⊥.. 因为EO ⊂平面ADE ，平面ADE ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =所以 ,EO OB EO OD ⊥⊥又因为正方形BCDO ，所以OB OD ⊥. 如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -.()0,1,0A -，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()0,0,1E ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =， ()1,1,0AB =，()0,1,1AE =，则有 0,0.AB m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩ 令1y =-，则1x z ==，即平面ABE 的一个法向量为()1,1,1m =-. ()0,1,1DE =-，cos ,6DE DE DE⋅===m m m . 所以直线DE 与平面ABE （Ⅲ）设ON OD λ=，所以()0,,0N λ=，所以()1,,0NB λ=-，111,,22MB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.设平面BMN 的法向量为(),,n u v w =，则有 0,0.NB n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,110.22u v u v w λ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩ 令1v =，则()0,1,1n =.因为0CN n ⋅=，则,21u w λλ==-.即平面BMN 的一个法向量为(),1,21n λλ=-.因为平面BMN⊥平面ABE，所以0m n⋅=.解得23λ=，所以53AN=.13. （顺义）体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是___________．8π14.（顺义）中，底面是菱形，，平面平面，，为的中点，是棱上一点，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）证明：∥平面；（Ⅲ）求二面角的度数.（Ⅲ）连结，底面是菱形，且，是等边三角形，由（Ⅰ）平面..以为坐标原点，分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则.————10分设平面的法向量为，，注意到∥，解得是平面的一个法向量——12分15.（大兴）图如图所示，则该几何体的体积为（）BA．3B．6C．9D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得该几何体是一个倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是矩形，AD=2，AB=3，SA⊥平面ABCD，且SA=3，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：如图，由三视图得该几何体是一个倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是矩形，AD=2，AB=3，SA⊥平面ABCD，且SA=3，∴该几何体的体积为：V===6．故选：B．16.（大兴）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）BA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．17.（大兴）如图，在三棱锥K﹣ABC中，平面KAC⊥平面ABC，KC⊥AC，AC⊥AB，H为KA的中点，KC=AC=AB=2．（Ⅰ）求证：CH⊥平面KAB；（Ⅱ）求二面角H﹣BC﹣A的余弦值；（Ⅲ）若M为AC中点，在直线KB上是否存在点N使MN∥平面HBC，若存在，求出KN的长，若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知AB⊥平面KAC，从而AB⊥CH，由等腰三角形性质得CH⊥AK，由此能证明CH⊥平面AKB．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A垂直于平面ABCD的直线AD为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出二面角H﹣BC﹣A的余弦值．（Ⅲ），N（a，b，c），利用向量法能求出在直线KB上存在点N使MN∥平面HBC，并能求出KN的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为平面KAC⊥底面ABC，且AB垂直于这两个平面的交线AC，所以AB⊥平面KAC…所以AB⊥CH…因为CK=CA，H为AK中点，所以CH⊥AK…因为AB∩AK=A，所以CH⊥平面AKB．…解：（Ⅱ）如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A垂直于平面ABCD的直线AD为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），K（0，2，2），H（0，1，1），C（0，2，0），B（2，0，0），，…，即，………因为所求的二面角为锐角，．…（Ⅲ），N（a，b，c），…所以N（2λ，2﹣2λ，2﹣2λ）因为M（0，1，0），…，得3﹣2λ=0，．…．．…18.（昌平）的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为BA. 1B.C. 2D.19. （昌平）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PAB ∆为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上.（I ）当M 是线段PD 的中点时，求证：PB // 平面ACM ； （II ）求证：PE AC ⊥；（III ）是否存在点M ，使二面角M EC D --的大小为60°，若存在，求出PM PD的值；若不存在，请说明理由．（I ）证明：连接BD 交AC 于H 点，连接MH ，因为四边形ABCD 是菱形，所以点H 为BD 的中点. 又因为M 为PD 的中点， 所以MH // BP .又因为 BP ⊄平面ACM , MH ⊂平面ACM . 所以 PB // 平面ACM . ……………4分（II ）证明：因为PAB ∆为正三角形，E 为AB 的中点，所以PE ⊥AB .因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD=AB ，PE ⊂平面P AB ， 所以PE ⊥平面ABCD .又因为AC ⊂平面ABCD ， 所以PE AC ⊥.(Ⅲ) 因为ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，E 是AB 所以CE ⊥AB .主视图左视图俯视图1 1 MPE DBAHMPEDBA又因为PE ⊥平面ABCD ，以E 为原点，分别以,,EB EC EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()1,0,0B，(P，()0C，()D -． ………10分 假设棱PD 上存在点M ，设点M 坐标为(),,x y z ，()01PM PD λλ=≤≤，则((,,x y z λ-=-，所以()2)M λλ--，所以()2)EM λλ=--，()EC =，设平面CEM 的法向量为(),,x y z =n ，则2)030EMx y z EC y λλ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩n n，解得02)y x z λλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩． 令2z λ=，则)x λ=-，得)),0,2λλ=-n ．因为PE ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量()0,0,1=m ，所以cos |||⋅〈〉===⋅n m n,m n |m因为二面角M EC D --的大小为60°12=， 即23210λλ+-=，解得13λ=，或1λ=-（舍去）所以在棱PD 上存在点M ，当13PM PD =时，二面角M EC D --的大小为60°．…………………14分20. （房山）格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是 B（A ）120 （B ）60 （C ）24 （D ）2021（房山）如图几何体ADM-BCN 中，ABCD 是正方形，NM //CD ，CN CD MD AD ⊥⊥,，=∠MDC o 120， 30=∠CDN ，42==MD MN .（Ⅰ）求证：CDMN AB 平面//；A BCDNM（Ⅱ）求证：AMD DN 平面⊥； （Ⅲ）求二面角D AM N --的余弦解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，CD AB //；又 MNCD 面⊂CD ，MNCD 面⊄AB ；MNCD //面AB ∴ …………………5分（Ⅱ） 四边形ABCD 是正方形⊥∴AD DC⊥AD MD ， CD D MD =，CD ，MNCD MD 平面⊂⊥∴AD MNCD 平面MNCD DN ⊂⊥∴AD DN =∠MDC o 120， 30=∠CDN 90=∠∴MDN ∴MD ND ⊥ D MD AD = ，AMD MD AD 平面，⊂AMD DN 面⊥∴ …………………10分（Ⅲ）法1：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz D -，如图所示；由（Ⅱ）3,3,32===CN CD DN ；)0,32,0(),0,0,2(),3,0,0(),0,0,0(N M A D ∴)0,32,0(),3,32,0(),3,0,2(=-=-=∴设面AMN 的法向量),,(z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥∴n AM n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=-⇒z y z x z y z x 23230332032令3,3,2===y x z 则，)2,3,3(=∴n431632332,cos ==>=<∴ 由图可知二面角D AM N --为锐角∴二面角D AM N --的余弦值为43…………………14分 法2：以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz D -，如图所示； 由（Ⅱ）3,3,32===CN CD DN ；)0,3,0(),0,3,4(),3,0,3(),0,0,3(),0,0,0(N M A D C ∴)0,3,3(),3,3,3(),3,3,1(-=--=-=∴DN AN AM 设面AMN 的法向量),,(z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥∴n n ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+-=-+⇒z y x z y x z y x 300333033令3,1==y z 则，)1,3,0(=∴n432323||||,cos =⋅=>=<∴DN n 由图可知二面角D AM N --为锐角∴二面角D AM N --的余弦值为43. …………………14分 22.（丰台）图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为 D(A) 2(B)(C)(D) 323.（丰台）在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，2==AD PA ，2=CD ．（Ⅰ）求证：EF //平面PAD ；（Ⅱ）求PC 与平面EFD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱BC 上是否存在一点M ，使得平面⊥PAM 平面EFD ？若存在，求出BMBC的值；若不存在，请说明理由．解（1）明：取PD 中点G ，连接AG ，FG ． 因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，所以 FG CD ∥，且 12FG CD =． 因为ABCD 是矩形，E 是AB 中点，FE PDCBA所以 AE FG ∥，AE FG =．所以AEFG 为平行四边形．所以 AG EF //． 又因为 ⊂AG 平面PAD ，⊄EF 平面PAD ，所以 EF ∥平面PAD ． ………………5分（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ， 所以 PA AB ⊥，PA AD ⊥，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥．如图建立直角坐标系Axyz ， 所以E，F ，(0,2,0)D ， 所以 (011)EF =,,，2(2)DE =-,0． 设平面EFD 的法向量为 (,,)n x y z =，因为 00n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以202y z x y +=⎧-=⎪⎩． 令 1y =，所以 1z x =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以 (22,1,1)n =-． ………………8分又因为 (2,2,2)PC =-，设PC 与平面EFD 所成角为θ， 所以 4sin cos ,510PC n PC n PC nθ⋅=<>===⋅．所以PC 与平面EFD 所成角的正弦值为54． (10)分 （Ⅲ）解：因为侧棱PA ⊥底面ABCD ，所以只要在BC 上找到一点M ，使得AM DE ⊥，即可证明平面⊥PAM 平面EFD ．设BC 上存在一点M ，则,0)([0,2])M t t ∈， 所以 (2,,0)AM t =．因为 (ED =-， 所以令 0AM ED ⋅=，即120t -+=，所以21=t ．所以在BC 存在一点M ，使得平面⊥PAM 平面EFD ，且14BM BC =． ………………14分24. （石景山）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ ）BA. 3立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈 25.（石景山）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，1BC =，2AB =，PC PD ==E 为PA 中点．（Ⅰ）求证：//PC BED 平面；（Ⅱ）求二面角A PC D --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM AC ⊥？若存在，求PM PC的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）证明：设AC 与BD 的交点为F ，连接EF .因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点， 在PAC ∆中，由已知E 为PA 中点，所以//EF PC ， ……………2分又EF ⊂平面BED ，PC ⊄平面BED ， ……………3分所以//PC 平面BED . ……………4分（Ⅱ）解：取CD 中点O ，连接PO . 因为PCD ∆是等腰三角形，O 为CD 的中点，所以PO CD ⊥，又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， B AD CE P因为PO ⊂平面PCD ，PO CD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ． ……………5分取AB 中点G ，连接OG ，由题设知四边形ABCD 为矩形，所以OF CD ⊥，所以PO OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(0,1,0)D -，(1,1,0)B ，(0,0,0)O ，(1,0,0)G .(1,2,0)AC =-u u u r ，(0,1,1)PC =-u u u r . ……………6分设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r则0,0,n AC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r 即20,0.x y y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，则1y =，2x =， 所以(2,1,1)n =r .平面PCD 的法向量为(1,0,0)OG =u u u r ，设n r ，OG uuu r 的夹角为α，所以cos 3α=. ……………9分 由图可知二面角A PC D --为锐角，所以二面角A PC B --的余弦值为3……………10分 （Ⅲ）设M 是棱PC 上一点，则存在[]0,1λ∈使得PM PC λ=uuu r uu u r ．因此点(0,,1)M λλ-，(1,1,1)BM λλ=---u u u r ，(1,2,0)AC =-u u u r ． ……12分由0BM AC ⋅=u u u r u u u r ，即12λ=．因为[]10,12λ=∈，所以在棱PC 上存在点M ，使得BM AC ⊥， 此时12PM PC λ==． ……………14分。

北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．A 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．1i -- 10．43-；3511． 6 12．[1,)-+∞13．答案不唯一，如2()(1)f x x =-14．(2,0)-注：第10题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 2分得3sin A =3sin A = ……………… 4分解得cos A = ……………… 6分（Ⅱ）由(0,π)A ∈，得sin A = ……………… 7分因为2B A =，所以21cos cos22cos 13B A A ==-=. ……………… 8分所以sin B =. ……………… 9分 又因为πA B C ++=，所以co s co s()co s co s s i ns C A B A B A B =-+=-+. ……………… 11分 所以cos cos B C >.又因为函数cos y x =在(0,π)上单调递减，且,(0,π)B C ∈，所以B C ∠<∠. ……………… 13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面BCM ，BC ⊂平面BCM ，所以AB BC ⊥． ……………… 1分 由正方形11B BCC ，知1BB BC ⊥， 又因为1ABBB B =，所以BC ⊥平面11A ABB ． ……………… 3分 又因为BC ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面11A ABB ． ……………… 4分 （Ⅱ）设BC 中点Q ，连结NQ MQ ，．因为M ，N 分别是11A B ，AC 的中点， 所以//NQ AB ，且12NQ AB =． 又因为11//AB A B ，且11AB A B =， 所以1//NQ A M ，且1NQ A M =． 所以四边形1A MQN 为平行四边形．所以1//A N MQ ． ……………… 6分 又因为MQ ⊂平面BCM ，1A N ⊄平面BCM ， 所以1//A N 平面BCM ．……………… 8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BA ，BM ，BC 两两互相垂直，因此以B 为原点，以BA ，BM ，BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． ………… 9分因为11A ABB 是边长为2的菱形，M 为11A B 的中点，且11A B BM ⊥， 易得1160BB A ∠=，则(0,0,0)B ，(2,0,0)A，(0,0)M ，(0,0,2)C，10)A，1(1,0)B -，1(12)C -，(1,0,1)N ． ……………… 10分所以1(0,A N −−→=，1(1,0,2)MC −−→=-，1(0)CC −−→=-. 设平面1MCC 的法向量为(,,)n x y z =，x则 110,0,MC CC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即20,0.x z x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令2y =，则x =，z =2,=n ． ……………… 12分 设直线1A N 与平面1MCC 所成角为α， 则111sin |cos ,|||||A N A N A N α−−→−−→−−→⋅=〈〉=n nn =． 因此直线1A N 与平面1MCC． ……………… 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由(0.0200.0220.0280.0420.080)51a +++++⨯=，得0.008a =， …………2分所以甲企业的样本中次品的频率为(0.020)50.14a +⨯=，故从甲企业生产的产品中任取一件,该产品是次品的概率约为0.14. ……… 4分 （Ⅱ）由图表知，乙企业在100件样品中合格品有96件，则一等品的概率为481962=，二等品的概率为18141963+=，三等品的概率为161966=， ……………… 5分由题意，随机变量X 的所有可能取值为：120，150，180，210，240. …… 6分且111(120)6636P X ==⨯=，12111(150)C 369P X ==⨯⨯=， 1211115(180)C 263318P X ==⨯⨯+⨯=，12111(210)C 233P X ==⨯⨯=， 111(240)224P X ==⨯=. ……………… 8分 所以随机变量的分布列为：……………… 9分所以11511()1201501802102402003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………10分 （Ⅲ）答案不唯一，只要言之有理便可得分（下面给出几种参考答案）.（1）以产品的合格率．．．（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较. X由图表可知：甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以可以认为乙企业的食品生产质量更高.（2）以产品次品率．．．为标准对甲、乙两家企业的食品质量进行比较（略）. （3）以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4；乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即乙企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高.（4）根据第（Ⅱ）问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，进而比较甲、乙两个企业产品的优劣（略）. ……………… 13分18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）求导，得11()1-'=-=xf x x x， ……………… 1分 因为曲线()y f x =与x 轴相切，所以此切线的斜率为0， ……………… 2分 由()0'=f x ，解得1=x ，又由曲线()y f x =与x 轴相切，得(1)10f a =-+=，解得1=a . ……………… 4分（Ⅱ）由题意，得22()ln ()-+==f x x x ag x x x ， 求导，得32ln 12()-+-'=x x ag x x ， ……………… 5分因为(1,e)x ∈，所以()g x '与()2ln 12h x x x a =-+-的正负号相同.…… 6分 对()h x 求导，得22()1-'=-=x h x x x， 由()0'=h x ，解得2=x ， ……………… 7分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(1,2)上单调递减，在(2,e)上单调递增. 又因为(1)22h a =-，(e)e 12h a =--，所以min ()(2)32ln 22h x h a ==--； max ()(1)22h x h a ==-. ……………… 9分 如果函数2()()=f xg x x在区间(1,e)上单调递增，则当(1,e)x ∈时，()0≥'g x . 所以()0h x ≥在区间(1,e)上恒成立，即min0()(2)32ln 22h x h a ==--≥，解得3ln 22≤-a ，且当3ln 22=-a 时，()0g x '=的解有有限个，即当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递增时，3ln 22≤-a ； ○1 ………… 11分 如果函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上单调递减，则当(1,e)x ∈时，()0≤'g x ， 所以()0h x ≤在区间(1,e)上恒成立，即max 0()(1)22h x h a ==-≤，解得1≥a ，且当1=a 时，()0g x '=的解有有限个，所以当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递减时，1≥a . ○2 ………… 12分 因为函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上不是单调函数， 结合○1○2，可得3ln 212-<<a ，所以实数a 的取值范围是3ln 212-<<a . ……………… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得222c a =-，c a =， ……………… 2分解得2a =，c C 的方程为22142x y +=. ……………… 3分设(0,)P m ，由点P 在椭圆C 的内部，得m < 又因为(2,0)A -，所以直线AM 的斜率0(022AM m m k -==∈+， ……………… 5分 又因为M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，所以2((0,)AM k ∈. ……………… 6分（Ⅱ）由题意F ，设00(,)M x y ，其中02x ≠±，则2200142x y +=. 所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++. ……………… 7分令0x =，得点P 的坐标为002(0,)2y x +. ……………… 8分 因为002MB y k x =-，所以002AQ y k x =-. 所以直线AQ 的方程为00(2)2y y x x =+-. ………………10 分 令0x =，得点Q 的坐标为002(0,)2y x -. 由002()2y FP x =+，002()2y FQ x =- ， ……………… 12分 得 FP FQ ⋅222000220042482044y x y x x +-=+==--， 所以FP FQ ⊥，即90PFQ ∠=，所以PFQ ∠为定值. ……………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）数列2, 4, 6, 8, 10不是4阶平衡数列；数列1, 5, 9, 13, 17是4阶平衡数列. ……………… 3分 （Ⅱ）若k 为偶数，设k =2m ()m *∈N . 考虑1,2,3,,k 这k 项，其和为(1)2k k S +=， 所以这k 项的算术平均值为(1)2122S k m k ++==，此数不是整数. ………… 5分若k 为奇数，设k =2m +1()m *∈N .考虑1,2,3,,1,1k k -+这k 项，其和为(1)12k k S +'=+， 所以这k 项的算术平均值为(1)111221S k m k k m '+=+=+++，此数不是整数.故数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈. ……… 8分（Ⅲ）在数列A 中任取两项,()s t a a s t ≠，对于任意{2,3,,1}k N ∈-，在A 中任取与,s t a a 相异的k -1项，并设这k -1项的和为0S .由题意，得00,s t S a S a ++都是k 的倍数，即00,(,)s t S a pk S a qk p q +=+=∈Z ， 因此()s t a a p q k -=-，即数列中任意两项的差s t a a -都是k 的倍数，其中{2,3,,1}k N ∈-.因此所求数列A 的任意两项之差都是2,3,,1N -的公倍数. ……………… 9分如果数列A 的项数超过8，那么213287,,,a a a a a a ---均为2, 3, 4, 5, 6, 7的倍数，即213287,,,a a a a a a ---均为420的倍数 （注： 420为2, 3, 4, 5, 6, 7的最小公倍数），所以81213287()()()42072940a a a a a a a a -=-+-++->⨯=，所以8129402940a a >+>，这与2019N a ≤矛盾，因此数列A 至多有7项. ……………… 11分 如果数列A 的项数为7，那么213276,,,a a a a a a ---均为2, 3, 4, 5, 6的倍数，即213276,,,a a a a a a ---均为60的倍数（注：60为2, 3, 4, 5, 6的最小公倍数），又因为72019a ≤，且1237a a a a <<<<，所以6201960a -≤，52019260a -⨯≤，，12019660a ⨯≤-，所以1672019(201960)(2019660)12873a a a ++++-++-⨯=≤.当且仅当201960(7)159960i a i i =--=+（其中1,2,,7i =）时，167a a a +++取到最大值12873.验证知此数列为“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈.如果数列A 的项数小于或等于6，由2019N a ≤，得数列A 中所有项之和小于或等 于2019612114⨯=.综上可得：数列A 的所有元素之和的最大值为12873. ……………… 13分。

北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞ （C ）[1,)-+∞ （D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x =3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ⌝”为假命题 （D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ ） （A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+侧(左)视图正(主)视图俯视图221 1开始 4x >输出y 结束否 是 输入xy=12○1 6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ） （A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）E FD P C A BB OC A NM二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠= ，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时； ○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.。

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若集合，则A. B.C. D.2. 下列函数中，在区间上单调递增的是A. B. C. D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D.4. 已知为曲线：（为参数）上的动点．设为原点，则的最大值是A. B. C. D.5. 实数满足则的取值范围是A. B. C. D.6. 设是非零向量，且不共线．则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知，是函数的图象上的相异两点．若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是A. B. C. D.8. 在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）的乘积等于常数．已知pH值的定义为，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：，）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在复平面内，复数对应的点的坐标为____．10. 数列是公比为的等比数列，其前项和为．若，则____；____．11. 在△中，，，△的面积为，则____．.12. 把件不同的产品摆成一排．若其中的产品与产品都摆在产品的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）13. 从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何体的表面积是____．14. 已知函数若，则的值域是____；若的值域是，则实数的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值．16. （本小题满分13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求的分布列和数学期望．（Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断与的大小．（只需写出结论） 17. （本小题满分14分）如图，三棱柱中，平面，，.过的平面交于点，交于点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：四边形为平行四边形；（Ⅲ）若，求二面角的大小.18. （本小题满分13分）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）证明：在区间上恰有个零点．19. （本小题满分14分）已知椭圆过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．20. （本小题满分13分）数列：满足：，，或．对任意，都存在，使得，其中且两两不相等．（Ⅰ）若，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①；②；③（Ⅱ）记．若，证明：；（Ⅲ）若，求的最小值．。

市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学〔理科〕参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．(1,1)- 10．32n -，31411 12．813．3614．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cossin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos 212x x =-+[5分] π)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [ 8分] 〔Ⅱ〕因为π02x ≤≤，所以ππ2π2333x --≤≤． [10分] 当ππ232x -=，即5π12x =时， [11分]()f x 取得最1． [13分]16．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00〞，[ 1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 153(A)204P ==．[ 3分] 〔Ⅱ〕X 可能的取值为0,1,2．[ 4分]记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00〞，那么 51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=．[ 5分] 4(0)(B)(B)9P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=．[ 8分]所以 X 的分布列为：X 0 1 2 P4949194412()0129993E X =⨯+⨯+⨯=．[10分]注：学生得到X~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．〔Ⅲ〕22*s s <． [13分]17．〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥．[1分]因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥．[3分]所以 1AC ⊥平面1ABC ．[4分]〔Ⅱ〕因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以1//A A 平面11BB C C ．[ 5分] 因为 平面1AA EF平面11BB C C EF =，所以1//A A EF ．[ 6分]因为 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF平面ABC AF =，平面1AA EF平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [7分]所以 四边形1AA EF 为平行四边形．[8分] 〔Ⅲ〕在平面11AA C C ，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -． [9分]由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,1A ，1C ．因为23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-，所以 24(,,0)33F ．由〔Ⅰ〕得平面1ABC 的法向量为1(0,1,3)A C −−→=-． 设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，那么10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即330,240.33y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，那么2x =-，3z =-，所以 (2,1,3)=--n ． [11分]所以 111||2|cos ,|||||AC AC AC −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n ． [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分]18．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕当1a =时，()e sin 1x f x x =⋅-，所以 ()e (sin cos )xf x x x '=+．[ 2分]因为 (0)1f '=，(0)1f =-， [ 4分]所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-．[ 5分]〔Ⅱ〕()e (sin cos )axf x a x x '=+．[ 6分]由 ()0f x '=，得 sin cos 0a x x +=．[ 7分] 因为 0a >，所以π()02f '≠．[ 8分]当 ππ(0,)(,π)22x ∈时， 由 sin cos 0a x x +=， 得 1tan x a =-．所以 存在唯一的0π(,π)2x ∈， 使得01tan x a =-．[ 9分]()f x 与()f x '在区间(0,π)上的情况如下：x0(0,)x 0x0(,π)x()f x '+-()f x↗极大值 ↘所以()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减．[11分]因为π020π()()e 1e 102a f x f >=->-=， [12分]且 (0)(π)10f f ==-<，所以 ()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点．[13分]19．〔本小题总分值14分〕 解：〔Ⅰ〕由题意得 2a =，c e a ==， 所以c ． [ 2分] 因为 222a b c =+，[ 3分]所以 1b =， [ 4分] 所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=．[ 5分]〔Ⅱ〕假设四边形PAMN 是平行四边形，那么 //PA MN ，且 ||||PA MN =.[ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)y k x =-， 所以 (3,)P k，||PA [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(41)80k x +++=， [ 8分] 由0∆>，得 212k >．且12x x +=122841x x k =+．[ 9分]所以||MN=[10分]因为 ||||PA MN =， 所以整理得 421656330k k -+=， [12分]解得k =，或k =[13分]经检验均符合0∆>，但k =时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以 k =k =[14分]20．〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕②③．[ 3分]注：只得到 ② 或只得到 ③给[ 1分]，有错解不给分．〔Ⅱ〕当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为123,,q q q ，由题意1(1,2,3)i q i =≥． ①假设14q <，那么有12s t a a a a +<+〔对任意2s t >>〕，与矛盾，所以14q ≥．同理可证：34q ≥．[ 5分]② 假设21q =，那么存在唯一的{1,2,,}k n ∈，使得2k a =．那么，对,s t ∀，有 112k s t a a a a +=+≠+〔,,k s t 两两不相等〕， 与矛盾，所以22q ≥．[ 7分]综上：1324,4,2q q q ≥≥≥，所以3120i i S iq ==∑≥．[ 8分]〔Ⅲ〕设1,2,,2018出现频数依次为122018,,...,q q q ．同〔Ⅱ〕的证明，可得120184,4q q ≥≥，220172,2q q ≥≥，那么2026n ≥．取12018220174,2q q q q ====，1,3,4,5,,2016i q i == ，得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B ．[10分]下面证明n B 满足题目要求．对,{1,2,,2026}i j ∀∈，不妨令i j a a ≤，① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，所以符合条件； ② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，220172,2q q ==， 所以也成立；③ 如果1,2i j a a =>，那么可选取2,1s t j a a a ==-；同样的，如果2017,2018i j a a <=， 那么可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等；.11 / 11 ④ 如果12018i j a a <<≤，那么可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈且两两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026．[13分]。

2018年北京各区高三上期末理科数学分类汇编---解析几何1.（西城）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值． 解：（Ⅰ）由题意得 2a =，c e a ==， 所以c = [ 2分] 因为 222a b c =+， [ 3分] 所以 1b =， [ 4分] 所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=． [ 5分] （Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =. [ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)y k x =-，所以 (3,)P k，||PA [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(41)80k x +++=， [ 8分] 由0∆>，得 212k >．且12x x +=122841x x k =+． [ 9分] 所以||MN == [10分]因为 ||||PA MN =， 所以整理得 421656330k k -+=， [12分]解得k =k = [13分]经检验均符合0∆>，但k =PAMN 是平行四边形，舍去． 所以k =，或k = [14分]2.（海淀）设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x y m m-=表示双曲线”的A（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3. （海淀）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为 D（A（B（C或 （D4.（海淀）已知点F 为抛物线C ：()220ypx p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M 在抛物线C 上，则下列说法错误．．的是 C （A ）使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个 （B ）使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个（C ）使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个 （D ）使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个5. （海淀）点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是6. （海淀）设抛物线C ：24y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于A ，B 两点，则OA OB += ．27. （海淀）已知椭圆C ：2229x y +=，点(2,0)P .（Ⅰ）求椭圆C 的短轴长与离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，设MN 的中点为T ，判断||TP 与||TM 的大小，并证明你的结论.解：（Ⅰ）C ：22192x y +=，故29a =，292b =，292c =，有3a =，b c ==分椭圆C 的短轴长为2b =……………..3分离心率为2c e a ==. ……………..5分（Ⅱ）方法1：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=……………..7分当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ……………..8分22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+ ……………..9分 PM PN ⋅uuu r uuu r1212(2)(2)x x y y =--+ 21212(2)(2)(1)(1)x x k x x =--+-- 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =+-++++2222222294(1)(2)42121k k k k k k k -=+⋅-+⋅++++226521k k +=-+ 0<……………..13分故90MPN ∠>︒，即点P 在以MN 为直径的圆内，故||||TP TM <（Ⅱ）方法2：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=……………..7分当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)T T T x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ……………..8分22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+ ……………..9分212212()221T k x x x k =+=+，2(1)21T T k y k x k =-=-+ ……………..10分222242222222222222(22)494||(2)(2)()2121(21)(21)T Tk k k k k k TP x y k k k k ++++=-+=-+-==++++……………..11分22222212121222224222222222111||(||)(1)()(1)()42441429(1)(169)16259(1)[()4]42121(21)(21)TM MN k x x k x x x x k k k k k k k k k k k ⎡⎤==+-=++-⎣⎦-++++=+-⋅==++++……………..12分此时，424242222222221625949412165||||0(21)(21)(21)k k k k k k TM TP k k k ++++++-=-=>+++ ……………..13分故||||TM TP >8.（朝阳）已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是 BA. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分9.（朝阳）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C的离心率为，则双曲线C 的渐近线方程为 . y x =±10.（朝阳）已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：FT MN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分 （Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合， 即FTMN . …………6分（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)NN N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N N x x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NNy y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1N N x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分11.（通州）已知点(2P 为抛物线22y px =上一点，那么点P 到抛物线准线的距离是 C A ．2 B．．3 D ． 4 12.（通州）已知a ∈R ，那么“直线1y ax =-与42y ax =-+垂直”是“12a =”的B A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 13.（通州）已知点P的坐标是()，将OP 绕坐标原点顺时针旋转至OQ ，那么点Q 的横坐O 3π标是_______.214. （通州）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>过点()0,1-，离心率2e =（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点(),0P m ，过点()1,0作斜率为()0k k ≠直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分MPN ∠ ，求m 的值．解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，过点()0,1-，离心率2e =， 所以1b =，2c a =……………………2分 所以由222a b c =+，得2 2.a =……………………3分所以椭圆C 的标准方程是22 1.2x y +=……………………4分 （Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是(1)y k x =-.联立方程组()221,1,2y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得()2222124220.k x k x k +-+-=显然0.∆>设点()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122412k x x k +=+，212222.12k x x k -⋅=+……………………7分 因为x 轴平分MPN ∠，所以MPO NPO ∠=∠. 所以0.MP NP k k +=……………………9分 所以12120.y y x m x m+=--所以()()12210.y x m y x m -+-= 所以()()()()1221110.k x x m k x x m --+--= 所以()()1212220.k x x k km x x km ⋅-+++=所以()2222224220.1212k k k k km km k k -⋅-++=++所以2420.12k kmk -+=+……………………12分所以420.k km -+= 因为0k ≠，所以 2.m =……………………13分15.（东城）已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则b = ；若双曲线1C 与C 不同，且与C 有相同的渐近线，则1C 的方程可以为 ．（写出一个答案即可）1，222x y -=等16. （东城）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：，经过其左焦点(1,0)F -且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) O 为原点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：（I）由题意得2212 1.a ab ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程为2212x y +=. （II ）当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =+≠.由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(12)4(22)0k x k x k +++-=. 易得0∆>.设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122212241222.12k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 设(,0)Q t .由点,M N 在x 轴异侧，则问题等价于 “QF 平分MQN ∠ ”，且12,x t x t ≠≠，又等价于① ②“12120QM QN y yk k x t x t+=+=--”，即1221()()0y x t y x t -+-=. 将1122(1),(1)y k x y k x =+=+代入上式，整理得12122()(1)20x x x x t t ++--=. 将①②代入上式，整理得20t +=，即2t =-， 所以(20)Q -，.当直线MN 的斜率不存在时，存在(20)Q -，也使得点F 到直线QM ，QN 的距离相等. 故在x 轴上存在定点(20)Q -，，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等.17.（顺义） 已知抛物线（）的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为.如果是边长为的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为__________,点的横坐标______.（0，1）；318.（顺义）已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由已知————2分，椭圆的方程为；————4分，即————10分，对满足恒成立，，故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.——14分19.（大兴）双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为（）AA．y=±xB．y=±xC．y=±2xD．y=±x【考点】双曲线的标准方程．【分析】双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为x2﹣y2=0，由此能求出结果．【解答】解：x2﹣y2=2的渐近线方程为x2﹣y2=0，整理，得y=±x．故选：A．20.（大兴）直线y=x被圆x2+y2﹣2y﹣3=0截得的弦长等于．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线y=x的距离d的值，再根据弦长公式求得弦长．【解答】解：圆x2+y2﹣2y﹣3=0即x2+（y﹣1）2=4，表示以C（0，1）为圆心，半径等于2的圆．由于圆心到直线y=x 的距离为d=，故弦长为2=，故答案为：．21.（大兴）已知椭圆G ：上的点到两焦点的距离之和等于．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）经过椭圆G 右焦点F 的直线m （不经过点M ）与椭圆交于A ，B 两点，与直线l ：x=4相交于C 点，记直线MA ，MB ，MC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．求证：为定值．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由椭圆定义知：，即，将点的坐标代入椭圆，求出b 的值，则椭圆G 的方程可求； （Ⅱ）由（Ⅰ）知右焦点F （2，0），由题意，直线m 有斜率，设方程为y=k （x ﹣2），令x=4，得点C （4，2k ），即可求出k 3的斜率，联立，得到：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x+8k 2﹣8=0，由△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），再由根与系数的关系得到x 1+x 2和x 1•x 2，则k 1+k 2可求，进一步得到要证明的结论． 【解答】（Ⅰ）解：由椭圆定义知：，∴．∴椭圆，将点的坐标代入得b 2=4．∴椭圆G 的方程为；（Ⅱ）证明：右焦点F （2，0），由题意，直线m 有斜率，设方程为y=k （x ﹣2），令x=4，得点C （4，2k ），∴； 又由消元得：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x+8k 2﹣8=0，显然△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，∴====．∴k 1+k 2=2k 3，即为定值．22. （昌平）已知直线:4350l x y ++=，点P 是圆22(1)(2)1x y -+-=上的点，那么点P 到直 线l 的距离的最小值是 223.（房山） 已知直线l 过点)1,0(P ，圆C :08622=+-+x y x ,直线l 与圆C 交于B A ,两点. （I ） 求直线PC 的方程；（II ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在过点），（46Q 且垂直平分弦AB 的直线1l ?若存在，求直线1l 斜率1k 的值，若不存在，请说明理由．（I ）设圆()13:22=+-y x C ,圆心为()03，C ， 故直线PC 的方程为13=+y x ，即033=-+y x …………………5分 （II ）法1：直线l 的方程为1+=kx y ，则由⎩⎨⎧=+-++=086122x y x kx y 得()0962)12=+-++x x x k （ 由()()01366222>+--=∆k k 得03624-2>-k k 故043-<<k …………………10分 法2：直线l 的方程为1+=kx y ，即01y -=+kx ，圆心为()03，C ，圆的半径为1则圆心到直线的距离1132++=k k d 因为直线与有交于B A ,两点，故11132<++k k ，故043-<<k（Ⅲ）假设存在直线1l 垂直平分于弦AB ,此时直线1l 过），（46Q ，()03，C ，则 3436041=--=k ，故AB 的斜率43-=k ，由（II ）可知，不满足条件 所以，不存在存在直线1l 垂直于弦AB 。

三角【西城期末】11．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC ，则c =____． 【东城期末】（2）函数3sin(2)4y x π=+图像的两条相邻对称轴之间的距离是 A. 2π B. π C. 2π D. 4π 【朝阳期末】14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α- . 后退l (单位m)至点2P处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为m ；旗杆BA 的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）【石景山期末】4．以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点()2,4P ，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13- B.3- C ．13D ．3【海淀期末】（15）（本小题13分）如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且3,,36AD BC AB ADB C ππ==∠=∠=.（Ⅰ）求DC 的值；（Ⅱ）求tan ABC ∠的值.【西城期末】15．（本小题满分13分） 已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0,]2上的最大值． 【东城期末】（15）（本小题13分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2,2sin sin a A C ==. （Ⅰ）求c 的长； （Ⅱ）若1cos 24C =-，求ABC ∆的面积. 【朝阳期末】15. (本小题满分13分) 已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-， 且02A π<<，求()fB 的取值范围. 【丰台期末】）15．在ABC ∆222sin B B =．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若4a =，ABC S ∆=b 的值.【石景山期末】15．（本小题共13分）如图，在ABC V 中，D 为边BC 上一点，6AD =，3BD =，2DC =． （Ⅰ）若2ADB π∠=，求BAC ∠的大小；（Ⅱ）若23ADBπ∠=，求ABCV的面积．图1B DACAC图2。