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当我们不能用数学的圆规和经验的火炬时，… … 肯定的，我们连一步也不能向前迈进。
--------沃尔泰（法）代数是搞清楚世界上数量关系的智力工具。
--------A.N.怀特海(法)第4章古代印度与阿拉伯的数学§4.1 古代印度数学§4.2 中世纪阿拉伯数学§4.1 古代印度数学一、古代印度历史文化简述印度位于喜马拉雅山南麓的印度河、恒河流域的南亚次大陆。
（我国汉代史籍称之为“天竺”、唐代改译为“印度”），印度文明可远溯至公元前3000年，印度的主要原始居民达罗毗荼人创造了古老的哈拉帕文化。
他们发展了相当水平的农业（其中植棉在世界上最早）、手工制造业和畜牧业，还建立了许多规模宏大的城市。
在公元前2000年左右属于印欧语系的雅利安人部落从中亚高原南下，入侵印度，征服达罗毗荼人，哈拉帕文化开始走向衰亡。
公元前1000年左右，印度开始进入奴隶制社会，南亚次大陆共出现20个左右奴隶制小型国家，互相征战，争夺霸权。
公元前6世纪，以恒河流域为中心的北印度逐步形成一个奴隶制君主专制的统一国家摩揭陀王国。
到公元前四世纪末，发展为强盛的孔雀王朝（约公元前324～前185年）。
在此期间，印度曾不断遭受外族入侵。
公元前500多年，波斯帝国曾将印度部分土地并入它的版图；公元前327年，亚历山大大帝入侵旁遮普，在此建立了马其顿人的莫尔雅帝国。
公元一世纪，大月氏人（原为我国甘肃敦煌一带的游牧民族）征服整个印度河流域，并将它们并入贵霜帝国。
虽然公元四世纪至五世纪初，印度的笈多王朝（320～540）兴起，重新确立对印度西北部的统治，但从五世纪中叶开始，印度又相继遭受匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占。
这一切都使得古印度文明呈现东西方文明交错的多元化复杂背景。
古代印度的数学主要起源于农业（天文观测）和宗教。
印度是世界上宗教发展最早且最发达的国家，早在公元前一千多年，雅利安人为维护奴隶主统治就创立了婆罗门教（公元4世纪后改为印度教）。
古印度数学与阿拉伯数学的共同起源与发展古印度数学和阿拉伯数学是世界数学史上的两个重要分支，它们在数学理论和实践方面做出了巨大贡献。
本文将探讨古印度数学和阿拉伯数学的共同起源与发展。
一、数学的起源与传播数学作为一门学科，在古代的印度和阿拉伯世界都取得了长足的发展，但它们的起源可以追溯到更早的一段历史。
古印度数学的起源可以追溯到公元前6世纪，当时印度哲学家和数学家开始研究数学问题。
随着时间的推移，古印度数学逐渐发展成为系统的数学体系，并通过贡献者之间的交流和辩论不断完善。
古印度数学的发展与传播与古希腊数学的发展有着密切的联系。
从公元前4世纪开始，亚历山大大帝征服了印度北部，并将希腊数学的知识带到了印度。
这种希腊数学的影响促使了古印度数学的进一步发展。
同时，随着印度与包括阿拉伯地区在内的其他文明的交流，古印度数学的知识开始向外传播。
阿拉伯数学的起源可以追溯到公元7世纪，当时伊斯兰教的迅速传播导致了阿拉伯地区的文化繁荣。
阿拉伯数学家接触到了古印度数学的知识，并将其翻译成阿拉伯语，使其能够更广泛地传播。
阿拉伯数学家通过将古印度数学与希腊数学相结合，开辟了阿拉伯数学的新篇章。
二、数学理论的共同贡献古印度数学和阿拉伯数学在数学理论方面都有着深远的影响。
首先是十进制数制的发展。
古印度数学家提出了十进制系统，将数字0-9作为基本数字，并使用位置计数法。
这种系统的使用在阿拉伯数学中广泛传播，并成为现代数学的基础。
其次是代数学的发展。
古印度数学家开创了一种称为“绳索数学”的方法，用于解决代数方程。
这种方法在阿拉伯数学中得到了进一步的发展，并形成了代数学理论中的一些基本概念和方法。
古印度数学和阿拉伯数学在几何学方面也有所贡献。
古印度数学家提出了一种高效的几何理论，包括计算尺寸、面积和体积的方法。
这些方法在阿拉伯数学中得到了广泛应用，并对欧洲文艺复兴时期的几何学产生了重要影响。
三、数学实践的共同发展除了数学理论方面的贡献，古印度数学和阿拉伯数学在数学实践方面也做出了重要贡献。
《数学发展简史》主讲教师：王幼军目录导言：为什么学习数学史第一讲：早期文明中的数学1．古埃及的数学2．巴比伦的数学3．中国早期的数学第二讲：古希腊的数学1．希腊数学——从爱奥尼亚到亚历山大2．亚历山大时期第三讲：中国古代的数学1．汉以前的中国数学2．从魏晋到隋唐时期的中国数学3．十二、三世纪的宋元数学第四讲：印度与阿拉伯的数学1．印度的数学2．阿拉伯数学第五章：数学的复兴1．中世纪的欧洲数学2．经验主义数学观的形成及其对于近代数学实践的影响3．三次、四次方程的求根公式的解决4．三角学的历史第六讲：近代数学的兴起1．对数2．解析几何的诞生3．微积分的产生与发展4．概率论的产生第七讲：近代数学的发展1．几何学的发展2．代数学的发展3．分析学的发展4．公理化运动第八讲：现代数学概观1．集合论悖论与数学基础的研究2．纯数学的发展3．应用数学的发展4．六十年代以后的数学导言：为什么学习数学史1．为了更全面、更深刻地了解数学每一门学科都有它的历史，文学有文学史，哲学有哲学史，天文学有天文学史等等。
数学有它自己的发展过程，有它的历史。
它是活生生的、有血有肉的。
无论是概念还是体系，无论是内容还是方法，都只有在与其发展过程相联系时，才容易被理解。
可以说，不懂得数学史，就不能真心地理解数学。
数学课本上的数学，经过多次加工，已经不是原来的面貌；刀斧的痕迹，清晰可见。
数学教师要把课本上的内容放到历史的背景上考察，才能求得自己的理解；然后，才有可能帮助学生理解。
2．为了总结经验教训，探索发展规律我国自古以来就非常重视历史、“前事之不忘，后事之师”（《战国策·赵策一》）早已成为人们的共识。
英国哲学家培根（Francis Bacon，1561—1626）的名言“历史使人明智”（Histories make men wise）也是尽人皆知的成语。
数学有悠久的历史，它的成长道路是相当曲折的。
有时兴旺发达，有时衰败凋残。
第4章印度与阿拉伯数学主题：东方数学与古希腊数学的对比线索：1印度数学发展的三大重要时期是什么？2 《绳法经》有哪些主要数学成果？3 “巴克利沙手稿”有哪些主要数学成果？4 “0”号的发明和传播过程是怎样的？5 “悉檀多”时期的印度数学有哪些方面的成果？6 “悉檀多”时期的主要代表人物及其数学成果？7 花拉子米《代数学》上的主要数学成果？8 阿拉伯在高次方程数值求解上有哪些主要数学成果？9 阿拉伯在三角学和几何学上有哪些发展？背景：大约公元前3000年，印度土著居民大达罗比荼人在印度河流域创造了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文明”。
此后，多个民族多次入侵了印度，从而使印度文明（包括数学发展）呈现了多元化复杂背景。
印度数学与宗教密切相关。
“阿拉伯数学”指8－15C阿拉伯帝国统治下的整个中亚和西亚地区的数学。
包括希腊人、波斯人和基督徒所写的阿拉伯文数学。
在世界文明史上，阿拉伯在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲文艺复兴准备学术的前提做出了巨大贡献。
概述：本章第一部分主要介绍印度数学发展的几个重要时期的数学成果及其在数学史上的重要意义。
第二部分介绍阿拉伯数学在代数、三角学和几何学上的发展。
主要内容：一、印度数学：1 印度数学三个重要时期：达罗吡荼人时期（约前3000－前1400），史称河谷文化；吠托时期（约前10世纪－前3世纪）；悉檀多时期（5世纪－12世纪）。
达罗吡荼人时期达罗比荼人的象形文字至今不能解读，所以对这一时期印度数学的实际情况了解甚少。
吠托时期《绳法经》：最早可考文字是婆罗门教的经典《吠陀》，其中关于庙宇、祭坛设计与测量的部分为《绳法经》（《测绳法规》）（约前8世纪－前2世纪），包括几何和代数计算问题，如勾股定理、矩形对角线性质、相似直线形的性质以及一些作图法等。
几何计算导致了求解一、二次代数方程问题，用算术方法给出了求解公式。
“巴克利沙手稿”：公元前2C －3C 的印度数学。
印度数学与阿拉伯数学数学，作为一门古老而深邃的学科，在人类文明的发展历程中扮演着至关重要的角色。
其中，印度数学和阿拉伯数学犹如两颗璀璨的明珠，各自闪耀着独特的光芒，为数学的宝库增添了丰富而珍贵的财富。
印度数学的起源可以追溯到数千年前的吠陀时期。
当时的印度学者就已经对数学有了初步的探索和研究。
印度人发明了十进制计数法，这一伟大的创造使得数字的表示和运算变得更加简便和高效。
十进制计数法以其简洁明了的特点，被广泛应用于世界各地，成为现代数学的基础之一。
印度数学在算术方面有着卓越的成就。
例如，他们很早就掌握了整数和分数的运算规则，并且能够熟练地进行加减乘除等基本运算。
印度数学家还提出了“零”的概念，这是数学史上的一个重大突破。
“零”的引入不仅丰富了数学的内涵，也为后续的数学发展奠定了坚实的基础。
在代数领域，印度数学也有着显著的贡献。
印度数学家发明了用字母表示未知数的方法，这为现代代数的发展铺平了道路。
他们还研究了一元二次方程的求解方法，并得出了一系列准确而实用的公式。
此外，印度数学中的排列组合知识也相当丰富，为后来的概率论的发展提供了重要的思想源泉。
印度的几何数学同样不容忽视。
在测量和建筑领域，印度人积累了丰富的经验，形成了独特的几何理论。
他们对三角形、圆形等基本图形的性质有着深刻的理解，并能够运用这些知识解决实际问题。
与印度数学相比，阿拉伯数学在吸收和融合其他文明数学成果的基础上，也取得了令人瞩目的成就。
阿拉伯人在数学传播方面发挥了关键作用。
在中世纪时期，欧洲的数学发展相对滞后，而阿拉伯地区则成为了数学知识的重要交流中心。
阿拉伯学者将印度数学、古希腊数学等不同文明的数学成果翻译成阿拉伯文，并加以整理和研究，使得这些宝贵的知识得以保存和传承。
阿拉伯数学在代数方面的成就尤为突出。
阿拉伯数学家对代数方程的研究更加深入和系统，他们完善了一元二次方程的求解方法，并将其推广到更高次方程的求解。
此外，他们还发展了多项式的运算理论，为代数学的进一步发展奠定了基础。
第四讲印度与阿拉伯的数学及近代数学的兴起第一部分印度与阿拉伯的数学一、印度数学1921年--1922年间，印度河流域莫亨佐•达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”。
这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右。
大约到了公元前2000年纪中叶，操印欧语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。
印度历史上曾出现过强盛独立的王朝，如孔雀王朝(公元前324-前185)、笈多王朝(320-540)，但总体而言，整个古代与中世纪，富庶的南亚次大陆几乎不断地处于外族的侵扰之下。
公元前6世纪，波斯帝国将印度变为它的辖区；公元前327年，亚历山大大帝赶走了波斯人，却在这里建立了马其顿人的莫尔雅帝国；大月氏人又曾将印度并入贵霜帝国的版图(1世纪-3世纪)。
公元5世纪以后，印度更是先后遭受匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占。
这种多民族的交替入侵，使古代的印度文化包括印度数学不可避免地呈现出多元化的复杂背景。
如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响。
雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前世纪)兴起的佛教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围。
印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(公元前3000-前1400)，史称河谷文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪—前3世纪)；其次是悉檀多时期(5世纪—12世纪)。
1、古代《纯法经》关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测纯的法规》，即《纯法经》，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品。
其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题。
如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等。
2、“巴克沙利手稿”与零号关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学，可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”。
其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等。
用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明。
在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算。
“0”作为记数法中的空位，在位值制记数的文明中不可缺少，只不过不同的文明采取了不同的表示方法。
印度人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号。
到公元11世纪，包括有零号的印度数码和十进位值记数法臻于成熟，特别是印度人不仅把“0”看作记数法中的空位，而且也视其可施行运算的一个独立的数。
婆罗摩笈多、马哈维拉和婆什迦逻的著作中都有关于零的运算法则的记述。
印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲。
零号的传播则要晚些。
3、“悉檀多”时期的印度数学悉檀多(原为佛教因明术语，可意译为“宗”，或“体系”)时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿耶波多(476-约550)、波罗摩笈多(598-665)、马哈维拉(9世纪)和婆什迦罗(1114-约1185)等。
(一)阿耶波多。
阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世。
该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。
阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”方法(原意“粉碎”)方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法。
(二)婆罗摩笈多。
婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》(628)和《肯德卡迪亚格》(约665)，都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵。
婆罗摩笈多最突出的贡献是给出今天所谓佩尔方程的一种特殊解法，名为“瓦格布拉蒂”。
(三)马哈维拉。
7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁荣。
如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起，那么9世纪以后发生了改变。
这期间的代表是马哈维拉的《计算方法纲要》，与中国的《九章算术》相同或相近。
(四)婆什迦罗。
婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，长期在乌贾因负责天文台工作。
他有两本代表印度古代数学最高水平的著作《莉拉沃蒂》和《算法本源》，天文著作有《天球》和《天文系统之冠》。
关于《莉拉沃蒂》书名，有一个美丽动人的传说：莉拉沃蒂是婆什迦罗女儿的名字(原意是“美丽”)，占星家预言她终身不能结婚。
也是占星家的婆什迦罗为女儿预占吉日，他把一个底部有孔的杯子放入水中，让水从孔中慢慢渗入，杯子沉没之时，也就是他女儿的吉日来临之际。
女儿带着好奇观看这只待沉的杯子，不想颈项上一颗珍珠落入杯中，正好堵塞了漏水的小孔，杯子停止了继续下沉，这样注定莉拉沃蒂永不能出嫁。
婆什迦罗为了安慰女儿，把他所写的算书以她的名字命名，以使她的名字随同这本书一起流芳百世，该书后来在莫卧儿帝国的帝王阿克巴(1556-1605在位)的授意下，由菲济译成波斯文。
这个传说来源于菲济的记载。
《莉拉沃蒂》共有13章。
该书中很多数学问题是用歌谣的形式给出的。
由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文数学受外来文化影响较深，除希腊天文数学外，也不排除中国文化的影响，然而印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点。
与算术和代数相比，印度人在几何方面的工作则显得薄弱。
二、阿拉伯数学“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学，而是指8-15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学，包括希腊人、波斯人、犹太人和基督徒等所写的阿拉伯文及波斯文等数学著作。
穆斯林在穆罕默德的鼓舞下，在他死后(632)不到半个世纪的时间内征服了从印度到西班牙，乃至北非和南意大利的大片土地，到7世纪初，阿拉伯半岛基本统一。
755年阿拉伯帝国分裂为两个独立王国。
东部王国阿拔斯王朝，762年迁都巴格达。
西部王国，则定都西班牙的哥尔多华。
909年，在北非突尼斯又建立一个新的哈里发国家，973年迁都埃及开罗。
在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献。
阿拉伯建国后，东西两个帝国的哈里发都十分重视科学与事业，他们曾经从拜占庭帝国收买大量希腊人手稿，他们还邀请各地科学家到他们的首都从事科学研究，巴格达成为当时的科学文化中心，阿拔斯王朝在那里设立的“智慧宫”，吸引了大批学者，他们掀起了著名的翻译运动。
在曼苏尔哈里发时期，婆罗摩笈多等印度天算家的著作在766年左右已传入巴格达，并译成阿拉伯文，8世纪末到9世纪世纪初的兰希哈里发时期，包括《几何原本》和《大成》在内的希腊天文数学经典先后被译成阿拉伯文。
9世纪最著名的翻译家塔比•伊本••库拉翻译了欧几里得、阿婆罗尼奥斯、阿基米德、托勒玫、狄奥多修斯等人的著作。
到10世纪丢番图、海伦等人的著作也被译成阿拉伯文。
阿拉伯学者们在广泛吸收古希腊、印度与中国的数学成果的基础上，也加上了他们自己的创造，使阿拉伯数学取得了对文艺复兴以后欧洲数学的进步有深刻影响的发展。
1、阿拉伯的代数(一)花拉子米《代数学》。
阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数方面。
花拉子米(约783-850)是对欧洲数学影响最大的中世纪阿拉伯数学家，生于波斯北部花拉子米城(今乌兹别克斯坦境内)，曾就学于中亚古城默夫，813年后来到巴格达，成为智慧宫的领头学者。
他的《还原与对消计算概要》（约820年前后）一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响。
阿拉伯语“al-jabr”，意为还原，即移项；“wa’l-muqabala”，意为对消，即同类项合并。
传入欧洲后，到14世纪“al-jabr”演变为拉丁语“algebra”，就成了今天英文“algebra”(代数)一词的来源，因此花拉子米的上述著作通常也称为《代数学》。
《代数学》所讨论的数学问题本身大都比丢番图和印度人的问题简单，但它探讨一般性解法，因而远比丢番图的著作接近于近代初等代数。
书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了一元二次方程的一般性解法及几何证明，同时又引进了移项、同类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数学开拓了道路。
《代数学》约1140年被英国人罗伯特译成拉丁文，作为标准的数学课本在欧洲使用了数百年，引导了16世纪意大利代数方程求解方面的突破。
《代数学》首先指出，该书的数学问题都是由根（x）、平方（x2）和数（常数）这三者组成。
接着分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题。
花拉子米的另一本书《印度计算法》也是数学史上十分有价值的数学著作，其中系统介绍了印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法。
（二）奥马·海亚姆与三次方程波斯人奥马·海亚姆（约1048－1131）是11世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人，生于霍拉桑的内沙布尔（今伊朗境内）。
他曾得到塞尔柱统治者马利克沙（1055－1092）的重用，受命在伊斯法罕（亦在今伊朗境内）天文台负责历法改革工作，制定了精密的哲拉里历。
他在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题的论证》（简称《代数学》）一书中，其中有开平方、开立方算法，但该书对代数学最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方程。
在使用数学符号方面，与丢番图相比阿拉伯人退步了，阿拉伯数学家没有继承丢番图的做法，始终用语言叙述他们的解法。
2、阿拉伯的三角学与几何学由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，以及希腊托勒玫的《大成》、梅内劳斯的《球面学》等古典著作。
对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿尔·巴塔尼（858？－929）作出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家。
其《天文论著》（又名《星的科学》）被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽俐略等人都利用和参考了它的成果。
1201年纳西尔·丁出生于伊朗的图斯，生活于十字军和蒙古人的侵占时代，是一位知识渊博的学者。
他的《论完全四边形》是一部脱离天文学的系统的三角学专著。
与希腊人三角术的几何性质相比，阿拉伯人的三角术与印度人一样是算术性的。
与阿拉伯人的代数成就和三角学成就相比，阿拉伯人在几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲。
阿拉伯人关于第五公设证明的尝试，诱发后世欧洲学者在这方面的兴趣，对非欧几何的诞生有一定的影响。
第二部分近代数学的兴起一、中世纪的欧洲公元5－11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态，其在数学领域毫无成就。
