高中数学《导数的计算-基本初等函数的导数及导数的运算法则》教案3 选修2-2
一、教学目标： 了解复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数.
二、教学重点： 掌握复合函数导数的求法
教学难点： 准确识别一个复合函数的复合过程以便准确应用求导法则进行求导.
三、教学过程：
（一）复习引入
1. 几种常见函数的导数公式
(C )'＝0 (C 为常数)． (x n )'＝nx n －1 (n ∈Q)． ( sin x )'＝cos x ． ( cos x )'＝－
sin x ．
2．和（或差）的导数 (u ±v )'＝u '±v '．
3．积的导数 (uv )'＝u 'v ＋uv '． (Cu )'＝Cu ' ．
4．商的导数 ).0(2≠'-'='??? ??v v v u v u v u
（二）讲授新课
1．复合函数：
如 y ＝(3x －2)2由二次函数y ＝u 2 和一次函数u ＝3x －2“复合”而成的．y ＝u 2 ＝(3x －2)2 ．
像y ＝(3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．
练习：指出下列函数是怎样复合而成的．
.)12(tan )4( ;)3cos 1()3( );11(sin )2( ;)1()1(33232+=+=-=-=x x y x y x y x y 复合函数的导数
一般地，设函数u ＝?(x )在点x 处有导数u'x ＝?'(x )，函数y ＝f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '(u ) ，则复合函数y ＝f (?(x )) 在点x 处也有导数，且 y'x ＝y'u ·u'x ． 或写作 f 'x (?(x ))＝f '(u ) ?'(x )．
复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．
例1 求y ＝(3x －2)2的导数．
解：y'＝[(3x －2)2]' ＝(9x 2－12x ＋4)'＝18x －12． 法1
函数y ＝(3x －2)2又可以看成由y ＝u 2 ，u ＝3x －2复合而成，其中u 称为中间变量．
由于y'u ＝2u ，u'x ＝3，
因而 y'x ＝y'u ·u'x ＝2u ·3＝2u ·3＝2(3x －2)·3＝18x －12．
法2 y'x ＝y'u ·u'x
例2 求y ＝(2x ＋1)5的导数．
解：设y ＝u 5，u ＝2x ＋1，
则 y'x ＝y'u ·u'x ＝(u 5)'u ·(2x ＋1) 'x ＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4．
例3. 教材P17面的例4
练习1.教科书P.18面 练习
练习2. 求函数x y 311-=
的导数. 例4..3114的导数求??
? ??-=x y 解：.)31(31144
--=??? ??-=x x y 设y ＝u －4，u ＝1－3x ，则
y'x ＝y'u ·u'x ＝(u －4)'u ·(1－3x )'x ＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝.)31(125x - 例5. .1)32(22的导数求函数x
x y +-= 例6．求)132ln(2++=x x y 的导数．
解： )132(132122'++?++='x x x x y .1
32342+++=x x x 例7． 求21lg x y -=的导数．
解法1：)1(1lg 22'-?-='x x e y )1(1lg 22x x x e --?-=.1
lg 2-=x e x 解法2：21lg x y -=),1lg(2
12x -= )1(1lg 2122'-?-?='x x e y .1
lg 2-=x e x
（三）课堂小结
复合函数的导数：f 'x (?(x ))＝f '(u ) ?'(x )．
（四）课后作业
《习案》作业六