北师大版数学高二-高中数学《导数的计算-基本初等函数的导数及导数的运算法则》教案3 选修2-2
- 格式:doc
- 大小:44.50 KB
- 文档页数:2
§4 导数的四则运算法则第一课时 导数的加法与减法法则一、教学目标:1、了解两个函数的和、差的求导公式;2、会运用上述公式,求含有和、差综合运算的函数的导数;3、能运用导数的几何意义,求过曲线上一点的切线。
二、教学重点:函数和、差导数公式的应用教学难点:函数和、差导数公式的应用三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程(一)、复习:导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义:设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义,如果0→∆x 时,y ∆与x ∆的比x y ∆∆(也叫函数的平均变化率)有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数,记作0/x x y =,即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/ 2. 导数的几何意义:是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率如果)(x f y =在点0x 可导,则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数,此时对于每一个),(b a x ∈,都对应着一个确定的导数)(/x f ,从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数,简称导数,4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法:(1)求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆(2)求平均变化率xx y ∆=∆∆ (3)取极限,得导数/y =()f x '=xy x ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式:0'=C ;1)'(-=n n nx x(二)、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差),即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+证明:令)()()(x v x u x f y ±==,)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([,∴ x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆,x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±.例1:求下列函数的导数:(1)x x y 22+=; (2)x x y ln -=; (3))1)(1(2-+=x x y ; (4)221x xx y +-=。
2.4 导数的四则运算法则教学过程:一、复习引入:常见函数的导数公式:0'=C ;()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ; ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =; x x sin )'(cos -=二、讲解新课:例1.求2y x x =+的导数.法则 1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2常数与函数的积的导数,等于常数与函数的积的导数.[]()'()'cf x cf x =法则3两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+证明:令()()y f x g x =,则=∆y ()f x x +∆()g x x +∆-()()f x g x()f x x =+∆()g x x +∆-()f x ()g x x +∆+()f x ()g x x +∆-()()f x g x , =∆∆x y ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x ()()g x x g x x+∆-∆ 因为()g x 在点x 处可导,所以它在点x 处连续,于是当0→∆x 时,()()g x x g x +∆→, 从而0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x 0lim →∆x ()()g x x g x x+∆-∆ '()()()'()f x g x f x g x =+,法则4 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭三、讲解范例:例1 求下列函数的导数1、y =x 2+sin x 的导数.2、求2(23)(32)y x x =+-的导数.(两种方法) 3、求下列函数的导数 ⑴()sin h x x x = ⑵21()t s t t += 4、y =5x 10sin x -2x cos x -9,求y ′5、求y =xx sin 2的导数. 变式:(1)求y =332++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x1·cos x 的导数. 例2求y =tan x 的导数.例3求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式:已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2),且在点M 处(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,求函数的解析式四、课堂练习:1.求下列函数的导数:(1)y =x a x a +- (2)y =232x x + (3)y =x cos 11- 五、小结 :由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导,而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(v u )′=2vv u v u '-'(v ≠0),如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则,来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业:。
导数的四则运算法则,反函数的导数教学目的:掌握导数的四则运算法则,掌握基本初等函数的求导公式,会求反函数的导数教学重点:导数的四则运算法则,反函数求导方法教学难点:反函数求导教学内容:1. 函数和、差、积、商的求导法则根据导数定义,很容易得到和、差、积、商的求导法则(假定下面出现的函数都是可导的)。
(1)()()[]()()x v x u x v x u '±'='± (2)()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u '+'='⋅()[]()x u c x cu '='()w uv w v u vw u uvw '+'+'='(3)()()()()()()()x v x v x u x v x u x v x u 2'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 这里仅证(2)()()()hx f h x f x f h -+='→0lim()()()()h x v x u h x v h x u h -++=→0lim ()()()()()()()()[]x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h h -+++-++=→1lim 0()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅++⋅-+=→h x v h x v x u h x v h x u h x u h 0lim ()()()()()()hx v h x v x u h x v h x u h x u h h h -+⋅++⋅-+=→→→000limlim lim()()()()x v x u x v x u '+'= 例1 x y tan =,求y '。
解:()()()x x x x x x x x y 2cos cos sin cos sin cos sin tan '-'='⎪⎭⎫⎝⎛='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=, 即 ()x x 2sec tan ='。
北师大版高二数学导数知识点汇总一、导数的概念与定义导数是微积分中的重要概念,表示函数在某一点的变化率。
导数的定义公式为:\[f'(x)=\lim_{{\Delta x \to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}}\]二、导数的基本运算法则1. 导数的线性性质:若函数f(x)和g(x)在点x处可导,则有以下运算法则:(a) (cf(x))' = cf'(x),其中c为常数;(b) (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x);2. 导数的乘积法则:若函数f(x)和g(x)在点x处可导,则有以下运算法则:(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x);3. 导数的商法则:若函数f(x)和g(x)在点x处可导且g(x)≠0,则有以下运算法则:\[\left(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\right)'=\frac{{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}}{{(g(x))^2}}\]三、常见函数的导数1. 常数函数的导数:常数函数f(x)=c,其中c为常数,导数为零,即f'(x)=0。
2. 幂函数的导数:幂函数f(x)=x^n,其中n为常数,导数为f'(x)=nx^{n-1}。
3. 指数函数的导数:指数函数f(x)=a^x,其中a为常数且a>0且a≠1,导数为f'(x)=a^xln(a)。
4. 对数函数的导数:对数函数f(x)=log_a(x),其中a为常数且a>0且a≠1,导数为f'(x)=\frac{1}{{xln(a)}}。
5. 三角函数的导数:常见的三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)等的导数分别为cos(x)、-sin(x)和sec^2(x)。
四、高阶导数和隐函数的导数1. 高阶导数:若函数f(x)在某一区间内的每一个点处都存在导数f'(x),则f'(x)也是一个函数,称为f(x)的一阶导函数。
高中数学《导数的计算-基本初等函数的导数及导数的运算法则》教案3 选修2-2
一、教学目标: 了解复合函数的求导法则,会求某些简单复合函数的导数.
二、教学重点: 掌握复合函数导数的求法
教学难点: 准确识别一个复合函数的复合过程以便准确应用求导法则进行求导.
三、教学过程:
(一)复习引入
1. 几种常见函数的导数公式
(C )'=0 (C 为常数). (x n )'=nx n -1 (n ∈Q). ( sin x )'=cos x . ( cos x )'=-
sin x .
2.和(或差)的导数 (u ±v )'=u '±v '.
3.积的导数 (uv )'=u 'v +uv '. (Cu )'=Cu ' .
4.商的导数 ).0(2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u
(二)讲授新课
1.复合函数:
如 y =(3x -2)2由二次函数y =u 2 和一次函数u =3x -2“复合”而成的.y =u 2 =(3x -2)2 .
像y =(3x -2)2这样由几个函数复合而成的函数,就是复合函数.
练习:指出下列函数是怎样复合而成的.
.)12(tan )4( ;)3cos 1()3( );11(sin )2( ;)1()1(33232+=+=-=-=x x y x y x y x y 复合函数的导数
一般地,设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u'x =ϕ'(x ),函数y =f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y'u =f '(u ) ,则复合函数y =f (ϕ(x )) 在点x 处也有导数,且 y'x =y'u ·u'x . 或写作 f 'x (ϕ(x ))=f '(u ) ϕ'(x ).
复合函数对自变量的求导法则,即复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的函数,乘中间变量对自变量的导数.
例1 求y =(3x -2)2的导数.
解:y'=[(3x -2)2]' =(9x 2-12x +4)'=18x -12. 法1
函数y =(3x -2)2又可以看成由y =u 2 ,u =3x -2复合而成,其中u 称为中间变量.
由于y'u =2u ,u'x =3,
因而 y'x =y'u ·u'x =2u ·3=2u ·3=2(3x -2)·3=18x -12.
法2 y'x =y'u ·u'x
例2 求y =(2x +1)5的导数.
解:设y =u 5,u =2x +1,
则 y'x =y'u ·u'x =(u 5)'u ·(2x +1) 'x =5u 4·2=5(2x +1)4·2=10(2x +1)4.
例3. 教材P17面的例4
练习1.教科书P.18面 练习
练习2. 求函数x y 311-=
的导数. 例4..3114的导数求⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x y 解:.)31(31144
--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x y 设y =u -4,u =1-3x ,则
y'x =y'u ·u'x =(u -4)'u ·(1-3x )'x =-4u -5·(-3)=12u -5=12(1-3x )-5=.)31(125x - 例5. .1)32(22的导数求函数x
x y +-= 例6.求)132ln(2++=x x y 的导数.
解: )132(132122'++⋅++='x x x x y .1
32342+++=x x x 例7. 求21lg x y -=的导数.
解法1:)1(1lg 22'-⋅-='x x e y )1(1lg 22x x x e --⋅-=.1
lg 2-=x e x 解法2:21lg x y -=),1lg(2
12x -= )1(1lg 2122'-⋅-⋅='x x e y .1
lg 2-=x e x
(三)课堂小结
复合函数的导数:f 'x (ϕ(x ))=f '(u ) ϕ'(x ).
(四)课后作业
《习案》作业六。