北师大版数学高二-高中数学《导数的计算-基本初等函数的导数及导数的运算法则》教案3 选修2-2

§4 导数的四则运算法则第一课时 导数的加法与减法法则一、教学目标：1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

二、教学重点：函数和、差导数公式的应用教学难点：函数和、差导数公式的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。

1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x（二）、探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴ x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．例1：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）221x xx y +-=。

2.4 导数的四则运算法则教学过程：一、复习引入：常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=二、讲解新课：例1.求2y x x =+的导数.法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x =法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+证明：令()()y f x g x =，则=∆y ()f x x +∆()g x x +∆-()()f x g x()f x x =+∆()g x x +∆-()f x ()g x x +∆+()f x ()g x x +∆-()()f x g x ， =∆∆x y ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x ()()g x x g x x+∆-∆ 因为()g x 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，()()g x x g x +∆→， 从而0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x 0lim →∆x ()()g x x g x x+∆-∆ '()()()'()f x g x f x g x =+，法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭三、讲解范例：例1 求下列函数的导数1、y =x 2+sin x 的导数.2、求2(23)(32)y x x =+-的导数．(两种方法) 3、求下列函数的导数 ⑴()sin h x x x = ⑵21()t s t t += 4、y =5x 10sin x －2x cos x －9，求y ′5、求y =xx sin 2的导数. 变式：(1)求y =332++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x1·cos x 的导数. 例2求y =tan x 的导数.例3求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式四、课堂练习：1.求下列函数的导数：(1)y =x a x a +- (2)y =232x x + (3)y =x cos 11- 五、小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(v u )′=2vv u v u '-'(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业：。

导数的四则运算法则，反函数的导数教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法教学难点：反函数求导教学内容：1. 函数和、差、积、商的求导法则根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导法则（假定下面出现的函数都是可导的）。

（1）()()[]()()x v x u x v x u '±'='± （2）()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u '+'='⋅()[]()x u c x cu '='()w uv w v u vw u uvw '+'+'='（3）()()()()()()()x v x v x u x v x u x v x u 2'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 这里仅证（2）()()()hx f h x f x f h -+='→0lim()()()()h x v x u h x v h x u h -++=→0lim ()()()()()()()()[]x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h h -+++-++=→1lim 0()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅++⋅-+=→h x v h x v x u h x v h x u h x u h 0lim ()()()()()()hx v h x v x u h x v h x u h x u h h h -+⋅++⋅-+=→→→000limlim lim()()()()x v x u x v x u '+'= 例1 x y tan =，求y '。

解：()()()x x x x x x x x y 2cos cos sin cos sin cos sin tan '-'='⎪⎭⎫⎝⎛='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=， 即 ()x x 2sec tan ='。

北师大版高二数学导数知识点汇总一、导数的概念与定义导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点的变化率。

导数的定义公式为：\[f'(x)=\lim_{{\Delta x \to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}}\]二、导数的基本运算法则1. 导数的线性性质：若函数f(x)和g(x)在点x处可导，则有以下运算法则：(a) (cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数；(b) (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)；2. 导数的乘积法则：若函数f(x)和g(x)在点x处可导，则有以下运算法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；3. 导数的商法则：若函数f(x)和g(x)在点x处可导且g(x)≠0，则有以下运算法则：\[\left(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\right)'=\frac{{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}}{{(g(x))^2}}\]三、常见函数的导数1. 常数函数的导数：常数函数f(x)=c，其中c为常数，导数为零，即f'(x)=0。

2. 幂函数的导数：幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，导数为f'(x)=nx^{n-1}。

3. 指数函数的导数：指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为f'(x)=a^xln(a)。

4. 对数函数的导数：对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为f'(x)=\frac{1}{{xln(a)}}。

5. 三角函数的导数：常见的三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)等的导数分别为cos(x)、-sin(x)和sec^2(x)。

四、高阶导数和隐函数的导数1. 高阶导数：若函数f(x)在某一区间内的每一个点处都存在导数f'(x)，则f'(x)也是一个函数，称为f(x)的一阶导函数。

§3 计算导数学习目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数.(重点) 2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用.(重、难点)知识点一导函数的概念一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limx∆→f（x＋Δx）－f（x）Δx，f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c是常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α为实数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝a x(a＞0，a≠1)f′(x)＝a x ln__af(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x(a＞0，a≠1)f′(x)＝1x·ln af(x)＝ln x f′(x)＝1xf(x)＝sin x f′(x)＝cos__xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin__xf(x)＝tan x f′(x)＝1cos2xf(x)＝cot x f′(x)＝－1sin2x【预习评价】1.若函数f(x)＝22，那么f′(x)＝2×2＝4成立吗？提示不成立.因为f(x)＝22＝4是常数函数，所以f′(x)＝0.2.若函数f(x)＝x，那么f′(x)＝12x成立吗？提示不成立.f′(x)＝12x.题型一利用导数定义求函数的导数【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝2 016x2的导数.解f′(x)＝limx∆→2 016（x＋Δx）2－2 016x2x＋Δx－x＝limx∆→2 016[x2＋2x·Δx＋（Δx）2]－2 016x2Δx＝limx∆→4 032x·Δx＋2 016（Δx）2Δx＝limx∆→(4 032x＋2 016Δx)＝4 032x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差，二比，三取极限”的步骤.(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用. 【训练1】利用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数.解y′＝limx∆→（x＋Δx）2＋a（x＋Δx）＋b－（x2＋ax＋b）Δx＝limx∆→x2＋2x·Δx＋（Δx）2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－bΔx＝0lim x ∆→2x ·Δx ＋a ·Δx ＋（Δx ）2Δx＝0lim x ∆→ (2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a .题型二 利用导数公式求函数的导数 【例2】 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较烦杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 13；(2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12；(2)y ′＝(4x )′＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ； (4)y ′＝(15x 2)′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75.【探究1】 已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程.解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0， 又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.【探究2】 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程.解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率k ＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23(x －π6)，即2x ＋3y －32－π3＝0.【探究3】 当常数k 为何值时，直线y ＝x ＋k 才能与函数y ＝x 2的图像相切？并求出切点.解 设切点为A (x 0，x 20)，∵y ′＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1，x 0＋k ＝x 20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12，k ＝－14.∴当k ＝－14时，直线y ＝x －14与函数y ＝x 2的图像相切，且切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键.课堂达标1.已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A.0B.2xC.6D.9解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 答案 C2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B.0 C.12xD.32解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 答案 A3.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2. 当x ＝0时，y ＝－e 2， 当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 答案 12e 24.已知f (x )＝52x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝________. 解析 因为f ′(x )＝5x ，g ′(x )＝3x 2， 所以5x －3x 2＝－2， 解得x 1＝－13，x 2＝2. 答案 －13或25.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，求直线l 的倾斜角的范围.解 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴αl ∈[0，π4]∪[3π4，π).课堂小结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y ＝1－2sin 2x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ， 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.。