湖北2020 届高三调研测试理科数学试卷

2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数(12)(1)()z i ai a R =++∈，若z R ∈，则实数(a = ) A ．12B ．12-C ．2D ．2- 2．（5分）已知集合{|12}M x x =-<<，{|(3)0}N x x x =+，则(M N = )A ．[3-，2)B ．(3,2)-C ．(1-，0]D ．(1,0)-3．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( ) A ．19B ．16C ．118D ．5124．（5分）在正项等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则3(a = ) A ．2B ．4C ．12D ．85．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( )A ．53B ．85C ．138D ．21136．（5分）已知等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=，且P 是圆Γ上一点，则()PA PB PC +的最大值是( ) A 2B ．1C 3D ．27．（5分）已知函数22()sin sin ()3f x x x π=++，则()f x 的最小值为( )A ．12B ．14C 3D 2 8．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}n a的通项公式(n a = ) A ．2nB ．2nC ．2n +D ．32n -9．（5分）已知0.40.8a =，0.80.4b =，8log 4c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<10．（5分）青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为( )A ．25B ．35C ．15D ．21511．（5分）已知点P 在椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若PA PB ⊥，则椭圆Γ的离心率(e = )A ．12B C D 12．（5分）已知关于x 的不等式31xe x alnx x --对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(-∞，1]e -B ．(-∞，3]-C ．(-∞，2]-D ．(-∞，22]e -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知以20x y ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为 ． 14．（5分）若函数cos ()sin x af x x+=在(0,)2π上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．15．（5分）根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45︒方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30/km h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．16．（5分）在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA =SB =若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S AB C --的余弦值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4a =，tantan tan tan A B c bA B c--=+． （1）求A 的余弦值； （2）求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，L 分别为棱11A D ，11C D ，BC 的中点．（1）求证：AC QL ⊥；（2）求点A 到平面PQL 的距离．19．（12分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =，3) （1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．20．（12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据： 第n 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年收入/亿元()x32.031.033.036.037.038.039.043.045.010x商品销售额/25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.010y且已知1380.0i i x ==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+ ()I 求第10年的销售额10y ；（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01)附加：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni i i nii x yn xy b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- （2）1022110254.0ii x x =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑．21．（12分）（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增； （2）证明函数()2sin xe f x x x =-在(,0)π-上有且仅有一个极大值点0x ，且00()2f x <<．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 30C ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数()|2||1|f x x a x a =-+-+． （1）当4a =时，求解不等式()8f x ；（2）已知关于x 的不等式2()2a f x 在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数(12)(1)()z i ai a R =++∈，若z R ∈，则实数(a = ) A ．12B ．12-C ．2D ．2-【解答】解：(12)(1)(12)(2)z i ai a a i R =++=-++∈，20a ∴+=，即2a =-．故选：D ．2．（5分）已知集合{|12}M x x =-<<，{|(3)0}N x x x =+，则(M N = )A ．[3-，2)B ．(3,2)-C ．(1-，0]D ．(1,0)-【解答】解：{|(3)0}[3N x x x =+=-，0]， 集合{|12}M x x =-<<， 则(1MN =-，0]，故选：C ．3．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( ) A ．19B ．16C ．118D ．512【解答】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子， 基本事件总数6636n =⨯=，向上的点数之和小于5包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个，∴向上的点数之和小于5的概率为61366p ==． 故选：B ．4．（5分）在正项等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则3(a = ) A ．2B ．4C ．12D ．8【解答】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，5115a a -=，426a a -=，41(1)15a q ∴-=，31()6a q q -=，解得：2q =，11a =． 则34a =． 故选：B ．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( )A ．53B ．85C ．138D ．2113【解答】解：0i =，1s =，第一次执行循环体后，1i =，2s =，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，2i =，32s =，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，3i =，53s =，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，4i =，85s =，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，5i =，138s =，满足退出循环的条件； 故输出S 值为138， 故选：C ．6．（5分）已知等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=，且P 是圆Γ上一点，则()PA PB PC +的最大值是( ) A 2B ．1C 3D ．2【解答】解：设BC 的中点为E ，连接AE ，PE ； 并设PO 与OE 的夹角为θ如图：因为等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=， 所以O 在AE 上且21OA OE ==；∴2222211()22()()2[()]2[()2]2[11cos 2()]1cos 22PA PB PC PA PE PO OA PO OE PO PO OA OE OA OE PO PO OE OE θθ+==++=+++=+--=-⨯⨯-⨯=-；∴当cos 1θ=-即点P 在AE 的延长线与圆的交点时；()PA PB PC +取最大值，此时最大值为1(1)2--=；故选：D ．7．（5分）已知函数22()sin sin ()3f x x x π=++，则()f x 的最小值为( )A ．12B ．14C 3D 2 【解答】解：函数222222135331()sin sin ()sin (sin )sin cos 2sin(2)1324426f x x x x x x x x x x ππ=++=+=+=-+，当sin(2)16x π-=-时，函数11()122min f x =-=．故选：A ．8．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}n a 的通项公式(n a = ) A ．2nB ．2nC ．2n +D ．32n -【解答】解：11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈， 111n n n n a a a a ++∴+-=∴11n n a a +-11a =，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴1(1)1n n =+-⨯=，2n a n ∴=．故选：B ．9．（5分）已知0.40.8a =，0.80.4b =，8log 4c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【解答】解：根据题意，20.4540.8()5a ==，40.8520.4()5b ====，842log 483lg c lg ===== 又由16321662524325<<， 故有b c a <<； 故选：D ．10．（5分）青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为( )A ．25B ．35C ．15D ．215【解答】解：现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，基本事件总数113221354353132222()150C C C C C C n A A A =+=， 恰好有2名大学生分配去甲学校包含的基本事件个数2212531260m C C C A ==， ∴恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为6021505m P n ===． 故选：A ．11．（5分）已知点P 在椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B，若PA PB⊥，则椭圆Γ的离心率(e=)A ．12B．2C．3D．3【解答】解：设(P x，)y由题意可得(A x-，)y-，(Q x，)y-，由34PD PQ=可得(D x，0)2y-，所以0PAykx=，00024ADyy ykx x x-+==+设(,)B x y，则2200022000PB ABy y y y y yk kx x x x x x-+-==-+-，因为P，B在椭圆上，所以222222002211x ya bx ya b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得222222y y bx x a-=--，所以可得22PB ABbk ka=-所以222222411BPAB ADxb b bka k a k a y=-=-=-，因为PA PB⊥，则1AP PBk k=-，即2002004()1y xbx a y-=-，整理可得：224a b=，所以离心率222213114c c bea a a===-=-=，故选：C．12．（5分）已知关于x的不等式31xex alnxx--对于任意(1,)x∈+∞恒成立，则实数a的取值范围为()A．(-∞，1]e-B．(-∞，3]-C．(-∞，2]-D．(-∞，22]e-【解答】解：由题意可知，分离参数31xx e xalnx---，令31()xx e xf xlnx---=，由题意可知，()min a f x ，由31()x lnx e xf x lnx ---=，又1x e x -，所以313()3x lnx e xx lnx xf x lnx lnx-----==-，所以3a -， 故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知以20x y ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为221123x y -= ． 【解答】解：由渐近线的方程以20x y ±=可以设双曲线的方程为：224x y λ-=，又过(4,1)，所以1614λ-=，可得3λ=，所以双曲线的方程为：221123x y -=；故答案为：221123x y -=．14．（5分）若函数cos ()sin x af x x +=在(0,)2π上单调递减，则实数a 的取值范围为 1a - ．【解答】解：22(cos )cos ()0sin x x a xf x sin x --+'=，即22sin cos cos 1cos 0x x a x a x ---=--，cos 1a x -，(0,)2x π∈，1cos ax -，由于1cos y x =-在(0,)2x π∈递减，最大值为(0)1y =-， 所以1a -， 故答案为：1a -．15．（5分）根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45︒方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30/km h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 9.14 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．【解答】解：设风暴中心最初在A 处，经th 后到达B 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为C ． 若在点B 处受到热带风暴的影响，则450OB =，450，即22(600cos45)(600sin4530)450t ︒+︒-=； 式两边平方并化简、整理得22021750t t -+= 1025t ∴=-或1025+10259.14-≈，1025(1025)15210+--==9.14时后码头将受到热带风暴的影响，影响时间为10h ． 故答案为：9.14．16．（5分）在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是边长为3的等边三角形，3SA =23SB =若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S AB C --的余弦值为 12- ．【解答】解：由题意得222SA AB SB +=，得到SA AB ⊥，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，得到CDM ∠为S AB C --的二面角的平面角， 设三角形ABC 的外心为O '，则32333CO '==，3DO '， 球心为过M 的平面ABS 的垂线与过O '的平面ABC 的垂线的交点， 三棱锥外接球的表面积为2214OB ππ=，2214OB =， 3MB 32OM =，由132MD SA ==，所以tan 3ODM ∠=60ODM ∠=︒， 同理60ODO '∠=︒，得到120MDC ∠=︒， 由1cos 2MDC ∠=-，故答案为：12-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4a =，tan tan tan tan A B c bA B c--=+． （1）求A 的余弦值； （2）求ABC ∆面积的最大值． 【解答】解：（1）tan tan tan tan A B c bA B c--=+． 所以sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos A BC BA B A B C A B--=+，即sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin A B B A C BA B B A C --=+， 所以sin cos sin cos sin()sin sin sin A B B A A B BC C-+-=， 所以sin cos sin cos sin cos sin cos sin A B B A A B B A B -=+-， 所以1cos 2A =， （2）由（1）可知60A =︒，由余弦定理可得，2211622b c bc +-=所以22162b c bc bc +=+，故16bc ，当且仅当4b c ==时取等号，此时ABC ∆面积取得最大值1sin 60432bc ︒=．18．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，L 分别为棱11A D ，11C D ，BC 的中点．（1）求证：AC QL ⊥；（2）求点A 到平面PQL 的距离．【解答】（1）证明：2222222112()()2222PQ QLa a a a PL +=⨯+⨯+==，PQ QL ∴⊥．11////AC AC PQ ，AC QL ∴⊥．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，(0D ，0，0)，(A a ，0，0)， 1(2P a ，0，)a ，1(2L a ，a ，0)，(0Q ，12a ，)a ， 1(2PQ a =-，12a ，0)，(0PL =，a ，)a -，1(2AL a =-，a ，0)，设平面PQL 的法向量为：(n x =，y ，)z ，则0n PQ n PL ==，可得：11022ax ay -+=，0ay az -=，可得：(1n =，1，1)，∴点A 到平面PQL 的距离1||32||3an AL d a n ===．19．（12分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =，3) （1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点(2p F ，0)，满足(2FP =的P 的坐标为(22p+，，P 在抛物线上，所以22(2)2pp =+，即24120p p +-=，0p >，解得2p =，所以抛物线的方程为：24y x =；（2）设0(M x ，0)y ，1(N x ，1)y ，2(L x ，2)y ，则2114y x =，2224y x =， 直线MN 的斜率10102210101044MN y y y y k y y x x y y --===--+， 则直线MN 的方程为：200104()4y y y x y y -=-+，即01014x y y y y y +=+①， 同理可得直线ML 的方程整理可得02024x y y y y y +=+②，将(3,2)A -，(3,6)B -分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消0y 可得1212y y =，易知直线124NL k y y =+，则直线NL 的方程为：211124()4y y y x y y -=-+， 即1212124y y y x y y y y =+++，故1212412y x y y y y =+++， 所以124(3)y x y y =++， 因此直线NL 恒过定点(3,0)-．20．（12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知1380.0i i x ==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+ ()I 求第10年的销售额10y ；（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01)附加：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni i i nii x yn xy b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- （2）1022110254.0ii x x =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑．【解答】解：（1）因为101380.0i i x ==∑，所以10323133363738394345380x +++++++++=，所以1046x =； （2）()I 由题意可知，101380381010ii xx ====∑，10102530343739414244483401010y y y ++++++++++==， 因为363ˆˆ254yx a=+且1221ˆni i i nii x yn xyb xnx ==-=-∑∑，所以10103401287546103836310254254y y ++-⨯⨯=，解得1051y =，所以第10年的销售额1051y =； （Ⅱ）因为1051y =，所以3405139.110y +==， 因为ˆˆa y bx =-，所以363ˆ39.13815.21254a =-⨯≈-，所以线性回归方程为363ˆ15.21254yx =-， 由题可知，40x =，将其代入线性回归方程有363ˆ4015.2141.96254y=⨯-≈． 故估计这种商品的销售额是41.96万元．21．（12分）（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin xe f x x x=-在(,0)π-上有且仅有一个极大值点0x ，且00()2f x <<．【解答】解：（1）求导，2cos 2(cos sin )2sin 4cos x x y e x x x x e x x x '=---=+-，(,)2x ππ∈--，因为0x e >，2sin 0x x >，4cos 0x ->，故0y '>， 函数y 在定义区间递增；（2）由22(1)2cos ()x e x x xf x x--'=， 令2()(1)2cos x g x e x x x =--，()(2sin 4cos )x g x x e x x x '=+- 当(,)2x ππ∈--，由（1）得()0g x '<，()g x 递减，由2()(1)022g e πππ--=--<，()8(1)0g e πππ--=-+>，根据零点存在性定理，存在唯一零点0(,)2x ππ∈--，0()0g x =，当0(,)x x π∈-时，()0g x >，()f x 递增； 当0(x x ∈，)2π-时，()0g x <，()f x 递减，当(2x π∈-，0)时，2(1)()2cos 0x e x f x x x -'=-<，所以()f x 递减， 故()f x 在0(x ，0)为减函数， 所以()f x 有唯一的极大值点0x ，由()f x 在0(x ，)2π-递减，得2021()()220222ef x f e πππππ->-=+=-+>-， 又000()2sin x o e f x x x =-，当0(,)2x ππ∈--时，0(1,0)o x e x ∈-，002sin 2x <-<， 故0()2f x <，综上，命题成立．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 30C ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值．【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为：2212516x y +=． 曲线22:4cos 30C ρρθ-+=．转换为直角坐标方程为22430x y x +-+=，整理得22(2)1x y -+=．（2）设点(5cos ,4sin )P θθ在曲线1C 上，圆心(2,0)O ，所以：||PO = 当cos 1θ=时，||3min PO =， 所以||PQ 的最小值312-=．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数()|2||1|f x x a x a =-+-+． （1）当4a =时，求解不等式()8f x ；（2）已知关于x 的不等式2()2a f x 在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．【解答】解：（1）当4a =时，()|24||3|f x x x =-+-，()i 当3x 时，原不等式可化为378x -，解可得5x ，此时不等式的解集[5，)+∞；()ii 当23x <<时，原不等式可化为2438x x -+-，解可得59x ，此时不等式的解集∅；()iii 当2x 时，原不等式可化为378x -+，解可得13x -，此时不等式的解集(-∞，1]3-，综上可得，不等式的解集[5，)(+∞-∞⋃，1]3-，（2）()i 当112a a -=即2a =时，2()3|1|22a f x x =-=显然不成立， ()ii 当112a a ->即2a >时，1321,21()1,12321,1x a x a f x x a x a x a x a ⎧-+-⎪⎪⎪=-<<-⎨⎪-+-⎪⎪⎩，结合函数的单调性可知，当12x a =时，函数取得最小值11()122f a a =-，若2()2a f x 在R 上恒成立，则211122a a -，此时a 不存在，()iii 当112a a -<即2a <时，321,11()1,121321,2x a x a f x x a x a x a x a ⎧⎪-+--⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪-+⎪⎩若2()2a f x 在R 上恒成立，则211122a a -，解可得21a -，此时a 的范围[2-，1]， 综上可得，a 的范围围[2-，1]．。

2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷 2020．5一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i i-+12的共轭复数是 A ．i 2321- B ．i 2321+ C ．i 2321-- D ．i 2321+-2．已知集合{}0322<--=x x x A ，非空集合{}a x a x B +<<-=12，A B ⊆，则实数a 的取值范围为 A ．]2,(-∞ B ．]2,21( C ．)2,(-∞ D ．)2,21( 3．已知直线l 过圆062622=+--+y x y x 的圆心且与直线01=++y x 垂直，则l 的方程是 A ．02=-+y x B ．03=-+y x C ．02=--y x D ．03=--y x4．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器．晷长即为所测量影子的长度）．夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为A ．0.5尺B ． 1尺C ．1.5尺D ． 2尺5．函数xx xx x f cos 122ln2sin )(++-⋅=ππ在)2,2(ππ-的图像大致为6．如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5 ，则空白框中应填入A ．k<nB ．k ≤nC ．k-1≤nD ．k+1 < n7．△ABC 中，点D 为BC 的中点，3=，M 为AD 与CE 的交点，若),(R y x y x ∈+=，则y x -=A ．1-B ．21 C ．43D ．1 9．甲、乙、丙、丁戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为 A ．2512 B ．2513 C ．2518 D ．25199．已知R c b a ∈,,．满足0ln 2ln 2ln 3<-==ca b ca b ．则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b a c >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >> 10．在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一-点且AM=31AD ．N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为 A ．510 B ．55 C ．1010 D ．105 11．已知)0(sin )()(>--=-a x e e a x f xxπ存在唯一零点，则实数a 的取值范围 A ．),2(+∞πB ．),2[+∞πC ．),21(+∞D ．),21[+∞ 12．已知函数)0)(3sin()(>-=ωπωx x f 在],0[π有且仅有4个零点，有下述三个结论：①ω的取值范围为)313,310[；②)(x f 在)265,0(π单调递增； ③若21211)(2)(2x x x f x f ≠==，，则21x x +的最小值为134π 以上说法正确的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．二项式9)21(xx -的展开式中，常数项为 . 14．已知数列{}n a 的前项和为*N n S n ∈，满足11211==++S S S n n ，，则数列{}n a 的通项公式为 . 15．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50， 100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[ 80，90），[90，100] ，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为 .16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左焦点)0,(1c F -关于直线03=+y x 的对称点P 在双曲线上．则双曲线C 的离心率为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，A=3π，422=+c b ，△ABC 的外接圆半径为R=1． （1）求△ABC 面积；（2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，求AD 长.18．（本小题满分12分）已知如图1直角△ABC 中，AC ⊥BC ，AC=6，BC=36，点D 为AB 的中点，BC=3BF ，将△ACD 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，如图2． （1）求证：AC ⊥DF ；（2）求二面角C —AB —D 的余弦值．19．（本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：的左、右焦点分别为21F F 、，5221=F F ，Q 是y 轴的正半轴上一点，2QF 交椭圆于P ，且21PF PF ⊥，1PQF ∆的内切圆⊙M 半径为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线AB ：m x y +=2和圆M 相切，且与椭圆C 交于A 、B 两点，求AB 的值..20．（本小题满分12分）甲、乙两厂均生产某种零件．根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：g ）均服从正态分布)(2σμ，N ，在出厂检测处，直接将质量在)33(σμσμ+-，之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为xg ，则“质量误差”g x x 0-.按标准．其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是)3.0,0[，)6.0,3.0[、]0.1,6.0[（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g 的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：（i ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X （元），求X 的分布列及数学期望E （X ）；（ii ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率.附：若随机变量),(~2σμN Z ．则9974.0)33(=+<<-σμσμZ P ；9743.09974.010≈，4096.08.04=，32768.08.05=21．（本小题满分12分）已知R a ax x x f ∈-+=,1cos 2)(22π． （1）若0)(≥x f 恒成立．求a 的最大值0a ； （2）若2)12ln()(222πππ+-+=x x g ，取（1）中的0a ，当0a a =时，证明：2)()(≤-x f x g（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中xOy ，曲线E 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=22sin 3sin 2cos sin 32ααααy x （α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F 的极坐标方程为t 2)4cos(=-πθρ（t为参数）（1）求曲线E 的普通方程和曲线F 的直角坐标方程； （2）若曲线E 与曲线F 有公共点，求t 的取值范围．23．[选修4 -5：不等式选讲]（10分）已知函数01)(121)(>+--=x f x x x f ，的解集为M ． （1）求M ；（2）若)0,2(-∈∈b M a ，，且b a <-2，证明：b b a a ++->-+224．。

武汉市2020届高中毕业生学习质量检测理科 数 学本试卷共5页，23题（含选考题），全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内． 4．选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答 案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注 意照片的清晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a ∈R)，若z ∈R ，则实数a=A ．21B ．-21 C ．2 D ．-2 2．已知集合M={x|-1 <x <2}，N={x|x （x+3）≤0}，则M ∩N=A.[-3,2) B ．（-3,2) C ．（-1,0] D ．（-1,0)3．同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为A ．61B ．185C ．91D ．125 4．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3= A.2 B.4 C.21 D ．8 5．执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为A ．35B ．58C ．813D ．13216．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则)(+⋅的最大 值是A ．2B ．1C ．3D ．27．已知函数)3(sin sin )(22π++=x x x f ，则f(x)的最小值为A ．21B ．41C ． 43D ．22 8．已知数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n+1，且a n+1>a n (n ∈N*)，则数列{a n }的 通项公式a n =A. 2n B ．n 2 C ．n+2 D ．3n -2 9．已知a=0.80.4，b=0. 40. 8，c= log 84，则A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a 10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不 同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为 A ．52 B ．53 C ．51 D ．152 11.已知点P 在椭圆τ：2222by a x +=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设=，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e=A ．21B ．22C ．23D ．33 12.已知关于x 的不等式3xe x-x- alnx ≥1对于任意x ∈(l ，+∞)恒成立，则实数a 的取值范 围为A ．（-∞，1-e]B ．（-∞，-3]C ．（-∞，-2]D ．（-∞，2- e2]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知以x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4，1)，则该双曲线的标准方程为 . 14.若函数x a x x f sin cos )(+=在)2,0(π上单调递减，则实数a 的取值范围为________．． 15.根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km/h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过____小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0. 01）．16.在三棱锥S- ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SA=3，SB=23，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C 的余弦值为____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=4，cb c B A B A -=+-tan tan tan tan . (1)求A 的余弦值；(2)求△ABC 面积的最大值．18.（本小题满分12分）如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．(1)求证：AC ⊥QL ；(2)求点A 到平面PQL 的距离．19.（本小题满分12分）已知抛物线τ:y 2= 2px(p >0)的焦点为F ，P 是抛物线τ上一点，且在第一象限，满足FP =（2，23 ）．(1)求抛物线τ的方程；(2)已知经过点A （3，-2）的直线交抛物线τ于M ，N 两点，经过定点B （3，-6）和M 的直线与抛物线τ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．20.（本小题满分12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与 某种商品的销售额的相关数据：且已知∑=101i i x= 380.0(1)求第10年的年收入x 10；(2)若该城市居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程+=x 254363 (I)求第10年的销售额y 10；(Ⅱ)若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01） 附加：(1)在线性回归方程中，(2)21.（本小题满分12分）(1)证明函数y=e x -2sinx-2xcosx 在区间)2,(ππ--上单调递增；(2)证明函数x xe xf xsin 2)(-=在（-π，0）上有且仅有一个极大值点x o ，且0<f(x o )<2． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分．22.[选修4-4:坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为ααα(sin 4cos 5⎩⎨⎧==y x 为参数），以坐标原点O 为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：.03cos 42=+-θρρ(1)求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ|的最小值．23.[选修4-5:不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数f(x)=|2x-a|+|x-a+l|.(1)当a=4时，求解不等式f(x)≥8；(2)已知关于x 的不等式f(x)≥22a 在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．。

２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试理科数学试卷２０２０．４本试卷共５页，２３题（含选考题）。

全卷满分１５０分。

考试用时１２０分钟。

★祝考试顺利★注意事项：１．考试过程中，请考生自觉遵守考试纪律等相关规定，诚信应考，不得有作弊、泄露试题等行为。

请家长做好监考工作。

２．请确保网络环境、考试环境良好，备好答题所用的白纸和笔。

３．登录好分数ＡＰＰ，点击“作业测试”，进入对应考试科目。

“试卷”将根据考试时间准时显示。

开考后，考生首先在白纸上手写答题。

答题结束后，点击“填写答题卡”，进入到“在线答题卡”。

将事先准备好的答案，填写至在线答题卡上（选择题、多选题及判断题，直接在“在线答题卡”上勾选答案；主观题按照要求将手写的答案竖向拍照，并分别上传），然后点击“提交答题卡”完成提交。

答题卡上传提交后考试时间范围内还能继续提交覆盖，为了避免大家都在考试最后快结束的时间上传造成拥堵，建议提前上传。

备注：主观题要确保答案及照片清晰、干净、完整；为留取拍照时间，考试将延长１０分钟。

４．此次全省联考是检测复课前线上备考成效的一次重要考试，有利于调整和优化复课后备考策略，请考生和家长高度重视。

考试结束后，考试组织方将为所有考生免费提供《考试成绩和学情分析报告》。

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一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分，共６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．已知实数集Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ｜－１＜ｘ＜５｝，集合Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝１槡ｘ－２｝，则Ａ∩（瓓ＲＢ）＝Ａ．｛ｘ｜－１＜ｘ≤２｝Ｂ．｛ｘ｜ｘ＞－１｝Ｃ．｛ｘ｜－１＜ｘ≤０｝Ｄ．｛ｘ｜０≤ｘ＜５，若｜ｚ｜－珋ｚ＝１＋２ｉ｝２．已知ｚ∈Ｃ，则Ｚ＝Ａ．３２－２ｉＢ．２３＋２ｉＣ．－２３－２ｉＤ．－２３＋２ｉ３．若（１－２ｘ）２０２０＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ２０２０ｘ２０２０，则ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａ２０２０＝Ａ．０Ｂ．１Ｃ．－１Ｄ．２２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试理科数学试卷第１页（共５页）４．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（ｇｕǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中１１５．１４６寸表示１１５寸１６４分（１寸＝１０分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至（寸）１３５１２５５６１１５．１６４１０５．２６４９５．３６２８５．４６２７５．５６６．５６５５５．６６４４５．７６３３５．８６２２５．９６１１６．０晷影长已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为１３０．０寸，夏至晷影长为１４．８寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为Ａ．９１．６寸Ｂ．８２．０寸Ｃ．８１．４寸Ｄ．７２．４寸５．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像特征．如函数ｙ＝－２ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ＋１，ｘ∈［－π２，π２］的图象大致为６．已知ｘ＝２０．１，ｙ＝ｌｏｇ５２，ｚ＝ｅ－０．５，则Ａ．ｙ＜ｘ＜ｚＢ．ｚ＜ｙ＜ｘＣ．ｚ＜ｘ＜ｙＤ．ｙ＜ｚ＜ｘ７．设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ，前ｎ项和为Ｓｎ，则“｜ｑ｜＝１”是“Ｓ６＝３Ｓ２”的Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件８．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＤＥ＝２１ＥＣＡ→Ｇ＝７９→，Ｆ为ＢＣ的中点，Ｇ为ＥＦ上的一点，且ＡＢ＋→ｍＡＤ，则实数ｍ的值为Ａ．２３Ｂ．３１Ｃ．－１３Ｄ．－３２２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试理科数学试卷第２页（共５页）９．已知函数ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋ａｘ，ｘ≤１，若存在ｘ１，ｘ２∈Ｒ，且ｘ１≠ｘ２，使得ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）成立，则{ ＞１３ａｘ－７，ｘ实数ａ的取值范围是Ａ．（－２，２）Ｂ．（－２，２］Ｃ．（－∞，３）Ｄ．（－∞，３］１０．已知双曲线Ｃ：ａｘ２－ｙ２２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，过Ｆ１的直线与Ｃ的两条渐近线分别交于Ａ、Ｂ两点，若以Ｆ１Ｆ２为直径的圆过点Ｂ，且Ａ为Ｆ１Ｂ的中点，则Ｃ的离心率为Ａ．３＋１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．２槡槡槡１１．一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为２ｍ，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点Ｐ出发，绕圆锥表面爬行一周后回到Ｐ点，蚂蚁爬行的最短路径为２槡３ｍ，则圆锥的底面圆半径为Ａ．２３ｍＢ．１ｍＣ．３４ｍＤ．２３ｍ１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ（ωｘ－２３π）（ω＞０），ｘ１，ｘ２，ｘ３∈［０，π］，且ｘ∈［０，π］都有ｆ（ｘ１）≤ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘ２），满足ｆ（ｘ３）＝０的实数ｘ３有且只有３个．则下述四个结论：①满足题目条件的实数ｘ１有且只有一个；②满足题目条件的实数ｘ２有且只有一个；（ｘ）在上（０，１π０的取值范围是［１６３，１６９③ｆ）单调递增；④ω）．其中正确结论的编号是Ａ．①④Ｂ．①③④Ｃ．②③Ｄ．①②③二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．设曲线ｙ＝ｅｘ＋１上点Ｐ处的切线平行于直线ｘ－ｙ－１＝０，则点Ｐ的坐标是．１４．某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．２０１９年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为ｍ，３１，ｎ，已知这三个社团他都能进入得概率为２１４４，则ｍ＋ｎ＝．，至少进入一个社团的概率为３１５．自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有８辆载重为６ｔ的Ａ型卡车，６辆载重为１０ｔ的Ｂ型卡车，１０名驾驶员，要求此运输队每天至少运送２４０ｔ物资．已知每辆卡车每天往返的次数为Ａ型卡车５次，Ｂ型卡车４次，每辆卡车每天往返的成本Ａ型卡车１２００元，Ｂ型卡车１８００元，则每天派出运输队所花的成本最低为．２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试理科数学试卷第３页（共５页）１６．已知椭圆ｘ２２＋ｙ２＝１的左、右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，Ｍ为椭圆上异于长轴端点的动点，Ｍ→Ｉ·ＭＦ→△ＭＦ１Ｆ２的内心为Ｉ，则２｜＝．２｜ＭＦ→三、解答题：共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第１７题～第２１题为必考题，每个试题考生都必须作答．第２２题～第２３题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共６０分．１７．（本小题满分１２分）在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边为ａ、ｂ、ｃ，且满足ｃｏｓ２Ａ－ｃｏｓ２Ｂ＝２ｓｉｎ（π３＋Ａ）ｓｉｎ（π３－Ａ）．（１）求角Ｂ的值；（２）若ｂ＝３≤ａ的取值范围．，求ａ－２１ｃ槡１８．（本小题满分１２分）如图，在四棱锥Ｓ－ＡＢＣＤ中，侧面ＳＣＤ为钝角三角形且垂直于底面ＡＢＣＤ，ＣＤ＝ＳＤ，点Ｍ是ＳＡ的中点，ＡＤ∥ＢＣ，∠ＡＢＣ＝９０°（１）求证：ＢＤ⊥平面ＳＣＤ；，ＡＢ＝ＡＤ＝２１ＢＣ．（２）若直线ＳＤ与底面ＡＢＣＤ所成的角为６０°，求平面ＭＢＤ与平面ＳＢＣ所成的锐二面角的余弦值．１９．（本小题满分１２分）线段ＡＢ为圆Ｍ：ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－１０ｙ＋６＝０的一条直径，其端点Ａ，Ｂ在抛物线Ｃ：ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）上，且Ａ，Ｂ两点到抛物线Ｃ焦点的距离之和为１１．（１）求抛物线Ｃ的方程及直径ＡＢ所在的直线方程；（２）过Ｍ点的直线ｌ交抛物线Ｃ于Ｐ，Ｑ两点， !物线Ｃ在Ｐ，Ｑ处的切线相交于Ｎ点，求△ＰＱＮ面积的取值范围．２０．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋πｃｏｓｘ．（１）求函数ｆ（ｘ）的最小值；（２）若函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ａ在（０，＋∞ｘ１＋ｘ２＜π．）上有两个零点ｘ１，ｘ２，且ｘ１＜ｘ２"求证：２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试理科数学试卷第４页（共５页）２１．（本小题满分１２分）２０２０年春节期间爆发的新型冠状病毒（２０１９－ｎＣｏＶ），是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒。

2020年高三调研数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lnx ≤0}，则M ∪N ＝（ ） A ．[0，1] B ．（0，1]C ．[0，1）D ．（﹣∞，1]2．若复数z =1+i (1−i)2，则z 的虚部为（ ）A ．12B ．12i C ．1 D ．i3．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则（ ） A ．a c ＜b c B ．c a ＞c b C ．log a c ＜log b cD ．log c a ＜log c b4．已知圆心为（1，0），半径为2的圆经过椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的三个顶点，则C 的标准方程为（ ） A ．x 24+y 23=1 B ．x 29+y 23=1 C ．x 216+y 24=1D ．x 216+y 29=15．函数f （x ）＝（e x +e ﹣x ）ln |x |的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数f （x ）=√3sin （2x +φ）+cos （2x +φ）（0＜φ＜π）是定义在R 上的偶函数，则f （−π8）的值为（ ） A ．√2B ．√3C ．−√2D ．−√37．已知{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+3，a 5+5成等比数列，且公比为q ，则q ＝（ ） A ．3B ．﹣3C ．1D ．﹣18．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13．若前两局中乙队以2：0领先，则下列说法中错误的是（ ）A ．甲队获胜的概率为827B ．乙队以3：0获胜的概率为13C ．乙队以三比一获胜的概率为29D ．乙队以3：2获胜的概率为499．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{a n }，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 57＝（ ）A ．265B ．521C ．1034D ．205910．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10√2cm ，高为10cm ．打印所用原料密度为1g /cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（ ）g ．（取π＝3.14，精确到0.1）A ．609.4B ．447.3C ．398.4D ．357.311．关于函数f （x ）=sinx2+cosx，有下面四个结论：①f （x ）是奇函数 ②f （x ）在（π2，π）上单调递减 ③f （x ）在[﹣π，π]上有两个零点④f （x ）的最大值为√33．其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④B ．①④C ．②④D ．①③12．设函数f （x ）＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）2（a ，b ∈R ，a ≠b ），f ′（x ）为f （x ）的导函数．若f （x ）和f ′（x ）的零点均在集合{﹣2，0，1}中，则f （x ）（ ） A ．在（﹣1，0）上单调递增 B ．在（0，1）上单调递增C ．极小值为0D ．最大值为4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8．连续两次抛掷这个正八面体，记下它与地面接触的面上的数字分别为m ，n ，则事件“m +n ＝9”的概率为 ．14．曲线y ＝cos xlnx 在点（1，0）处的切线方程为 ． 15．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交曲线C 右支于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1，若3|PQ |＝4|PF 1|，则C 的离心率等于 ． 16．设函数f （x ）＝|lnx ﹣x ﹣a |（a ∈R ），记f （x ）在区间[1e ，e ]上的最大值为g （a ），则当a ＝ 时，g （a ）的最小值为 ．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

高三理科数学 第 1 页（共 5 页）2⎨ ⎩湖北 2020 届高三调研测试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合 A = {x | x 2 - 2x - 3 < 0} ， B = {x |log 2x >0} ，则 A B = A ．{x |1 < x < 2}B ．{x | 0 < x < 2}C ．{x | 1 < x < 3}D ．{x | 0 < x < 1}2． i 为虚数单位，复数 z = 1 - 2i (1 + i )2的虚部为A ． 1B ． - 1C ． 1iD ． - 1 i2 22 23．设等差数列{a n } 的前n 项和为S n ，且a ≠ 0 ，若a 5=3a 3，则59S S = A ．5 B ．9 C ．5 D ． 59 5 3274．已知函数 f ( x ) 是定义域为R 的奇函数，当 x > 0 时， f ( x ) = 2x + 2x - a ，则 f (-1) = A. 3B. - 3C. - 2D. - 1⎧2x + y - 2 ≥ 0, 5． 已知实数 x ， y 满足 ⎪3x - y - 3 ≤ 0, 则 z = x - 3y 的最小值为⎪x - 2 y + 4 ≥ 0,A ．- 7 B ． - 6C ．1D ．66．已知(3x + a )( 1- 1)5 的展开式中常数项为 14，则实数a 的值为xA ． - 1B ．1C ． 4D ． - 455高三理科数学 第 2 页（共 5 页）37．若tan α = 3 tan 2π7，则3cos()42sin()7παπα-=- A ．1B ．2C ．3D ．48．已知a = ln 3 ， b = A ． c < b < a3 ln 2 ， c = log 3 2 ，则 B ． c < a < bC ． a < b < cD ． a < c < b9 ． 已知直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的 6 个顶点都在球 O 的表面上， 若 AB = AC = 1 ，AA 1 = 2 , ∠BAC =23π，则球O 的体积为A ．32π 3B ． 3πC ．4π 3D ．24π 310．如图所示，在由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中，设 DF = 3FA ，则A ．36246363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rB ．36126363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rC ． 48246363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rD ．48126363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r11．已知双曲线C : 22221x y a b-= (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ， P 为双曲线C的右支上一点，点 M 和 N 分别是∆PF 1F 2 的重心和内心，且 MN 与 x 轴平行，若| PF 1 |= 4a ，则双曲线的离心率为A ． 3B ．2C ．D ． 212．已知一个正方形的四个顶点都在函数 f ( x ) = x 3 - 9x + 1的图像上，则此正方形的面积2为 A ．5 或17 B ．5 或 10C ．5 或 17D ．10 或 1723 2高三理科数学 第 3 页（共 5 页）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷本试卷共5页，23题（含选考题）.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21ii +=-（ ） A. 1322i -+B. 1322i -- C.1322i - D.1322i + 2.已知集合{}2230A x x x =--<，非空集合{}21B x a x a =-<<+，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）. A. (],2-∞B. 1,22⎛⎤⎥⎝⎦C. (),2-∞D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭3.已知直线l 过圆226260x y x y +--+=圆心且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）.A. 20x y +-=B. 30x y +-=C. 20x y --=D. 30x y --=4.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器.晷长即为所测量影子的长度）.夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ）A. 0.5尺B. 1尺C. 1.5尺D. 2尺5.函数()2sin 2ln21cos xx x f x xππ-⋅+=+在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的图像大致为（ ）. A. B.C. D.6.如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5，则空白框中应填入（ ）.A. k n <B. k n ≤C. 1k n -≤D. 1k n +<7.ABC V 中，点D 为BC 的中点，3AB AE →→=，M 为AD 与CE 的交点，若(),CM x AB y AC x y R →→→=+∈，则x y -=（ ）. A. 1-B.12C.34D. 18.甲、乙、丙、丁、戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为（ ）. A.1225B.1325C.1825D.19259.已知,,a b c ∈R .满足3220ln ln ln b a cb a c==-<.则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A. c a b >>B. a c b >>C. c b a >>D. b a c >>10.在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一点且13AM AD =.N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为（ ）.A.B.C.D.11.已知()()()sin 0xxf x a e ex a π-=-->存在唯一零点，则实数a的取值范围（ ）.A. ,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. ,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有4个零点，有下述三个结论： ①ω的取值范围为1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭；②()f x 在50,26π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；③若()()12221f x f x ==，12x x ≠，则12x x +的最小值为413π 以上说法正确个数为（ ）. A. 0B. 1C. 2D. 3二.填空题：13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.14.已知数列{}n a 的前项和为n S ，n *∈N 满足121n n S S ++=，11S =，则数列{}n a 的通项公式为______. 15.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[]50,100内，按得分分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为______.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点()1,0F c -关于直线30x y +=的对称点P 在双曲线上.则双曲线C 的离心率为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.在ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，224b c +=，ABC V 的外接圆半径为1R =.（1）求ABC V 面积；（2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，求AD 长.18.已知如图1直角三角形ACB 中，AC BC ⊥，6AC =，63BC =，点D 为AB 的中点，3BC BF =，将ACD V 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，如图2.（1）求证：AC DF ⊥；（2）求二面角C AB D --的余弦值.19.如图，已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，1225F F =Q 是y 轴的正半轴上一点，2QF 交椭圆于P ，且12PF PF ⊥，1PQF △的内切圆M e 半径为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:2AB y x m =+和圆M 相切，且与椭圆C 交于A 、B 两点，求AB 的值.20.甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：g ）均服从正态分布()2,N μσ，在出厂检测处，直接将质量在()3,3μσμσ-+之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为x g ，则“质量误差”0x x g -.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是[)0,0.3，[)0.3,0.6、[]0.6,1.0（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g 的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）： 质量误差 [)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 []0.6,0.7甲厂频数 103030510510乙厂频数 2530 255105（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X （元），求X 的分布列及数学期望()E X ； （ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率. 附：若随机变量()2,Z N μσ~.则()330.9974P Z μσμσ-<<+=；100.99740.9743≈，40.80.4096=，50.80.32768=.21.已知()222cos 1f x x ax π=+-，a ∈R .（1）若()0f x ≥恒成立.求a的最大值0a ；（2）若()()222ln 212g x x πππ=+-+，取（1）中的0a ，当0a a =时，证明：()()2g x f x -≤.（二）选考题：22.在直角坐标系中xOy ，曲线E 的参数方程为2cos 2sin 22x y αααα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭t 为参数）.（1）求曲线E 的普通方程和曲线F 的直角坐标方程； （2）若曲线E 与曲线F 有公共点，求t 的取值范围. 23.已知函数()112f x x x =--，()10f x +>的解集为M . （1）求M ；（2）若a M ∈，()2,0b ∈-，且2a b -<>2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷本试卷共5页，23题（含选考题）.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21ii +=-（ ） A. 1322i -+B. 1322i -- C.1322i - D.1322i + 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据复数的除法运算法则，可得()()()()2121313111222i i i i i i i i ++++===+--+. 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.2.已知集合{}2230A x x x =--<，非空集合{}21B x a x a =-<<+，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）.A. (],2-∞B. 1,22⎛⎤⎥⎝⎦C. (),2-∞D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，由集合的包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】()(){}{}31013A x x x x x =-+<=-<<，Q 集合B 为非空集合且B A ⊆，121321a aa a +>-⎧⎪∴+≤⎨⎪-≥-⎩，解得：122a <≤，即实数a 的取值范围为1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：B .【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数范围的问题，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.3.已知直线l 过圆226260x y x y +--+=的圆心且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）.A. 20x y +-=B. 30x y +-=C. 20x y --=D. 30x y --=【答案】C 【解析】 【分析】由圆的一般方程可确定圆心坐标，由两直线垂直可得直线斜率，利用直线点斜式可求得结果. 【详解】由圆的方程知其圆心为：()3,1，l Q 与直线10x y ++=垂直，l ∴的斜率1k =， l ∴的方程为13y x -=-，即20x y --=.故选：C .【点睛】本题考查直线方程的求解问题，涉及到由圆的一般方程确定圆心、直线的垂直关系的应用等知识；关键是明确两直线垂直则斜率乘积为1-.4.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器.晷长即为所测量影子的长度）.夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ） A. 0.5尺 B. 1尺C. 1.5尺D. 2尺【答案】C 【解析】 【分析】根据日影子长成等差数列可利用夏至日影子长对应的1a 和公差d 表示出已知的两个日影子长之和，解方程组可求得结果.【详解】将十二个节气对应的日影子长看作等差数列{}n a 的前十二项，按顺序夏至日影子长对应1a ，处暑日影子长对应5a ，霜降日影子长对应9a ， 则1595316.5a a a a ++==，解得：5 5.5a =；设等差数列{}n a 的公差为d ，则114 5.5126684a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1 1.51a d =⎧⎨=⎩，即夏至的日影子长为1.5尺. 故选：C .【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等差数列通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题. 5.函数()2sin 2ln21cos xx x f x xππ-⋅+=+在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的图像大致为（ ）. A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】通过()()f x f x -=知函数为偶函数，排除,B D ；利用04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭排除C ，进而得到结果.【详解】当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()()22sin 2ln sin 2ln 221cos 1cos x xx x x x f x f x x x ππππ+--⋅⋅-+-===+-+， ()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除,B D ；当4x π=时，2sinln 132ln 320421cos 14f πππππ⋅⎛⎫==< ⎪⎝⎭++，可排除C ，则A 正确.故选：A .【点睛】本题考查函数图象的识别，属于常考题型；解决此类问题的常用方法是采用排除法的方式，排除的依据为奇偶性、特殊位置符号、单调性等.6.如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5，则空白框中应填入（ ）.A. k n <B. k n ≤C. 1k n -≤D. 1k n +<【答案】B 【解析】 【分析】按照程序框图运行程序，直到5T =时输出结果，可根据k 的取值确定所填条件.【详解】按照程序框图运行程序，输入2a =，3n =，0k =，0T =，满足所填条件，循环；()3002121T =+⨯-=-，1k =，满足所填条件，循环；()2112121T =-+⨯-=，2k =，满足所填条件，循环； ()1212123T =+⨯-=-，3k =，满足所填条件，循环； ()0332125T =-+⨯-=，4k =，不满足所填条件，输出5T =；由3k =满足条件、4k =不满足条件且3n =可知所填条件应：k n ≤.故选：B .【点睛】本题考查根据程序框图循环结构输出结果补充条件的问题，关键是准确确定输出时的k 的取值. 7.ABC V 中，点D 为BC 的中点，3AB AE →→=，M 为AD 与CE 的交点，若(),CM x AB y AC x y R →→→=+∈，则x y -=（ ）. A. 1- B.12C.34D. 1【答案】D 【解析】 【分析】作//DF BE 交CE 于点F ，根据三角形中位线性质和平行线分线段成比例可求得M 为EF 中点，得到34CM CE →→=，利用向量的线性运算可用,AB AC →→表示出CE →，代入可求得,x y ，进而得到结果.【详解】作//DF BE 交CE 于点F ，D Q 为BC 中点，//DF BE ，F ∴为CE 中点，//DF BE ∴且12DF BE =，3AB AE →→=Q ，23BE AB ∴=，13DF AB AE ∴==，又//DF BE ，EM FM ∴=， 即M 为EF 中点，34CM CE →→∴=.又13CE AE AC AB AC →→→→→=-=-，1344CM AB AC →→→∴=-，即14x =，34y =-，13144x y ∴-=+=. 故选：D .【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查了利用基底表示向量的知识；解题关键是能够确定CM 与CE 之间的比例关系.8.甲、乙、丙、丁、戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为（ ）. A.1225B.1325C.1825D.1925【答案】D 【解析】 【分析】利用排列组合中的部分平均分组分配的解决办法可求得分配方案总数和甲乙在同一工厂的分配方案总数，利用古典概型概率公式和对立事件概率公式可求得结果.【详解】五人分配到三个工厂工作，每个工厂至少一人共有：221135354322150C C C C A A +⋅=种分配方案； 其中甲乙在同一工厂工作的分配方案共有：12211133233236C C A C C C +=种；∴甲、乙两人不在同一工厂工作的概率36619111502525p =-=-=. 故选：D .【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到对立事件概率的求解和排列组合中的部分平均分组问题；解题关键是能够熟练应用排列组合的知识计算得到基本事件总数和符合条件的基本事件个数.9.已知,,a b c ∈R .满足3220ln ln ln b a cb a c==-<.则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A. c a b >>B. a c b >>C. c b a >>D. b a c >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数值域可确定1c >，(),0,1a b ∈；构造函数()()201ln xf x x x =<<，利用导数可知()f x 在()0,1上单调递减，利用232ln ln ln a b ba b b=<可知b a <，由此可得结果.【详解】30b >Q ，20a >，20c >，ln 0b ∴<，ln 0a <，ln 0c >，01b ∴<<，01a <<，1c >；320bb>>Q ，ln 0b <，232ln ln ln a b ba b b∴=<， 令()()201ln xf x x x=<<，则()()()22122ln 2ln 2ln 2ln ln ln x x xx x x x f x x x ⎛⎫⋅-⋅- ⎪⎝⎭'==， 当01x <<时，ln 0x <，10x-<，()0f x '∴<，()f x ∴在()0,1上单调递减， 22ln ln a ba b<Q ，即()()f a f b <，b a ∴<，c a b ∴>>. 故选：A .【点睛】本题考查根据函数单调性比较大小类的问题，解题关键是能够通过构造函数，利用导数求得函数的单调性，进而根据单调性确定自变量的大小关系.10.在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一点且13AM AD =.N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为（ ）.A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】取BC 中点E ，连接AE 交BN 于点O ，连接DO ，由正四面体结构特征可知DO ⊥平面ABC ，则以N 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用点到面的距离的空间向量求法可求得结果. 【详解】取BC 中点E ，连接AE 交BN 于点O ，连接DO ，Q 四面体ABCD 为正四面体，,N E 分别为,AC BC 中点，O ∴为等边三角形ABC 的中心，且DO ⊥平面ABC ，则以N 为坐标原点可作如图所示空间直角坐标系，其中//DO z 轴，Q 正四面体ABCD 棱长为1，221313343AO AE ∴==-=，16133DO ∴=-= 则10,,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，36D ⎝⎭，3B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,0N ， 13AM AD =Q ，即13AM AD →→=，3163M ∴-⎝⎭， 3NB →⎫∴=⎪⎪⎝⎭，3163NM →=-⎝⎭，设平面BMN 的法向量(),,n x y z →=，则3231601839n NB x n NM x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u u r r ，令3z =，则0x =，6y =()6,3n →∴=，又10,,02AN →⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴点A 到平面BMN 的距离61021069AN nd n→→→⋅===+故选：C .【点睛】本题考查点到面的距离的求解，求解点到面的距离的常用方法有两种：（1）利用空间向量法求解；（2）利用体积桥的方式来求解；属于常考题型. 11.已知()()()sin 0xxf x a e ex a π-=-->存在唯一零点，则实数a 的取值范围（ ）.A. ,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. ,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性可确定唯一零点0x =，将问题转化为()f x 在0x >时无零点问题的求解；利用放缩法，令()()x x h x a e e x π-=--，利用导数可求得2a π≥时()0h x >，由此知满足题意；当02a π≤<，利用零点存在定理可确定()f x '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点，由此可确定存在()00,x x ∈时，()0f x <，结合x →+∞时，()f x →+∞，可确定02a π≤<不合题意，由此得到结论.【详解】()f x Q 定义域为R 且()()()sin xx f x a ee xf x π--=-+=-，()f x ∴为定义在R 上的奇函数，()f x ∴的唯一零点为0x =，则只需0x >时，()f x 无零点即可得到结论；当0x >时，令()sin g x x x ππ=-，则()()cos cos 10g x x x πππππ'=-=-≤，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即sin x x ππ<，∴()()sin x x x x a e e x a e e x ππ---->--，令()()xxh x a e ex π-=--，则()()xx h x a ee π-'=+-，()()x x h x a e e -''=-，0a >Q ，则()0h x ''>，()()02h x h a π''∴>=-，当2a π≥时，()()00h x h ''>≥，()()00h x h ∴>=，()()sin 0xxa e ex h x π-∴-->>，满足当0x >时，()f x 无零点； 当02a π≤<时，()()cos xxf x a e ex ππ-'=+-，()020f a π'∴=-<，111122221cos 022f a e e a e e ππ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x '∴在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在最小零点0x ，使得()00f x '=，又()f x '为连续函数，则当()00,x x ∈时，()0f x '<；()()00f x f ∴<=，又x →+∞时，()f x →+∞，()f x ∴在()0,∞+上必存在零点，不合题意；综上所述：实数a 的取值范围为,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：B .【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，涉及到函数奇偶性、零点存在定理的应用；关键是能够根据函数奇偶性确定零点位置，进而将问题转化为函数在0x >时无零点问题的求解；难点在于通过放缩和零点存在定理确定符合题意的区间.12.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有4个零点，有下述三个结论：①ω的取值范围为1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭；②()f x 在50,26π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；③若()()12221f x f x ==，12x x ≠，则12x x +的最小值为413π 以上说法正确的个数为（ ）. A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用()f x 在[]0,π上的零点个数可构造不等式求得ω范围，知①正确；当50,26x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可确定332x πππω-<-<，知②正确；由()()1212f x f x ==可求得()12121523x x k k πω⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，根据ω的范围可知③错误.【详解】当[]0,x π∈时，333x πππωωπ-≤-≤-，()f x Q 在[]0,π上有且仅有4个零点，343ππωππ∴≤-<，解得：101333ω≤<，对于①，1013,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，①正确； 对于②，当50,26x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，533263x ππωππω-<-<-， 1013,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭Q ，512,263392ωππππ⎡⎫∴-∈⎪⎢⎣⎭，332x πππω∴-<-<，()f x ∴在50,26π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，②正确；对于③，由()()12221f x f x ==知：()()1212f x f x ==， 令()12f x =，则236x k ππωπ-=+或()5236x k k Z ππωπ-=+∈， 22k x ππωω∴=+或726k x ππωω=+()k Z ∈令1122k x ππωω=+，22276k x ππωω=+，12,k k Z ∈， ()()12121212222751522633k k k k x x k k πππππππωωωωωωω+⎛⎫∴+=+++=+=++ ⎪⎝⎭()12352133k k π⎛⎫>⨯++ ⎪⎝⎭， 当121k k +=-时，()12min5233k k ππ⎛⎫++=⎪⎝⎭，1213x x π∴+>，③错误.故选：C .【点睛】本题考查正弦函数的性质相关命题的辨析，涉及到根据正弦型函数区间内的零点个数求解参数范围、单调性的求解、根据函数值求解自变量等知识；关键是能够熟练应用整体对应的方式来进行求解，属于较难题.二.填空题：13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.【答案】212- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出.【详解】因为993r r 22+19911=()()22r rr r r r T C x x C x----=-， 令9302r-=，解得3r =， 所以展开式中常数项为3349121=()22T C -=-. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.14.已知数列{}n a 的前项和为n S ，n *∈N 满足121n n S S ++=，11S =，则数列{}n a 的通项公式为______. 【答案】()12n n a -=-【解析】 【分析】利用n a 与n S 的关系可求得12n na a +=-，验证1n =时也满足此式，由此可确定数列{}n a 为等比数列，根据等比数列通项公式可求得结果.【详解】当2n ≥时，121n n S S -+=，1122n n n n S S S S +-∴+=+，12n n a a +∴=-，即12n na a +=-， 又11a =，121222331S S a a a +=+=+=，22a ∴=-，满足12n na a +=-， ∴当n *∈N 时，12n na a +=-，∴数列{}n a 是以1为首项，2-为公比的等比数列， ()12n n a -∴=-.故答案为：()12n n a -=- .【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，解题关键是能够通过n a 与n S 的关系确定数列为等比数列. 15.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[]50,100内，按得分分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为______.【答案】72.5 【解析】 【分析】利用频率分布直方图估计中位数的方法可直接构造方程求得结果.【详解】设所求中位数为x ，则()0.01100.03100.04700.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得：72.5x =. 故答案为：72.5.【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计中位数的问题，属于基础题.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点()1,0F c -30x y +=的对称点P 在双曲线上.则双曲线C 的离心率为______. 31 【解析】 【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得P 点坐标，代入双曲线方程可构造关于,a c 的齐次方程，进而求得离心率.【详解】设(),P x y ，则033022y x c x c y ⎧-=⎪⎪+-+=，解得：123x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即132P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， P Q 在双曲线上，22223144c c a b∴-=，即()222223144c c a c a ∴-=-， 解得：222423c e a==-2423e =+31e ∴=.1.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够利用点关于直线对称点的求解方法求得双曲线上点的坐标，进而构造出关于,a c 的齐次方程求得结果.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.在ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，224b c +=，ABC V 的外接圆半径为1R =.（1）求ABC V 面积；（2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，求AD 长.【答案】（12）2AD = 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得a ，利用余弦定理求得bc ，代入三角形面积公式可得结果；（2）设0b c ≥>，求得,b c ；利用角平分线定理可求得,CD DB ；根据cos cos ADB ADC ∠=-∠，利用余弦定理构造方程可求得结果.【详解】（1）ABC QV 的外接圆半径1R =，2sin a R A ∴== 由余弦定理得：2222cos 43a b c bc A bc =+-=-=，解得：1bc =，ABC ∴V 的面积1sin 2S bc A ==. （2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，且224b c +=，1bc =，不妨设0b c ≥>，有b c +=b c -=2b =，c =，又a =AC DC AB DB =且DC DB +=DC =DB =， 在ABD △中，222cos 2AD BD AB ADB AD BD+-∠=⋅；在ADC V 中，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠=⋅；ADB ADC π∠+∠=Q ，cos cos ADB ADC ∴∠=-∠，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-⋅⋅，解得：212AD =，22AD ∴=. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用等知识；关键是熟练掌握正余弦定理的形式，考查学生的运算和求解能力.18.已知如图1直角三角形ACB 中，AC BC ⊥，6AC =，63BC =，点D 为AB 的中点，3BC BF =，将ACD V 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，如图2.（1）求证：AC DF ⊥；（2）求二面角C AB D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）65【解析】 【分析】（1）取CD 的中点E ，连AE ，利用勾股定理、面面垂直和线面垂直性质可分别证得CD DF ⊥、DF AE ⊥，利用线面垂直判定定理可知DF ⊥面ACD ，由线面垂直性质得到结论； （2）以D 为原点可建立起空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）在图2中，取CD 的中点E ，连AE .在直角ABC V 中，AC BC ⊥，6AC =，3BC =90ACB ∴∠=o ，60CAB ∠=o ，又点D 为AB 的中点，3BC BF =，有6CD =，23BF=，43CF =， 由2222cos3012DF CD CF CD CF =+-⨯⨯=o 得：23DF =，222CF CD DF ∴=+，CD DF ∴⊥.将ACD V 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，由点E 为CD 的中点，在等边ACD V 中，AE CD ⊥，面ACD I 面BCD CD =，AE ∴⊥面BCD ，又DF ⊂面BCD ，DF AE ∴⊥，又DF CD ⊥，CD AE E =I ，,CD AE ⊂平面ACD ，DF ⊥∴面ACD ， 又AC ⊂面ACD ，AC DF ∴⊥.（2）以D 为原点，分别以DC ，DF ，过点D 且垂直于平面DBC 的直线为x ，y ，z 轴建立如下图所示空间直角坐标系：则()0,0,0D ，(3,0,33A ，()6,0,0C ，()3,33,0B -， 在面ABC 中，设其一个法向量()111,,m x y z →=， 又(3,0,33CA →=-，()9,33,0CB →=-，则1111330009330x z CA m CB m x ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩u u u r ru u u r r ，令11z =，则13x =13y =，)3,3,1m →∴=，在面ABD 中，设其一个法向量()222,,n x y z →=， 又(3,0,33DA →=，()3,33,0DB →=-，则22223330003330x z DA n DB n x ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩u u u r ru u u r r ，令21y =，则23x =，21z =-，)3,1,1n →∴=-，()()()()22222233311165cos ,13331311m nm n m n→→→→→→⨯+⨯+⨯-⋅∴<>===⋅++⨯++-，Q 二面角C AB D --为锐二面角，∴二面角C AB D --的余弦值为65.【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理等知识的应用，属于常考题型.19.如图，已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，1225F F =，Q 是y 轴的正半轴上一点，2QF 交椭圆于P ，且12PF PF ⊥，1PQF △的内切圆M e 半径为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:2AB y x m =+和圆M 相切，且与椭圆C 交于A 、B 两点，求AB 的值.【答案】（1）22194x y +=（2）32AB =3AB =【解析】 【分析】（1）利用内切圆的性质可知21PF x =-，11PF x =+，利用勾股定理构造方程可求得x ，结合椭圆定义和,,a b c 关系可求得,a b ，由此得到椭圆方程；（2）利用M e 与直线1PF 相切可求得(5M ，将直线方程代入椭圆方程，可利用弦长公式求得AB ；利用直线AB 与M e 相切可求得m ，代入AB 中即可得到结果.【详解】（1）设1PQF △的内切圆M e 切1PF 、1QF 、PQ 于点E 、F 、G ，11EF FF x ==，()0,0QF QG y x y ==>>，由12PF PF ⊥，且1PE PG ==，有21GF FF x ==，则21PF x =-，11PF x =+， 由2221212PF PF F F +=得：()()(()2221150x x x -++=>，解得：3x =，故12226a PF PF x =+==，即3a =，222b a c -=，故所求的椭圆标准方程为：22194x y +=.（2）由（1）知：121tan 2PF F ∠=，∴直线1PF 方程为(152y x =+， 设点()0,M t ，其到直线1PF 的距离为12515t -+=，解得：5t =或0t =（舍），即(5M ，故圆M 的方程为(2251x y +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22249360y x mx y =+⎧⎨+-=⎩得：2240369360x mx m ++-=， 则12910m x x +=-，21293640m x x -=，()()222121336440936404010x x m m m ∴-=-⨯⨯-=-， 22123514010AB k x x m ∴=+-=-， 而2y x m =+与(2251x y +-=515m -=，解得：0m =或5m =故32AB =3AB =.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆相切的位置关系的应用、弦长问题的求解等；考查学生的运算和求解能力，属于中档题.20.甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：g ）均服从正态分布()2,N μσ，在出厂检测处，直接将质量在()3,3μσμσ-+之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为x g ，则“质量误差”0x x g -.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是[)0,0.3，[)0.3,0.6、[]0.6,1.0（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g 的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X （元），求X 的分布列及数学期望()E X ； （ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率. 附：若随机变量()2,Z N μσ~.则()330.9974P Z μσμσ-<<+=；100.99740.9743≈，40.80.4096=，50.80.32768=.【答案】（1）0.0257（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）0.73728 【解析】 【分析】（1）求得没有废品的概率之后，利用对立事件概率公式可求得结果；（2）（ⅰ）首先确定“优等”、“一级”、“合格”的概率，接着确定ξ所有可能的取值，求解出每个取值对应的概率后可得分布列，由数学期望计算公式计算可得期望；（ⅱ）利用()7565536n n +-≥构造不等式可确定n 可能的取值，利用二项分布概率公式可求得结果. 【详解】（1）由正态分布可知，抽取一件零件的质量在()3,3μσμσ-+之内的概率为0.9974， 则这10件质量全都在()3,3μσμσ-+之内（即没有废品）的概率为100.99740.9743≈； 则这10件零件中至少有1件是废品的概率为10.97430.0257-=.（2）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂 生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7,0.2,0.1； 则ξ的可能取值为150,140,130,125,115,110元，有：()1500.70.70.49P X ==⨯=；()1400.70.220.28P X ==⨯⨯=； ()1300.20.20.04P X ==⨯=；()1250.70.120.14P X ==⨯⨯=； ()1150.20.120.04P X ==⨯⨯=；()1000.10.10.01P X ==⨯=，得到X 的分布列如下：则数学期望为：()1500.491400.281300.041250.141150.041000.01E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯141=（元）.（ⅱ）设乙厂生产的5件该零件规格的正品零件中有n 件“优等”品，则有5n -件“一级”品， 由已知有()75655360n n +-≥，解得： 3.5n ≥，则n 取4或5.故所求的概率为：44550.80.20.80.40960.327680.73728P C =⨯⨯+=+=.【点睛】本题考查概率分布中离散型随机变量分布列与数学期望的求解、二项分布概率问题的求解、正态分布的相关知识，是对概率分布部分知识的综合考查，属于中档题. 21.已知()222cos 1f x x ax π=+-，a ∈R .（1）若()0f x ≥恒成立.求a 的最大值0a ； （2）若()()222ln 212g x x πππ=+-+，取（1）中的0a ，当0a a =时，证明：()()2g x f x -≤.【答案】（1）02πa =（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性可知()f x 为偶函数，根据0a =时，()0f x ≥恒成立可将问题转化为0a >时，[)0,x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，求0a ；利用导数，分别在02a π<≤和2a π>两种情况下得到函数单调性，进而确定a 的范围，从而得到最大值；（2）将所证不等式转化为证明当21122x π>-，()2222cos 212x x x πππ-+≤++，根据余弦函数和二次函数单调性可分别求得不等号左右两侧函数的最大值和最小值，由此可证得不等式成立，从而得到结论. 【详解】（1）()()222cos 1f x x ax f x π-=+-=Q ，()f x ∴为偶函数，当0a =时，()0f x ≥恒成立，故题意可为：0a >，[)0,x ∈+∞，若()0f x ≥恒成立，求a 的最大值0a .()24sin f x x a ax π'=-，()2222244cos cos f x a ax a ax a ππ⎛⎫''=-=-- ⎪⎝⎭，①若02a π<≤，则()0f x ''≥恒成立，()f x '在[)0,+∞单调递增， 又()00f '=，有()0f x '≥，[)0,x ∈+∞，故()f x 在[)0,+∞单调递增， 又()00f =，有()0f x ≥恒成立，此时a 的最大值02a π=.②若2a π>，则存在最小的正数0x ，使()00f x ''=成立，此时2024cos ax aπ=，当[)00,x x ∈时，()0f x ''≤，()f x '在[)00,x 单调递减，又()00f '=，有()0f x '≤，[)00,x x ∈，故()f x 在[)00,x 单调递减， 又()00f =，有()0f x ≤，[)00,x x ∈，故()0f x ≥，[)0,x ∈+∞不恒成立， 即a 无最大值.综合①②可知，满足题意a 的最大值02a π=.（2）由（1）知，()222cos21f x x x ππ=+-，证明：()()2g x f x -≤，即证：()()22222ln 212cos 2122x x x πππππ+-+-+-≤，21122x π>-， ()22222ln 212cos 212x x x πππππ⇔+-≤+-+，21122x π>-， 由ln 1t t ≤-，0t >恒成立，有()2222ln 212x x ππππ+-≤-，即证：2222222cos 212x x x πππππ-≤+-+，21122x π>-， ()2222cos 212xx x πππ⇔-+≤++，21122x π>-，（*） 当21122x π>-时，()()222h x x x π=-+的最大值为2122h π⎛⎫= ⎪⎝⎭，当21122x π>-时，()2cos 212x x πϕπ=++的最小值为22π， 故（*）式恒成立，即证得()()2g x f x -≤恒成立.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题的求解、不等式的证明；本题证明不等式的关键是能够将所证不等式进行转化，转化为不等号左右两侧均为可求最值的函数的形式，进而利用最大值和最小值之间大小关系的比较证得结论，属于难题.（二）选考题：22.在直角坐标系中xOy ，曲线E的参数方程为2cos 2sin 22x y αααα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭t 为参数）.（1）求曲线E 的普通方程和曲线F 的直角坐标方程； （2）若曲线E 与曲线F 有公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）21y x =+；2x y t +=（2）37,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷2020．5本试卷共5页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数ii -+12的共轭复数是 A ．i 2321- B ．i 2321+ C ．i 2321-- D ．i 2321+- 2．已知集合{}0322<--=x x x A ，非空集合{}a x a x B +<<-=12，A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．]2,(-∞B ．]2,21(C ．)2,(-∞D ．)2,21(3．已知直线l 过圆062622=+--+y x y x 的圆心且与直线01=++y x 垂直，则l 的方程是A ．02=-+y xB ．03=-+y xC ．02=--y xD ．03=--y x4．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器．晷长即为所测量影子的长度）．夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为A ．0.5尺B ． 1尺C ．1.5尺D ． 2尺5．函数x x x x x f cos 122ln2sin )(++-⋅=ππ在)2,2(ππ-的图像大致为6．如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5 ，则空白框中应填入A ．k<nB ．k ≤nC ．k-1≤nD ．k+1 < n7．△ABC 中，点D 为BC 的中点，3=，M 为AD 与CE 的交点，若),(R y x y x ∈+=，则y x -=A ．1-B ．21C ．43 D ．1 9．甲、乙、丙、丁戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为A ．2512B ．2513C ．2518D ．2519 9．已知R c b a ∈,,．满足0ln 2ln 2ln 3<-==ca b ca b ．则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b a c >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >>10．在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一-点且AM=31AD ．N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为 A ．510 B ．55 C ．1010 D ．105 11．已知)0(sin )()(>--=-a x e e a x f x x π存在唯一零点，则实数a 的取值范围A ．),2(+∞πB ．),2[+∞πC ．),21(+∞D ．),21[+∞ 12．已知函数)0)(3sin()(>-=ωπωx x f 在],0[π有且仅有4个零点，有下述三个结论： ①ω的取值范围为)313,310[； ②)(x f 在)265,0(π单调递增； ③若21211)(2)(2x x x f x f ≠==，，则21x x +的最小值为134π 以上说法正确的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式9)21(xx -的展开式中，常数项为 . 14．已知数列{}n a 的前项和为*N n S n ∈，满足11211==++S S S n n ，，则数列{}n a 的通项公式为 . 15．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50， 100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[ 80，90），[90，100] ，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为 .16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左焦点)0,(1c F -关于直线03=+y x 的对称点P 在双曲线上．则双曲线C 的离心率为 .。