湖北省武汉市外国语学校2017-2018学年高二上期末数学试题(理科)(无答案)

2017-2018学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）≤1B．∃x0＞0，使得（x0+1）≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤12．（5分）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；至少有一个红球B．至少有一个白球；红、黑球各一个C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；都是白球3．（5分）中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A．2B．4C．5D．64．（5分）“3＜m＜7”是“方程+＝1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分条件又不必要条件5．（5分）某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a、b，则双曲线﹣＝1的离心率e的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为4，2，则输出的n等于（）A．2B．3C．4D．57．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值是（）A．B．C．D．9．（5分）在去年的足球甲A联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1，；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队技术水平更稳定；③一队有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球．A．1个B．2个C．3个D．4个10．（5分）直线4kx﹣4y﹣k＝0与抛物线y2＝x交于A、B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x+＝0的距离等于（）A．B．2C．D．411．（5分）给出以下命题，其中真命题的个数是（）①若“￢p或q”是假命题，则“p且￢q”是真命题②命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”为真命题③已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面；④直线y＝k（x﹣3）与双曲线交于A，B两点，若|AB|＝5，则这样的直线有3条；A．1B．2C．3D．412．（5分）已知抛物线x2＝2py和﹣y2＝1的公切线PQ（P是PQ与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的切点）与抛物线的准线交于Q，F（0，），若|PQ|＝|PF|，则抛物线的方程是（）A．x2＝4y B．x2＝2y C．x2＝6y D．x2＝2y二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为．14．（5分）下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，那么表中m的值为．15．（5分）已知a∈R，直线l1：x+2y＝a+2和直线l2：2x﹣y＝2a﹣1分别与圆E：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝4相交于A、C和B、D，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆的左焦点，若AF⊥BF，且该椭圆的离心率，则θ的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50名学生组成一个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；（2）若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这次百米测试中成绩良好的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的中位数、平均数．18．（12分）已知命题p：方程x2+y2﹣2mx+2m2﹣2m＝0表示圆；命题q：双曲线﹣＝1的离心率e∈（1，2），若命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）已知直线l：x﹣y+3＝0被圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）截得的弦长为，求：（1）a的值；（2）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．20．（12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，P A的中点，且AB＝AC＝1，AD＝．（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；（Ⅱ）设直线AC与平面PBC所成角为α，当α在内变化时，求二面角P﹣BC ﹣A的取值范围．22．（12分）在圆x2+y2＝4上任取一点M，过点M作x的垂线段MD，D为垂足.，当点M在圆上运动时（1）求N点的轨迹方程Γ；（2）若A（2，0），直线l交曲线Γ于E、F两点（点E、F与点A不重合），且满足AE ⊥AF．O为坐标原点，点P满足，求直线AP的斜率的取值范围．2017-2018学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）≤1，故选：B．2．【解答】解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立；在B中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故B成立；在C中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故C 不成立；在D中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立．故选：B．3．【解答】解：由茎叶图可得，诗词能手”的称号有16人，据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为10×＝4人，故选：B．4．【解答】解：若方程+＝1的曲线是椭圆，则，即，即3＜m＜7且m≠5，即“3＜m＜7”是“方程+＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件，故选：B．5．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6＝36种结果满足条件的事件是e＝＞∴b＞a，符合b＞a的情况有：当a＝1时，有b＝3，4，5，6四种情况；当b＝2时，有a＝5，6两种情况，总共有6种情况．∴概率为＝．故选：A．6．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝4，b＝2，n＝1，a＝6，b＝4，不满足循环的条件a≤b，执行循环体，n＝2，a＝9，b＝8不满足循环的条件a≤b，执行循环体，n＝3，a＝13.5，b＝16满足循环的条件a≤b，退出循环，输出n的值为3．故选：B．7．【解答】解：∵＝（2，t，t）﹣（1﹣t，2t﹣1，0）＝（1+t，1﹣t，t），∴＝＝．故当t＝0时，有最小值等于，故选：C．8．【解答】解：以D为原心，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，∴A（1，0，0），E（1，，1），B（1，1，0）D1（0，0，1），∴＝（0，，1），＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1），设平面ABC1D1的法向量，则＝0，＝0，∴，∴，设直线AE与平面与平面ABC1D1所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝||＝．故选：D．9．【解答】解：在①中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，∴平均说来一队比二队防守技术好，故①正确；在②中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故②正确；在③中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故③正确；在④中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队很少不失球就是二队经常失球，故④正确．故选：D．10．【解答】解：直线4kx﹣4y﹣k＝0可化为k（4x﹣1）﹣4y＝0，故可知直线恒过定点（，0）∵抛物线y2＝x的焦点坐标为（，0），准线方程为x＝﹣，∴直线AB为过焦点的直线∴AB的中点到准线的距离＝＝2∴弦AB的中点到直线x+＝0的距离等于2+＝故选：C．11．【解答】解：对于①，若“￢p或q”是假命题，则它的否定是“p且￢q”，它是真命题，①正确；对于②，命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”，它的逆否命题是“若a＝2且b＝3，则a+b＝5”，且为真命题，∴原命题也是真命题，②正确；对于③，由++＝1，且，∴P，A，B，C四点共面，③正确；对于④，由双曲线方程知a＝2，c＝3，即直线l：y＝k（x﹣3）过双曲线的右焦点；又双曲线的两个顶点之间的距离是2a＝4，且a+c＝2+3＝5，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，即k＝0时2a＝4，∴满足|AB|＝5的直线有2条，当直线与实轴垂直时，即x＝c＝3时，得﹣＝1，即y2＝，则y＝±，此时通径长为5，若|AB|＝5，则此时直线AB的斜率不存在，不满足条件；综上可知有2条直线满足|AB|＝5，④错误．综上所述，正确的命题序号是①②③，有3个．故选：C．12．【解答】解：如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE＝PF∵|PQ|＝|PF|，在Rt△PQE中，sin，∴，即直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y＝x+m（m＜0）由消去y得．则△1＝8m2﹣24＝0，解得m＝﹣，即PQ：y＝由得，△2＝8p2﹣8p＝0，得p＝．则抛物线的方程是x2＝2y．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：由于每位同学参加各个小组的可能性相同，故这两位同学同时参加一个兴趣小组的概率为3×（×）＝，故答案为．14．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴＝0.7×4.5+0.35，∴m＝3，故答案为：315．【解答】解：由题意，直线l1：x+2y＝a+2和直线l2：2x﹣y＝2a﹣1，交于圆心（a，1），且互相垂直，∴四边形ABCD是正方形，∴四边形ABCD的面积为4××2×2＝8，故答案为：8．16．【解答】解：设右焦点F′，连结AF′，BF′，得四边形AFBF′是矩形，∵AF+AF′＝2a，AF+BF＝2a，OF＝c，∴AB＝2c，∵∠BAF＝θ，∴AF＝2c•cos，BF＝2c•sin，∴2c sin+2c cos＝2a，∴＝＝，∵该椭圆的离心率，∴，∵θ∈[0，π），∴．∴θ的取值范围是[，]．故答案为：[，]．三、解答题（共6小题，满分70分）17．【解答】解：（1）学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数1×0.32×1800＝576人．（2）样本在这次百米测试中成绩良好的人数是：1×0.06×50+1×0.16×50＝3+9＝11人．（3）因为数据落在第一、二组的频率＝1×0.06+1×0.16＝0.22＜0.5；数据落在第一、二、三组的频率＝1×0.06+1×0.16+1×0.38＝0.6＞0.5；所以中位数一定落在第三组[15，16）中．假设中位数是x，所以1×0.06+1×0.16+（x﹣15）×0.38＝0.5；解得中位数x＝29919≈15.7368≈15.74；平均数为：13.5×0.06+14.5×0.16+15.5×0.38+16.5×0.32+17.5×0.08＝15.7．18．【解答】解：若命题p：方程x2+y2﹣2mx+2m2﹣2m＝0表示圆为真命题，则（x﹣m）2+y2＝2m﹣m2＞0，解得0＜m＜2．若命题q：双曲线﹣＝1的离心率e∈（1，2），为真命题，则∈（1，2），解得0＜m＜15．∵命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，∴p与q必然一真一假．∴，或，解得2≤m＜15或∅．综上可得：实数m的取值范围是[2，15）．19．【解答】解：（1）依题意可得圆心C（a，2），半径r＝2，则圆心到直线l：x﹣y+3＝0的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|＝2，解得a＝1或a＝﹣3，又a＞0，所以a＝1；（2）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，又（3，5）在圆外，①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5＝k（x﹣3），由圆心到切线的距离d＝r＝2，可解得，切线方程为5x﹣12y+45＝0；②当过（3，5）斜率不存在，易知直线x＝3与圆相切，综合①②可知切线方程为5x﹣12y+45＝0或x＝3．20．【解答】解：（1）由题意可得，∴n＝160；（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为＝；（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x﹣y﹣1＝0，令y＝0可得x＝，令y＝1可得x＝1∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为＝∴该代表中奖的概率为＝．21．【解答】（Ⅰ）证明：取PD中点Q，连接NQ、CQ，因为点M，N分别为BC，P A的中点，所以NQ∥AD∥CM，，∴四边形CQNM为平行四边形，∴MN∥CQ，又MN⊄平面PCD，CQ⊆平面PCD，所以MN∥平面PCD；（Ⅱ）解：连接PM，∵AB＝AC＝1，点M分别为BC的中点，∴AM⊥BC，又∵P A⊥平面ABCD，∴PM⊥BC，∴∠PMA即为二面角P﹣BC﹣A的平面角，记为φ，又AM∩PM＝M，所以BC⊥平面P AM，则平面PBC⊥平面P AM，过点A在平面P AM内作AH⊥PM于H，则AH⊥平面PBC．连接CH，于是∠ACH就是直线AC与平面PBC所成的角α．在Rt△AHM中，；又∵在Rt△AHC中，AH＝sinα，∴．∵，∴，．又，∴．即二面角P﹣BC﹣A取值范围为．22．【解答】解：（1）设N（x，y），则D（x，0）．∵.，∴M．由点M在圆x2+y2＝4，可得：x2+＝4，化为：．（2）①当直线l垂直于x轴时，由消去y整理得7x2﹣16x+4＝0，解得或2，此时，直线AP的斜率为0；………………（5分）．②当直线l不垂直于x轴时，设E（x1，y1），F（x2，y2），直线l：y＝kx+t（t≠﹣2k），由，消去y整理得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，………………（6分）依题意△＝64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣12）＞0，即4k2﹣t2+3＞0（*），且，，…………………（7分）又AE⊥AF，所以＝，所以7t2+4k2+16kt＝0，即（7t+2k）（t+2k）＝0，解得满足（*），………………（8分）所以＝（x1+x2，y1+y2）＝，故，…（9分）故直线AP的斜率＝，………………（10分）当k＜0时，，此时；当k＞0时，，此时；综上，直线AP的斜率的取值范围为．…………………………………（12分）。

2017-2018学年高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”形式的复合命题中，真命题有（）个．和“?p”A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．410．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝．15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．2017-2018学年甘肃省白银市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47﹣51=﹣4，首项为51，所以通项a n=51+（n﹣1）×（﹣4）=55﹣4n所以令55﹣4n＜0解得n＞，因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”和“?p”形式的复合命题中，真命题有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：因为??{0}，所以命题p为真．因为：{1}?{1，2}，所以命题q为假．所以p∨q为真，p∧q为假，?p为假．故真命题的个数为1个．故选B．4．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：由内角和定理得：A=180°﹣60°﹣75°=45°，根据正弦定理得：=，又a=8，sinA=，sinB=，则b===4．故选C6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a?3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C8．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x【解答】解：由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=﹣2px将p代入可得y2=﹣4x．故选：B．9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：由椭圆a=，b=，c2=a2﹣c2=4，则椭圆的焦点右焦点F（2，0），由抛物线y2=2px的焦点，则=2，则p=4，故选：D．10．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C．11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．【解答】解：∵a n=（n∈N*），∴a3==，故答案为：．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝3x2+6x+6，．【解答】解：函数的导数为y′=3x2+6x+6，故答案为：3x2+6x+6，15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，又b=1，S△ABC=，∴bcsinA=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：②．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：①（log a x）′＝；故①错误，﹣sinx；故②正确，②（cosx）′＝③（）′＝，故③错误，故真命题为②，故答案为：②三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=．B=则：sinA=，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，=．（2）利用正弦定理得：，由于：B=，b=，sinA=，解得：a=，所以：，=．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：∵“ｐ或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，当p为真命题时，则，解得m＜﹣2，当q为真命题时，则△=16（m+2）2﹣16＜0，得﹣3＜m＜﹣1．当p真q假时，得m≤﹣3．当q真p假时，得﹣2≤m＜﹣1．当p真q真时，﹣3＜m＜﹣2综上，m＜﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，则：f′（x）=3ax2﹣6x+1，由于：y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，则：f′（1）=﹣2，即：3a﹣6+1=﹣2，解得：a=1．又：当x=1时，y=﹣3，则（1，﹣3）满足函数f（x）=x3﹣3x2+x+b，解得：b=﹣2．故函数的解析式为：f（x）=x3﹣3x2+x﹣2．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在[﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，]递增，而f（﹣3）=﹣27+9=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣，故函数的最大值是2，最小值是﹣18．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）证明：由S n=2a n﹣2n（n∈N+），n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2n﹣（），化为：a n﹣2a n﹣1=2n﹣1，化为：﹣=．令b n=．则b n﹣b n﹣1=，b1==1．∴数列{b n}为等差数列，首项为1，公差为．（2）解：由（1）可得：b n=1+（n﹣1）==．∴a n=（n+1）?2n﹣1．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．在Rt△PF1F2中，，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2﹣c2=4，所以椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．因为A，B关于点M对称．所以．解得，所以直线l的方程为，即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意）（Ⅱ）解法二：已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且，①，②由①﹣②得．③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得=，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y﹣1=（x+2），即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意．）23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．AB⊥BD，HB⊥BD，又AD=，BD=1，∴AB==BC=AC，∴BD⊥DC，又BD=CD，则BHCD是正方形，则DH⊥BC，∴AD⊥BC．方法二：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B﹣AC﹣D的平面角，因为AB=AC=BC=，∵M是AC的中点，则BM=，MN=CD=，BN=AD=，由余弦定理可求得cos∠BMN=，∴二面角B﹣AC﹣D的余弦值为．。

2017-2018学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）1．两个事件对立是两个事件互斥的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg3．下列正确的是（）A．若p，q为两个，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件B．若p为：?x∈R，x2+2x≤0则￢p为：?x∈R，x2+2x＞0C．p为真，q为假．则p∧（￢q），（￢p）∨q都是真D．“若￢p，则q”的逆否是“若p，则￢q”．4．从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（）A．不都相等 B．都不相等C．都相等，且为D．都相等，且为5．在下列中：①若向量、共线，则向量、所在的直线平行；②若向量、所在的直线为异面直线，则向量、不共面；③若三个向量、、两两共面，则向量、、共面；④已知空间不共面的三个向量、、，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x、y、z，使得；其中正确的的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当其中有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，341等）．若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，任取一个三位自然数，则它是“有缘数”的概率是（）A．B．C．D．7．如果ξ～B，则使P（ξ=k）取最大值时的k值为（）A．5或6 B．6或7 C．7或8 D．以上均错8．已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为（）A．B．C．D．9．若（ax2+x+y）5的展开式的各项系数和为243，则x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．6010．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（）A．甲同学：均值为2，中位数为 2 B．乙同学：均值为2，方差小于 1C．丙同学：中位数为2，众数为 2 D．丁同学：众数为2，方差大于 111．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（）A．B．C． D．12．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交双曲线的右支于P、Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．二、填空题：（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有______种（用数字作答）．14．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是______．15．在一个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，CD的中点，点Q为平面SKABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足=λ的实数λ的值有______个．16．已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为______．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）17．已知p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．18．设函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”发生的概率．（1）若随机数b，c∈{1，2，3，4}；（2）已知随机函数Rand（）产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b=4*Rand（）和c=4*Rand（）的执行结果．（注：符号“*”表示“乘号”）19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2．（1）证明：平面A1AC⊥平面AB1B；（2）求棱AA1与BC所成的角的大小；（3）若点P为B1C1的中点，并求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值．20．某市一高中经过层层上报，被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校．该校成立了特色足球队，队员来自高中三个年级，人数为50人．视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查．测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[4.75，4.85），第二组[4.85，4.95），…，第6组[5.25，5.35]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布N（5.01，0.0064）．（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况；（2）求这50名队员视力在 5.15以上（含 5.15）的人数；（3）在这50名队员视力在 5.15以上（含 5.15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+?为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．22．在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足+=．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交轨迹C于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F求证：直线EF恒过一定点．2015-2016学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）1．两个事件对立是两个事件互斥的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】互斥事件与对立事件．【分析】根据对立事件和互斥事件的意义知，两个事件是互斥事件那么这两个事件不一定是对立事件，若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，即前者能够推出后者，后者不一定能够推出前者．【解答】解：根据对立事件和互斥事件的意义知，两个事件是互斥事件那么这两个事件不一定是对立事件，若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，所以两个时间对立是两个事件互斥的充分不必要条件，故选A．2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．3．下列正确的是（）A．若p，q为两个，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件B．若p为：?x∈R，x2+2x≤0则￢p为：?x∈R，x2+2x＞0C．p为真，q为假．则p∧（￢q），（￢p）∨q都是真。

湖北省武汉外国语学校高二上学期期末考试（数学理）限时：1 满分：150分 命题人：高二数学组A 卷一．选择题（每小题5分，共50分）1. 方程22(2)(2)0x y -++=表示的曲线是（ ）A 圆B 两条直线C 一个点D 两个点2. 为研究两个变量y 与x 的相关关系，选择了4个不同的回归模型，其中拟合效果最好的模型是（ ）A 相关指数2R 为0.86的模型1B 相关指数2R 为0.96的模型2C 相关指数2R 为0.73的模型3D 相关指数2R 为0.66的模型43. 甲、乙两人在相同条件下进行射击，甲射中目标的概率为1P ，乙射中目标的概率为2P ，两人各射击1次，那么至少1人射中目标的概率为（ ） A 21P P + B 21P P ⋅C 211P P -D )1)(1(121P P ---4. 设n xx )15(-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若56M N -=，则展开式中常数项为（ ） A 15- B 15 C 10 D 10-5. 五项不同的工程，由三个工程队全部承包下来，每队至少承包一项工程．则不同的承包方案有（ ）A 30B 60C 150D 180 6. “0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件7. 随机变量ξ的分布列为(),1,2,3,4(1)cP k k k k ξ===+，其中c 为常数，则(2)P ξ≥=（ ）A 32B54C83D658. 已知12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，过2F 的直线交作椭圆于,A B 两点，若1AF B∆的周长为16，椭圆的离心率2e =，则椭圆的方程是（ ） A 22143x y += B221163x y += C2211612x y += D221164x y +=9. 若AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且,AM BM 与坐标轴不平行，,AM BM k k 分别表示直线,AM BM 的斜率，则AM BM k k ⋅=（ ）A 22c a-B 22b a-C 22c b-D 22a b-10. 设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，若12PF F ∆是直角三角形，且12PF PF >，则12PF PF 的值为（ ）A 2 B72C54D 2或72二．解答题（共50分）11. （本小题12分）已知:p 函数21y x mx =++在(1,)-+∞上单调递增；:q 不等式244(2)10x m x +-+>恒成立．若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．12. （本小题12分）甲、乙两名教师进行乒乓球比赛，采用七局四胜制（先胜四局者获胜）.若每一局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13. 现已赛完两局，乙暂时以2:0领先.⑴求甲获得这次比赛胜利的概率；⑵设比赛结束时比赛的总局数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ.13. （本小题12分）某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了180名员工进行调查，所得数据如下表所示（1）估计员工积极支持企业改革人数的比例；（2）能否有99.9%的把握说员工对待企业改革的态度与工作积极性有关？（3）根据（2）的结论能否提出更好的调查方法来估计该企业中赞成改革的员工的比例？说明理由. 附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++14. （本小题14分）椭圆221ax by +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点，若AB OC =的斜率为2，求椭圆的方程． B 卷一．填空题（每小题5分，共30分）1． 已知随机变量2(0,)N ξσ，已知(2)0.023P ξ>=，则(2)P ξ≤=__________.2． 设随机变量(2,),(3,)XB p Y B p .若7(1)16P X ≥=，则(2)P Y ==________. 3． 在下列说法中：① 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”； ② 命题“若0>m ，则02=-+m x x 有实数根”的逆否命题是假命题；③ 已知命题0:1p x ∃>，使200230x x --=，则p ⌝为：21,230x x x ∀>--≠；④ 不等式()(1)0x a x ++<成立的一个充分不必要条件是21x -<<-，则实数a 的取值范围是2a ≥ 不正确．．．的是____________.（填上你认为不正确．．．的所有序号）4． 若直线1y kx =+与曲线x =k 的取值范围是______________.5． 已知函数1,()()0,()x a f x x a ≥⎧=⎨<⎩，函数2()1g x x x =-+，则函数()()()h x g x f x =-有两个零点的充要条件是_________________．6. 已知2()2,()2f x x x g x mx =-=+，对10[1,2],[1,2]x x ∀∈-∃∈-，使10()()g x f x =，则m 的取值范围是____________.二．解答题（共7. （本小题10分）袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．⑴求袋中各色球的个数；⑵从袋中任意摸出3个球，记得到的白球个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及()E ξ和()D ξ； ⑶若,()11,()21a b E D ηξηη=+==，试求,a b 的值．8. （本小题10分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -．⑴求椭圆的标准方程；⑵设过点F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 的横坐标的取值范围．。

武汉外国语学校2017-2018学年度上学期期末考试高二物理试题考试时间:2017年2月1日命题人:王弘杨审题人:饶开宏满分:110分一、选择题(本题共12小题,共60分。

此中1-7为单项选择题,每题5分;8-12 为多项选择题,每小题5分,所有选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错或不答的得0分)1.一个匝数为100匝,电阻为0.5Ω的闭合线圈处于某一磁场中,磁场方向垂直于线圈平面,从某时辰起穿过线圈的磁通量按以以下图规律变化.则线圈中产生交变电流的有效值为A.52AB. 2 5AC.6AD.5A2.以以下图的电路中,三个灯泡L1、L2、L3的电阻关系为R1＜R2＜R3,电感L的电阻可忽视,D为理想二极管电键K从闭合状态忽然断开时,以下判断不正确的选项是第2题第3题第4题A.L1逐渐变暗B.L1先变亮,而后逐渐变暗C.L3先变亮,而后还渐变暗D.L2马上熄灭3.以以下图,直角三角形导线框ABC,处于磁感强度为B的匀强磁场中,线框在纸面上绕B点以匀角速度作顺时针方向转动,∠B=60°,∠C=90°,AB=L,则A、c两端的电势差U AC=A.0B.15C.3D.3 Bl2Bl2Bl2 32284.以以下图,在同一水平面内有两根足够长的圆滑水平金属导轨,间距为l,电阻不计,其左端连接一阻值为B的磁场,磁场界限由多个半周期正弦曲线连接而成,磁场方向以以下图,当置于两金属导轨上的导体棒在水平外力F(图中未画出）作用下以速度v(较大)匀速向右运动,导体棒与两金属导轨垂直且一直接触优异,电压表和电流表均为理想交流电表,导体棒电阻不计,则,电流表示数也周期性变化ab地点时最大d地点时,水平外力F=0,则导体棒在图中ab地点时水平外力F的刹时功率也将加倍以以下图,一交流发电机的矩形线圈匝数为n=10,其电阻r=2Ω,面积2,在磁感觉强度B=2T的匀强磁场中,若线圈从中性面地点开始绕垂直于磁场方向的对称轴OO′以π=10πrad/s的角速度匀速转动,向R=18Ω的电阻供电。

2017-2018学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={y|y=，x∈[1，4]}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，]B．（1，2]C．[1，2]D．∅2．（5分）已知复数z=，则|z|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，则到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．5B．C．4D．35．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=4，则输出的结果是（）A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x ∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）=asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：①f（x）的图象过点（0，1）；②f（x）在[，]上单调递减；③f（x）的一个对称中心是（，）；④f（x）的一条对称轴是x=﹣．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，BD ⊥CD，AB=CD=1，BD=，则球O的表面积为（）A．B．πC．2πD．4π11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为（）A．B．[0，1]C．D．12．（5分）已知F为抛物线y2=4x的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点．设直线CD的斜率为k2，则=（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）下面的数据是关于世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图，样本点基本集中在一个条型区域，因此两个变量呈线性相关关系利用散点图中的数据建立的回归方程为=3.193x+88.193，若受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．15．（5分）二项式（x2+）6的展开式中，含x7的系数为．16．（5分）已知函数f（x）=x2e x与g（x）=2xe x+a的图象有且只有三个交点，则实数a的取值范围为．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=2a n﹣n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调查，统计数据如表所示：合计对数学感兴趣对数学不感兴趣数学成绩好17825数学成绩一般52025合计222850（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由；（2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数为x，求x的分布列和数学期望．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828K2=19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=2，且=2．（1）求角A的大小；（2）若c=，求△ABC的面积．20．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为3，底面边长为，点D、E分别为棱B1C1和AA1的中点．（1）求证：直线DE⊥平面BCE；（2）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q（m，0）在x轴上，连结QA、QB分别与直线x=﹣2交于点M、N，若MF1⊥NF1，求m的值．22．（12分）已知函数f（x）=ln（ax+b）﹣x（a，b∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣2x+1，求a，b的值；（2）已知当a＞0时，f（x）≤0恒成立，求ab的最大值．2017-2018学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={y|y=，x∈[1，4]}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，]B．（1，2]C．[1，2]D．∅【分析】分别求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={y|y=，x∈[1，4]}={y|1≤y≤2}，B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5分）已知复数z=，则|z|=（）A．1B．C．D．2【分析】直接由复数商的模等于模的商求解．【解答】解：∵z=，∴|z|=||=．故选：C．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．3．（5分）已知点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，则到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为（）A．B．C．D．【分析】作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为2正方形，到坐标原点O的距离d≤1的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率．【解答】解：∵点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，∴当x≥0，y≥0时，x+y≤2；当x≥0，y≤0时，x﹣y≤2；当x≤0，y≥0时，﹣x+y≤2；当x≤0，y≤0时，﹣x﹣y≤2．作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为2正方形，到坐标原点O的距离d≤1的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，∴到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为：p===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．5B．C．4D．3【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，可得A（1，2），化目标函数z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1+2×2=5．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=4，则输出的结果是（）A．B．C．D．【分析】根据题意运行程序得S=1+=从而得答案．【解答】解：执行程序得S=1++=故选：C．【点评】本题考查程序框图的运行．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）【分析】由题意知函数f（x）是奇函数，且在[1，a]上是个增函数，要比较2个函数值的大小，先看自变量的范围，再利用函数的单调性得出结论．【解答】解：①函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0；②对任意x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，∴函数f（x）在区间[1，a]上是单调增函数；又a＞1，∴f（a）＞f（0），选项A一定成立；∵a≥＞≥1，∴f（）＞f（），选项B一定成立；∵﹣（﹣a）=＞0，∴＞﹣a，∴a＞=3﹣≥1，∴f（a）＞f（），两边同时乘以﹣1可得﹣f（a）＜﹣f（），即f（）＞f（﹣a），选项D一定成立；﹣（﹣3）=＞0，∴＞﹣3，∴3＞＞0，但不能确定3和是否在区间[1，a]上，∴f（3）和f（）的大小关系不确定，∴f（）与f（﹣3）的大小关系不确定，即选项C不正确．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了抽象函数应用问题，是中档题．7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x ∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】条件M：，⇔=0．条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，化为：x2﹣x+2﹣≥0．进而判断出结论．【解答】解：条件M：，⇔=0．条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，化为：x2﹣x+2﹣≥0．≠0时，∴△=﹣4（2﹣）≤0，∴≤0，即=．可知：由M推不出N，反之也不成立．故选：D．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与c之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率【解答】解：如图，OM⊥PF1，ON⊥PF1，依题意|OM|=a，|NF2|=2a，∵且∠F1PF2=45°，可知三角形PF2N是一个等腰直角三角形，∴|PF2|=2a，|PF1|=2a+2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=（2a+2a）2+（2a）2﹣2×，化简得c2=3a2，∴该双曲线的离心率为．故选：B．【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．9．（5分）已知函数f（x）=asinωx+co sωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：①f（x）的图象过点（0，1）；②f（x）在[，]上单调递减；③f（x）的一个对称中心是（，）；④f（x）的一条对称轴是x=﹣．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】运用三角函数的辅助角公式和周期公式，可得a，ω，再由正弦函数的单调性和对称性，计算可得正确结论的个数．【解答】解：函数f（x）=asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，可得=，可得a=1，π=可得ω=2，则f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），则f（0）=sin=1，①正确；当x∈[，]，可得2x+∈[，]，可得f（x）在[，]上单调递减，②正确；由f（）=sin（+）=，则③错误；由f（﹣）=sin（﹣+）=﹣，可得④正确．其中正确结论的个数为3．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，注意运用辅助角公式和周期公式，考查正弦函数的单调性和对称性，考查运算能力，属于中档题．10．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，BD ⊥CD，AB=CD=1，BD=，则球O的表面积为（）A．B．πC．2πD．4π【分析】根据题意画出图形，结合图形把三棱锥A﹣BCD补充为长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，计算长方体的对角线，求出外接球的直径和表面积．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，以AB、BD和CD为棱，把三棱锥A﹣BCD补充为长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，且长方体的对角线是外接球的直径；∴（2R）2=AB2+BD2+CD2=1+2+1=4，∴外接球O的表面积为4πR2=4π．故选：D．【点评】本题考查了三棱锥外接球表面积计算问题，将三棱锥补成长方体，是求外接球直径的关键．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为（）A．B．[0，1]C．D．【分析】设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知：，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，化简可得0≤a≤，故选：A．【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于中档题．12．（5分）已知F为抛物线y2=4x的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点．设直线CD的斜率为k2，则=（）A．1B．2C．3D．4【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与抛物线方程可得y1y2，设C （x3，y3），D（x4，y4），则k1=，k2=，设AC，BD所在的直线方程可得y1y3=﹣16，y2y4=﹣16，由此可得的值．【解答】解：设过点F作斜率为k1的直线方程为：y=k1（x﹣1），联立抛物线C：y2=4x4可得：设A，B两点的坐标为：（x1，y1），（x2，y2），则y1y2=﹣4，设C（x3，y3），D（x4，y4），则k1==，同理k2=，设AC所在的直线方程为y=m（x﹣4），联立，得my2﹣4y﹣16m=0，∴y1y3=﹣16，同理，y2y4=﹣16，则==．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）下面的数据是关于世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图，样本点基本集中在一个条型区域，因此两个变量呈线性相关关系利用散点图中的数据建立的回归方程为=3.193x+88.193，若受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差120.123美元．【分析】利用回归方程计算x=10求得的值即可．【解答】解：根据回归方程为=3.193x+88.193，令x=10，得=3.193×10+88.193=120.123，即受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差120.123美元．故答案为：120.123美元．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，然后求解几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，几何体是以侧视图为底面的五棱柱，底面是直角梯形，底面直角边长为2，1，高为1，棱柱的高为3，几何体的体积为：=．故答案为：．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．15．（5分）二项式（x2+）6的展开式中，含x7的系数为6．=C6r（x2）6﹣r（）【分析】根据题意，由二项式定理分析可得展开式的通项T r+1r=C6r x12﹣5r，令12﹣5r=7，可得r=1，将r=1代入通项计算可得答案．=C6r（x2）6﹣r 【解答】解：根据题意，二项式（x2+）6的展开式的通项为T r+1（）r=C6r x12﹣5r，令12﹣5r=7，可得r=1，此时T2=C61x7=6x7，即含x7的系数为6，故答案为：6．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式．16．（5分）已知函数f（x）=x2e x与g（x）=2xe x+a的图象有且只有三个交点，则实数a的取值范围为（2（1﹣），2（1+））．【分析】令a=h（x）=x2e x﹣2xe x，求导h′（x），从而确定函数的单调性及极值，从而求出a的范围．【解答】解：由题意得，x2e x=2xe x+a，∴a=h（x）=x2e x﹣2xe x，h′（x）=2xe x+x2e x﹣2e x﹣2xe x=e x（x2﹣2）令h′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令h′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，∴h（x）在（﹣∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，∴h（x）极大值=h（﹣）=2（1+），h（x）极小值=h（）=2（1﹣），函数f（x）=x2e x与g（x）=2xe x+a的图象有且只有三个交点，则只需y=a和y=h（x）图象有且只有三个零点，故a∈（2（1﹣），2（1+）），故答案为：（2（1﹣），2（1+））．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=2a n﹣n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=2a n﹣n．①当n≥2时，S n=2a n﹣1﹣（n﹣1）②，①﹣②得：a n=2a n﹣1+1，整理得：a n+1=2（a n﹣1+1），所以数列{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．则：，整理得：，当n=1时，a1=1符合通项．故：．（2）由（1）得：，所以：S n=a1+a2+a3+…+a n，=（21+22+23+…+2n）﹣（1+1+1+…+1），=，=2n+1﹣2﹣n．【点评】本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列的通项公式，等比数列的前n项和公式及分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调查，统计数据如表所示：对数学感兴趣对数学不感兴合计趣数学成绩好17825数学成绩一般52025合计222850（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由；（2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数为x，求x的分布列和数学期望．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828K2=【分析】（1）根据表中数据计算观测值K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列和数学期望值．【解答】解：（1）根据表中数据，计算观测值K2=≈11.7＞10.828，∴有99.9%的把握认为学生学习数学的兴趣与数学成绩有关系；（2）由题意知数学成绩好的同学有25人，其中对数学感兴趣的有17人，从中抽取4人，设对数学感兴趣的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4；计算P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列为，X01234P（X）数学期望为EX=0×+1×+2×+3×+4×=2.72．【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列应用问题，是中档题．19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=2，且=2．（1）求角A的大小；（2）若c=，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知及正弦定理可得sinA=，结合范围A∈（0，π），利用特殊角的三角函数值可求A的值．（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可得cosA，由余弦定理可求b的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵=2，a=2，∴由正弦定理，可得：===2，可得：sinA=，∵A∈（0，π），∴A=，或．（2）∵由（1）可得：c=，a=2，cosA=，或﹣．∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：4=b2+2﹣2×，整理可得：b2±2b﹣2=0，解得：b=1+，或﹣1．=bcsinA=或．∴S△ABC【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．20．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为3，底面边长为，点D、E分别为棱B1C1和AA1的中点．（1）求证：直线DE⊥平面BCE；（2）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）取BC中点O，连接OE，OD，可证BC⊥平面AODE，则BC⊥DE，求解三角形证明DE⊥OE，再由线面垂直的判定可得直线DE⊥平面BCE；（2）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面BED与平面BCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取BC中点O，连接OE，OD，∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴AO⊥BC，OD⊥BC，又AO∩OD=O，∴BC⊥平面AODE，则BC⊥DE，由AA1=3，AB=BC=AC=，可得AO=，∴OE=DE=，又OD=3，∴DE2+OE2=OD2，即DE⊥OE，又OE∩BC=O，∴直线DE⊥平面BCE；（2）解：以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B（，0，0），D（0，0，3），E（0，﹣，），∴，，设平面BED的一个法向量为，由，取x=，得．取平面BCD的一个法向量为，∵cos＜＞=．且二面角E﹣BD﹣C为锐角，∴二面角E﹣BD﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的余弦值，是中档题．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q（m，0）在x轴上，连结QA、QB分别与直线x=﹣2交于点M、N，若MF1⊥NF1，求m的值．【分析】（1）由题意可得：=，|PF1|+|PF2|=4=2a，a2=b2+c2．联立解得即可得出．（2）如图所示，设直线l的方程为：ty=x+，A（x1，y1），B（x2，y2）．直线l 的方程与椭圆方程联立化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，直线QA的方程为：y=（x﹣m），直线QB的方程为：y=（x﹣m），可得M，N的坐标．根据MF1⊥NF1，可得•=0．又F1（﹣，0）．再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：=，|PF1|+|PF2|=4=2a，a2=b2+c2．联立解得：a=2，c==b．∴椭圆C的标准方程为：+=1．（2）如图所示，设直线l的方程为：ty=x+，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，∴y1+y2=，y1y2=．直线QA的方程为：y=（x﹣m），可得：M．直线QB的方程为：y=（x﹣m），可得N．∵MF1⊥NF1，∴•=0．又F1（﹣，0）．∴+•=0，化为：2[x1x2﹣m（x1+x2）+m2]+=0，∵x1+x2=t（y1+y2）﹣2，x1x2=（ty2﹣）=t2y1y2﹣t（y1+y2）+2．∴（2t2+8+4m+m2）y1y2﹣（2+2mt）（y1+y2）+4+4m+2m2=0，∴（2t2+8+4m+m2）•﹣（2+2mt）+4+4m+2m2=0，化为：（m2﹣4）（t2﹣1）=0．∵∀t∈R上式都成立，∴m2﹣4=0，解得m=±2．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）已知函数f（x）=ln（ax+b）﹣x（a，b∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣2x+1，求a，b的值；（2）已知当a＞0时，f（x）≤0恒成立，求ab的最大值．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a，b 的值；（2）由y=ln（x+1）﹣x求得导数和单调性、最值，可得ln（x+1）≤x，由题意可得ln（ax+b）≤ln（x+1）恒成立，即有a，b的范围，进而得到ab的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=ln（ax+b）﹣x的导数为f′（x）=﹣1，可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣1，切线方程为y=﹣2x+1，可得ln（a+b）﹣1=﹣1，﹣1=﹣2，解得a=﹣1，b=2；（2）由y=ln（x+1）﹣x的导数为y′=﹣1=，当x＞0时，函数y递减；当﹣1＜x＜0时，函数y递增；可得y的最大值为0，即ln（x+1）≤x，当a＞0时，f（x）≤0恒成立，即x≥ln（ax+b）恒成立，只要ln（ax+b）≤ln（x+1）恒成立，即a=1，b≤1，可得ab≤1，即ab的最大值为1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于中档题．。

百度文库——让每个人平等地提升自我2017-2018学年湖北省武汉市武昌区高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{y|y＝，x∈[1，4]}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．[1，]B．（1，2]C．[1，2]D．?2．（5分）已知复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．（5分）已知点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，则到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．5B．C．4D．35．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n＝4，则输出的结果是（）A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2＝45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：。

武汉外国语学校2017—2018学年度上学期期末考试高二数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）A.y 2=﹣8xB.y 2=8xC.y 2=﹣4xD.y 2=4x2.若R k ∈，则“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A.A 与C 互斥 B.任何两个均互斥C.B 与C 互斥D.任何两个均不互斥4.从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率()A.不全相等B.均不相等C.都相等，且为251002D.都相等，且为1405.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.3- B.32-C.3D.326.(2018·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是()A.320π B.20πC.310π D.10π7.甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5位评委评分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为x x 甲乙、,则下列判断正确的是()A.x x <甲乙,甲比乙成绩稳定B.x x <甲乙,乙比甲成绩稳定C.x x >甲乙,甲比乙成绩稳定D.x x >甲乙,乙比甲成绩稳定8.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）．A.14B.716C.12D.9169.在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的一个焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，0FB FC ⋅=，则椭圆的离心率为（）A.32B.33C.66D.6310.与正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点()A.有且只有1个 B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个11.过抛物线y 2＝x 上一点A （4，2）作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，则直线BC 的斜率为（）A.14 B.14-C.12D.12-12.设双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，以12,F F 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切，则双曲线C 的离心率为（）A.2B.3624-+ C.3D.3627+二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段没有超速的有辆．14.将4034与10085的最大公约数化成五进制数，结果为________.15.在△ABC 中，()0AB CA CB ⋅+= ，点H 在线段BC 上，0AH BC ⋅= ，33cosB =，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为_____16.如图所示，已知抛物线y 2＝82x 的焦点为F ，直线l 过点F 且依次交抛物线及圆22(22)x y -+=2于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |+4|CD |的最小值为_____．三、解答题（6小题，共70分）17.设不等式组0606x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域为A ，不等式组060x x y ≤≤⎧⎨-≥⎩表示的区域为B ．（1）在区域A 中任取一点（x ，y ），求点（x ，y ）∈B 的概率；（2）若x 、y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点（x ，y ）在区域B 中的概率．18.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判别△MF 1F 2的形状．19.某校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PB⊥BC，PD⊥DC，且PC3=．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求异面直线AC与PD所成角的余弦值；（3）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．21.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1（1）求曲线C的方程.（2）是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有?若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.22.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2222x ya b+=1（a＞b＞0）的离心率为12，左右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心,以3为半径的圆与以F2为圆心,以1为半径的圆相交，且交点M在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆E：222244x ya b+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx+m交椭圆E于A，B两点．射线PO交椭圆E于点Q．（i）求OQOP的值，（ii）求△ABQ面积的最大值．。

2017-2018学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={y|y=，x∈[1，4]}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，]B．（1，2]C．[1，2]D．∅2．（5分）已知复数z=，则|z|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，则到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．5B．C．4D．35．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=4，则输出的结果是（）A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x ∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．（5分）已知函数f（x）=asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：①f（x）的图象过点（0，1）；②f（x）在[，]上单调递减；③f（x）的一个对称中心是（，）；④f（x）的一条对称轴是x=﹣．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，BD ⊥CD，AB=CD=1，BD=，则球O的表面积为（）A．B．πC．2πD．4π11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为（）A．B．[0，1]C．D．12．（5分）已知F为抛物线y2=4x的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点．设直线CD的斜率为k2，则=（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）下面的数据是关于世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图，样本点基本集中在一个条型区域，因此两个变量呈线性相关关系利用散点图中的数据建立的回归方程为=3.193x+88.193，若受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．15．（5分）二项式（x2+）6的展开式中，含x7的系数为．16．（5分）已知函数f（x）=x2e x与g（x）=2xe x+a的图象有且只有三个交点，则实数a的取值范围为．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=2a n﹣n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调查，统计数据如表所示：合计对数学感兴趣对数学不感兴趣数学成绩好17825数学成绩一般52025合计222850（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由；（2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数为x，求x的分布列和数学期望．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828K2=19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=2，且=2．（1）求角A的大小；（2）若c=，求△ABC的面积．20．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为3，底面边长为，点D、E分别为棱B1C1和AA1的中点．（1）求证：直线DE⊥平面BCE；（2）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q（m，0）在x轴上，连结QA、QB分别与直线x=﹣2交于点M、N，若MF1⊥NF1，求m的值．22．（12分）已知函数f（x）=ln（ax+b）﹣x（a，b∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣2x+1，求a，b的值；（2）已知当a＞0时，f（x）≤0恒成立，求ab的最大值．2017-2018学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={y|y=，x∈[1，4]}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，]B．（1，2]C．[1，2]D．∅【分析】分别求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={y|y=，x∈[1，4]}={y|1≤y≤2}，B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5分）已知复数z=，则|z|=（）A．1B．C．D．2【分析】直接由复数商的模等于模的商求解．【解答】解：∵z=，∴|z|=||=．故选：C．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．3．（5分）已知点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，则到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为（）A．B．C．D．【分析】作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为2正方形，到坐标原点O的距离d≤1的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率．【解答】解：∵点P（x，y）满足|x|+|y|≤2，∴当x≥0，y≥0时，x+y≤2；当x≥0，y≤0时，x﹣y≤2；当x≤0，y≥0时，﹣x+y≤2；当x≤0，y≤0时，﹣x﹣y≤2．作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为2正方形，到坐标原点O的距离d≤1的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，∴到坐标原点O的距离d≤1的点P的概率为：p===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．5B．C．4D．3【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，可得A（1，2），化目标函数z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1+2×2=5．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=4，则输出的结果是（）A．B．C．D．【分析】根据题意运行程序得S=1+=从而得答案．【解答】解：执行程序得S=1++=故选：C．【点评】本题考查程序框图的运行．6．（5分）设函数f（x）满足下列条件：①f（x）是定义在R上的奇函数；②对任意的x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，则下列不等式不一定成立的是（）A．f（a）＞f（0）B．f（）＞f（）C．f（）＞f（﹣3）D．f（）＞f（﹣a）【分析】由题意知函数f（x）是奇函数，且在[1，a]上是个增函数，要比较2个函数值的大小，先看自变量的范围，再利用函数的单调性得出结论．【解答】解：①函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0；②对任意x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，∴函数f（x）在区间[1，a]上是单调增函数；又a＞1，∴f（a）＞f（0），选项A一定成立；∵a≥＞≥1，∴f（）＞f（），选项B一定成立；∵﹣（﹣a）=＞0，∴＞﹣a，∴a＞=3﹣≥1，∴f（a）＞f（），两边同时乘以﹣1可得﹣f（a）＜﹣f（），即f（）＞f（﹣a），选项D一定成立；﹣（﹣3）=＞0，∴＞﹣3，∴3＞＞0，但不能确定3和是否在区间[1，a]上，∴f（3）和f（）的大小关系不确定，∴f（）与f（﹣3）的大小关系不确定，即选项C不正确．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了抽象函数应用问题，是中档题．7．（5分）已知，为非零不共线向量，设条件M：，条件N：对一切x ∈R，不等式|﹣x|成立，则M是N的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】条件M：，⇔=0．条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，化为：x2﹣x+2﹣≥0．进而判断出结论．【解答】解：条件M：，⇔=0．条件N：对一切x∈R，不等式|﹣x|成立，化为：x2﹣x+2﹣≥0．≠0时，∴△=﹣4（2﹣）≤0，∴≤0，即=．可知：由M推不出N，反之也不成立．故选：D．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与c之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率【解答】解：如图，OM⊥PF1，ON⊥PF1，依题意|OM|=a，|NF2|=2a，∵且∠F1PF2=45°，可知三角形PF2N是一个等腰直角三角形，∴|PF2|=2a，|PF1|=2a+2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=（2a+2a）2+（2a）2﹣2×，化简得c2=3a2，∴该双曲线的离心率为．故选：B．【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．9．（5分）已知函数f（x）=asinωx+co sωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，给出以下结论：①f（x）的图象过点（0，1）；②f（x）在[，]上单调递减；③f（x）的一个对称中心是（，）；④f（x）的一条对称轴是x=﹣．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】运用三角函数的辅助角公式和周期公式，可得a，ω，再由正弦函数的单调性和对称性，计算可得正确结论的个数．【解答】解：函数f（x）=asinωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为，周期为π，可得=，可得a=1，π=可得ω=2，则f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），则f（0）=sin=1，①正确；当x∈[，]，可得2x+∈[，]，可得f（x）在[，]上单调递减，②正确；由f（）=sin（+）=，则③错误；由f（﹣）=sin（﹣+）=﹣，可得④正确．其中正确结论的个数为3．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，注意运用辅助角公式和周期公式，考查正弦函数的单调性和对称性，考查运算能力，属于中档题．10．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，BD ⊥CD，AB=CD=1，BD=，则球O的表面积为（）A．B．πC．2πD．4π【分析】根据题意画出图形，结合图形把三棱锥A﹣BCD补充为长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，计算长方体的对角线，求出外接球的直径和表面积．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，以AB、BD和CD为棱，把三棱锥A﹣BCD补充为长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，且长方体的对角线是外接球的直径；∴（2R）2=AB2+BD2+CD2=1+2+1=4，∴外接球O的表面积为4πR2=4π．故选：D．【点评】本题考查了三棱锥外接球表面积计算问题，将三棱锥补成长方体，是求外接球直径的关键．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为（）A．B．[0，1]C．D．【分析】设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知：，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，化简可得0≤a≤，故选：A．【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于中档题．12．（5分）已知F为抛物线y2=4x的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点．设直线CD的斜率为k2，则=（）A．1B．2C．3D．4【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与抛物线方程可得y1y2，设C （x3，y3），D（x4，y4），则k1=，k2=，设AC，BD所在的直线方程可得y1y3=﹣16，y2y4=﹣16，由此可得的值．【解答】解：设过点F作斜率为k1的直线方程为：y=k1（x﹣1），联立抛物线C：y2=4x4可得：设A，B两点的坐标为：（x1，y1），（x2，y2），则y1y2=﹣4，设C（x3，y3），D（x4，y4），则k1==，同理k2=，设AC所在的直线方程为y=m（x﹣4），联立，得my2﹣4y﹣16m=0，∴y1y3=﹣16，同理，y2y4=﹣16，则==．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）下面的数据是关于世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图，样本点基本集中在一个条型区域，因此两个变量呈线性相关关系利用散点图中的数据建立的回归方程为=3.193x+88.193，若受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差120.123美元．【分析】利用回归方程计算x=10求得的值即可．【解答】解：根据回归方程为=3.193x+88.193，令x=10，得=3.193×10+88.193=120.123，即受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差120.123美元．故答案为：120.123美元．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，然后求解几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，几何体是以侧视图为底面的五棱柱，底面是直角梯形，底面直角边长为2，1，高为1，棱柱的高为3，几何体的体积为：=．故答案为：．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．15．（5分）二项式（x2+）6的展开式中，含x7的系数为6．=C6r（x2）6﹣r（）【分析】根据题意，由二项式定理分析可得展开式的通项T r+1r=C6r x12﹣5r，令12﹣5r=7，可得r=1，将r=1代入通项计算可得答案．=C6r（x2）6﹣r 【解答】解：根据题意，二项式（x2+）6的展开式的通项为T r+1（）r=C6r x12﹣5r，令12﹣5r=7，可得r=1，此时T2=C61x7=6x7，即含x7的系数为6，故答案为：6．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式．16．（5分）已知函数f（x）=x2e x与g（x）=2xe x+a的图象有且只有三个交点，则实数a的取值范围为（2（1﹣），2（1+））．【分析】令a=h（x）=x2e x﹣2xe x，求导h′（x），从而确定函数的单调性及极值，从而求出a的范围．【解答】解：由题意得，x2e x=2xe x+a，∴a=h（x）=x2e x﹣2xe x，h′（x）=2xe x+x2e x﹣2e x﹣2xe x=e x（x2﹣2）令h′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令h′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，∴h（x）在（﹣∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，∴h（x）极大值=h（﹣）=2（1+），h（x）极小值=h（）=2（1﹣），函数f（x）=x2e x与g（x）=2xe x+a的图象有且只有三个交点，则只需y=a和y=h（x）图象有且只有三个零点，故a∈（2（1﹣），2（1+）），故答案为：（2（1﹣），2（1+））．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=2a n﹣n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=2a n﹣n．①当n≥2时，S n=2a n﹣1﹣（n﹣1）②，①﹣②得：a n=2a n﹣1+1，整理得：a n+1=2（a n﹣1+1），所以数列{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．则：，整理得：，当n=1时，a1=1符合通项．故：．（2）由（1）得：，所以：S n=a1+a2+a3+…+a n，=（21+22+23+…+2n）﹣（1+1+1+…+1），=，=2n+1﹣2﹣n．【点评】本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列的通项公式，等比数列的前n项和公式及分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调查，统计数据如表所示：对数学感兴趣对数学不感兴合计趣数学成绩好17825数学成绩一般52025合计222850（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由；（2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数为x，求x的分布列和数学期望．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828K2=【分析】（1）根据表中数据计算观测值K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列和数学期望值．【解答】解：（1）根据表中数据，计算观测值K2=≈11.7＞10.828，∴有99.9%的把握认为学生学习数学的兴趣与数学成绩有关系；（2）由题意知数学成绩好的同学有25人，其中对数学感兴趣的有17人，从中抽取4人，设对数学感兴趣的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4；计算P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列为，X01234P（X）数学期望为EX=0×+1×+2×+3×+4×=2.72．【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列应用问题，是中档题．19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=2，且=2．（1）求角A的大小；（2）若c=，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知及正弦定理可得sinA=，结合范围A∈（0，π），利用特殊角的三角函数值可求A的值．（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可得cosA，由余弦定理可求b的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵=2，a=2，∴由正弦定理，可得：===2，可得：sinA=，∵A∈（0，π），∴A=，或．（2）∵由（1）可得：c=，a=2，cosA=，或﹣．∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：4=b2+2﹣2×，整理可得：b2±2b﹣2=0，解得：b=1+，或﹣1．=bcsinA=或．∴S△ABC【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．20．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为3，底面边长为，点D、E分别为棱B1C1和AA1的中点．（1）求证：直线DE⊥平面BCE；（2）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）取BC中点O，连接OE，OD，可证BC⊥平面AODE，则BC⊥DE，求解三角形证明DE⊥OE，再由线面垂直的判定可得直线DE⊥平面BCE；（2）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面BED与平面BCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取BC中点O，连接OE，OD，∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴AO⊥BC，OD⊥BC，又AO∩OD=O，∴BC⊥平面AODE，则BC⊥DE，由AA1=3，AB=BC=AC=，可得AO=，∴OE=DE=，又OD=3，∴DE2+OE2=OD2，即DE⊥OE，又OE∩BC=O，∴直线DE⊥平面BCE；（2）解：以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B（，0，0），D（0，0，3），E（0，﹣，），∴，，设平面BED的一个法向量为，由，取x=，得．取平面BCD的一个法向量为，∵cos＜＞=．且二面角E﹣BD﹣C为锐角，∴二面角E﹣BD﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的余弦值，是中档题．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q（m，0）在x轴上，连结QA、QB分别与直线x=﹣2交于点M、N，若MF1⊥NF1，求m的值．【分析】（1）由题意可得：=，|PF1|+|PF2|=4=2a，a2=b2+c2．联立解得即可得出．（2）如图所示，设直线l的方程为：ty=x+，A（x1，y1），B（x2，y2）．直线l 的方程与椭圆方程联立化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，直线QA的方程为：y=（x﹣m），直线QB的方程为：y=（x﹣m），可得M，N的坐标．根据MF1⊥NF1，可得•=0．又F1（﹣，0）．再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：=，|PF1|+|PF2|=4=2a，a2=b2+c2．联立解得：a=2，c==b．∴椭圆C的标准方程为：+=1．（2）如图所示，设直线l的方程为：ty=x+，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，∴y1+y2=，y1y2=．直线QA的方程为：y=（x﹣m），可得：M．直线QB的方程为：y=（x﹣m），可得N．∵MF1⊥NF1，∴•=0．又F1（﹣，0）．∴+•=0，化为：2[x1x2﹣m（x1+x2）+m2]+=0，∵x1+x2=t（y1+y2）﹣2，x1x2=（ty2﹣）=t2y1y2﹣t（y1+y2）+2．∴（2t2+8+4m+m2）y1y2﹣（2+2mt）（y1+y2）+4+4m+2m2=0，∴（2t2+8+4m+m2）•﹣（2+2mt）+4+4m+2m2=0，化为：（m2﹣4）（t2﹣1）=0．∵∀t∈R上式都成立，∴m2﹣4=0，解得m=±2．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）已知函数f（x）=ln（ax+b）﹣x（a，b∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣2x+1，求a，b的值；（2）已知当a＞0时，f（x）≤0恒成立，求ab的最大值．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a，b 的值；（2）由y=ln（x+1）﹣x求得导数和单调性、最值，可得ln（x+1）≤x，由题意可得ln（ax+b）≤ln（x+1）恒成立，即有a，b的范围，进而得到ab的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=ln（ax+b）﹣x的导数为f′（x）=﹣1，可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣1，切线方程为y=﹣2x+1，可得ln（a+b）﹣1=﹣1，﹣1=﹣2，解得a=﹣1，b=2；（2）由y=ln（x+1）﹣x的导数为y′=﹣1=，当x＞0时，函数y递减；当﹣1＜x＜0时，函数y递增；可得y的最大值为0，即ln（x+1）≤x，当a＞0时，f（x）≤0恒成立，即x≥ln（ax+b）恒成立，只要ln（ax+b）≤ln（x+1）恒成立，即a=1，b≤1，可得ab≤1，即ab的最大值为1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于中档题．。

2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．294．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是（）A．﹣2＜m＜﹣1 B．m＜﹣2或m＞﹣1 C．m＜0 D．m＞06．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P37．已知x与y之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′D．＜b′，＜a′8．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种9．设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．13010．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．1411．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．12．椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（）A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或二、填空题（2013台江区校级二模）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x= ，y= ；高校相关人数抽取人数A 18 xB 36 2C 54 y若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率= ．14．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{a n}：a n=，如果S n为数列{a n}的前n项之和，那么S7=3的概率为．15．俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”．但由于臭皮匠太“臭”，三个往往还顶不了一个诸葛亮．已知诸葛亮单独解出某道奥数题的概率为0.8，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是0.3．试问，至少要几个臭皮匠能顶个诸葛亮？．16．设0＜a＜b，过两定点A（a，0）和B（b，0）分别引直线l和m，使之与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，这种直线l和m的交点P的轨迹为．三、解答题（共70分，共6题）17．已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60） [60，70） [70，80） [80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：519．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：（Ⅰ）该应聘者用方案一考试通过的概率；（Ⅱ）该应聘者用方案二考试通过的概率．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．21．已知圆C1：x2+y2+6x﹣4=0，圆C2：x2+y2+6y﹣28=0．（1）求过这两个圆交点的直线方程；（2）求过这两个圆交点并且圆心在直线x﹣y﹣4=0上的圆的方程．22．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】由命题P：所有有理数都是实数，是真命题，命题q：正数的对数都是正数，是假命题，知￢p是假命题，￢q是真命题，由此能求出结果．【解答】解：∵命题P：所有有理数都是实数，是真命题，命题q：正数的对数都是正数，是假命题，∴￢p是假命题，￢q是真命题，∴（￢p）∨q是假命题，p∧q是假命题，（￢p）∧（￢q）是假命题，（￢p）∨（￢q）是真命题，故选D．【点评】本题考查复合命题的真假，解题时要认真审题，仔细解答．2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．29【考点】二项式定理；二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为： =29．故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是（）A．﹣2＜m＜﹣1 B．m＜﹣2或m＞﹣1 C．m＜0 D．m＞0【考点】双曲线的标准方程；充要条件．【专题】计算题．【分析】先计算方程表示双曲线的充要条件，再求出它的一个真子集即可．【解答】解：若方程表示双曲线，则（2+m）（1+m）＞0∴m＜﹣2或m＞﹣1∴要求“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件，则需要找出它的一个真子集即可∵m＞0时，m＜﹣2或m＞﹣1，结论成立，反之不成立∴“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是m＞0故选D．【点评】本题考查的重点是充要条件，解题的关键是计算方程表示双曲线的充要条件，属于基础题．6．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【考点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．7．已知x与y之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′D．＜b′，＜a′【考点】线性回归方程．【专题】压轴题；概率与统计．【分析】由表格总的数据可得n，，，进而可得，和，代入可得，进而可得，再由直线方程的求法可得b′和a′，比较可得答案．【解答】解：由题意可知n=6， ===， ==，故=91﹣6×=22， =58﹣6××=，故可得==， ==﹣×=，而由直线方程的求解可得b′==2，把（1，0）代入可得a′=﹣2，比较可得＜b′，＞a′，故选C【点评】本题考查线性回归方程的求解，涉及由两点求直线方程，属中档题．8．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；排列组合．【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．9．设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．130【考点】排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论x i所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由于|x i|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①x i中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；②x i中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；③x i中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：．∴总共方法数是++=130．即元素个数为130．故选：D．【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．10．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．11．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题．【分析】用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p （A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果．【解答】解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），∴p（A）=，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴P（AB）=∴P（B|A）=．故选B．【点评】此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．12．椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（）A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得AMB的坐标，设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：y=kx+1，运用直线的斜率公式，可得=2，由题设知y12=4（1﹣x12），y22=4（1﹣x22），由此推出3x1x2+5（x1+x2）+3=0，所以3k2﹣10k+3=0，由此可推导出k的值．【解答】解：由题意可得A（﹣1，0），B（1，0），设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：y=kx+1，代入椭圆方程得（4+k2）x2+2kx﹣3=0，△=4k2+12（4+k2）=16k2+48，x1+x2=﹣，x1x2=﹣，k1=，k2=，k1：k2=2：1，所以=2，平方，结合x12+=1，所以y12=4（1﹣x12），同理y22=4（1﹣x22），代入上式，计算得=4，即3x1x2+5（x1+x2）+3=0，所以3k2﹣10k+3=0，解得k=3或k=，因为=2，x1，x2∈（﹣1，1），所以y1，y2异号，故舍去k=，所以k=3．故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（2013台江区校级二模）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x= 1 ，y= 3 ；高校相关人数抽取人数A 18 xB 36 2C 54 y若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率= ．【考点】频率分布表．【专题】概率与统计．【分析】由已知得，由此能求出x=1，y=3，从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，基本事件总数n==10，这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3，由此能求出这2人都来自高校C的概率．【解答】解：由已知得，解得x=1，y=3，从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，基本事件总数n==10，这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3，∴这2人都来自高校C的概率：p=．故答案为：1，3，．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布列的合理运用．14．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{a n}：a n=，如果S n为数列{a n}的前n项之和，那么S7=3的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，故可以用独立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：由题意S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球，因为每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，所以只有两次摸到红球的概率是=．故答案为：．【点评】本题考查独立事件的概率乘法公式，考查学生分析解决问题的能力，确定S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球是关键．15．俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”．但由于臭皮匠太“臭”，三个往往还顶不了一个诸葛亮．已知诸葛亮单独解出某道奥数题的概率为0.8，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是0.3．试问，至少要几个臭皮匠能顶个诸葛亮？ 5 ．【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】分别计算，3，4，5个臭皮匠都未解出的概率，再利用对立事件概率公式，即可求得结论．【解答】解：当有3个臭皮匠，解出该道奥数题的概率1﹣（1﹣0.3）3=0.657＜0.8，当有4个臭皮匠，解出该道奥数题的概率1﹣（1﹣0.3）4=0.7599＜0.8，当有5个臭皮匠，解出该道奥数题的概率1﹣（1﹣0.3）5=0.83193＞0.8，故至少要5个臭皮匠能顶个诸葛亮．故答案为：5．【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．16．设0＜a＜b，过两定点A（a，0）和B（b，0）分别引直线l和m，使之与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，这种直线l和m的交点P的轨迹为2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；整体思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意设出l、m的方程，由圆系方程得到四点所共圆的方程，利用圆方程的特点得到直线l、m斜率的关系，消去参数，即可求得结论．【解答】解：如图，由题意可知，直线l和m的斜率存在且不为0，设l：y=k1（x﹣a），m：y=k2（x﹣b），即l：k1x﹣y﹣k1a=0，m：k2x﹣y﹣k2b=0，则两直线l、m可写为（k1x﹣y﹣k1a）（k2x﹣y﹣k2b）=0，由圆系方程可得，过两曲线（k1x﹣y﹣k1a）（k2x﹣y﹣k2b）=0与y2=x的交点的圆系方程为：（k1x﹣y﹣k1a）（k2x﹣y﹣k2b）+λ（y2﹣x）=0，即﹣（k1k2a+k1k2b+λ）x+（k1a+k2b）y+k1k2ab=0．由圆的方程可知，此方程中xy项必为0，故得k1=﹣k2，设k1=﹣k2=k≠0，于是l、m方程分别为y=k（x﹣a）与y=﹣k（x﹣b）．消去k，得2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．∴所求轨迹方程为2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．故答案为：2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查圆的方程，体现了整体运算思想方法，利用圆系是解题的关键，是中档题．三、解答题（共70分，共6题）17．已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【专题】计算题．【分析】由q：，知q：2＜x＜3，由¬p是¬q的充分条件，知q⇒p，故设f（x）=2x2﹣9x+a，则，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵q：，∴q：2＜x＜3，∵¬p是¬q的充分条件，∴q⇒p，∵P：2x2﹣9x+a＜0，设f（x）=2x2﹣9x+a，∴，解得a≤9．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60） [60，70） [70，80） [80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：5【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a 的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．19．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：（Ⅰ）该应聘者用方案一考试通过的概率；（Ⅱ）该应聘者用方案二考试通过的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；应用题．【分析】（I）应聘者用方案一考试通过有四种情况，每种情况又需要分步进行，即两门通过，一门未通过，或三门均通过，分别根据三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，求出四种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式，即可得到答案．（II）应聘者用方案二考试通过，也包含三种情况，即选中两课均通过，每种情况又需要分步进行，即先选中，再逐门通过，求出三种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式，即可得到答案．【解答】解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P（A）=0.5，P（B）=0.6，P（C）=0.9．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率p1=P（AB）+P（BC）+P（A C）+P（ABC）=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）应聘者用方案二考试通过的概率p2=P（AB）+P（BC）+P（AC）=×（0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9）=×1.29=0.43﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，解答相互独立事件的概率时，分清是分类事件还是分步事件，分几类，分几步，以选择对应的加法、乘法公式是解答此类问题的关键．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．【解答】解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴ =（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．【点评】本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知圆C1：x2+y2+6x﹣4=0，圆C2：x2+y2+6y﹣28=0．（1）求过这两个圆交点的直线方程；（2）求过这两个圆交点并且圆心在直线x﹣y﹣4=0上的圆的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）两圆相减，得到过这两个圆交点的直线方程．（2）两圆联立方程组，求出两点的交点A，B，从而得到AB的中垂线方程，进而能求出圆心C的坐标和圆半径，由此能求出所求圆的方程．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2+6x﹣4=0，圆C2：x2+y2+6y﹣28=0，∴两圆相减，得到过这两个圆交点的直线方程为：6x﹣6y+24=0，即x﹣y+4=0．（2）两圆交点为A，B，解方程组，得或，∴A（﹣1，3），B（﹣6，﹣2），∴AB的中垂线方程为x+y+3=0．由，解得x=，y=﹣，所求圆心C的坐标是（，﹣）．圆半径|CA|==，∴所求圆的方程为（x﹣）2+（y+）2=，即x2+y2﹣x+7y﹣32=0．【点评】本题考查过两个圆的交点的直线方程的求法，考查满足条件的圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．22．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）因为，所以，由此可知“果圆”方程为，．（2）由题意，得，所以a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．再由可知的取值范围．（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．【解答】解：（1）∵，∴，于是，所求“果圆”方程为，（2）由题意，得a+c＞2b，即．∵（2b）2＞b2+c2=a2，∴a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．又b2＞c2=a2﹣b2，∴．∴．（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，直线y=t（﹣b≤t≤b）与半椭圆的交点是P，与半椭圆的交点是Q．∴P，Q的中点M（x，y）满足得．∵a＜2b，∴．综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是。