高中物理中的微积分思想

高中物理教学中的微积分作者：丁丹华邱国民来源：《科教导刊·电子版》2017年第07期摘要微元法是高中物理教学中经常用到的一种方法，因此，教师在物理学科教学中渗透微积分的思想，有助于学生理解高中物理的很多知识，它能大幅提高学生的科学素养，更好地把握物理的本源。

关键词高中物理微积分科学素养微积分是现代物理的基石，自牛顿和莱布尼茨以来，根据前人的经验，总结出微积分的基本定理后，物理学有了长足的进步，一系列重大发现基本上都或多或少建立在微积分这块基石上。

微元法是高中物理教学中经常用到的一种方法，因此，很多优质高中将微积分作为选修课列入课程体系，供学习潜力较大的学生选择，这既对学生更好地理解高中物理规律很有帮助，也对学生将来步入大学理工科打了基础。

1问题引入：加速度、速度与位移间的关系一般来说，中学生第一次接触到微积分是在运动学的时候，老师会带领学生仔细分辨v-t、a-t、s-t图像的区别。

如图1-1，v-t图象，对于一个速度在不断变化的运动过程，会将这个过程肢解成无数多个匀速运动叠加的成果，在某个小dt内当作匀速运动，求出图中所有小矩形的面积，也就是t=t0与t轴和图象包围的面积，作为位移。

这是潜意识中第一次接触积分时的景象。

而将每个dt内变化的dv连成一个的函数，我们也就得到了斜率的微分意义。

所以，小小的速度片断通过时间的积累便成了位移：ds=v€I6dt同理：小小的加速度片断也可由时间的积累便成了速度：dv=a€I6dt因此便得出了最简单且最伟大的运动学微分公式： =v和=a 。

它们在运动学上和谐统一，通过解微分方程，可以几乎胜任一切涉及到牛二定律的问题。

接下来，我们把它们进行推广应用到研究物体运动的情景，通常将之视为理想情况，而实际上还有空气阻力。

2更进一步：探索变力做功微积分在物理中最伟大的贡献是提供了优良的解题方法。

由以上的分析，对于变力做的功可以表示为如图2-1中，点电荷A（+q电量）位于r轴的原点O处，如有一个单位正电荷B从离O 相距为a处移动到b处，求电场力做的功。

高中物理中微积分思想浙江省湖州中学物理组 潘建峰 伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。

微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。

微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。

微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。

1、解决变速直线运动位移问题匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？例1、汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式at v v +=0 2021at t v x +=就可以求得汽车走了0.025公里。

但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。

在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。

现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即2021at t v x +=。

【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系t at v v 2100-=+=，从开始刹车到停车的时间t=5s ， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移 km t t t a t v dt at v dt t v x 025.0)10()2()()(502502050050=-=+=+==⎰⎰ 小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。

首先，导数和积分的最直观的表现：位置，速度，加速度三个物理量之间的关系。

以时间为自变量，则速度是位置和时间关系函数的导函数，也就是表示任意一点位置和时间关系图像的切线斜率的函数，加速度是速度时间函数关系的导函数。

同理，我们知道加速度时间图像中面积表示的是速度的变化量，也就是对加速度和时间的函数求积分可以得到速度时间关系;类似的速度时间图像中的面积表示位移，也就是对速度时间函数求积分得到位置时间关系。

其次，导数等于零时，则函数则有极值。

这个在物理中应用明显。

物理题目中经常出现有关于极值情况的描述，比如，“平衡”，“距离最大”或者“距离最小”，“能量最大”，“能量最小”，“速度最大”，“速度最小”等等情况。

这些都表示可以用某个函数的导数为零的方法来求。

例如我们最常见到的平衡问题，其实都是能量和位置的函数关系中的导数为零。

能量和位置关系的导数的相反数，就是这个能量对应的力的大小。

再次，用积分方法，可以求体积，面积，重心等等问题，这些问题在高考中涉及较少，但是通过这些问题的计算可以帮助同学们对于微积分，微元法，对于重心等物理概念有更深入的了解。

用类似的方法，可以求球体的表面积，球体体积等等。

除此之外，在高中所学知识中，可以用微积分帮助理解的内容还有很多。

通过这些内容的学习，既可以加强学生对物理概念的认识，也可以加深学生对微积分的领会。

毕竟微积分当时发明的目的就是为了解决物理问题。

更高更妙的高中物理思想与方法pdf《更高更妙的高中物理思想与方法》是一本非常优秀的高中物理教材，它不仅充分展示了高中物理知识和思想的内在联系和逻辑性，而且充分体现了现代学科交叉和前沿性的特征。

以下是这本书中涉及到的一些重要的物理思想和方法：一、矢量分析矢量分析是高中物理中非常重要的一部分。

通过矢量分析，可以将物理量表示成矢量的形式，进而方便地进行运算和推导。

在本书中，作者采用了较为简洁而又实用的向量符号表示法，使读者能够更加清晰地理解和掌握矢量分析的基本概念和运算方法。

二、微积分思想微积分在物理学中具有非常广泛的应用。

本书中提到了许多和微积分相关的物理概念和方法，如曲线的切线和法线、导数和微分、积分和面积等。

通过学习这些概念和方法，读者可以更加深入地掌握物理学中的数学思想，同时也能更好地理解物理现象和规律。

三、场的概念在物理学中，场是描述物质相互作用的一种基本概念。

本书中介绍了电场、磁场和重力场等不同类型的场，并详细讨论了它们的特性和作用。

通过对场的研究，在很多领域中可以更好地解释和预测物质的运动和行为。

四、相对论相对论是物理学中的重要分支之一，它提出了一系列新颖并且具有挑战性的概念和方法。

本书中详细介绍了相对论的基本思想和公式，并通过许多实例和应用来说明其重要性和实用价值。

通过学习相对论，读者不仅可以更好地理解物理学中的相对性原理，而且也能更好地把握现代物理学中的前沿领域。

五、量子力学量子力学是现代物理学中的又一个重要分支，它提出了一些与经典物理学不同的概念和方法。

本书中介绍了量子力学中的一些基本概念，如波粒二象性、不确定性原理、量子隧穿效应等，并通过许多实例和应用来说明其重要性和实用价值。

通过学习量子力学，读者可以更深入地了解物理学中的概率性和不确定性，同时也能更好地把握现代物理学中的前沿领域。

总之，本书介绍的物理思想和方法非常广泛，覆盖了物理学中的许多领域和热点，同时也展示了物理学中的内在联系和逻辑性。

高中微积分摘要：一、微积分简介1.微积分的概念2.微积分的发展历程3.微积分在高中阶段的教学内容二、微积分的核心概念1.极限2.导数3.积分三、微积分的基本公式和定理1.导数的基本公式2.导数的应用定理3.积分的计算公式4.积分的应用定理四、微积分在高中数学中的应用1.函数问题2.几何问题3.物理问题五、微积分的学习方法和策略1.理解概念和原理2.掌握基本公式和定理3.培养解题技巧和思维能力正文：微积分是高中数学的重要内容，它以函数为基础，研究函数的极限、导数、积分等性质。

微积分的发展历程悠久，从古希腊时期的数学家开始，经历了一系列重要的发展阶段，如牛顿和莱布尼茨的创立等。

在我国，微积分自20 世纪初开始引入中学教育，现已成为高中数学的必修课程。

微积分涉及的核心概念包括极限、导数和积分。

极限是微积分的基石，它研究当自变量趋近某个值时，函数值的变化趋势。

导数则是描述函数在某一点处变化率的数学量，它反映了函数的局部性质。

积分则是一种求和的方法，用于计算曲线下的面积、长度等。

微积分中包含许多基本公式和定理，如导数的基本公式、拉格朗日中值定理、牛顿- 莱布尼茨公式等。

这些公式和定理为解决实际问题提供了有力的工具。

在高中阶段，微积分主要应用于函数问题、几何问题以及物理问题等，如求解极值、曲线拟合、速度与加速度等。

学习微积分需要掌握一定的方法和策略。

首先，要深入理解概念和原理，这是解决问题的关键。

其次，熟练掌握基本公式和定理，这样才能迅速地解决问题。

最后，培养解题技巧和思维能力，这有助于提高解题效率和准确度。

总之，微积分是高中数学的重要组成部分，它为我们解决实际问题提供了丰富的方法和策略。

学习微积分需要投入时间和精力，但回报也是丰厚的。

微积分思想在高中物理中的体现与应用摘要运用微积分思想解决实际问题在高中物理中时有体现，虽然高考大纲未作要求，但实际上学生在高中数学学科中已经学习了微积分的初步知识，若能初步学会运用微积分的初步知识来解决物理问题，思维定能达到新的飞跃，是高中生具有较高物理素质的表现，也为将来进入大学继续学习打下很好的基础。

关键词微积分思想高中物理初步应用微元积分运用微积分思想解决实际问题在高中物理中时有体现，由于大纲未作要求,同学对其感觉较为生僻，但若能有所涉猎，思想定能达到新的飞跃，是高中生具有较高物理素质的表现，也会为将来进入大学继续学习打下很好的基础。

微积分思想应用于物理时称为微元法，其意思是在处理物理问题时，从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问题的办法。

它的载体涉及物理学的力、热、电、光、原子等诸多物理领域，包纳了近似、对称、等效、隔离等多种科学方法，也需要三角解析几何、方程、数列、极限、数学归纳等数学知识和方法作为支持，现禀着“大处着眼，小处着手”的原则，将高考中有关此方面的试题加以整理与罗列，举出一套切实可行的操作方法，名为“化整为零，积零为整”解题法。

一、高中物理中运用初步微积分思想解题的基本思路对形如：dY＝X·dX（dX和dY表示X与Y的小量）推得Y=1/2·X·X（即∑X·dX＝1/2·X·X）的函数的解释。

所谓小量，即趋近于零的微元的数学表达形式。

之前等式意味变量Y的小量等于变量X于X的小量的乘积。

之后等式意味着变量X与Y的关系。

下面我们从一个侧面尝试将其推导出。

如图二，求Y=X在0到X*围成的阴影三角形的面积。

我们知道其面积为Y=1/2·X*·X*（1），换种角度，我们从微积分思想来看，将三角形沿Y轴方向无限分割成无数个小直角梯形。

每个厚度为dX，在任意X属于0到X*处有小梯形，其面积为dY=X·dX(近似看成矩形，底乘高)故无限累加后面积Y＝∑dY=∑X·dX；和（1）式比较可知:∑X·dX＝1/2·X·X。

探索篇•方法展示微积分作为一种重要的数学方法，不只在大学物理中的应用十分广泛，在高中物理中微积分思想也有很多应用，并且在高考试题中也时有出现。

一、高中物理教学中常见的微积分应用1.微元法定义瞬时速度在高中物理学习之初瞬时速度的定义中就涉及微积分思想，求物体在某处的瞬时速度，可在该点附近取一段位移除以对应的时间即可得到该段位移的平均速度，所取的位移越小，其对应的时间越小，所得到的平均速度越接近所求点的瞬时速度，当所取位移近似为零时，所得到的平均速度即可认为是所求点的瞬时速度，在该部分内容中采用了微元并取极限的方法，其实就是微积分中最基本的微元思想。

2.微分与斜率在加速度的定义中a=ΔvΔt，当t→0时a=ΔvΔt=dv dt，与微积分中的微分即求导对应，也就是数学中的斜率，斜率的使用在高中物理中比较常见，如，加速度a=ΔvΔt对应v-t图像的斜率还有E=ΔϕΔt对应ϕ-t图像的斜率，此外借助斜率还可求出函数的最值。

3.积分与面积在匀变速直线运动位移的推导中，由于速度是变化的，采用微元法取非常短的时间，将变化的速度转化为不变的速度，然后用相加的方法，得出v-t图像所围的面积表示位移，即借助积分思想来完成。

该思想在计算变力做功中同样加以应用，通过微元法取一小段位移，将变力做功转化为恒力做功，并将各段做功相加的方法，得出F-S图像所围的面积代表力做功。

可见，微积分思想在高中物理中出现的并不少，主要采用无限接近思想解决瞬时值问题，通过化变量为恒量的方法来解决变量问题。

因此高中阶段的瞬时值问题、斜率问题、极值问题、面积问题大多由微积分思想得出。

二、高考中常见微积分思想应用实例分析高中物理教学中常见的微积分思想在高考试题中也有所体现。

例1.（2014年山东理综19题）如图，半径为R的均匀带正电薄球壳，其上有一小孔A。

已知壳内的场强处处为零；壳外空间的电场与将球壳上的全部电荷集中于球心O时在壳外产生的电场一样。

121微积分在高中物理中的应用邓圭恩微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。

微积分是指求函数曲线的切线斜率、求函数图形的面积、求图形的体积的一种方法和过程，在高中物理概念、物理定律都包涵微积分的思想。

本文分析了微积分在高中物理的一些具体应用，目的是理解微积分思想的同时也能熟练地运用微积分来解决物理中的问题。

数学作为物理学中的重要工具，它即能准确而又简洁地表达物理概念和规律，也能为物理提供思维语言和方法。

运用数学方法解决物理问题是高中阶段学习目标之一，高中生掌握求导和积分的思想及方法，是为物理学习提供了即方便实用又强大的工具。

1微积分在高中动力学中的应用 1.1利用微积分解决变速运动问题在高中阶段，变速运动问题往往是许多同学的难点，很多变速运动问题的模型都很难建立，对许多同学甚至是教师的思维能力都是一个很大的考验。

但微积分知识和思想能帮助大家用更简洁普适的模型来解决这方面的问题，比如对于下面这一道题：例2：狐狸沿半径R 的圆轨道以恒定速率v 奔跑，在狐狸出发的同时，猎犬从圆心O 出发以相同的速率v 追击过程中，圆心、猎犬和狐狸始终连成一直线。

（1）建立相应坐标系，求出猎犬运动的轨道方程，并画出轨道曲线。

（2）判断猎犬能否追上狐狸。

这道题是一道经典的物理竞赛题，现在也是被选入许多高校的自招理论试题，其经典解法有很多，但绝大多数都复杂冗长，很多同学并不能很好的理解。

而如果我们选用微积分的方法，就会得到很容易为大家所接受，也较容易的解法了。

取圆心O 为坐标原点，从O 到狐狸的初始位置设置极轴，建立极坐标系。

我们先得到猎犬切向、径向加速度、速度与猎犬所在的r、θ的关系狐狸的圆运动角速度为：Rv dt d ==ωθ当狐狸在θ角位置时，圆心O、猎犬D 及狐狸F 共线，如图所示故猎犬的横向速度为猎犬的径向与切向速度为：r Rv dt d rv ==θθ，vRr v v v r 22221-=-=θ 径向与切向加速度为：R r R v v dtd r dt d dt dr r a 122222-⋅==+⋅=ωθθθv r a R r dt dr dr dv r dt dv dt d r d r d r r r 22222222)(-=-⋅=-=-=ωωθθ 由r R v v r d dr r22-==θθ积分：⎰⎰=-θθθ022d r R dr r 可得猎犬的轨道方程为: θ=Rr arcsin 即θsin R r =猎犬的轨道曲线如图中虚线所示。

高中物理中微积分思想及方法微积分思想和方法毫无疑问是思考物理问题和解决物理问题的重要方法。

高中物理教材（人教版）中虽然没有直接应用导数、积分等数学公式解答问题的例题，但在教材中多个地方都介绍了极限方法、积分思想，也就是教师和资料中常说的“微元法”。

应用“微元法”这一重要思想解决问题，高考中也多次考到。

本文谈谈个人在教学中的一些体会。

首先要在教学实践中要像重视培养学生“列方程、求解”一样去培养学生的“微积分”思维，因为学生在高中阶段物理学习的过程当中，无论是从培养思维能力，还是训练应对高考答题，理解“微元法”并掌握应用“微元法”去解决问题都很有必要，而从学生进入大学后的学习远景来说，更是必要。

其次在教学时要讲清“微元法”的核心思想，“微元法”的核心思想就是通过针对时间和空间所进行的限制，采用“逐步逼近”的方法，将发生变化的事件或过程转变为稳定的时间和过程，达到“化曲为直”、“化变为恒”的目的。

即“增量无限趋近于零，则割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，如此就能以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分思想和方法的精髓所在。

再次要主动帮助学生梳理归纳常见的“微元”情景。

高中常见的微“元”有：元质量、元时间、元力、元位移元、元电荷、元电流、元冲量等，涉及到求瞬时速度、变力的功、变力的冲量等许多问题、近年高考中表现为更复杂综合问题的解决。

最后是要引导学生构建应用“微元法”的解题的一般思路。

使用“微元法”来解决高中物理问题的思路，就是从局部进行思考，再将自己所思考的答案放到问题的整体之中。

简单地说，第一步，就是先把所讨论的物理对象分解为若干个元，答题者选择其中具有代表性的部分进行分析，也就是人们常说的以小见大。

常见的解题步骤为：针对研究对象进行判定；分析“元”的运动过程；开展叠加并进行求解。

下面举几例应用“微元法”的解题的实例供参考。

例1、（2008上海）总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2s拉开绳索开启降落伞，如图所示是跳伞过程中的v－t图，（g取10m/s2），试根据图像求：（1）t＝1s时运动员的加速度和所受阻力的大小。