【七年级】2018北师大版数学七年级下册161完全平方公式1
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北师大版七年级数学下册第一章《1.6.1 完全平方公式》课件
源自＋22xy
• 两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积 的两倍
• 两数差的完全平方公式：
(a b)2 a2 2ab b2
• 两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积 的两倍
两数和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
+ + a b2 a2 2ab b2
两数差的完全平方公式：
b ab
A．5b
B．5b2
C．25b2
D．100b2
1 计算：
(1)(1 x 2 y)2 ；(2) (2xy 1 y)2 ；(3) (n+1)2－n2 .
2
5
解：(1)
1 2
x
2
y
2
1 2
x
2
2
1 2
x
2
y
2 y2
＝1 x2－2xy＋4 y2 .
(2)
2
xy＋
1 5
x
2
4
＝ 2
xy
2
b2
a
(a+b)²
(a b)2 a2 ab ab b2
(a－b)² ab
a2 2ab b2
ab
例3 计算：(1)(2x－1)2－(3x＋1)2； (2)(a－b)2·(a＋b)2； (3)(x＋y)(－x＋y)(x2－y2)．
导引：对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并 同类项；对于(2)可以把底数(a－b)，(a＋b)分别看作 一个整体，然后逆用积的乘方法则进行计算；对于(3) 先利用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全 平方公式进行计算．
第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式
• 两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积 的两倍
• 两数差的完全平方公式：
(a b)2 a2 2ab b2
• 两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积 的两倍
两数和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
+ + a b2 a2 2ab b2
两数差的完全平方公式：
b ab
A．5b
B．5b2
C．25b2
D．100b2
1 计算：
(1)(1 x 2 y)2 ；(2) (2xy 1 y)2 ；(3) (n+1)2－n2 .
2
5
解：(1)
1 2
x
2
y
2
1 2
x
2
2
1 2
x
2
y
2 y2
＝1 x2－2xy＋4 y2 .
(2)
2
xy＋
1 5
x
2
4
＝ 2
xy
2
b2
a
(a+b)²
(a b)2 a2 ab ab b2
(a－b)² ab
a2 2ab b2
ab
例3 计算：(1)(2x－1)2－(3x＋1)2； (2)(a－b)2·(a＋b)2； (3)(x＋y)(－x＋y)(x2－y2)．
导引：对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并 同类项；对于(2)可以把底数(a－b)，(a＋b)分别看作 一个整体，然后逆用积的乘方法则进行计算；对于(3) 先利用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全 平方公式进行计算．
第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式
北师大版数学七年级下1.6《完全平方公式》ppt课件
根据两数和或差的完全平方公式， 能够计算多个数的和或差的平方吗? 完全平方公式在计算化简中有些什么作用? 带着这些问题，进入我们今天这节课的 研究！
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当 有孩子到他家做客时，老人都要拿出 糖果招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块 糖，来两个孩子，老人就给每个孩子 两块糖，来三个，就给每人三块糖， …… (1) 第一天有 a 个男孩一起去了老人家， 老人一共给了这些孩子多少块糖？ a2
完全平方公式
例2 利用完全平方公式计算： (1) (-1-2x)2 (2) (-2x+1)2
(a -b )2 = a2-2 a b + b2 (-1-2x)2 =(-1)2+2· (-1)· (-2x)+(-2x)2=1+4x+4x2 方法2： (a +b )2 = a2+2 a b + b2 (-1-2x)2 =[-(1+2x)]2=(1+2x)2=1+4x+4x2 方法3： 还有其他 方法吗？
(1) (2x−3)2 =(2x)2-2· (2x)· 3+32=4x2-12x+9 (a -b )2 = a2-2 a b + b2 (2)(4x+5y)2=(4x)2+2· (4x)· (5y)+(5y)2=16x2+40xy+25y2 (a +b )2 = a2+2 a b + b2 (3)(mn-a)2 =(mn)2-2· mn· a+a2=m2n2-2amn+a2
(3) (mn−a)2
首平方，尾平方，两倍乘积放中央。
1.计算： (1) ( 1 x − 2y)2 2 1 2 (2) (2xy+ x ) 5 (3)(n +1)2 − n2
北师大版七下1.6完全平方公式课件(1)
• 4题答案：
• (1) (y-6)²=y²-2y×6+6²=y²-12y+36 • (2) (-1+½y) ²=(-1) ²+2×(-1)(½y)+ (½y) ²
•
=1-y+¼y ²
• (3) 101 ²=(100+1)²=100²+2×100×1+1²
•
=10000+200+1=10201
• (4) (x+3)(x-3)(x²-9)
间的符号相同。 首平方，尾平方， 积的2倍在中央
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式。
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
做一做:用两数和的完全平方公式计算(填空): (1)(a+1)2=( a )2+2( a )( 1 )+( 1 )2
=( a2 2a 1 )
∴a2+b2=(a+b)2-2ab =25-8 =17
做一做
完一块全边长平为a方米的公正方式形实验田因，需
要将其边长增加 b 米。形成四
块实验田，以种植不同的新品
种(如图1—6).
b
用不同的情势表示实验
田的总面积, 并进行比较.
探索: 你发现了什么?a
法一
直 接 求
总面积=(a+b) 2；
间
法二
接 求
=(4a2 20ab 25b2 )
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a -b)2 =a2-2ab+b2
例1.运用完全平方公计算⑴(x+2y)2,⑵(x-2y)2
北师大版七年级下 1.6完全平方公式 (第1课时) 教学课件
理由：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2 (a-b)2=a2-b2不一定相等. 只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.
知识讲解
判一判：在下列多项式的乘法中，能用完全平方公式计
=4x2 －12x +9；
(2)(4x+5y)2=(4x)2+2 • 4x•5y+(5y)2 =16x2+40xy+25y2;
(3)(mn-a)2 = (mn)2-2mna+a2 =m2n2-2amn+a2
知识讲解
思考? (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
想一想：这些计算结果有什么规律和特点？
新课导入
根据你发现的规律，计算下列式子： （a+b)2= a2+2ab+b2 ；（a-b)2= a2-2ab+b2 . 证明：
知识讲解
一、完全平方公式:
（a+b)2= a2+2ab+b2 ， （a-b)2= a2-2ab+b2 .
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方 和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫 做（乘法的）完全平方公式.
第 一章 整式的乘除
第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式
第1课时
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结 构特点;（重点） 2.会运用公式进行简单的运算.(难点)
复习旧知
知识讲解
判一判：在下列多项式的乘法中，能用完全平方公式计
=4x2 －12x +9；
(2)(4x+5y)2=(4x)2+2 • 4x•5y+(5y)2 =16x2+40xy+25y2;
(3)(mn-a)2 = (mn)2-2mna+a2 =m2n2-2amn+a2
知识讲解
思考? (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
想一想：这些计算结果有什么规律和特点？
新课导入
根据你发现的规律，计算下列式子： （a+b)2= a2+2ab+b2 ；（a-b)2= a2-2ab+b2 . 证明：
知识讲解
一、完全平方公式:
（a+b)2= a2+2ab+b2 ， （a-b)2= a2-2ab+b2 .
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方 和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫 做（乘法的）完全平方公式.
第 一章 整式的乘除
第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式
第1课时
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结 构特点;（重点） 2.会运用公式进行简单的运算.(难点)
复习旧知
1.6完全平方公式课件北师大版数学七年级下册(1)
初中数学北师大版七年级下册
第一章 整式的乘除 6 完全平方公式（1）
导入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n)=am +an +bm +bn （x ＋ 3)( x＋3） =x2＋3x ＋3x ＋9 =x2 ＋6x ＋9
a+b
a
a-b a
b
b
(a b)(a b) a2 b2
b b
（2）( 4 x + 5 y )2 = (4x)2+(5y)2+2×20xy= 16x2+25y2+40xy
（3）( mn - a )2 = (mn)2+a2-2mna = m2n2+a2-2mna
明辨是非，知错能改。
①(2a + 1)2 = 4a2 + 1 ②(a－2)2 = a2－ 4 －4a ③(a + 2)2 = a2 + 4+ 4a ④(2a－1)2 =2a2+ 1 －4a
• 口算下列各题:
(1) (x+3)(x−3) ；==xx22−−932; ; (2) (1+2a)(1−2a) ；=1−2−4(a22a;)2 ; (3) (x+4y)(x−4y) ；=x22−1(46yy)22;; (4) (y+5z)(y−5z) ；==yy22−−2(5zz2)2; .
新课 思考: 图1和图2中的面积说明些什么吗?
拓展练习
4.完全平方公式的变形应用： (1) 已知：x +y =3 ; x y =2 求 x2+y2 ； (x −y)2 的值. (2)已知：a −b =1 ； a2 +b2 =25 求 ab 的值. (3)已知：(x +y )2 =9 ; ( x − y)2= 5 求 xy ; x2+y2 的值.
第一章 整式的乘除 6 完全平方公式（1）
导入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n)=am +an +bm +bn （x ＋ 3)( x＋3） =x2＋3x ＋3x ＋9 =x2 ＋6x ＋9
a+b
a
a-b a
b
b
(a b)(a b) a2 b2
b b
（2）( 4 x + 5 y )2 = (4x)2+(5y)2+2×20xy= 16x2+25y2+40xy
（3）( mn - a )2 = (mn)2+a2-2mna = m2n2+a2-2mna
明辨是非，知错能改。
①(2a + 1)2 = 4a2 + 1 ②(a－2)2 = a2－ 4 －4a ③(a + 2)2 = a2 + 4+ 4a ④(2a－1)2 =2a2+ 1 －4a
• 口算下列各题:
(1) (x+3)(x−3) ；==xx22−−932; ; (2) (1+2a)(1−2a) ；=1−2−4(a22a;)2 ; (3) (x+4y)(x−4y) ；=x22−1(46yy)22;; (4) (y+5z)(y−5z) ；==yy22−−2(5zz2)2; .
新课 思考: 图1和图2中的面积说明些什么吗?
拓展练习
4.完全平方公式的变形应用： (1) 已知：x +y =3 ; x y =2 求 x2+y2 ； (x −y)2 的值. (2)已知：a −b =1 ； a2 +b2 =25 求 ab 的值. (3)已知：(x +y )2 =9 ; ( x − y)2= 5 求 xy ; x2+y2 的值.
北师大版数学七年级下册1.6完全平方公式(第一课时)课件
b
b
a
ab 图1
a
b a 图2
ZYT
探究新知
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
探究新知
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
为另一组”.
ZYT
典例精析
例3 已知x-y＝6，xy=-8.求: (1) x2+y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：(1)因为x-y＝6，xy=-8， (x-y)2＝x2+y2-2xy，
所以x2+y2＝(x-y)2+2xy ＝36-16＝20；
(2)因为x2+y2＝20，xy=-8，
所以(x+y)2＝x2+y2+2xy ＝20-16＝4.
=(3a)2－(b－2)2 =9a2-b2+4b-4.
(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)]
=(x-y)2-(m-n)2
=x2-2xy+y2-m2+2mn-n2.
ZYT
课堂检测
能力提升题
1.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
北师大版七年级下册1.6.1完全平方公式(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解完全平方公式的概念。完全平方公式是指两个相同的数或整式的平方可以表示为特定形式。它是解决多项式乘法的一种有效工具，并在几何图形面积计算等方面有着广泛应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算(3x+4)²，展示完全平方公式在实际中的应用，以及它如何帮助我们简化计算过程。
2.教学难点
-理解完全平方公式的推导过程：学生需要从具体的例子中抽象出公式，理解为何中间项是2ab而不是其他数。
-正确运用完全平方公式：学生在运用公式时可能会忘记符号变化，或者在多项式中无法识别出可以应用完全平方公式的部分。
-实际问题的转化：将现实生活中的问题转化为数学表达式，学生可能会在识别问题和应用公式上遇到困难。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《完全平方公式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积的情况？”比如，我们如何计算一个正方形的面积？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索完全平方公式的奥秘。
北师大版七年级下册1.6.1完全平方公式（教案）
一、教学内容
北师大版七年级下册1.6.1完全平方公式：
1.掌握完全平方公式的结构特征及推导过程；
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
2.能够运用完全平方公式进行整式的乘法运算；
例如：(x+3)² = x² + 6x + 9
在讲授过程中，我尽量用简单明了的语言解释完全平方公式的推导过程，并通过动画和实物模型让学生更直观地感受公式中每个项的来源。这样的教学方法似乎对学生们的理解有所帮助，但我觉得还可以进一步优化。
1.理论介绍：首先，我们要了解完全平方公式的概念。完全平方公式是指两个相同的数或整式的平方可以表示为特定形式。它是解决多项式乘法的一种有效工具，并在几何图形面积计算等方面有着广泛应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算(3x+4)²，展示完全平方公式在实际中的应用，以及它如何帮助我们简化计算过程。
2.教学难点
-理解完全平方公式的推导过程：学生需要从具体的例子中抽象出公式，理解为何中间项是2ab而不是其他数。
-正确运用完全平方公式：学生在运用公式时可能会忘记符号变化，或者在多项式中无法识别出可以应用完全平方公式的部分。
-实际问题的转化：将现实生活中的问题转化为数学表达式，学生可能会在识别问题和应用公式上遇到困难。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《完全平方公式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积的情况？”比如，我们如何计算一个正方形的面积？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索完全平方公式的奥秘。
北师大版七年级下册1.6.1完全平方公式（教案）
一、教学内容
北师大版七年级下册1.6.1完全平方公式：
1.掌握完全平方公式的结构特征及推导过程；
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
2.能够运用完全平方公式进行整式的乘法运算；
例如：(x+3)² = x² + 6x + 9
在讲授过程中，我尽量用简单明了的语言解释完全平方公式的推导过程，并通过动画和实物模型让学生更直观地感受公式中每个项的来源。这样的教学方法似乎对学生们的理解有所帮助，但我觉得还可以进一步优化。
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【关键字】七年级
1.6.1 《完全平方公式（一）》导学案
【学习目标】
1.理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景；
2.经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识.
【使用说明与学法指导】
1.先精读一遍教材第P16-P17页，用红笔进行勾画单项式与多项式相乘的运算法则及其探索过程，再针对课前预习二次阅读教材，并回答问题.
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在课本或导学案上，准备课上讨论质疑.
【课前预习】
一、知识回顾
1．由下面的两个图形你能得到哪个公式？该公式的结构有什么特点.
2．计算：（1）（2）
2、阅读课本第2
3、24页，思考下面问题：
1．你能推导完全平方公式吗？需要满足什么条件才能用完全平方公式进行多项式乘法运算？
2．观察公式的两边，公式有什么特征？
3．根据例题的解题过程，你认为运用完全平方公式进行计算要注意哪些地方？
4．你是怎样解决课本的24页“做一做”的？
【课堂探究】
专题一、探索完全平方公式
1. 观察知识回顾2的算式及其运算结果，你有什么发现？
2. 请你推导出完全平方公式，并用自己的语言叙述这一公式。
3. 请你用右图解释这一公式
4.议一议，你是怎样做的？
做一做，请你设计一个图形解释这一公式.
5.说说完全平方公式的特征
6. 比较平方差公式和完全平方公式
专题二、学以致用
利润完全平方公式计算：
⑴()2
21x +=
⑵2
)2(b a -
（3）()()n m n m +--22 （4）
（5） (6) 2
(45)x y +-40xy
【学习小结】
1. 完全平方公式结构特征有哪些？
2. 本节学习哪一个问题或题目能引起你注意？
【课堂检测】
1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正：
（1）2
2
(21)221a a a -=-+ （2）2
2
(21)41a a +=+
（3）2
2
(1)21a a a --=---
2
21⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+-cd 2
)2
131(--a
★2．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 ，把它计算出来 （1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a -- （3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +--
【巩固作业】
1．下列各式中可以运用完全平方公式计算的是（ ） A ．()()c a b a ++ B ．()()x y y x +-+ C ．()()ab x x ab +--33 D ．()()m n m n --- 2．计算下列各式：
（1）()2
47a b + （2）2
)3(y x -
（3）2)2131(-a （4）2
)10
151(y x +
（5）2
)2(n m +- （6）()2
2m n --
（7）2
(37)x y -+ （8）2
()mn a --
★（9）2
113
2a b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ★★（10）2
)2())((n m n m n m +--+
（11）2
)5
12(x xy +； （12）
)4)(2)(222y x y x y x --+（
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