中考数学复习 正方形 突破与提升专题讲义

正方形中考一轮复习讲义考点·方法·破译1．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形，即邻边相等的矩形或有一个角为直角的菱 形叫正方形．2．熟练掌握正方形的性质，并能在解决问题时将正方形与等腰直角三角形进行替换思考．3．掌握正方形的判断方法，并应用它的对称性质解决问题．经典•考题•赏析【例1】如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．⑴求证：四边形ABCD 是菱形；⑵若∠AED ＝2∠EAD ，求证：四边形ABCD 是正方形． 【解法指导】根据条件合理选择判断方法是解决问题的关键．本题可选“对角线垂直的平行四边形是菱形；有一个角为直角的菱形是正方形”． 证明：⑴∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ∵△ACE 是等边三角形，∴EO ⊥AC ，即DB ⊥AC ∴平行四边形ABCD 是菱形⑵∵△ACE 是等边三角形，∴∠ACE ＝60°，∵EO ⊥AC ，∴∠AEO ＝12 ∠ACE ＝30°， ∵∠AED ＝2∠EAD ，∴∠EAD ＝15°，∵∠ADO ＝∠EAD ＋∠ADEO ＝45° ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADC ＝2∠ADO ＝90° ∴四边形ABCD 是正方形．【变式题组】01．如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，点M 、N 分别在OA 、OD 上,且MN ∥AD ．探究：线段DM 和CN 之间的数童关系，写出结论并给出证明．02．如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上的点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，E 、F 是垂足，问PD与EF 有怎样的关系？ 请说明理由．A B DO C E EABE GD FCBOA03．如图，将正方形ABCD 中的 绕对称中心O 旋转至△GEF 的位置，EF 交AB 于M ，GF 交BD 于N ．请猜想BM 与FN 有怎样的数量关系？并证明你的结论．04．把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图．【例2】如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转n °后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 交于点O ． ⑴以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；⑵若正方形的边长为2cm ，重叠部分（四边形AEOD ）的面cm 2，求旋转的角度. 【解法指导】解⑴AO ⊥DE 证明：∵在Rt △ADO 与Rt △AEO 中，AD ＝AE ，AO ＝AO ，∴△ADO ∽△AEO (HL ) ，∴∠DAO ＝∠OAE (即AO 平分∠DAE ) ，AO ⊥DE (等腰三角形三线合一)[注：其他的结论也成立如GD ⊥BE ]⑵30°∵四边形AEOD cm 2，∴△ADO 的面积＝2AD DO ⨯， 在Rt △AOD 中， AO 2＝OD 2＋AD 2， ∴AO ，∴AO ＝2OD ，∴AD ＝2，OD ＝，∠DAO ＝30°，∴∠DAE ＝60°，∴∠EAB ＝30°，【变式题组】01．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是．02．我们给定两个全等的正方形ABCD、AEFG它们共顶点A(如图1)，可以绕顶点A旋转，CD、EF相交于点P．⑴连接BE、DG（如图2），求证：BE＝DG，BE⊥DG⑵连接BG、CF(如图)，求证：BG∥CF．【例3】数学课上，张老师提出了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则似AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．在此基础上，同学们进一步的研究：⑴小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2）小华提出：如图3，点E是边BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．【解法指导】若证明两个三角形中的线段相等，而这两三角形又不全等时，可通过构造全等三角形证明线段相等．解：⑴正确．证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．∴BM＝BE，∠BME＝45°，∴∠AME＝135°∵∠ECF＝∠ECD＋∠DCF＝135°∴∠AME＝∠ECF，∵∠1＋∠AEB＝90°，∠2＋∠AEB＝90°∴∠1＝∠2，∴△AME≌△ECF，AE＝EF⑵正确．如图，在BA延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°∠NAE＝90°＋∠1，∠CEF＝45°∴∠NAE＝∠CEF，△ANE≌△ECF∴AE＝EF【变式题组】01．如图，已知正方形ABCD在直线MN上方，BC在直线MN上；E是BC上一点，以AE 为边在直线MN的上方作正方形AEFG．⑴连接GD，求证：△ADG≌△ABE；⑵连接FG，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．02．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE丄EF．⑴延长EF交正方形外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；⑵在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【例4】已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别CB、DC(或它们的延长线)点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BN＝DN时（如图1），易证BM＋DN＝MN．⑴当∠MAN绕点A旋转到BN≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；⑵当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想并明．图 1 图2 图3【解法指导】欲证两条线段之和等于第三条线段，可通过截长补短，构造全等三角形解决．解：⑴MN ＝BM＋DN．证明：延长CB到E，使BE＝DN，连接AE．∵AB＝AD，BE＝DN，∠ABE＝∠ADN，△ABE≌△ADN．∴∠1＝∠2，AE＝AN，∵∠MAN＝45°，∠1＋∠3＝45°∴∠1＋∠2＝45°，∴∠EAM＝∠NAM，AM＝AM∴△AEM≌△ANM，∴MN＝ME，∴MN＝BM＋DN⑵MN ＝DN－BM．证明：在DN上截取DF＝BM，连接AF．∵AB＝AD，∠D＝∠ABM，BM＝DF，∴△ABM≌△ADF．∴∠4＝∠5，AF＝AM，∵∠4＋∠6＝45°，∴∠5＋∠6＝45°，∴∠FAN＝45°∴∠FAN＝∴∠MAN，AF＝AM，AN＝AN，∴△AFN≌△AMN．∴MN＝FN，MN＝DN－BM．【变式題组】01．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：⑴∠EAF的大小是否有变化？请说明理由；⑵△ECF的周长是否有变化？请说明理由．02．如图，有四个动点P、Q、E、F分别从边长为1的正方形ABCD的四个顶点出发，沿AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动⑴试判断四边形PQEF的形状，并证明；⑵PE是否总过某一定点，并说明理由；⑶四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小和最大？各是多少？03．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y ＝x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y ＝x 于点M ，BC 边交x 轴于点N (如图)． ⑴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；⑵设△MBN 的周长为p ，在正方形OABC 旋转的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论．【例5】小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到了这样一道题： “已知正方形ABCD ，点E 、F 、G 、H 只分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，若EG 丄FH ，则GE ＝FH ”经过思考，大家给出了以下两个方案：(甲）过点A 做AM ∥HF 交BC 于点M ，过点B 作BN ∥EG 交CD 于点N ； (乙）过点A 做AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ；小杰和他的同学顺利的解决了该题后，人家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索． ⑴对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）； ⑵如果把条件中的“EG 丄HF ”改为“EG 与HF 的夹角为45°”，并假设正方形ABCD 的边长为1，FH 的长为5(如图2)，试求EG 的长度．【解】⑴证明：如图3过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，∵正方形ABCD ，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠AND ＝90° ∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∴∠DAN在△ABM 和△ADN 中⎩⎪⎨⎪⎧∠BAM=∠DANAB=AD ∠ABM=∠ADN ∴△ABM ≌△ADN ，∴AM ＝AN ，即EG ＝FH⑵解：如图4过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，过点A 作AN ∥EG 交于点N ， ∵AB ＝1，AM ＝FH ＝5，∴在Rt △ABM 中，BM ＝12将△ADN 绕点A 旋转到△APB ，∵EG 与FH 的夹角为45°∴∠MAN ＝45°，∴∠DAN ＋∠MAB ＝45°即∠PAM ＝∠MAN ＝45°从而，△APM≌△ANM，∴PM＝NM设DN＝x，则NC＝1－x，MN＝PM＝12＋x在Rt△ABM中，(12＋x)2＝14＋(1－x)2解得x＝13，∴EG＝AN＝21x＝103．【变式题组】01．若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM 交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为．02．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ADE'，连接EE'，则EE'的长等于．03．已知正方形ABCD中,点E在边DC上，DE＝2，EC＝1(如图所示)把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为．04．小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图①，AD＞CD)沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD 边上的点F处,折痕为(如图②)；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N 处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG(如图③)．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，矩形ABCD长与宽的比值为．。

数学学科辅导讲义教学内容正方形教学目标一．考点：1．正方形的性质；2．正方形的判定；3．弦图模型教学重点二．重难点：正方形性质的应用和判定；弦图模型．三．易错点：正方形、矩形、菱形性质与判定的区别．教学难点教学过程知识详解要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、弦图模型Rt△BAE≌Rt△CBFRt△DCE≌Rt△CAF要点五、特殊平行四边形之间的关系典型例题题型一：性质（性质判定）例1、下列说法不正确的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形（面积计算）例2、有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9练习1、“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”，图①是由边长10cm的正方形薄板分成7块制作成的“七巧板”图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为_______cm（结果保留根号）（判断结论）例3、如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④（性质应用全等）例4、在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上一点，且AF ＝21AB ，试判断线段BE 与DF 的关系？请说明你的理由练习1、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别在OD 、OC 上，且DE ＝CF ，连接DF 、AE ，AE 的延长线交DF 于点M ．求证：AM⊥DF．题型二：正方形的判定例1、已知：如图，△ABC 中，︒=∠90C ，CD 平分ACB ∠，BC DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别为E 、F ．求证：四边形CFDE 是正方形。