曲线练习题

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(2) 切线的球面标线为常值曲线的充要条件是C为直线, 切线的球面标线为大圆或 大圆的一部分的充要条件是C 为平面曲线. (3) 从法线的球面标线为常值曲线的充要条件是C为平面曲线. (4) 法线的球面标线永不为常值曲线.
§6. 平面曲线的整体性质 1. 设平面简单闭曲线C的长为L, 曲率k(s)满足
5. 求椭圆r = (a cos t, b sin t, 0)的顶点(0 ≤ t ≤ 2π, a ̸= b).
6. 设r = r(s)是平面上弧长参数的凸闭曲线. 证明: T′′ 至少在四个点处平行于T.
7. 设C : r = r(s), C1 : r = r1(s)为平面上全长L 的凸曲线, s为弧长, 其弦长分别 为d, d1:
证明: L ≥ 2πR
0 < k(s) ≤ 1 (常数) R
2. 设平面凸闭曲线交直线于三点, 则直线在这三点的部分必包含在曲线内.
3. 是否存在平面简单闭曲线, 全长为6厘米, 所围成的面积为3厘米2?
4. 设AB是直线段, L > AB. 证明: 连接点A, B的长为L的曲线C与AB所界的面积
最大时, C是通过A, B的圆弧.
则称曲线C与所给球有n阶接触. 证明:
(1) 若曲线C落在已给球面上, 则C与球有任意阶接触;
(2) 若τ = 0, 则曲线与某一球有三阶接触的充要条件为: k′(s0) = 0. 从而平面曲 线不能与球处处有三阶接触, 除非曲线本身属于球面的一个圆.
8. 若k(s0) ̸= 0. 证明: 曲线C与已给球在s0处有二阶接触的充要条件是:
定角.
5. 证明:
(1) 任何平面曲线都是Bertrand曲线;
(2) 若kτ ̸= 0, 则空间曲线成为Bertrand曲线的充要条件是: 存在常数λ, µ(λ ̸= 0),

22． x 3 2 p 6, p 3, x p 3
2
22
23．1
焦点在
y
轴上，则
y2 5
x2 1,c
1
2
k51
4, k
1
k
24． 4,或 5 4
当 k 8 9 时， e2
c2 a2
k 89 k 8
1,k 4
4；
当k
8 9 时， e2
c2 a2
9k 8 9
1, 4
k
5 4
4
4
t2 16 8a 0,t2 8a 16 恒成立，则 8a 16 0, a 2
28． ( 7, 0) 渐近线方程为 y m x ，得 m 3,c 7 ，且焦点在 x 轴上 2
b2 29．
a2
设
A(x1
,
y1),
B(x2
,
y2
)
，则中点
M
(
x1
2
x2
,
y1 y 2
2 ) ，得 kAB
圆锥曲线专题练习
一、选择题
1.已知椭圆 x 2 y 2 1上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为3 ，则 P 到另一焦点距离为 （ 25 16
A． 2 B． 3 C． 5
D． 7
2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6 ，则椭圆的方程为
（
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
S 1 7 2 2 2 7
22
22
11．D 12．C
圆心为(1,3) ，设 x2 2 py, p 1 , x2 1 y ； 设 y2 2 px, p 9 , y2 9x

习题10 曲线积分一、填空题1、设曲线L 是上半圆周 x y x 222=+，则L xds =⎰ 。

2、设L 是圆周x y x 222=+，则=+-⎰Lxdy ydx 。

3、设L 是抛物线2y x =上由点A （4，2）到B （4，-2）的一段弧，则22L xydx x dy +=⎰ ． 4、L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，()L x y ds +⎰＝ 。

5、L 为空间曲线2221,0x y z z ++==，ds z y x L ⎰++2221＝ 。

二、选择题 1、已知L ：()()⎩⎨⎧==t y t x ψϕ()βα≤≤t 是一连接()αA 、()βB 两点的有向光滑曲线段，其中始点为()βB ，终点为()αA ，则()=⎰dx y x f L ,（ ）。

A 、()()[]⎰βαψϕdt t t f ，；B 、[](),()()f t t t dt αβϕψϕ'⎰C 、 [](),()()f t t t dt βαϕψϕ'⎰ ；D 、[](),()f t t dt αβϕψ⎰ 2、L 是圆域D ：222x y x +≤- 的正向圆周，则 ()()⎰-+-L dy y x dx y x 33=（ ）。

A 、2π- B 、0 C 、3/2π ； D 、2π。

3、()()⎰-++=L dy x y dx y x I 2222，其中L 是由0,1,y x y x ===所组成的正向回路，则I =（ ）。

. A 、0； B 、1-； C 、1 ； D 、/2π。

4、已知()()2x ay dx ydy x y +++为某函数的全微分，则a =（ ）。

A 、-1B 、0C 、1D 、25、设(,)F x y 可微，如果曲线积分(,)()C F x y xdx ydy +⎰与路径无关，则(,)F x y 应满足（ ）。

A 、(,)(,)y x yF x y xF x y = B 、(,)(,)y x F x y F x y = C 、 (,)(,)yy xx yF x y xF x y =D 、(,)(,)y x xF x y yF x y = 三、解答题 1、计算曲线积分I ＝⎰L xyds ，其中L 为圆)0(sin cos >⎩⎨⎧==a ta y t a x 在第一象限的圆弧2、计算曲线积分I ＝⎰+++L dy x dx y x )28()2(，其中L 为从原点O(0,0)沿直线至点A(2,0)，再沿直线至点B （4,4）。

曲线运动复习测试题1、（多选）关于曲线运动，下列说法中正确的是（ ）A. 曲线运动一定是变速运动B. 变速运动一定是曲线运动C. 曲线运动可能是匀变速运动D. 变加速运动一定是曲线运动2、质点在三个恒力F 1、F 2、F 3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F 1，而保持F 2、F 3不变，则质点（ ）A ．一定做匀变速运动B ．一定做直线运动C ．一定做非匀变速运动D ．一定做曲线运动 3、关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ） A. 合运动的速度一定比分运动的速度大B. 两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动C. 两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动D. 合运动的两个分运动的时间不一定相等4、如图所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。

若不计空气阻力，则A 、B 两个小球的运动时间之比为（ ）A.1:1B.4:3C.16:9D.9：165、如图，高h 的车厢在平直轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为a ，车厢顶部A 点处有油滴滴下落到车厢地板上，车厢地板上的O 点位于A 点的正下方，则油滴的落地点必在O 点的 （填“左”或“右”）方，离O 点的距离为 。

6、质量m=0.2kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度v x和v y随时间变化的图线如图所示，求：(1)物体所受的合力。

(2)物体的初速度。

(4)判断物体运动的性质。

(5)4s末物体的速度和位移。

7、如图在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求（1）小球从A运动到B处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？8、飞机在2km的高空以360km/h的速度沿水平航线匀速飞行，飞机在地面上观察者的正上方空投一包裹。

（g取10m/s2，不计空气阻力）⑴试比较飞行员和地面观察者所见的包裹的运动轨迹。