近五年河北省数学中考知识点

2024年河北省中考数学试卷分析报告1. 引言本文旨在对2024年河北省中考数学试卷进行详细的分析，从题型构成、难度分布、知识点覆盖等方面进行评估和总结，以便于考生和教师更好地了解试卷的特点和趋势，有针对性地进行备考和教学。

2. 题型构成2024年河北省中考数学试卷一共由选择题、填空题、解答题三个部分组成。

其中，选择题占比约60%，填空题占比约20%，解答题占比约20%。

这种题型构成比例在近几年的中考数学试卷中比较常见，符合中考数学试卷的趋势。

2.1 选择题2024年数学中考试卷的选择题部分包含了单项选择题和不定项选择题。

•单项选择题占据了选择题部分的大部分比例，其中很多题目体现了对学生基础知识的考查和运用。

•不定项选择题则对学生的逻辑思维和推理能力提出了较高的要求，涵盖了更多的知识点。

2.2 填空题填空题是2024年河北省中考数学试卷中的另一部分重要题型。

填空题的出现在一定程度上考察了学生对数学知识的理解和灵活应用能力。

2.3 解答题解答题是试卷中的最后一部分，也是考查学生数学能力较高、思维能力较强的部分。

3. 难度分布2024年河北省中考数学试卷的难度分布比较合理，注重考查学生对基础知识的掌握和应用能力的培养。

试卷难度主要体现在以下几个方面：3.1 基础题目与综合题目的对比试卷中的基础题目主要出现在选择题和填空题中，涵盖了学生所学的数学基础知识。

这些题目难度相对较低，能够帮助学生巩固基础，提高应试能力。

综合题目则更注重学生对知识点的综合运用和思维能力的培养，难度相对较高。

这一设计可以更好地测试学生对数学知识的整体理解和应用。

3.2 题目难度的分层次试卷的题目难度分层次地设置，既有简单的基础题目，也有稍微难度较高的拓展题目。

这种设置有助于考生全面掌握基础知识，并且提升解决问题的能力。

4. 知识点覆盖2024年河北省中考数学试卷对数学的各个知识点进行了相对均衡的覆盖。

试卷的知识点覆盖具体如下：•初中代数和初中几何知识点的考查相对较多，占试卷总分的比例较大。

2024河北省中考数学考点分析一、四则运算四则运算是数学基础中最基本的内容之一，在中考中也是考察的重点。

四则运算主要包括加法、减法、乘法和除法，考生应掌握运算的规则和方法，并能够熟练应用到解题中。

二、整数运算整数运算是数学中的一个重要内容，考生需要掌握整数的加减乘除运算规则，并能够应用到解决实际问题中。

三、分数运算分数运算也是中考中的重点考点。

考生需要掌握分数的加减乘除运算法则，并能够应用到解决实际问题中。

四、百分数与数学百分数与数学是数学中的重要知识点之一、考生需要理解百分数的意义，并能够进行百分数的变化和计算。

五、比例与均分比例和均分是数学中的重要概念，也是中考考点。

考生应掌握比例和均分的基本概念、计算方法以及应用能力。

六、勾股定理与几何勾股定理是几何中的基本定理之一，也是中考的重点。

考生需要理解勾股定理的含义，并能够应用到解决实际问题中。

七、线性方程与一元一次方程线性方程和一元一次方程是数学中的基础知识，也是中考考点。

考生需要掌握方程的求解方法，并能够应用到解决实际问题中。

八、统计图与统计平均数统计图和统计平均数是数学中的重要概念，也是中考的考点。

考生需要能够根据统计图进行数据分析，并能够计算统计平均数。

九、解题方法与思维能力解题方法和思维能力是中考数学中非常重要的内容。

考生需要能够灵活运用各种解题方法解决问题，并能够培养一定的数学思维能力。

总结以上的考点分析，2024年河北省中考数学考点主要包括四则运算、整数运算、分数运算、百分数与数学、比例与均分、勾股定理与几何、线性方程与一元一次方程、统计图与统计平均数以及解题方法与思维能力等内容。

考生在备考过程中应重点掌握这些考点，并通过大量的练习来提高自己的解题能力。

希望以上分析对考生们能有所帮助，祝愿大家在中考中取得优异的成绩！。

会考数学中考知识点归纳会考数学中考知识点归纳是帮助学生系统复习数学知识的重要工具。

以下是一些中考数学的常见知识点归纳：一、数与代数1. 有理数：包括正数、负数、零的概念，有理数的四则运算。

2. 代数式：单项式、多项式的概念，同类项合并，代数式的简化。

3. 一元一次方程：解法，包括移项、合并同类项、系数化为1。

4. 一元二次方程：解法，包括因式分解法、配方法、公式法。

5. 不等式：不等式的基本性质，解一元一次不等式。

二、几何1. 平面图形：包括线段、角、三角形、四边形、圆的基本性质。

2. 立体图形：包括立方体、长方体、圆柱、圆锥、球等的表面积和体积计算。

3. 图形的平移、旋转、对称：图形变换的性质和应用。

4. 相似图形和全等图形：相似比、全等条件、判定定理。

5. 三角形的内角和定理：三角形内角和为180度。

三、统计与概率1. 数据的收集与处理：包括数据的分类、整理、图表的绘制。

2. 平均数、中位数、众数：计算方法和应用。

3. 方差和标准差：衡量数据的离散程度。

4. 概率：包括古典概型、几何概型，概率的计算。

四、函数与方程1. 函数的概念：自变量、因变量、定义域、值域。

2. 一次函数：图象、性质、解析式。

3. 二次函数：图象、性质、顶点式、交点式。

4. 反比例函数：图象、性质、解析式。

五、解析几何1. 坐标系：包括直角坐标系、极坐标系的基本概念。

2. 直线方程：包括斜截式、两点式、一般式。

3. 圆的方程：标准方程、一般方程。

六、综合应用1. 数学建模：将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决。

2. 数学思维：包括归纳推理、演绎推理、类比推理等。

结束语通过以上知识点的归纳，学生可以更加系统地复习数学知识，为中考做好充分的准备。

希望每位学生都能在数学中考中取得优异的成绩。

第二节一元二次方程及应用年份题号考查点考查内容分值总分201719 一元二次方程的解法综合题，在新定义的背景下用直接开平方法解一元二次方程37 26(2)一元二次方程及根的判别式利用题中已知条件列出方程，并用判别式判断根的情况4201614一元二次方程根的判别式利用已知条件判断含字母系数的一元二次方程的根的情况2 2201512一元二次方程根的判别式考一元二次方程无实数根求参数的取值X围2 2201421 解一元二次方程(1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误，并写出正确的求根公式；(2)用配方法解一元二次方程10 102013年未考查命题规律纵观某某近五年中考，2014、2015、2016、2017年考查了一元二次方程，分值2～10分，涉及的题型有选择、填空、解答，题目难度一般，其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了1次，一元二次方程的应用在选择、填空中各考过1次，一元二次方程根的判别式考查了3次，属基础题.某某五年中考真题及模拟一元二次方程的解法1．(2014某某中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为： x 2＋b a x ＝－c a，第一步x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，第二步⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a (b 2－4ac ＞0)，第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac>0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac2a__．(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0. 解：x 1＝6，x 2＝－4.2．(2017某某中考模拟)在解方程(x ＋2)(x －2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x ＋2＝1，x －2＝5，得方程的根x 1＝－1，x 2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2－9＝0，再分解因式，即(x ＋3)(x －3)＝0，得方程的根x 1＝－3，x 2＝3.对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是(A )A ．甲错误，乙正确B ．甲正确，乙错误C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都错误3．(2016某某二十八中一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是(B )A ．－4或－1B ．4或－1C ．4或－2D ．－4或2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系4．(2015某某中考)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值X 围是(B )A ．a<1B ．a>1C ．a ≤1D ．a ≥15．(2016某某中考)a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为06．(2016某某十三中三模)已知关于x 的方程2x 2－mx －6＝0的一个根是2，则m ＝__1__，另一个根为__－32__．7．(2017某某二模)对于实数a ，b ，定义新运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b），ab －b 2（a ＜b ），例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.(1)求(－5)*(－3)的值；(2)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，求x 1*x 2的值． 解：(1)∵－5<－3，∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6； (2)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2或3； ①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32－2×3＝3.一元二次方程的应用8．(2016某某25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为(D )A ．48(1－x)2＝36B ．48(1＋x)2＝36C ．36(1－x)2＝48D ．36(1＋x)2＝489．(2016某某十八县重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市2014年投入教育经费2 500万元，预计2016年要投入教育经费3 600万元．已知2014年至2016年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2015年该市要投入的教育经费为__3__000__万元．10．(2017某某中考)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n(n 为整数，1≤n ≤12)符合关系式x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)(k 为常数)，且得到了表中的数据．月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月)120100(1)求y 与x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)求k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m 个月和第(m ＋1)个月的利润相差最大，求m. 解：(1)由题意，设y ＝a ＋bx ，由表中数据得⎩⎪⎨⎪⎧11＝a ＋b120，12＝a ＋b100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝600，∴y ＝6＋600x，由题意，若12＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋600x ，则600x ＝0，∵x ＞0， ∴600x＞0， ∴不可能；(2)将n ＝1，x ＝120代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)，得120＝2－2k ＋9k ＋27， 解得k ＝13， ∴x ＝2n 2－26n ＋144，将n ＝2，x ＝100代入x ＝2n 2－26n ＋144也符合， ∴k ＝13；由题意，得18＝6＋600x ，解得x ＝50，∴50＝2n 2－26n ＋144，即n 2－13n ＋47＝0， ∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0，∴方程无实数根， ∴不存在；(3)设第m 个月的利润为W ，W ＝x(18－y)＝18x －x ⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x＝12(x －50) ＝24(m 2－13m ＋47)，∴第(m ＋1)个月的利润为W′＝24[(m ＋1)2－13(m ＋1)＋47]＝24(m 2－11m ＋35)， 若W≥W′，W －W′＝48(6－m)，m 取最小值1时，W －W′取得最大值240；若W ＜W′，W ′－W ＝48(m －6)，由m ＋1≤12知m 取最大值11时，W ′－W 取得最大值240； ∴m ＝1或11.,中考考点清单一元二次方程的概念1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)__．【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．一元二次方程的解法2.直接开 平方法 这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程. 配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的__完全平方__式，右边是一个非负常数．公式法求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)__，适用于所有的一元二次方程.因式分 解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的解法： (1)当b ＝0，c ≠0时，x 2＝－c a ，考虑用直接开平方法解；(2)当c ＝0，b ≠0时，用因式分解法解； (3)当a ＝1，b 为偶数时，用配方法解简便．一元二次方程根的判别式3．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由__b 2－4ac__来判定，我们将__b 2－4ac__称为根的判别式．4．判别式与根的关系：(1)b 2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根； (2)b 2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)b 2－4ac ＝0⇔方程有__两个相等__的实数根．【易错警示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b 2－4ac≥0；(2)当a ，c 异号时，Δ>0.一元二次方程的应用5．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论． 6．一元二次方程应用问题常见的等量关系： (1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用， 利润率＝利润÷进货价．,中考重难点突破一元二次方程的解法【例1】(2016某某十七中二月调研)解下列方程：(1)(x －2)2＝12；(2)x 2－4x ＋1＝0；(3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2＝2x.【解析】(1)可以用直接开平方法解；(2)因为b ＝－4是偶数，可以用配方法解；(3)因为b ＝－3是奇数，配方法解较复杂，可用公式法；(4)直接因式分解．【答案】解：(1)直接开平方，得x －2＝±22，即x 1＝2＋22，x 2＝2－22； (2)配方，得(x －2)2＝3，直接开平方，得x －2＝±3，即x 1＝2＋3，x 2＝2－3； (3)∵a＝1，b ＝－3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5>0，∴x ＝－（－3）±52×1，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52； (4)分解因式，1＝2，x 2＝0.1．方程(x －3)(x ＋1)＝0的解是(C )A ．x ＝3B ．x ＝－1C ．x 1＝3，x 2＝－1D ．x 1＝－3，x 2＝12．(2016某某路北一模)用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为(A )A ．(x ＋2)2＝9B ．(x －2)2＝9C ．(x ＋2)2＝1D ．(x －2)2＝13．用公式法解方程： (1)(某某中考)x 2－3x ＋2＝0； 解：x 1＝1，x 2＝2；(2)(某某中考)x 2－1＝2(x ＋1)．解：x 1＝－1，x 2＝3.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【例2】(2017某某中考)若关于x 的不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0根的情况是(A )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【解析】解不等式x －a 2＜1得x ＜1＋a 2，而不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，所以1＋a2＝1，解得a ＝0，又因为Δ＝a 2－4＝－4，所以关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根．故选C .【答案】C4．(2016某某丰润二模)方程x 2－x ＋3＝0根的情况是(D )A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根5．(2016某某博野模拟)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值X 围是(C )A ．a>2B ．a<2C ．a<2且a≠1D ．a<－26．(2017某某中考)已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是(B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断一元二次方程的应用【例3】(2017达州中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；，求可变成本平均每年增长的百分率．【解析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1＋x)万元，则第三年的可变成本为2.6(1＋x)2万元；(2)根据养殖成本＝固定成本＋可变成本建立方程即可．【答案】(1)2.6(1＋x)2；(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.【例4】有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染(A)A．17人B．16人C．15人D．10人【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人；患流感的人把病毒传染给别人，自己也包括在总数中，第二轮作为传染源的是(x＋1)人，每人传染x个人，则传染x(x＋1)人．两轮后得流感的总人数为：一开始的1人＋第一轮传染的x个人＋第二轮传染的x(x＋1)人，列方程：1＋x＋x(1＋x)＝256，解得x1＝15，x2，所以x＝－17不合题意，应舍去；取x＝15，故选C.【答案】C【例5】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【解析】设降价x元，则每件盈利(50－x)元，数量增多2x件，再由单件利润×数量＝2 100即可．【答案】解：设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50－x)元．由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.整理，得x2－35x＋300＝0.解得x1＝15，x2＝20.∵要尽快减少库存，∴x＝15不合题意，舍去，只取x＝20.答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．【例6】(2017某某中考)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a m.(1)用含a的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时甬道的宽．【解析】(1)用含a 的式子先表示出花圃的长和宽，再利用矩形面积公式列出式子即可；(2)甬道所占面积等于大长方形空地面积减去中间小花圃的面积，再根据甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可．【答案】解：(1)(60－2a)(40－2a)； (2)由题意，得60×40－(60－2a)(40－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)． 答：此时甬道的宽为5 m .7．，2016年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为(A )A (1＋x)2＝4B ．(2.5＋x%)2＝4C (1＋x)(1＋2x)＝4D (1＋x%)2＝48．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了 1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为(C )A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18B ．x 2－3x ＋16＝0C ．(x －1)(x －2)＝18D ．x 2＋3x ＋16＝09．(2017原创)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染__7__word个人．如果不及时控制，第三轮又将有__448__人被传染．10．为了绿化校园环境，学校向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定；如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，那么该校共购买了多少棵树苗？解：设该校共买了x棵树苗．120×60＝7 200(元)．∵7 200＜8 800，∴购买树苗超过60棵；x[120－0.5(x－60)]＝8 800，x1＝220，x2＝80，当x＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，∴x＝220舍去．∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．11 / 11。

中考数学的知识点中考数学的知识点 (集锦15篇)在平时的学习中，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。

掌握知识点有助于大家更好的学习。

以下是店铺收集整理的中考数学的知识点，希望对大家有所帮助。

中考数学的知识点 1圆的知识：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

圆心：(1)如定义(1)中，该定点为圆心(2)如定义(2)中，绕的那一端的端点为圆心。

(3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。

(4) 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。

直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。

半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。

圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。

在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数(无理数)，用字母π表示。

计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。

πr，用字母S 表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

中考数学的知识点 21、加法：(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加;(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

可使用加法交换律、结合律。

中考数学考试常见知识点总结中考数学考试常见知识点总结数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，下面是小编整理的中考数学考试常见知识点总结，希望对大家有帮助!三角形的边和角三角形三边的关系：三角形中任意两边之和大于第三边。

由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。

垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

对顶角的性质：对顶角相等。

函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

确定函数定义域的方法(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数;(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零;(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零;(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零;(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

同类二次根式化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式同类项及其合并合并同类项就是逆用乘法分配律，把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项(combiningliketerms)。

如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且各字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。

如2ab与-3ab，m2n与m2n都是同类项。

特别地，所有的.常数项也都是同类项。

把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类项的合并(或合并同类项)。

同类项的合并应遵照法则进行：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

为什么合并同类项时，要把各项的系数相加而字母和字母的指数都不改变，这有什么理论依据吗?其实，合并同类项法则是有其理论依据的。

河北九年级数学知识点归纳一、有理数有理数的概念：有理数由整数和分数组成，可以表示为有限小数或无限循环小数。

1. 整数运算- 整数的加法与减法：同号相加、异号相减。

- 整数的乘法与除法：同号得正、异号得负。

- 整数的混合运算：按照顺序进行运算，先乘除后加减。

2. 分数运算- 分数的加法与减法：分母相同，分子相加减。

- 分数的乘法与除法：分子相乘除，分母相乘除。

- 分数的混合运算：按照顺序进行运算，先乘除后加减。

- 分数的化简与约分：化简分数的算数运算，将分数约分至最简形式。

3. 有理数的比较- 正数与负数的比较：正数大于零，零大于负数。

- 比较绝对值大小：先比较绝对值大小，再根据符号判断结果。

4. 数轴与有理数的表示- 数轴的绘制与利用：根据数字的大小及正负性，在数轴上标出对应位置。

二、代数式与方程式代数式的概念：用字母和数的组合表示数学关系的式子。

1. 代数式的加减运算- 同类项的加减：字母幂相同的代数项可以进行加减。

- 式子的化简：合并同类项，化简代数式。

2. 一元一次方程- 一元一次方程的解的概念：使得方程成立的未知数的取值。

- 解一元一次方程的方法：变形、倍数法、消元法等。

- 一元一次方程的应用：根据实际问题建立方程，求解未知数的值。

3. 一元一次方程组- 一元一次方程组的解的概念：满足方程组中所有方程的未知数的取值。

- 解一元一次方程组的方法：减法法、代入法、加法法等。

- 一元一次方程组的应用：根据实际问题建立方程组，求解未知数的值。

三、图形与几何图形的性质与变换、几何的相关定理与计算。

1. 直线、线段、射线- 直线、线段、射线的定义：直线没有端点，线段有两个端点，射线有一个起点。

- 直线、线段、射线的绘制与认识：根据定义与画图工具绘制出对应图形。

2. 角的性质与分类- 角的定义及符号：角是由两条射线共同起源于一个点的部分。

- 角的分类：锐角、直角、钝角、平角。

3. 三角形- 三角形的定义：由三条线段组成的图形。

河北中考数学知识点总结
一、函数的概念
函数是指一组对应关系，用来描述一些量间的关系。

函数解析式是函数的表示形式，由某引出的幂系数绝对值不大于1的有理式称为函数解析式。

二、函数的图象
函数的图象是一条曲线，它表示函数的值随着某的变化而变化。

三、函数的性质
1、函数的值域是指函数的定义域内的所有实数值。

2、函数的单调性是指函数的值域内的某个区间上，函数的值域内的每个值都是函数的最小值或函数的最大值。

3、函数的奇偶性是指函数的定义域内的每个数都有值域内的奇数和偶数。

4、函数的周期性是指函数的图象在某轴上是对称的。

四、函数的极值
1、极值是指函数在某个区间内的最大或最小值。

2、函数的极值点是指函数在某个区间内的最大或最小值的点。

3、求函数的极值常用到函数的导数。

五、函数的单调性的应用
1、单调性的应用是指函数的单调性的判断方法和应用。

2、判断一个函数是否是单调函数常用到函数的单调性的定义。

3、求函数的最大值和最小值常用到函数的单调性的性质。

数学中考知识点数学中考知识点在日常的学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。

那么，都有哪些知识点呢？下面是店铺收集整理的数学中考知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。

数学中考知识点1中考数学知识点：分式混合运算法则分式四则运算,顺序乘除加减,乘除同级运算,除法符号须变(乘);乘法进行化简,因式分解在先,分子分母相约,然后再行运算;加减分母需同,分母化积关键;找出最简公分母,通分不是很难;变号必须两处,结果要求最简.分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变(乘);乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算;加减分母需同，分母化积关键;找出最简公分母，通分不是很难;变号必须两处，结果要求最简.中考数学二次根式的加减法知识点总结二次根式的加减法知识点1：同类二次根式(Ⅰ)几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如这样的二次根式都是同类二次根式。

(Ⅱ)判断同类二次根式的方法：(1)首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同。

(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。

知识点2：合并同类二次根式的方法合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律，合并同类二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变，不是同类二次根式的不能合并。

知识点3：二次根式的加减法则二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并，合并的方法为系数相加，根式不变。

知识点4：二次根式的混合运算方法和顺序运算方法是利用加、减、乘、除法则以及与多项式乘法类似法则进行混合运算。

运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。

知识点5：二次根式的加减法则与乘除法则的区别乘除法中，系数相乘，被开方数相乘，与两根式是否是同类根式无关，加减法中，系数相加，被开方数不变而且两根式须是同类最简根式。

河北省中考数学总复习资料代数部分第一章：实数基础知识点：一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不循环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0 2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。

（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。

三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

河北中考数学必考知识点归纳
河北中考数学作为中学阶段的重要考试之一，其必考知识点涵盖了初中数学的多个方面。

以下是对这些知识点的归纳：
一、数与代数
1. 有理数：包括正数、负数和零的概念，有理数的四则运算。

2. 整数：正整数、负整数和零的分类，整数的性质。

3. 分数：分数的加减乘除运算，分数的化简与通分。

4. 代数式：整式、分式、多项式的概念和运算。

5. 等式与不等式：解一元一次方程、一元一次不等式。

6. 函数：一次函数、二次函数的图像和性质。

二、几何
1. 平面图形：线段、角、三角形、四边形、圆等基本图形的性质和计算。

2. 空间图形：立体图形的认识，包括长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等。

3. 图形的变换：平移、旋转、反射等几何变换。

4. 相似与全等：相似三角形、全等三角形的判定和性质。

5. 圆的性质：圆周角、切线、弧长、扇形面积等。

三、统计与概率
1. 数据的收集与处理：数据的分类、整理，条形图、折线图、饼图的绘制。

2. 描述统计：平均数、中位数、众数、方差等统计量的计算。

3. 概率：事件的确定性与不确定性，概率的计算。

四、综合应用
1. 数学问题的实际应用：将数学知识应用于解决实际问题。

2. 数学思维：逻辑推理、抽象思维、空间想象等能力的培养。

结束语
河北中考数学的知识点广泛，要求学生不仅要掌握基础的数学运算，还要能够灵活运用数学知识解决实际问题。

通过系统的复习和练习，学生可以更好地准备中考，发挥出自己的最佳水平。

希望以上的归纳能够帮助学生们更有效地复习，取得理想的成绩。

河北版数学九年级知识点回顾在河北省九年级数学课程中，有许多重要的知识点需要掌握。

这些知识点涵盖了数学的各个方面，从代数到几何，从概率到统计，既有基础的概念和技巧，也有拓展的思维和应用。

本文将对进行回顾，帮助同学们温故知新，巩固掌握。

代数是数学中不可或缺的一部分，也是九年级数学的核心内容之一。

首先，我们来回顾一下代数表达式和方程式的相关知识。

代数表达式是用符号表示数的关系式，可以包含变量、常数和运算符号。

我们能够通过代数表达式来描述数学问题，并运用代数性质进行简化和计算。

方程式是一个等式，其中包含未知数，我们需要找到未知数的值。

通过解方程，我们可以解决问题，求得未知数的值。

在九年级数学中，我们不仅需要掌握一元一次方程、一元二次方程的解法，还需要运用方程式解决实际问题。

除了代数，几何也是九年级数学的重要内容。

几何的基础是平面几何和立体几何。

平面几何主要包括图形的性质和变换。

在图形的性质方面，我们需要熟悉各种各样的图形，如三角形、四边形、多边形等，了解它们的性质和特点，掌握它们的计算方法。

在变换方面，我们需要学习平移、旋转、翻转等几何变换，理解它们的定义和特点，能够进行简单的推理和应用。

立体几何则主要涉及空间图形的性质和计算。

我们需要了解球体、长方体、圆柱体等常见的立体图形，并学会计算它们的体积和表面积。

概率和统计也是九年级数学的一部分。

概率是用来描述事件发生的可能性的数学工具。

我们需要理解概率的基本概念，例如样本空间、随机事件、频率和概率的关系等。

通过概率的计算和推理，我们能够预测和解决随机事件中的问题。

统计则是用来收集、整理和分析数据的数学方法。

我们需要学会统计数据并绘制图表，了解数据的中心趋势和离散程度，并进行简单的数据推断。

除了以上内容，九年级数学还包括数学思想方法和数学创新能力的培养。

在数学思想方法方面，我们需要学会运用数学方法解决复杂问题，培养逻辑思维和分析能力。

在数学创新能力方面，我们需要训练自己的创造性思维，通过剖析问题、拓展思路、运用数学知识和方法，提出新颖的解决方案。

近三年数学中考知识点归纳数学中考是初中阶段学生的重要考试之一，它涵盖了初中三年所学的数学知识。

近三年的中考数学知识点归纳主要包括以下几个方面：1. 数与代数：- 有理数的运算：包括加、减、乘、除以及乘方和开方。

- 代数式：包括整式和分式，以及它们的运算法则。

- 一次方程和不等式：解一元一次方程和不等式，以及它们的应用。

- 二次方程：包括因式分解法、配方法、公式法等解法。

- 函数：一次函数、二次函数的图像和性质，以及函数的实际应用。

2. 几何：- 平面图形：包括线段、角、三角形、四边形、圆等的基本性质和计算。

- 立体图形：包括长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等的体积和表面积计算。

- 图形的变换：包括平移、旋转、反射等几何变换。

- 相似和全等：相似三角形和全等三角形的判定和性质。

3. 统计与概率：- 数据的收集与处理：包括数据的收集、分类、整理和描述。

- 统计图表：包括条形图、折线图、饼图等的绘制和解读。

- 概率：包括事件的确定性与不确定性，以及概率的计算。

4. 综合应用题：- 应用题：结合实际问题，运用数学知识解决实际问题。

- 问题解决：培养学生的数学思维和问题解决能力。

5. 数学思想与方法：- 归纳推理：通过观察、实验、联想等方法，从个别事实中推导出一般性结论。

- 类比推理：通过比较两个或两类对象的相似之处，推断它们在其他方面也可能相似。

- 演绎推理：从已知的前提出发，通过逻辑推理得出结论。

6. 数学文化：- 数学在日常生活中的应用，以及数学与其他学科的联系。

结束语：通过对近三年数学中考知识点的归纳，我们可以看出中考数学不仅考察学生的基础知识和运算能力，还注重培养学生的逻辑推理、问题解决和创新思维能力。

希望同学们能够系统地复习这些知识点，提高自己的数学素养，为中考做好充分的准备。

中考数学知识点总结中考数学知识点总结（精选4篇）中考数学知识点总结篇1一、重要概念1、数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：（1）相称（不重、不漏）（2）有标准2、非负数：正实数与零的统称。

（表为：X≥0）常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3、倒数：①定义及表示法②性质：A.a≠1/a（a≠±（1）;B.1/a中，a≠0;C.01;a1时，1/a1;D。

积为1、4、相反数：①定义及表示法②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0，商为-1、5、数轴：①定义（三要素）②作用：A、直观地比较实数的大小;B、明确体现绝对值意义;C、建立点与实数的一一对应关系。

6、奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n（n为自然数）7、绝对值：①定义（两种）：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0，符号││是非负数的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有││出现，其关键一步是去掉││符号。

中考数学知识点总结篇2知识点1、一元二次方程的基本概念1、一元二次方程3X2+5X-2=0的常数项是-2、2、一元二次方程3X2+4X-2=0的一次项系数为4.常数项是-2、3、一元二次方程3X2-5X-7=0的二次项系数为3.常数项是-7、4、把方程3X（X-（1）-2=-4X化为一般式为3X2-X-2=0。

知识点2、直角坐标系与点的位置1、直角坐标系中，点A（3.0）在y轴上。

2、直角坐标系中，X轴上的任意点的横坐标为0。

3、直角坐标系中，点A（1.（1）在第一象限。

4、直角坐标系中，点A（-2.（3）在第四象限。

5、直角坐标系中，点A（-2.（1）在第二象限。

知识点3、已知自变量的值求函数值1、当X=2时，函数y=的值为1、2、当X=3时，函数y=的值为1、3、当X=-1时，函数y=的值为1、知识点4、基本函数的概念及性质1、函数y=-8X是一次函数。

2023年河北中考数学分析1. 简介2023年河北中考数学分析是河北省举行的一场重要考试，是对初中学生数学水平的考察。

本文档将对2023年河北中考数学分析进行详细解析，包括试卷结构，题型分布以及备考建议等内容。

2. 试卷结构2023年河北中考数学分析试卷结构如下：题型数量分值选择题2550填空题1020解答题530总计401003. 题型分布3.1 选择题选择题是河北中考数学分析试卷的主要题型，共计25道，占总分的50%。

根据往年的考试情况，选择题的主要考察内容包括基本运算、代数式简化、几何图形、函数与方程等。

3.2 填空题填空题是河北中考数学分析试卷的次要题型，共计10道，占总分的20%。

填空题通常考察学生对数学概念的理解和运用能力，包括代数式求值、几何图形的计算等。

3.3 解答题解答题是河北中考数学分析试卷的较难题型，共计5道，占总分的30%。

解答题通常要求学生进行推理、证明、分析等操作，考察学生的数学思维能力和解决问题的能力。

4. 备考建议4.1 学习基础知识在备考过程中，学生需要首先巩固基础知识，包括数学的基本运算、代数式化简、几何图形的性质等。

通过反复练习基础题目，加深对基本知识的理解和掌握，为后续的题目做好准备。

4.2 强化解题能力解答题是考察学生数学思维能力的重要环节，学生在备考过程中应注重解题方法和思路的培养。

通过多做解答题的训练题目，熟悉不同类型的解题方法，提高解题能力。

4.3 做好模拟测试模拟测试是检验备考效果的有效方式，学生可以通过参加模拟考试，了解自己在各个考点的掌握程度，并及时发现和解决问题。

在模拟测试后，学生需要认真分析自己的失分点，对症下药，有针对性地进行复习。

4.4 注意时间管理河北中考数学分析的考试时间有限，学生在备考过程中应注重时间的合理安排。

要提前了解试卷中各个题型的分值和难度，根据自己的实际情况合理分配时间，确保每个题目都有足够的时间去解答。

5. 总结2023年河北中考数学分析是对学生数学水平的综合考察，备考过程中，学生需要注重基础知识的巩固、解题能力的强化以及模拟测试和时间管理的重视。

河北省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02解答题（提升题）知识点分类一．多项式乘多项式（共1小题）1．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．表2表3（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．二．一次函数综合题（共2小题）2．（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣8，19），B（6，5）．（1）求AB所在直线的解析式；（2）某同学设计了一个动画：在函数y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C（c，0）．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出．①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光．求此时整数m的个数．3．（2023•河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点（x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．（1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q （x，y）．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示x，y；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．三．二次函数图象与几何变换（共1小题）4．（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．四．二次函数综合题（共1小题）5．（2021•河北）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD （包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：（2）中不必写x的取值范围]五．四边形综合题（共2小题）6．（2023•河北）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB＝8，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，点M在AD边上，且DM＝2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA'，∠A′MA的平分线MP所在直线交折线AB﹣BC于点P，设点P 在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P．（1）若点P在AB上，求证：A'P＝AP；（2）如图2，连接BD．①求∠CBD的度数，并直接写出当n＝180时，x的值；②若点P到BD的距离为2，求tan∠A′MP的值；（3）当0＜x≤8时，请直接写出点A′到直线AB的距离（用含x的式子表示）．7．（2022•河北）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝2，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P 与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4．（1）求证：△PQM≌△CHD；（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；②如图2，点K在BH上，且BK＝9﹣4．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．六．正多边形和圆（共1小题）8．（2021•河北）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A n（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长PA7的值．七．圆的综合题（共1小题）9．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN 于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．八．几何变换综合题（共1小题）10．（2021•河北）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值．九．中位数（共1小题）11．（2023•河北）某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？河北省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．多项式乘多项式（共1小题）1．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．表2表3（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．【答案】（1）S1＝a2+3a+2，S2＝5a+1，当a＝2时，S1+S2＝23；（2）S1＞S2，理由见解析．【解答】解：（1）由图可知S1＝（a+2）（a+1）＝a2+3a+2，S2＝（5a+1）×1＝5a+1，当a＝2时，S1+S2＝4+6+2+10+1＝23；（2）S1＞S2，理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，又∵a＞1，∴（a﹣1）2＞0，∴S1＞S2．二．一次函数综合题（共2小题）2．（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣8，19），B（6，5）．（1）求AB所在直线的解析式；（2）某同学设计了一个动画：在函数y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C （c，0）．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出．①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光．求此时整数m的个数．【答案】（1）y＝﹣x+11；（2）①2m+n＝0；②5个．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（﹣8，19），B（6，5）代入，得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+11；（2）①由题意直线y＝mx+n经过点（2，0），∴2m+n＝0；②∵线段AB上的整数点有15个：（﹣8，19），（﹣7，18），（﹣6，17），（﹣5，16），（﹣4，15），（﹣3，14），（﹣2，13），（﹣1，12），（0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），（6，5）．当射线CD经过（2，0），（﹣7，18）时，y＝﹣2x+4，此时m＝﹣2，符合题意，当射线CD经过（2，0），（﹣1，12）时，y＝﹣4x+8，此时m＝﹣4，符合题意，当射线CD经过（2，0），（1，10）时，y＝﹣10x+20，此时m＝﹣10，符合题意，当射线CD经过（2，0），（3，8）时，y＝8x﹣16，此时m＝8，符合题意，当射线CD经过（2，0），（5，6）时，y＝2x﹣4，此时m＝2，符合题意，其他点，都不符合题意．解法二：设线段AB上的整数点为（t，﹣t+11），则tm+n＝﹣t+11，∵2m+n＝0，∴（t﹣2）m＝﹣t+11，∴m＝＝﹣1+，∵﹣8≤t≤6，且t为整数，m也是整数，∴t﹣2＝±1，±3，±9，∴t＝1，m＝﹣10，t＝3，m＝8，t＝5，m＝2，t＝﹣1，m＝﹣4，t＝﹣7，m＝﹣2，t＝11，m＝0（不符合题意舍去），综上所述，符合题意的m的值有5个3．（2023•河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点（x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．（1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q （x，y）．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示x，y；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；（3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．【答案】（1）直线l1的解析式为y＝﹣x+6；直线l2的解析式为y＝﹣x+15；（2）①x＝m+10，y＝20﹣m；②直线l3的解析式为y＝﹣x+30；图象见解析过程；（3）a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b或a＝b＝c或﹣2a+b+c＝33．【解答】解：（1）设l1的解析式为y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴l1的解析式为y＝﹣x+6，将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式为y＝﹣x+15；（2）∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，∴点P按照乙方式移动了（10﹣m）次，∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m），∴点（2m，m）按照乙方式移动（10﹣m）次后得到的点的横坐标为2m+10﹣m＝m+10，纵坐标为m+2（10﹣m）＝20﹣m，∴x＝m+10，y＝20﹣m；②∵x+y＝m+10+20﹣m＝30，∴直线l3的解析式为y＝﹣x+30；函数图象如图所示：（3）∵点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，∴点A（a，﹣a+6），点B（b，﹣b+15），点C（c，﹣c+30），当a≠b≠c，﹣a+6≠﹣b+15≠﹣c+30时，设直线AB的解析式为y＝mx+n，由题意可得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝（﹣1+）x+6﹣，∵点A，点B，点C三点始终在一条直线上，∴c（﹣1+）+6﹣＝﹣c+30，∴5a+3c＝8b，当a＝b＝c时，则点A，点B，点C共线，当﹣a+6＝﹣b+15＝﹣c+30时，﹣2a+b+c＝33，∴a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b或a＝b＝c或﹣2a+b+c＝33．三．二次函数图象与几何变换（共1小题）4．（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．【答案】（1）对称轴是直线x＝6，y的最大值为4，a＝7；（2）5．【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，∴抛物线的顶点为Q（6，4），∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4，当y＝3时，3＝﹣（x﹣6）2+4，∴x＝5或7，∵点P在对称轴的右侧，∴P（7，3），∴a＝7；（2）∵平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2，∴平移后的顶点Q′（3，0），∵平移前抛物线的顶点Q（6，4），∴点P′移动的最短路程＝QQ′＝＝5．四．二次函数综合题（共1小题）5．（2021•河北）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD （包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：（2）中不必写x的取值范围]【答案】（1）点A的横坐标为﹣2，点P会落在台阶T4上．（2）y＝﹣x2+14x﹣38，抛物线C的对称轴与台阶T5有交点．（3）点B横坐标的最大值比最小值大﹣2．【解答】解：（1）图形如图所示，由题意台阶T4左边的端点坐标（4.5，7），右边的端点（6，7），对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，令y＝0，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，∴A（﹣2，0），∴点A的横坐标为﹣2，当x＝4.5时，y＝9.75＞7，当x＝6时，y＝0＜7，当y＝7时，7＝﹣x2+4x+12，解得x＝﹣1或5，∴抛物线与台阶T4有交点，设交点为R（5，7），∴点P会落在台阶T4上．（2）由题意抛物线C：y＝﹣x2+bx+c，经过R（5，7），最高点的纵坐标为11，∴，解得或（舍弃），∴抛物线C的解析式为y＝﹣x2+14x﹣38，对称轴x＝7，∵台阶T5的左边的端点（6，6），右边的端点为（7.5，6），∴抛物线C的对称轴与台阶T5有交点．（3）对于抛物线C：y＝﹣x2+14x﹣38，令y＝0，得到x2﹣14x+38＝0，解得x＝7±，∴抛物线C交x轴的正半轴于（7+，0），当y＝2时，2＝﹣x2+14x﹣38，解得x＝4或10，∴抛物线经过（10，2），Rt△BDE中，∠DEB＝90°，DE＝1，BE＝2，∴当点D与（7+，0）重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为8+，当点B与（10，2）重合时，点B的横坐标最小，最小值为10，∴点B横坐标的最大值比最小值大﹣2．五．四边形综合题（共2小题）6．（2023•河北）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB＝8，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，点M在AD边上，且DM＝2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA'，∠A′MA的平分线MP所在直线交折线AB﹣BC于点P，设点P 在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P．（1）若点P在AB上，求证：A'P＝AP；（2）如图2，连接BD．①求∠CBD的度数，并直接写出当n＝180时，x的值；②若点P到BD的距离为2，求tan∠A′MP的值；（3）当0＜x≤8时，请直接写出点A′到直线AB的距离（用含x的式子表示）．【答案】（1）见解析；（2）①∠CBD＝90°，x＝13；②或；（3）．【解答】（1）证明：∵将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）得到MA′，∴A′M＝AM，∵∠A′MA的平分线MP所在的直线交折线AB﹣BC于点P，∴∠A′MP＝∠AMP，∵PM＝PM，∴△A′MP≌△AMP（SAS），∴A′P＝AP；（2）解：①∵AB＝8，DA＝6，∠A＝90°，∴BD＝＝10，又∵，CD＝12，∴BD2+BC2＝100+44＝144，CD2＝144，∴BD2+BC2＝CD2，∴∠CBD＝90°；如图2所示，当n＝180时，∵PM平分∠A′MA．∠PMA＝90°，∴PM∥AB，∴△DNM∽△DBA，∴，∵DM＝2，DA＝6，∴，∴，∴，∵∠PBN＝∠MD＝90°，∠PNB＝∠DNM，∴△PBN∽△DMN，∴，即，∴PB＝5，∴x＝AB+PB＝8+5＝13．②如图所示，当P点在AB上时，PQ＝2，∠A′MP＝∠AMP，∴AB＝8，DA＝6，∠A＝90°，∴，∴，∴BP＝＝＝，∴，∴，如图所示，当P在BC上时，则PB＝2，过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H，∵∠PQB＝∠CBD＝∠DAB＝90°，∴∠QPB＝90°﹣∠PBQ＝∠DBA，∴△PQB∽△BAD，∴，即，∴，，∴，∵PQ⊥AB，DA⊥AB，∴PQ∥AD，∴△HPQ∽△HMA，∴，解得：，∴tan∠AMP＝tan∠AMP＝tan∠QPH＝＝＝，综上所述，tan∠A′MP的值为或；（3）解：∵当0＜x≤8时，∴P在AB上，如图所示，过点A′作A′E⊥AB于点E，过点M作MF⊥A′E于点F，则四边形AMFE 是矩形，∴AE＝FM，EF＝AM＝4，∵△A′MP≌△AMP，∴∠PA′M＝∠A＝90°，∴∠PA′E+∠FA′M＝90°，又∠A'MF+∠FA′M＝90°，∴∠PA′E＝∠A′MF，又∵∠A'E＝∠MFA＝90°，∴△A′PE∽△MA'F，∴＝＝，∵A′P＝AP＝x，MA′＝MA＝4，设FM＝AE＝y，A′E＝h，即∴，4（x﹣y）＝x（h﹣4），∴，整理得，即点A′到直线AB的距离为．7．（2022•河北）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝2，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P 与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4．（1）求证：△PQM≌△CHD；（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；②如图2，点K在BH上，且BK＝9﹣4．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．【答案】（1）证明见解析部分；（2）①9+5π；②（4﹣3）s；③．【解答】（1）证明：∵四边形ABHD是矩形，∴AB＝DH＝2，∠DHB＝∠DHC＝90°，在Rt△AQM中，∠Q＝90°，∠QAM＝30°，AM＝4，∴QM＝AM＝2，∴QM＝DH，∵∠Q＝∠DHC＝90°，∠QAM＝∠C＝30°，在△PQM和△CHD中，，∴△PQM≌△CHD（AAS）；（2）解：①如图1中，PQ扫过的面积＝平行四边形AQQ′D的面积+扇形DQ′Q″的面积．设QQ′交AM于点T．∵AQ＝QM＝6，QT⊥AM，∴AT＝AQ•cos30°＝3，∴PQ扫过的面积＝3×3+＝9+5π；②如图2﹣1中，连接DK．当DM运动到与DH重合时，∵BH＝AD＝3，BK＝9﹣4，∴KH＝3﹣（9﹣4）＝4﹣6，∴CK＝4﹣6+6＝4，∵CD＝2DH＝4，∴CD＝CK，∴∠CKD＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠KDH＝15°，∵∠QDK＝30°﹣15°＝15°，∴点K在△PQM区域（含边界）内的时长+＝（4﹣3）s；③如图3中，在Rt△CDH中，DH＝2，∠C＝30°，∴CH＝DH＝6，∵BH＝3，BE＝d，∴EH＝|3﹣d|，∵DH＝2，∠DHE＝90°，∴DE2＝EH2+DH2＝（3﹣d）2+（2）2，∵∠DEF＝∠CED，∠EDF＝∠C＝30°，∴△DEF∽△CED，∴DE2＝EF•EC，∴（3﹣d）2+12＝EF•（9﹣d），∴EF＝，∴CF＝BC﹣BE﹣EF＝9﹣d﹣＝．六．正多边形和圆（共1小题）8．（2021•河北）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A n（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长PA7的值．【答案】（1）比直径长．（2）PA1⊥A7A11．证明见解析部分．（3）12．【解答】解：（1）由题意，∠A7OA11＝120°，∴的长＝＝4π＞12，∴比直径长．（2）结论：PA1⊥A7A11．理由：连接A1A7，A7A11，OA11．∵A1A7是⊙O的直径，∴∠A7A11A1＝90°，∴PA1⊥A7A11．（3）∵PA7是⊙O的切线，∴PA7⊥A1A7，∴∠PA7A1＝90°，∵∠PA1A7＝60°，A1A7＝12，∴PA7＝A1A7•tan60°＝12．七．圆的综合题（共1小题）9．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN 于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．【答案】（1）7cm；（2）；（3），．EF＞．【解答】解：（1）连接OM，∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN＝48cm，∴MC＝MN＝24cm，∵AB＝50cm，∴OM＝AB＝25cm，在Rt△OMC中，OC＝＝＝7（cm）；（2）∵GH与半圆的切点为E，∴OE⊥GH，∵MN∥GH，∴OE⊥MN于点D，∵∠ANM＝30°，ON＝25cm，∴，∴操作后水面高度下降高度为：；（3）∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°，∴∠DOB＝60°，∵半圆的中点为Q，∴，∴∠QOB＝90°，∴∠QOE＝30°，∴EF＝tan∠QOE•OE＝（cm），的长为（cm），∵＝＞0，∴EF＞．八．几何变换综合题（共1小题）10．（2021•河北）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值．【答案】论证：见解答过程；发现：60°或120°；尝试：；拓展：①＝；②．【解答】论证：证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（ASA），∴AO＝BO，∵AO+BO＝AB＝20，∴AO＝10；发现：①设AB的中点为O，如图：当AD从初始位置AO绕A逆时针旋转60°时，BC也从初始位置BC'绕点B逆时针旋转60°，而BO＝BC'＝10，∴△BC'O是等边三角形，∴BC旋转到BO的位置，即C与O重合，∵AO＝AD＝CD＝10，∴△ADC是等边三角形，∴此时∠ADC＝60°；②如图：当AD从AO绕A逆时针旋转60°时，CD从CD'的位置开始也旋转60°，故△ADO和△CDO都是等边三角形，∴此时∠ADC＝120°，综上所述，∠ADC为60°或120°；尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，如图：由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，设AQ＝x，则BQ＝20﹣x，∵AD2﹣AQ2＝DQ2＝BD2﹣BQ2，∴100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，解得x＝，∴AQ＝，∴DQ＝＝，∵DQ⊥AB，MN⊥AB，∴MN∥DQ，∴＝，即＝，∴MN＝，∴点M到AB的距离为；拓展：①设直线CP交DB于H，过D作DG⊥AB于G，连接DP，连接BD，如图：∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BH＝BD＝d，设BG＝m，则AG＝20﹣m，∵AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，∴100﹣（20﹣m）2＝d2﹣m2，∴m＝，∴BG＝，∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，∴△BHP∽△BGD，∴＝，∴BP＝＝；②方法一：过B作BG⊥CD于G，如图：设AN＝t，则BN＝20﹣t，DN＝＝，∵∠D＝∠BGN＝90°，∠AND＝∠BNG，∴△ADN∽△BGN，∴＝＝，即＝＝，∴NG＝，BG＝，Rt△BCG中，BC＝10，∴CG＝＝，∵CD＝10，∴DN+NG+CG＝10，即++＝10，∴t+（20﹣t）+20＝10t，20+20＝10t，即2＝t﹣2，两边平方，整理得：3t2﹣40t＝﹣4t，∵t≠0，∴3t﹣40＝﹣4，解得t＝（大于20，舍去）或t＝，∴AN＝，∴cosα＝＝＝．方法二：过C作CK⊥AB于K，过F作FH⊥AC于H，如图：∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，∴AC2＝200，∵AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，∴200﹣AK2＝100﹣（20﹣AK）2，解得AK＝，∴CK＝＝，Rt△ACK中，tan∠KAC＝＝，Rt△AFH中，tan∠KAC＝＝，设FH＝n，则CH＝FH＝n，AH＝5n，∵AC＝AH+CH＝10，∴5n+n＝10，解得n＝，∴AF＝＝n＝•＝，Rt△ADF中，cosα＝＝＝．九．中位数（共1小题）11．（2023•河北）某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？【答案】（1）该部门不需要整改．（2）监督人员抽取的问卷所评分数为5分，与（1）相比，中位数是发生了变化，由3.5分变成4分．【解答】解：（1）由条形图可知，第10个数据是3分，第11个数据是4分，∴中位数为3.5分，由统计图可得平均数为＝3.5分，∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，∴该部门不需要整改．（2）监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有，解得x＞4.55，∵满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分，∵4＜5，∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列后，第11个数据不变还是4分，即加入这个数据后，中位数是4分，∴与（1）相比，中位数是发生了变化，由3.5分变成4分．。

中考数学总复习资料代数部分第一章：实数基础知识点：一、实数的，分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的，形式，其中p 、q 是互质的，整数，这是有理数的，重要特征。

2、无理数：初中遇到的，无理数有三种：开不尽的，方根，如2、34；特定结构的，不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的，数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的，数性不能仅凭表面上的，感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的，几个概念1、相反数：只有符号不同的，两个数叫做互为相反数。

（1）实数a 的，相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=02、倒数：（1）实数a （a ≠0）的，倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的，绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a（2）实数的，绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的，绝对值，就是数轴上表示这个数的，点到原点的，距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的，实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的，平方根，a 叫a 的，算术平方根。

（2）正数的，平方根有两个，它们互为相反数；0的，平方根是0；负数没有平方根。

（3）立方根：3a 叫实数a 的，立方根。

（4）一个正数有一个正的，立方根；0的，立方根是0；一个负数有一个负的，立方根。

三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的，直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的，三要素。