中考数学总复习 基础讲练 第10讲 一次函数(含答案点拨) 新人教版

一次函数◆ 课前热身1.一次函数2y x =+的图象不．经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知一次函数21y x =+，则y 随x 的增大而_______________（填“增大”或“减小”）． 3．一次函数的图象过点（0，2），且函数y 的值随自变量x 的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式：_ ．4．已知一次函数y kx b =+的图象如图，当0x <时，y 的取值范围是 ．【参考答案】1. D2.增大3.y ＝kx ＋2（k ＞0即可）4.2y <-◆考点聚焦 知识点正比例函数及其图象、一次函数及其图象 大纲要求1．理解正比例函数、一次函数的概念； 2．理解正比例函数、一次函数的性质；3．掌握正比例函数和一次函数图象的画法；用待定系数法求正比例、一次函数的解析式； 考查重点与常见题型1． 考查正比例函数、一次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中2． 综合考查正比例、一次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题3． 考查用待定系数法求正比例、一次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题1.正比例函数与一次函数的关系正比例函数是当y=kx+b中b=0时特殊的一次函数.2.待定系数法确定正比例函数、一次函数的解析式通常已知一点便可用待定系数法确定出正比例函数的解析式, 已知两点便可确定一次函数解析式.3.一次函数的图象正比例函数y=kx(k≠0)是过(0,0),(1,k)两点的一条直线;一次函数y=kx+b(k≠0)是过(0,b),(bk-,0)两点的一条直线.4.直线y=kx+b(k≠0)的位置与k、b符号的关系当k>0是直线y=kx+b过第一、三象限,当k<0时直线过第二、四象限;b 决定直线与y轴交点的位置,b>0直线交y轴于正半轴,b<0直线交y轴于负半轴.5.直线L1与L2的位置关系由k、b来确定当直线L1∥L2时k相同b不同;当直线L1与L2重合时k、b都相同;当直线L1与L2相交于y 轴同一点时,k不同b相同.◆考点链接1．正比例函数的一般形式是__________．一次函数的一般形式是__________________. 2. 一次函数y kx b=+的图象是经过和两点的 .3. 求一次函数的解析式的方法是，其基本步骤是：⑴；⑵；⑶；⑷ .4.一次函数y kx b=+的图象与性质k＞0b＞0 k＞0 b＜0 k＜0 b＞0例1（重庆江津区）已知一次函数32-=x y 的大致图像为 （ ）A B C D【分析】根据函数y kx b =+的图象特点，k ＞0 b ＜0,函数过一、三、四象限，故选C. 【答案】C例2（广西桂林）如图，是一个正比例函数的图像，把该图像向左平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为 ．【答案】22y x =--或2(1)y x =-+【解析】本例可以采用两种方法去解决。

一次函数经典讲练新课指南1．知识与技能：（1）理解一次函数和正比例函数的概念，能根据所给条件写出简单的一次函数表达式；（2）会画一次函数的图象；（3）知道两个条件可确定一个一次函数，能由两个条件求出一些简单的一次函数的表达式．2．过程与方法：经历探索一次函数图象的作图过程和一次函数图象的性质，初步了解作函数图象的一般步骤及由函数图象探究函数性质的能力．3．情感态度与价值观：通过一次函数的概念、图象、性质的探究，充分发展学生的数学应用能力，在解决实际问题的过程中，广泛使用了分类讨论、数形结合的数学思想方法，同时，使学生深刻体会数学知识来源于实际生产、生活的需求，反之，又服务于生产、生活实际．4．重点与难点：重点是理解一次函数和正比例函数的概念，初步了解作函数图象的一般步骤，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象及性质，能由两个已知条件求出一次函数的表达式．难点是根据题设的条件寻找一次函数关系式，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象和性质，求出一次函数的表达式．教材解读数学与生活一根弹簧，长度为12cm，当弹簧下面每挂1kg质量的物体时，弹簧就伸长0．5cm，那么弹簧总长度y（原长度+伸长长度）（单位：cm）与弹簧所挂物体的质量x（单位：kg）的关系是，当x=2时，y= ．思考讨论弹簧的总长度y=弹簧原长度+弹簧伸长长度，已知弹簧的原长度是12cm，每挂1kg质量的物体弹簧伸长0．5cm，那么挂xkg的物体时，弹簧伸长长度为0．5xcm，所以y=12+0．5x ，当x=2时，y=12+0．5×2=13（cm ）．那么，函数关系式y=12+0.5x 是什么函数呢？它的图象情况如何？其性质如何？知识详解知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数. 【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k ≠0时，y=b 仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.探究交流有人说：“正比例函数是一次函数，一次函数也是正比例函数，它们没什么区别．” 点拨 这种说法不完全正确．正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当b=0时，一次函数才能成为正比例函数．知识点2 确定一次函数的关系式根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x 的代数式表示y ．知识点3 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点4 一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可. 知识点5 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点6 正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点7 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x 0，y 0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x 0，y 0为坐标的点P （1，2）必在函数的图象上．例如：点P （1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P （1，2）在直线y=x+l 的图象上；点P ′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P ′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．知识点8 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx （k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）就可求得k 的值．（2）由于一次函数y=kx+b （k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值．知识点9 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．知识点10 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k ≠0），由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k∴此函数的关系式为y=3534-x ． 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k ≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结（1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响．①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．②当k ，b 异号时，即-k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-kb =0时，直线经过原点；当k ，b 同号时，即-kb ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当b ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限；当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限；当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系．直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ；当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ．（3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系．①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.典例剖析基本概念题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x ； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. [分析] 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解．解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l ）（6）是正比例函数．例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数？[分析] 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b 外，还要注意条件k ≠0．解：∵函数y=（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数，∴⎩⎨⎧≠--=-,0)2(,132m m ∴m=-2.∴当m=-2时，函数y=（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数．小结 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．[分析] （1）弹簧每挂1kg 的物体后，伸长0．5cm ，则挂xkg 的物体后，弹簧的长度y 为（l5+0．5x ）cm ，即y=15+0．5x ．（2）自变量x 的取值范围就是使函数关系式有意义的x 的值，即0≤x ≤18．(3)由y=15+0．5x可知，y是x的一次函数．解：（l）y=15+0．5x．（2）自变量x的取值范围是0≤x≤18．（3）y是x的一次函数．学生做一做:乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米／时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是 .老师评一评: 研究本题可采用线段图示法，如图11－19所示．火车从乌鲁木齐出发，t小时所走路程为58t千米，此时，距离库尔勒的距离为s千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t．例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M（℃）是时间t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为℃．［分析］本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t的具体值．从题中可以知道，t=0表示中午12时，t=1表示下午1时，则上午10时应表示成t=-2，当t=-2时，M=（-2）3-5×（-2）+100=102（℃）．答案：102例5 已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值．[分析] 由y-3与x 成正比例，则可设y-3=kx ，由x=2，y=7，可求出k ，则可以写出关系式．解：（1）由于y-3与x 成正比例，所以设y-3=kx ．把x=2，y=7代入y-3=kx 中，得7-3＝2k ，∴k ＝2．∴y 与x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即y=2x+3．（2）当x=4时，y=2×4+3=11．（3）当y ＝4时，4=2x+3，∴x=21. 学生做一做: 已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 .老师评一评: 由y 与x+1成正比例，可设y 与x 的函数关系式为x=k （x+1）. 再把x=5，y=12代入，求出k 的值，即可得出y 关于x 的函数关系式．设y 关于x 的函数关系式为y=k （x+1）.∵当x=5时，y=12，∴12=（5+1）k ，∴k=2．∴y 关于x 的函数关系式为y=2x+2．【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.例6 求直线y=-2x-3与x 轴和y 轴的交点，并画出这条直线．[分析] 要注意x 轴和y 轴上点的特征，x 轴上所有点的纵坐标为0，y 轴上所有点的横坐标为0，两个交点的坐标求出后，利用这两点就可以画直线了．解：令x=0，则y=-3；令y=0，则x=-23． ∴该直线与x 轴的交点为（-23，0），与y 轴的交点为（0，-3）图象如图11－20所示．学生做一做 函数y=-32x+1的图象不经过（ ） A ．第四象限; B ．第三象限; C ．第二象限; D ．第一象限 老师评一评 因为k=-32＜O ，且b=1＞O ，所以函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选B 项．例7 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21D ．m ＞M[分析] 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，说明y 随x 的增大而减小，所以1-2m ﹤O,∴m ＞21，故正确答案为D 项． 学生做一做 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．（1）写出年产值y （万元）与年数x （年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求5年后的产值．老师评一评 （1）年产值y （万元）与年数x （年）之间的函数关系式为y=15+2x ．（2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x ≥0，因此，函数y=15+2x 的图象应为一条射线．画函数y=12+5x 的图象如图11－21所示．（3）当x=5时，y ＝15+2×5=25（万元）∴5年后的产值是25万元．例8 已知一次函数y=kx+b 的图象如图11－22所示，求函数表达式．［分析］ 从图象上可以看出，它与x 轴交于点（-1，0），与y 轴交于点（0，-3），代入关系式中，求出k 为即可．解：由图象可知，图象经过点（-1，0）和（0，-3）两点，代入到y=kx+b 中，得⎩⎨⎧+=-+-=,03,0b b k ∴⎩⎨⎧-=-=.3,3b k ∴此函数的表达式为y=-3x-3.例9 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．［分析］ 图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b ，再将点（2，-1）代入，求出b 即可．解：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b ，∴图象经过点（2，-1），∴-l=2×2+b ．∴b=-5，∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.例10 已知弹簧的长度y （cm ）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x （kg ）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm ，挂4kg 的重物时，弹簧的长度是7．2cm ，求这个一次函数的表达式．［分析］ 题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b ，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7．2．求出k ，b 即可．解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b ．由题意可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7．2.把它们代入y=kx+b 中得⎩⎨⎧+=+=,42.7,06b x b ∴⎩⎨⎧==.6,3.0b k ∴这个一次函数的表达式为y=0．3x+6．学生做一做 已知直线y=2x+1．（1）求已知直线与y 轴交点M 的坐标；（2）若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k ，b 的值．老师评一评 （1）令x=0，则y=2×0+1=1，∴M （0，1）．∴直线y=2x+1与y 轴交点M 的坐标为(0，1)（2）∵直线y=kx+b 与y=2x+l 关于y 轴对称，∴两直线上的点关于y 轴对称．又∵直线y ＝2x+1与x 轴、y 轴的交点分别为A （-21，0），B （0，1）, ∴A （-21，0），B （0，1）关于y 轴的对称点为A ′（-21，0），B ′（0，1）． ∴直线y=kx+b 必经过点A ′（-21，0），B ′（0，1）． 把 A ′（-21，0），B ′（0，1）代入y=kx+b 中得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,01,210b b k ∴⎩⎨⎧=-=.1,2b k ∴k ＝-2，b ＝1．小结 当两条直线关于x 轴（或y 轴）对称时，则它们图象上的点也必关于x 轴（或y 轴）对称．例如：对于两个一次函数，若它们关于x 轴对称，求出已知一个一次函数和x 轴、y 轴的交点，再分别求出这两个点关于x 轴的对称点，利用求出的两个对称点，就可以求出另一个函数的解析式．综合应用题本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．例11 已知y+a 与x+b （a ，b 为是常数）成正比例．（1）y 是x 的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y 是x 的正比例函数？［分析］ 判断某函数是一次函数，只要符合y=kx+b （k ，b 中为常数，且k ≠0）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合y=kx(k 为常数，且k ≠0)即可．解：（1）y 是x 的一次函数．∵y+a 与x+b 是正比例函数，∴设y+a=k(x+b)（k 为常数，且k ≠0）整理得y=kx+（kb-a ）．∵k ≠0，k ，a ，b 为常数，∴y=kx+(kb-a)是一次函数．（2）当kb-a=0，即a=kb 时，y 是x 的正比例函数．例12 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x 分，两种通讯方式的费用分别为y 1元和y 2元．（1）写出y 1，y 2与x 之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？［分析］ 这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论．解：（1）y 1=50+0．4x （其中x≥0，且x 是整数）y 2=0．6x （其中x≥0，且x 是整数）(2)∵两种通讯费用相同，∴y 1=y 2，即50+0．4x=0．6x ．∴x ＝250．∴一个月内通话250分时，两种通讯方式的费用相同．（3）当y 1=200时，有200=50+0．4x ，∴x=375（分）．∴“全球通”可通话375分．当y 2=200时，有200=0．6x ，∴x=33331（分）． ∴“神州行”可通话33331分． ∵375＞33331， ∴选择“全球通”较合算．例13已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．［分析］由已知y+2与x成正比例，可设y+2=kx，把x=-2，y=0代入，可求出k，这样即可得到y与x之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m，6）在该函数的图象上，把x=m，y=6代入即可求出m的值．解：（1）∵y+2与x成正比例，∴设y+2=kx（k是常数，且k≠0）∵当x=-2时，y=0．∴0+2＝k·（-2），∴k＝-1．∴函数关系式为x+2=-x，即y=-x-2．（2）列表；描点、连线，图象如图11－23所示．（3）由函数图象可知，当x ≤-2时，y ≥0．∴当x ≤-2时，y ≥0．(4)∵点（m ，6）在该函数的图象上，∴6=-m-2,∴m ＝-8．（5）函数y=-x-2分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，∴A （-2，0），B （0，-2）．∵S △ABP =21·|AP|·|OA|=4， ∴|BP|=428||8==OA . ∴点P 与点B 的距离为4．又∵B 点坐标为(0，-2),且P 在y 轴负半轴上，∴P 点坐标为(0，-6).例14 已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18.（1）k 为何值时，它的图象经过原点？（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k 为何值时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？（4）k 为何值时，它的图象平行于直线y=-x ？（5）k 为何值时，y 随x 的增大而减小？[分析] 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y 轴的交点在y 轴上方，说明常数项b ＞O ；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y 随x 的增大而减小，说明一次项系数小于0．解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数．∴⎩⎨⎧≠-=+-,03,01822k k ∴k ＝-2．∴当k=-3时，它的图象经过原点．（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.∴-2=-2k 2+18，且3-k ≠0， ∴k=±10∴当k =±10时，它的图象经过点(0，-2)（3）∵图象与y 轴的交点在x 轴上方，即b ＞0．∴-2k 2+18＞0，∴-3＜k ＜3，∴当-3﹤k ﹤3时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．（4）函数图象平行于直线y=-x ，∴3-k=-1，∴k ＝4．∴当k ＝4时，它的图象平行于直线x=-x ．（5）∵随x 的增大而减小，∴3-k ﹤O ．∴k ＞3．∴当k ＞3时，y 随x 的增大而减小．例15 判断三点A （3，1），B （0，-2），C （4，2）是否在同一条直线上．[分析] 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．解：设过A ，B 两点的直线的表达式为y=kx+b ．由题意可知，⎩⎨⎧+=-+=,02,31b b k ∴⎩⎨⎧-==.2,1b k ∴过A ，B 两点的直线的表达式为y=x-2．∴当x=4时，y=4-2=2．∴点C （4，2）在直线y=x-2上．∴三点A （3，1）， B （0，-2），C （4，2）在同一条直线上．学生做一做 判断三点A （3，5），B （0，-1），C （1，3）是否在同一条直线上. 老师评一评 由于两点确定一条直线，因此选取其中的两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入函数表达式中，若成立，说明在此直线上，即这三个点在同一条直线上，反之，这三个点不在同一条直线上．设过点A （3，5），B （0，-1）的直线表达式为y=kx ＋b ．由题意可知，⎩⎨⎧+=-+=,01,35b b k ∴⎩⎨⎧-==,1,2b k ∴过A ，B 两点的直线表达式为y=2x-1．∴当x=l 时，y =1×2-l=1≠3．∴点C （1，3）不在直线y=2x-l 上，即三点A（3，5），B（0，-1），C（1，3）不在同一条直线上．探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用．例16 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30？这说明了什么？（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？甲生说：“y=6x的函数值先达到30，说明y=6x比y=2x+8的值增长得快．”乙生说：“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的．”你认为这两个同学的说法正确吗？［分析］（1）可先画出这两个函数的图象，从图象中发现，当x＞2时，6x＞2x+8，所以，y=6x的函数值先达到30．（2）直线y=-x与y=-x+6中的一次项系数相同，都是-1，故它们是平行的，所以这两位同学的说法都是正确的．解：这两位同学的说法都正确．例7 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．［分析］先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式，再通过比较，探究结论．解：（1）甲旅行社的收费y甲（元）与学生人数x之间的函数关系式为y 甲=240+21×240x=240+120x. 乙旅行社的收费y 乙（元）与学生人数x 之间的函数关系式为 y 乙=240×60％×（x+1）=144x+144．（2）①当y 甲=y 乙时，有240+120x=144x+144， ∴24x ＝96，∴x=4．∴当x=4时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以． ②当y 甲＞y 乙时，240+120x ＞144x+144， ∴24x ＜96，∴x ＜4．∴当x ﹤4时，去乙旅行社更优惠． ③当y 甲﹤y 乙时，有240+120x ﹤140x+144， ∴24x ＞96，∴x ＞4．∴当x ＞4时，去甲旅行社更优惠．小结 此题的创新之处在于先通过计算进行讨论，再作出决策，另外，这两个函数都是一次函数，利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法．学生做一做 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y （元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式，并写出自变量X 的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由．老师评一评 先求出两种购买方案的付款y （元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式，再通过比较，探索出结论．（1）甲方案的付款y 甲（元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式为 y 甲=9x （x ≥3000）；乙方案的付款y乙（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为y乙=8x+500O（x≥3000）．（2）有两种解法：解法1：①当y甲=y乙时，有9x=8x+5000，∴x=5000．∴当x=5000时，两种方案付款一样，按哪种方案都可以．②当y甲﹤y乙时，有9x﹤8x+5000，∴x＜5000．又∵x≥3000，∴当3000≤x≤5000时，甲方案付款少，故采用甲方案．③当y甲＞y乙时，有9x＞8x+5000，∴x＞5000．∴．当x＞500O时，乙方案付款少，故采用乙方案．解法2：图象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函数图象，如图11－24所示，由图象可得：当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，y甲﹤y乙,即选择甲方案付款少；当购买量为5000千克时，y甲﹥y乙即两种方案付款一样；当购买量大于5000千克时，y甲＞y乙，即选择乙方案付款最少．【说明】图象法是解决问题的重要方法，也是考查学生读图能力的有效途径.例18 一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y ≤-2，则这个函数的解析式为 .[分析] 本题分两种情况讨论：①当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，则有：当x=-3，y=-5；当x=6时，y=-2，把它们代入y=kx+b 中可得⎩⎨⎧+=-+-=-,62,35b k b k∴⎪⎩⎪⎨⎧-==,4,31b k ∴函数解析式为y=-31x-4． ②当k ﹤O 时则随x 的增大而减小，则有：当x=-3时，y=-2；当x=6时，y=-5，把它们代入y=kx ＋b 中可得⎩⎨⎧+=-+-=-,65,32b k b b ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,3,31b k ∴函数解析式为y=-31x-3. ∴函数解析式为y=31x-4，或y=-31x-3. 答案：y=31x-4或y=-31x-3.【注意】 本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.例19 如图11－25所示，正方形ABCD 的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系x O y 中，使AB 在x 轴的正半轴上，A 点坐标是（1，0）.（1）经过点C 的直线y ＝34x-38与x 轴的交点为E ，求四边形AECD 的面积； （2）若直线l 经过点E ，且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l 的表达式，并在坐标系中画出直线1．[分析] 四边形ABCD 是直角梯形，S 四边形ABCD ＝21（AE+CD ）·AD ．过E 点的直线将正方形的面积二等分，则直线l 必过正方形的中心，由旋转的性质可知，AE=CF ，由此确定F 点的坐标，进一步求出直线l 的解析式．解：（1）由题意可知，A （l ，0），B （5，0），C （5，4），D （l ，4）． 官线y=34x-38与x 轴的交点为E （2，0）. ∴AE ＝1，CD ＝4，AD ＝4． ∴S 四边形ABCD =21（AE+CD ）·AD=21·（1+4）·4=10. （2）设直线l 与DC 的交点为F ，由几何知识可知AE=FC ，∴F 点的坐标为（4，4）. 设直线l 的表达式为y=kx+b ，则有⎩⎨⎧+=+=,44,20b k b k ∴⎩⎨⎧-==.4,2b k ∴所求直线l 的解析式为y=2x-4．小结 用待定系数法求一次函数的表达式，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求出k ，b 为即可，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值．另外，（2）问中也可以利用正方形性质，求出正方形中心坐标为（3，2），运用中心坐标（3，2）和E （2，0）也可求出直线l 的表达式．已知直线x=kx+b 经过点（25，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为425，求此直线的解析式． 易错与疑难题。

A.y＝－ 1 x－5
2
C.y＝ 1 x－3
2
B.y＝
1 2
x＋3
D.y＝－2x－8
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9.(2020·内江)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，
已知直线y＝tx＋2t＋2(t＞0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且
只有4个整点，则t的取值范围是( D )
A. 1 ≤t＜2
2
C.1＜t≤2
B. 1 ＜t≤1
2
D. 1 ≤t≤2，且t≠1
2
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10.(绵阳中考)在平面直角坐标系中，一条直线经过A(－1，5)，P(－2，a)，
B(3，－3)三点. (1)求a的值；
(2)设这条直线与y轴相交于点D，则△OPD的面积为_____3_______.
解：(1)设直线的解析式为y＝kx＋b.
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2.(2019·荆门)若函数y＝kx＋b(k，b是常数)的图象不经过第二象限，则k，b
应满足的条件是( A ) A.k≥0，且b≤0
B.k＞0，且b≤0
C.k≥0，且b＜0
D.k＞0，且b＜0
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3.(2020·天门)对于一次函数y＝x＋2，下列说法不正确的是( D ) A.图象经过点(1，3) B.图象与x轴交于点(－2，0) C.图象不经过第四象限 D.当x＞2时，y＜4
对点训练 1.(2020·荆州)在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( C )
A
B
C
D
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2.(2020·泰州)点P(a，b)在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式6a－2b＋1的值
等于( C )Βιβλιοθήκη A.5B.3C.－3

第 10 讲 一次函数的图象与性质
目录
一、考情分析 二、知识建构
考点一 一次函数的相关概念 题型 01 根据一次函数的定义求参数值 题型 02 求一次函数的自变量或函数值
考点二 一次函数的图象与性质 题型 01 判断一次函数图象 题型 02 根据一次函数图象解析式判断 象限 题型 03 已知函数经过的象限求参数的 值或取值范围 题型 04 一次函数与坐标轴交点问题 题型 05 判断一次函数增减性 题型 06 根据一次函数增减性判断参数 取值范围 题型 07 根据一次函数增减性判断自变 量的变化情况 题型 08 一次函数的平移问题
考点要求
新课标要求
命题预测
一次函数的 结合具体情境体会一次函数的意义，能
相关概念
根据已知条件确定一次函数的表达式；
一次函数的图象与性质是中考数学中比
较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多
解正比例函数；
的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察
能画一次函数的图象，根据图象和表达 也主要集中在一次函数表达式与平移、图象
题型 09 求一次函数解析式 题型 10 一次函数的规律探究问题 题型 11 一次函数的新定义问题 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 题型 01 已知直线与坐标轴的交点求方 程的解 题型 02 由一元一次方程的解判断直线 与 x 轴交点 题型 03 利用图象法解一元一次方程 题型 04 两直线的交点与二元一次方程 组的解 题型 05 图象法解二元一次方程组 题型 06 求两直线与坐标轴围成的图形 面积 题型 07 由直线与坐标轴交点求不等式 的解集 题型 08 根据两条直线交点求不等式的 解集
解得：푘 = � − 4，
∵ 0 < 푘 < 2，
∴ 0 < � − 4 < 2，

第10讲一次函数图象与性质目录题型01根据一次函数的定义求参数值题型02求一次函数的自变量或函数值题型03判断一次函数图象题型04根据一次函数图象解析式判断象限题型05已知函数经过的象限求参数的值或取值范题型06一次函数与坐标轴交点问题题型07判断一次函数增减性题型08根据一次函数增减性判断参数取值范围题型09根据一次函数增减性判断自变量的变化情题型10一次函数的平移问题题型11求一次函数解析式题型12一次函数的规律探究问题题型13一次函数的新定义问题题型14已知直线与坐标轴的交点求方程的解题型15由一元一次方程的解判断直线与x轴交点题型16两直线的交点与二元一次方程组的解题型17求两直线与坐标轴围成的图形面积题型18由直线与坐标轴交点求不等式的解集题型19根据两条直线交点求不等式的解集题型01根据一次函数的定义求参数值题型02求一次函数的自变量或函数值题型03判断一次函数图象1．（2022·山西太原·统考二模）如图，将一个圆柱形平底玻璃杯置于水平桌面，杯中有一定量的水．向杯中投放大小质地完全相同的棋子，在水面的高度到达杯口边缘之前，每枚棋子都浸没水中．从投放第一枚棋子开始记数，杯中的水面高度与投入的棋子个数之间满足的函数关系是（）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．二次函数关系D ．反比例函数关系【答案】B【分析】根据函数的解析式判断即可；【详解】解：设水面原来高度为b，每枚棋子可以使水面上升高度为k，投放x枚棋子后水面高度为y，则y=kx+b，符合一次函数解析式，故选：B．【点睛】本题考查了函数关系的识别，掌握一次函数的解析式y=kx+b，k、b为常数，k≠0是解题关键．2．（2023·辽宁·模拟预测）一次函数�=푘�+2的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．푘<0B．y随x增大而增大C．图象经过原点D．图象经过第一、二、三象限【答案】A【分析】根据函数图象逐项判断即可．【详解】解：由函数图象得：y随x增大而减小，图象不经过原点，图象经过第一、二、四象限，∴푘<0，即B，C，D错误，A正确；故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，准确识别函数图象是解题的关键．3．（2023·湖南长沙·校联考二模）已知一次函数�=��−4的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据一次函数的增减性可得�<0，进一步可知�=��−4的图象经过的象限，即可判断．【详解】解：∵一次函数�=��−4的函数值y随x的增大而减小，∴�<0，∵�=−4<0，∴�=��−4经过第二、三、四象限，故选项B符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．题型04根据一次函数图象解析式判断象限1．（2022·陕西西安·校考模拟预测）若�<−2，则一次函数�=�+1�+1−�的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】根据一次函数的图象和系数的关系分析即可．【详解】解：若�<−2，则�+1<−1<0，1−�>3>0，∴一次函数的图象不经过第三象限，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，对于�=푘�+�来说，当푘>0时，�随着�的增大而增大；当푘<0时，�随着�的增大而减小；当�>0时，直线与�轴交于正半轴；当�<0时，直线与�轴交于负半轴，熟知上述性质是解题的关键．2．（2023·安徽六安·统考二模）关于�的一元二次方程��2−2�−1=0无实数根，则一次函数�=��+2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】根据一元二次方程��2−2�−1=0无实数根得�≠0且Δ=(−2)2−4�×(−1)<0，即可得�<−1，又∵�=2>0，可得一次函数�=��+2的图象经过一、二、四象限，即可得．【详解】解：∵一元二次方程��2−2�−1=0无实数根，∴�≠0且Δ=(−2)2−4�×(−1)<0，4+4�<0，4�<−4，�<−1，又∵�=2>0，∴一次函数�=��+2的图象经过一、二、四象限，∴一次函数�=��+2的图象不经过第三象限，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数的图像性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．3．（2023·安徽合肥·统考二模）一元二次方程�2−2�−3=0有两个实数根a，b，那么一次函数�=��−1�+�+�的图象一定不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】根据根与系数的关系即可求出��与�+�的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：由根与系数的关系可知：�+�=2，��=−3，∴一次函数解析式为：�=−4�+2，故一次函数的图象一定不经过第三象限．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．4．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知正比例函数�=푘�中，�随�的增大而增大，则一次函数�=−2푘�+푘的图象所经过的象限是（）A．一、二、四B．一、二、三C．一、三、四D．二、三、四【答案】A【分析】先根据正比例函数�=푘�的函数值�随�的增大而增大判断出푘的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．【详解】解：∵正比例函数�=푘�的函数值�随�的增大而增大，∴푘＞0，∴−2푘＜0∴一次函数�=−2푘�+푘的图象经过一、二、四象限．故选：A．【点睛】本题考查了正比例函数的性质和一次函数的图象与系数的关系，即一次函数�=푘�+�(푘≠0)中，当푘＜0，�＞0时函数的图象在一、二、四象限．题型05已知函数经过的象限求参数的值或取值范围1．（2023·陕西渭南·统考二模）一次函数�=(푘−2)�+푘（k 为常数，푘≠2）的图象不经过．．．第四象限，则k 的值可能为（）A ．−1B ．0C ．1D ．3【答案】D【分析】根据题意得出푘−2>0푘≥0，解不等式组即可求解．【详解】解：∵一次函数�=(푘−2)�+푘（k 为常数，푘≠2）的图象不经过第四象限，∴푘−2>0푘≥0解得：푘>2故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．2．（2023·湖南长沙·校考一模）一次函数�=푘−1�+푘不经过第二象限，则k 的值（）A ．+1B ．0C ．±1D ．不存在【答案】D【分析】根据题意可知经过第一、三象限或第一、三、四象限，据此根据一次函数的性质列出不等式组求解即可．【详解】解：∵一次函数�=푘−1�+푘不经过第二象限，∴经过第一、三象限或第一、三、四象限，∴푘−1>0푘≤0，此时不等式组无解故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数�=푘�+�，当푘>0，�>0时，一次函数�=푘�+�经过第一、二、三象限，当푘>0，�<0时，一次函数�=푘�+�经过第一、三、四象限，当푘<0，�>0时，一次函数�=푘�+�经过第一、二、四象限，当푘<0，�<0时，一次函数�=푘�+�经过第二、三、四象限是解题的关键．3．（2023·陕西榆林·校考二模）已知一次函数�=푘�+�的图象与y 轴交于负半轴，且不经过第一象限，则该函数图象与�=−푘�+�−1的图象的交点在（）题型06一次函数与坐标轴交点问题B．−2A．−35【答案】C【分析】连接��'，交퐶 于点�，连接푂 =4，∠�' �=∠�퐶�，与对称的性质得到∵直线�=푘�+4分别交坐标轴于点퐶∴ (0,4)，∵点�'坐标为(133,4)，∵�' ∥�퐶，∴�' =133，푂 =4，∠�' �=∠�퐶�由题意可知，� =�' ，�퐶=�∴��=��'，∵∠�'� =∠��퐶，∴△�'� ≌△��퐶(ASA)，∴�' =�퐶，∴四边形� �'퐶是菱形，∵� =�퐶=133，∴푂�=� 2−푂 2=53，∴푂퐶=푂�+�퐶=53+133=6，∴퐶(6,0)，∵直线�=푘�+4分别交坐标轴于点∴6푘+4=0，题型07判断一次函数增减性B、由解析式可知函数经过一、二、四象限，故选项正确，符合题意；C、若点(2，�1)、(4，�2)均在该函数图象上，由函数增减性可知，�1>�2，故选项错误，不符合题意；D、函数图象向上平移5个单位长度得到的应该是�=−�+10的图像，故选项错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象的平移，正确求出一次函数的解析式是解决这道题的关键，同时，要熟练掌握一次函数图象与坐标轴的交点坐标，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象的平移等知识点．题型08根据一次函数增减性判断参数取值范围1．（2023·浙江杭州·校考二模）若�(�1,�1),�(�2,�2)分别在一次函数�=푘�+�(푘>0)图像上两个不相同的点，记�=(�1−�2)(�1−�2)，则P为（）A．0B．正数C．负数1D．非负数【答案】B【分析】根据푘>0，y随着x增大而增大，可知�1−�2与�1−�2同号，进一步可知P的符号．【详解】解：∵一次函数一次函数�=푘�+�(푘>0)，∴y随着x增大而增大，∵若�(�1,�1),�(�2,�2)分别在一次函数�=푘�+�(푘>0)图象上两个不相同的点，∴�1−�2与�1−�2同号，∴�=(�1−�2)(�1−�2)>0，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数性质与系数的关系是解题的关键．2．（2023·安徽六安·统考一模）一次函数�=푘�−1的图象经过点M，且y的值随x增大而增大，则点M 的坐标可能是（）A．−2,5B．1,−5C．2,5D．1,−1【答案】C【分析】根据题意可得푘>0，且푘≠0，将各选项的点的坐标分别代入一次函数�=푘�−1中，求出k的值即可判断．【详解】解：∵在一次函数�=푘�−1中，y的值随x增大而增大，∴푘>0，且푘≠0，A．将−2,5代入�=푘�−1中，得5=−2푘−1，解得：푘=−3<0，故A选项不符合题意；B．将1,−5代入�=푘�−1中，得−5=푘−1，解得：푘=−4<0，故B选项不符合题意；C．将2,5代入�=푘�−1中，得5=2푘−1，解得：푘=3>0，故C选项符合题意；D．将1,−1代入�=푘�−1中，得−1=푘−1，解得：푘=0，故D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解题关键．3．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）一次函数�=푘�−2+3的图象上�随�的增大而减小，则下列点可能在函数图象上的是（）A．3，−1B．2，4C．4，5D．5，6【答案】A【分析】根据一次函数�=푘�−2+3的图象上�随�的增大而减小，可知푘<0，然后将各个选项中的点的代入解析式求出푘的值，即可判断哪个选项符合题意．【详解】解：∵一次函数�=푘�−2+3的图象上�随�的增大而减小，∴푘<0，当�=3，�=−1时，−1=푘3−2+3，解得：푘=−4，故A选项符合题意；当�=2，�=4时，4=푘2−2+3，不成立，故B选项不符合题意；当�=4，�=5时，5=푘4−2+3，解得：푘=1，故C选项不符合题意；当�=5，�=6时，6=푘5−2+3，解得푘=1，故D选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出푘的正负情况．4．（2023·江苏宿迁·统考三模）一次函数�=2�−1�+3的值随�的增大而增大，则点�−�,�所在象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型09根据一次函数增减性判断自变量的变化情况1．（2023·陕西咸阳·校考三模）已知�0,�,�1,�是直线�=3�+2上的点，则a，b的大小关系是（）A．�>�B．�<�C．�≥�D．�=�【答案】B【分析】根据一次函数的增减性即可解答．解得：�=−8，�=8（不合题意，舍去）．故答案为：−8．【点睛】此题考查了一次函数与�轴、�轴的交点问题，以及三角形面积问题，一元二次方程的解，掌握一次函数与�轴、�轴的交点的求法是解题的关键．题型10一次函数的平移问题【答案】23−13≤�≤11【分析】根据题意画出图形，求出点式，分别求出与�轴的交点坐标即可解决问题．【详解】解：过点�作� ⊥∵�(−6,23)，∴� =23,푂 =6根据勾股定理得，�푂=� 2+∴∠�푂 =30°,∵∠�푂�=90°,∠퐶�푂=60°③绕原点旋转90°得到一次函数�=�−2的图像；④先沿�轴对称，再沿�轴对称得到一次函数�=−�−2的图像．【答案】①②④【分析】根据一次函数的平移，判断①②，根据旋转的性质以及轴对称的性质，分别画出图形判断③④即可求解．【详解】解：一次函数�=−�+2①向下平移4个单位长度得到一次函数�=−�+2−4，即�=−�−2的图像，故①正确，符合题意；②向左平移4个单位长度得到一次函数�=−�+4+2，即�=−�−2的图像，故②正确，符合题意；③如图所示，绕原点旋转90°得到一次函数�=�−2或�=�+2的图像；故③不正确，不符合题意；④如图所示，先沿�轴对称得到�=�−2，再沿�轴对称得到一次函数�=−�−2的图像，故④正确，符合题意；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了一次函数的平移，轴对称与旋转的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．7．（2023·北京海淀·北京市师达中学校考模拟预测）在平面直角坐标系�푂�中，一次函数�=푘�+�（푘≠0）的图象由函数�=�的图象平移得到，且经过点1,2．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当�<1时，对于�的每一个值，函数�=��（�≠0）的值小于一次函数�=푘�+�的值，直接写出�的取值范围．【答案】(1)�=�+1(2)1≤�≤2【分析】（1）根据一次函数�=푘�+�(푘≠0)由�=�平移得到可得出k值，然后将点1,2代入�=�+�可得b值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当�=1时，两条直线都过点1,2，即可得出当�<1，�<2时，�=��(�≠0)都小于�=�+1，根据�<1，可得�可取值2，可得出m的取值范围．【详解】（1）解：∵一次函数�=푘�+�(푘≠0)由�=�平移得到，∴푘=1，将点1,2代入�=�+�可得�=1，∴一次函数的解析式为�=�+1；（2）解：当�<1时，对于�的每一个值，函数�=��（�≠0）的值小于�=�+1的值，即图象在�=�+ 1下方，�>0，由下图可知：临界值为当�=1时，两条直线都过点1,2，∴当�<1，�<2时，�=��(�≠0)都小于�=�+1，又∵�<1，∴�可取值2，即�=2，当0<�<1,�=��(�≠0)与�=�+1在y周的左侧相交，∴�的取值范围为1≤�≤2．【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．题型11求一次函数解析式∴�=−�+2，∴当�=1时，�=1；当�=−1时，�=3；当�=−2时，�=4；当�=3时，�=−1；∴与A 、B 在同一条直线上的是点−1,3；故选B ．【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征．解题的关键，是求出直线��的解析式．3．（2023·福建福州·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点�2,0，点�'−2,4．若点A 与点�'关于直线�成轴对称，则直线�的解析式是（）A ．�=2B ．�=�C ．�=�+2D ．�=−�+2【答案】C 【分析】根据题意求出直线��'的解析式，由题意得直线l 垂直平分��'，即可求解．【详解】如图，作直线��'，交y 轴于点C ，设直线��'的解析式为�=푘�+�，把点�2,0，点�'−2,4代入得：2푘+�=0−2푘+�=4，解得：푘=−1�=2，∴直线��'的解析式为�=−�+2，当�=0时，�=2，∴点퐶0，2，∴푂�=푂퐶，点C 为��'的中点，∴∠푂�퐶=∠푂퐶�=45°，A．3,5B．【答案】D【分析】先求出直线��的解析式为数法求出直线퐶 的解析式为题型12一次函数的规律探究问题1．（2019·山东日照·统考二模）如图，过点�1(1,0)作�轴的垂线，交直线�=2�于点�1；点�2与点푂关于直线�1�1对称；过点�2(2,0)作�轴的垂线，交直线�=2�于点�2；点�3与点푂关于直线�2�2对称；过点�3作�轴的垂线，交直线�=2�于点�3；按�3此规律作下去，则点��的坐标为()A ．(2n ，2n-1)B ．(2�−1，2�)C ．(2n+1，2n )D ．（2�，2�+1）【答案】B【分析】先根据题意求出点A 2的坐标，再根据点A 2的坐标求出B 2的坐标，以此类推总结规律便可求出点��的坐标．【详解】∵�1(1,0)∴푂�1=1∵过点�1(1,0)作�轴的垂线，交直线�=2�于点�1∴�11,2∵�2(2,0)∴푂�2=2∵过点�2(2,0)作�轴的垂线，交直线�=2�于点�2∴�12,4∵点�3与点푂关于直线�2�2对称∴�34,0,�34,8以此类推便可求得点A n的坐标为2�−1,0，点B n的坐标为2�−1,2�故答案为：B．【点睛】本题考查了坐标点的规律题，掌握坐标点的规律、轴对称的性质是解题的关键．2．（2020·云南·统考二模）在平面直角坐标系中，点�1(−1,1)在直线�=�+�上，过点�1作�1�1⊥�轴于点�1，作等腰直角三角形�1�1�2(�2与原点푂重合)，再以�1�2为腰作等腰直角三角形�2�1�2，以�2�2为腰作等腰直角三角形�2�2�3，…按照这样的规律进行下去，那么�2020的坐标为()A．(22019−1,22019)B．(22019−2,22019) C．(22020−1,22020)D．(22020−2,22020)【答案】B【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出A2（0，2），A3（2，4），A4（6，8），根据坐标的变化即可找出变化规律A n（2n-1-2，2n-1）．即可得出点A2020的坐标．【详解】解：∵点B1、B2、B3、…、B n在x轴上，且A1B1=B1B2，A2B2=B2B3，A3B3=B3B4，∵A1（-1，1），∴A2（0，2），A3（2，4），A4（6，8），，…，��【答案】��+12�+1【分析】分别过�1作�1�1⊥�轴交于点�1，过�2作�2�2过��作����⊥�轴交于点��，利用平行线分线段成比例找到�⊥�轴交于点������⊥�轴交于点���−1,2【答案】(32)4044【分析】先根据两条直线的解析式求出标，又因为����始终经过点퐶�且与积公式计算即可．【详解】解：∵直线�1：�=−12�+直线�：�=−3�+3与y轴交于点题型13一次函数的新定义问题1．（2023·河南新乡·校联考二模）在直角坐标系�푂�中，对于点��,�和��,�'给出如下定义：若�'=��≥0−��<0，则称点Q为点P的“纵变点”．例如：点1,2的“纵变点”为1,2，点−2,3的“纵变点”为−2,−3．若点A在直线�=�+1上，点A的“纵变点”��,�在第三象限，则m的取值范围为（）A．�>1B．�<0C．0<�<1D．−1<�<0【答案】D【分析】根据“纵变点”的定义可知��,−�且在第二象限，代入�=�+1上得−�=�+1，然后根据−�>0列出关于m的不等式求解即可．【详解】∵��,�在第三象限，∴�<0，�<0，∴��,−�且在第二象限，∵点A 在直线�=�+1上，∴−�=�+1，∵−�>0，∴�+1>0，解得，�>−1，∴−1<�<0．故选D ．【点睛】本题考查了新定义，平面直角坐标系点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式，求出��,−�且在第二象限是解答本题的关键．2．（2022·广西钦州·统考一模）定义一种运算：�⊗�=�−��≥2��+�−6(�<2�)则函数�=�+2⊗�−1的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据�⊗�=�−��≥2��+�−6(�<2�)，分两种情况：当x ≤4时和当x ＞4时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可得出结论．【详解】解：∵当x+2≥2（x-1）时，即x≤4，∴当x≤4时，（x+2）⊗（x-1）=（x+2）-（x-1）=x+2-x+1=3，即：y=3，当x+2<2（x-1）时，即x＞4时，（x+2）⊗（x-1）=（x+2）+（x-1）-6=x+2+x-1-6=2x-5，即：y=2x-5，∵k=2＞0，∴当x＞4时，y=2x-5，函数图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大，综上所述，只A选项符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键．3．（2021·河北·二模）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y）＝x，当x<y 时，max{x，y}＝y，例如max{﹣1﹣2}＝﹣1，max（3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】令3x=x+2，解得x=1，画出直线y=3x和直线y=x+2的图象即可判断．【详解】解：令3x=x+2，解得x=1，直线y=3x和直线y=x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1，3），由图象可知，x>1时，x+2>3x；当x>1时，3x>x+2，故关于x的函数y=max{3x，x+2}的图象是选项C中的图象．故选：C．【点睛】本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键．4．（2021下·河南省直辖县级单位·八年级统考期末）定义新运算：m☆n＝2m﹣mn，例如：2☆3＝2×2﹣2×3＝﹣2，则下列关于函数y＝3☆（1﹣x）的说法正确的是（）A．点（﹣2，3）在函数图象上B．图象经过一、三、四象限C．函数图象与x轴的交点为（1，0）D．点（﹣2，y1）、（1，y2）在函数图象上，则y1＜y2【答案】D【分析】先根据新运算“☆”的运算方法，得出y与x的函数关系式，再根据函数的性质逐一判断即可．【详解】解：∵m☆n=2m-mn，∴y=3☆（1-x）=2×3-3（1-x）=3x+3．A．∵当x=-2时，y=-6+3=-3，∴点（﹣2，3）不在函数图象上，故本选项不符合题意；B．∵k=3＞0，b=3＞0，∴图象经过一、二、三象限，故本选项不符合题意；C．∵当y=0时，x=-1，∴函数图象与x轴的交点为（-1，0），故本选项不符合题意；D．∵k=3＞0，y随x的增大而增大，-2＜1，∴y1＜y2，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及新定义运算，读懂题目信息，理解新运算的运算方法和一次函数的性质是解题的关键．题型14已知直线与坐标轴的交点求方程的解1．（2023·湖北鄂州·统考一模）如图，�0,1，�3,2，�5,5．点�从点�出发，沿�轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点�的直线�:�=−�+�也随之平行移动，设移动时间为 秒，当�，�位于直线�的异侧时， 应该满足的条件是（）A．3< <6B．4< <9C．3< <7D．5< <7【答案】B【分析】先找出两个临界位置：①直线�经过点�，②直线�经过点�，再分别求出此时t的值，由此即可得出答案．【详解】由题意，有以下两个临界位置：①直线�经过点�(3,2)，将�(3,2)代入直线�的解析式得：−3+�=2，解得�=5，则此时直线�的解析式为�=−�+5，当�=0时，�=5，即直线�与y轴的交点为(0,5)，因为点A的坐标为�0,1，A．13,−53B．2,−2【答案】A【分析】根据题意，先求得点�的坐标，过点△�� ≌△�'� ，进而即可求解．【详解】解：∵�−4,2、퐶−2,−设直线�퐶的解析式为�=푘�+�−4푘+�=2−2푘+�=−1∵将△��퐶绕点�按顺时针方向旋转∴��=��'，∠���'=90°又∵� ⊥�，�' ⊥�∴∠� �=∠� �'=90°，∴∠�� =90°−∠�� =∠�∴△�� ≌△�'� AAS，∴� =�' ,� =�A ．关于�的方程��=푘�+�的解是�=1B ．关于�的不等式��≥푘�+�的解集是�>1C ．当�<0时，函数�=푘�+�的值比函数�=��的值大D ．关于�,�的方程组�−��=0�−푘�=�的解是�=1�=2【答案】B【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．【详解】解：∵一次函数�=푘�+�（푘,�是常数，푘≠0）与正比例函数�=��（�是常数，�≠0）的图象相交于点�1,2，∴关于�的方程��=푘�+�的解是�=1，选项A 判断正确，不符合题意；关于�的不等式��≥푘�+�的解集是�≥1，选项B 判断错误，符合题意；当�<0时，函数�=푘�+�的值比函数�=��的值大，选项C 判断正确，不符合题意；关于�,�的方程组�−��=0�−푘�=�的解是�=1�=2，选项D 判断正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．4．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数�=��+�与�=��+�(�<�<0)的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数�=��+�的图象中，�的值随着�值的增大而增大；②方程组{�−��=��−��=�的解为{�=−3�=2；③方程��+�=0的解为�=2；④当�=0时，��+�=−1．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．【详解】解：由一次函数�=��+�的图象过一，二，四象限，�的值随着�值的增大而减小；故①不符合题意；由图象可得方程组�=��+��=��+�的解为�=−3�=2，即方程组�−��=��−��=�的解为�=−3�=2；故②符合题意；由一次函数�=��+�的图象过2,0,则方程��+�=0的解为�=2；故③符合题意；由一次函数�=��+�的图象过0,−2,则当�=0时，��+�=−2．故④不符合题意；综上：符合题意的有②③，故选B【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．题型15由一元一次方程的解判断直线与x轴交点�题型16两直线的交点与二元一次方程组的解1．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知关于�，�的方程组�+�−�=02�+�−3=0的解是�=−1�=�，则直线�=−�+�与直线�=−2�+3的交点坐标是（）A．−1,−5B．−1,5C．0,3D．5,−1【答案】B【分析】将�=−1代入方程2�+�−3=0得到�=5，再根据一次函数与方程的关系即可解答．【详解】解：∵关于�，�的方程组�+�−�=02�+�−3=0的解是�=−1�=�，∴2×−1+�−3=0，∴�=5，∵方程组�+�−�=02�+�−3=0是由�=−�+�和�=−2�+3组成，∴关于�，�的方程组�+�−�=02�+�−3=0的解是�=−1�=5，∴直线�=−�+�与直线�=−2�+3的交点坐标−1，5，故选B ．【点睛】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，熟记两条直线的交点即为二元一次方程组的解是解题的关键．2．（2023·宁夏银川·校考二模）如果直线�=3�+6与�=2�−4交点坐标是�,�，则�=��=�是下面哪个方程组的解（）A ．�−3�=62�+�=−4B ．�−3�=62�−�=−4C ．3�−�=63�−�=4D ．3�−�=−62�−�=4【答案】D【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．那么所求方程组的解即为两函数的交点坐标．【详解】解：∵直线�=3�+6与�=2�−4交点坐标为�,�，∴解为�=��=�的方程组是3�−�=−62�−�=4，故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．3．（2023·安徽蚌埠·校考二模）在平面直角坐标系中，已知�为常数，且�≠2，�≠3，则关于x 的一次函数�=�−3�+4−2�与�=4−2��+�−3的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】观察一次函数解析式，结合选项中的图象，即可求解．【详解】解：∵�=�−3�+4−2�与�=4−2��+�−3中，푘,�互换，A ，B 选项中，两个一次函数图象与�轴交于负半轴，则4−2�与�−3同号，而图象中直线푘的符号异号，不合题意，联立�=�−3�+4−2��=4−2��+�−3解得：�=1，∴交点的横坐标为1，C 选项中，两直线的交点的横坐标为负，不合题意，故选：D【点睛】本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．4．（2023·湖南长沙·校联考三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数�=��+�与�=��+�(�<�<0)的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数�=��+�的图象中，y 的值随着x 值的增大而减小；②方程组�−��=��−��=�的解为�=−3�=2；③方程��+�=0的解为�=2；④当�=0时，��+�=−1．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据函数图象，结合一次函数的增减性，判断①即可；根据函数图象，结合一次函数图象的交点与二元一次方程组的关系，判断②即可；根据根据函数图象，结合一次函数图象与�轴的交点坐标与方程的解的关系，判断③即可；根据一次函数图象与�轴交点坐标，判断④即可，综合即可得出答案．【详解】解：∵由函数图象可知，直线�=��+�从左至右呈下降趋势，∴�的值随着�值的增大而减小，故①正确；∵由函数图象可知，一次函数�=��+�与�=��+�(�<�<0)的图象交点坐标为−3，2，∴方程组�−��=��−��=�的解为�=−3�=2，故②正确；∵由函数图象可知，直线�=��+�与�轴的交点坐标为2，0，。

(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题.如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.
5.一次函数图象的平移
规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.
③解：求出k与b的值，得到函数表达式．
（2）常见类型：
①已 知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；
③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析 式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.
(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.
例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．
知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系
6.一次函数与方程
一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.
例：
（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
第10讲一次函数
知识清单梳理
知识点一：一次函数的概念及其图象、性质
关键点拨与对应举例
1.一ห้องสมุดไป่ตู้函数的相关概念
（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b＝0时，称为正比例函数．
（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.

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续表 8. 一次函数与二元一次方程的关系
二元一次方程 方
一次函数
法
表达式：ax+by+c=0
表达式：y=-—ba x-—bc (b≠0)
规
图象上的坐标点（m,n），其中m
律
方程的解：x=m,y=n
为横坐标，n为纵坐标
m,n表示实数
(m,n)表示平面内一个点
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续表
9. 一次函数与一元一次不等式的关系:
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考点点拨： 本考点的题型一般为解答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握用待定系数法求一次函数的关系 式. 注意以下要点： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数y的值代入所设的解析式，得到关 于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数的解析式.
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0（a, b为
常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：不等式kx 方 ＋b>0的解集为函数y=kx＋b的图象在_x_轴__上__方___的点所对应的自变量 法 规 x的值；不等式kx＋b<0的解集为函数y=kx＋b的图象在__x_轴__下_方___的 律 点所对应的自变量x的值.
（4）当b<0时，直线与y轴交点在y轴负__半__轴__上__.
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续表
方 6. 正比例函数和一次函数解析式的确定： 法 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx（k≠0） 规 中的__常__数__k__；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx 律 ＋b（k≠0）中的_常__数__k_和__b__.解这类问题的一般方法是_待__定__系__数__法_.

第一轮 考点突破
第三章 函 数
第10讲 一次函数
1.(2019·广安)一次函数 y＝2x－3 的图象经过的 象限是( C )
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四
2．(2019·天津)直线 y＝2x－1 与 x 轴的交点坐
标为 12，0
．
3．(2018·南充)直线 y＝2x 向下平移 2 个单位长
度得到的直线是( C )
A．y＝2(x＋2)
B．y＝2(x－2)
C．y＝2x－2
D．y＝2x＋2
4．(2007·东莞)如图，在直角坐标系中，已知矩
形 OABC 的两个顶点坐标 A(3，0)，B(3，2)，对角
线 AC 所在直线为 l，则直线 l 对应的函数解析式为 __y＝__－__23_x_＋__2______．
－3 的图象不经过第二象限，则 m 的取值范围是
(D) A．m＞－12
B．m＜3
C．－12＜m＜3
D．－12＜m≤3
6．(2020·遵义)如图，直线 y＝kx＋b(k、b 是常 数 k≠0)与直线 y＝2 交于点 A(4，2)，则关于 x 的不 等式 kx＋b＜2 的解集为__x_<_4____．
3．(2020·成都)一次函数 y＝(2m－1)x＋2 的值随 x 值的增大而增大，则常数 m 的取值范围为
1 __m__>_2___．
考点 求一次函数的解析式(5 年 5 考) 4．(2019 春·新蔡县)如图，直线 a 经过点 A(1， 6)，和点 B(－3，－2)． (1)求直线 a 的解析式；
A．x≤－2 B．x≤－4 C．x≥－2 D．x≥－4
A．夯实基础 1．(2020·上海)已知正比例函数 y＝kx(k 是常数， k≠0)的图象经过第二、四象限，那么 y 的值随着 x 的值增大而__减__小____．(填“增大”或“减小”) 2．(2020·苏州)若一次函数 y＝3x－6 的图象与 x 轴交于点(m，0)，则 m＝___2_____．

第10课时一次函数知能优化训练中考回顾1.(2018湖南常德中考)若一次函数y=(k-2)x+1的函数值y随x的增大而增大,则()B.k>2C.k>0D.k<0山东枣庄中考)如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,若点A(3,m)在直线l上,则m的值是()A.-5B.32C.5D.7湖南娄底中考)将直线y=2x-3向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后,所得的直线的解析式为()4 B.y=2x+4 C.y=2x+2 D.y=2x-2山东济宁中考)在平面直角坐标系中,已知一次函数y=-2x+1的图象经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)若x1<x2,则y1y2.(填“>”“<”或“=”)四川眉山中考)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+b上,且直线经过第一、第二、第四x1<x2时,y1与y2的大小关系为.1>y2湖南郴州中考)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的一个顶点在原点O处,且∠AOC=60°,点A的坐标是(0,4),则直线AC的解析式是.x+4y=-√33模拟预测1.如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A(2,m),B(n,3),那么一定有()A.m>0,n>0B.m>0,n<0n>0 D.m<0,n<0y=(a-2)x+a-3的图象与y轴的交点在x轴的下方,则a的取值范围是()A.a≠2B.a<3,且a≠2C.a>2,且a≠3D.a=3一辆汽车和一辆摩托车分别从甲、乙两地去同一城市,它们离甲地的路程随时间变化的图象如图.则下列结论错误的是()A.摩托车比汽车晚到1 hB.甲、乙两地的路程为20 kmC.摩托车的速度为45 km/h60 km/hy=-x-3向上平移m个单位长度后,与直线y=2x+4的交点在第二象限,则m的取值范围是()7 B.3<m<4 C.m>1 D.m<45.若点(-2,m)和(12,n)都在直线y=43x+4上,则m,n的大小关系是.(3,5)在直线y=ax+b(a,b为常数,且a≠0)上,则nn-5的值为.-137.直线y=(3-a)x+b-2在平面直角坐标系中的图象如图所示,化简:|b-a|-√n2-6n+9-|2-b|=.,已知直线y=√3x,点A1坐标为(1,0),过点A1作x轴的垂线交直线于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴于点A3;……按此做法进行下去,点A5的坐标为.9.根据要求,解答下列问题:(1)已知直线l1的函数解析式为y=x,请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数解析式.(2)如图,过原点的直线l 3向上的方向与x 轴的正方向所成的角为30°. ①求直线l 3的函数解析式;②把直线l 3绕原点O 按逆时针方向旋转90°得到直线l 4,求直线l 4的函数解析式.(3)分别观察(1)(2)中的两个函数解析式,请猜想:当两直线垂直时,它们的函数解析式中自变量的系数之间有何关系?请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y=-15x 垂直的直线l 5的函数解析式.y=-x.(2)①如图,在直线l 3上任取一点M ,作MN ⊥x 轴,垂足为N. 设MN 的长为1,因为∠MON=30°,所以ON=√3.设直线l 3的函数解析式为y=k 3x ,把(√3,1)代入y=k 3x ,得1=√3k 3,k 3=√33. 故直线l 3的函数解析式为y=√33x.②如图,作出直线l 4,且在l 4上取一点P ,使OP=OM ,作PQ ⊥y 轴于点Q. 同理可得∠POQ=30°,PQ=1,OQ=√3.设直线l 4的函数解析式为y=k 4x ,把(-1,√3)代入y=k 4x ,得√3=-k 4,所以k 4=-√3. 故直线l 4的表达式为y=-√3x.(3)当两直线互相垂直时,它们的函数解析式中自变量的系数互为负倒数,即两系数的乘积等于-1.所以过原点且与直线y=-15x 垂直的直线l 5的函数解析式为y=5x.。

中考数学复习?一次函数知识点梳理+过关练习?〕专题复习讲义〔人教版山东专用〕一．知识点回忆一次函数的概念1.假设两个变量x,y之间的关系式可以表示成(k,b为常数,k≠0)的形式,那么y是x的一次函数2. 正比例函数的概念当b=0时,一次函数y=kx+b变为(k为常数,k≠0),这时,y是x的正比例函数3.一次函数的图象与性质二．规律总结：一次函数的图像和性质1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是不平行于x轴的一条直线,可以通过平移直线y=kx(k≠0)得到.2.一次函数y=kx+b(k≠0)中,k的符号决定着函数的增减性,b的符号决定着直线与y轴的交点位置.一次函数图象的平移1.上下平移:一次函数y=kx+b向上平移m(m≥0)个单位长度,平移后的一次函数为y=kx+b+m;向下平移m(m≥0)个单位长度,平移后的一次函数为y=kx+b-m.简称:上加下减.2.左右平移:一次函数y=kx+b向左m(m≥0)个单位长度后,得到的一次函数为y=k(x+m)+b;一次函数y=kx+b向右m(m≥0)个单位长度后得到的一次函数为y=k(x-m)+b.简称:左加右减.三．过关练习1. 以下函数中,是正比例函数的是( )A.y=-8xB.y=x+2C.y=8x2D.y=8x-42. 假设点P在一次函数y=-x+4的图象上,那么点P一定不在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 假设ab<0且a>b,那么函数y=ax+b的图象可能是( )4. 以下关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的选项是( )A.图象经过第一、二、四象限B.y随x的增大而减小时,y>0C.图象与y轴交于点(0,b)D.当x>-bk5. 假设点P在一次函数y=-x+4的图象上,那么点P一定不在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随着x增大而减小,那么一次函数y=x+k的图象大致是( )7.假设三点(1,4),(2,7),(a,10)在同一直线上,那么a的值等于( )A.-18.在平面直角坐标系中,将函数y=3x的图象向上平移6个单位长度,那么平移后的图象与x轴的交点坐标为( )A.(2,0)B.(-2,0)C.(6,0)D.(-6,0)9.一次函数y1=k1x+b1的图象l1如下图,将直线l1向下平移假设干个单位长度后得直线l2,l2的函数表达式为y2=k2x+b2.以下说法中错误的选项是( )A.k1=k2B.b1<b2C.b1>b2D.当x=5时,y1>y210. 如图,直线y=ax+b(a≠0)过点A(0,4),B(-3,0),那么方程ax+b=0的解是( )A.x=-3B.x=4C.x=-43D.x=-3410. 商品的销售量也受销售价格的影响,比方,某衬衣定价为100元时,每月可卖出2 000件,价格每上涨10元,销售量便减少50件.那么,每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣价格x(元)之间的函数关系式为.11. 某函数满足当自变量x=1时,函数值y=0,当自变量x=0时,函数值y=1,写出一个满足条件的函数表达式.12. 在平面直角坐标系中,点P(x,y)在第一象限内,且x+y=8,点A的坐标为(6,0).设△OPA的面积为S,S与x之间的函数表达式是.13. 当直线y=(2-2k)x+k-3经过第二、三、四象限时,那么k的取值范围是.14.y=(m-3)x|m|-2+1是一次函数，那么m的值是。

考点10.一次函数（精讲）【命题趋势】一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。

各地对一次函数的图象与性质的考查也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右。

一次函数不仅是中考重要考点，也是反比例函数、二次函数学习的基础，而初中函数部分，更是和整个高中学习体系联系紧密，不管对于中考还是高中基础积累，一次函数学习都尤为重要。

故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。

【知识清单】1：一次函数的相关概念（☆☆）1）正比例函数的概念：一般地，形如y =kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫正比例函数，其中k 叫正比例系数。

2）一次函数的定义：一般地，形如y =kx +b (k ，b 为常数，且k ≠0)的函数叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数y =kx +b 中的b =0时，y =kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

2：一次函数的图象与性质（☆☆☆）1）一次函数的图象特征与性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b (k ≠0)k >0，b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0，b <0一、三、四k >0，b =0一、三y =kx +b (k ≠0)k <0，b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0，b <0二、三、四k <0，b =0二、四2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）。

①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴。

②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴。

3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直。

第10课时一次函数知能优化训练中考回顾1.(2017内蒙古赤峰中考）将一次函数y=2x-3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为()A。

y=2x—5 B。

y=2x+5C。

y=2x+8 D.y=2x-8答案：B2.(2017陕西中考）若一个正比例函数的图象经过A（3，-6),B(m,—4)两点,则m的值为（）A.2 B。

8C.-2 D。

—8答案:A3。

（2017四川成都中考)如图，正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A （2,1）.当x<2时,y1y2.（填“>”或“〈”)答案：<4。

（2017青海西宁中考）若点A（m，n)在直线y=kx(k≠0）上,当—1≤m≤1时，-1≤n≤1,则这条直线的函数解析式为.答案:y=x或y=—x5.（2017天津中考)若正比例函数y=kx（k是常数,k≠0）的图象经过第二、第四象限，则k的值可以是（写出一个即可）.答案：—1（答案不唯一)6。

（2017四川达州中考)甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发,甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发,向终点A运动,已知线段AB长为90 cm，甲的速度为2.5 cm/s，设运动时间为x(单位：s）。

甲、乙两点之间的距离为y（单位:cm)，y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为.（并写出自变量的取值范围）答案：y=4。

5x—90（20≤x≤36）模拟预测1.如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A(2,m），B（n，3）,那么一定有() A。

m>0，n>0 B。

m>0,n<0C。

m<0，n>0 D.m〈0，n<0答案：D2。

一次函数y=(a—2)x+a-3的图象与y轴的交点在x轴的下方,则a的取值范围是(）A.a≠2B。

a<3，且a≠2C。

a>2，且a≠3D。

a=3答案：B3。

一辆汽车和一辆摩托车分别从甲、乙两地去同一城市，它们离甲地的路程随时间变化的图象如图。

第三章函数1. 理解正比例函数和一次函数的概念，会根据已知条件确定一次函数表达式2. 会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析式y = kx • b(k = 0)理解其性质(k>0或k <0时，图象的变化情况).3. 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解•能用一次函数解决实际问题4. 理解一次函数与二元一次方程(组)、一元一次不等式(组)之间的关系1. 一次函数的概念把形如y=kx+b (k,b是常数，k丰0)的函数叫一次函数.当b=0时一次函数① ____________ 也叫正比例函数.2. 一次函数的图象是一条直线(1 )一次函数y=kx+b ( k z 0)的图象是经过(0, b) . _______ 两点的一条直线.(2)正比例函数y=kx(k z 0)的图象是经过(0,0 ).③_________________ 两点的一条直线.3. 一次函数的图象所在的象限由k,b的符号决定(1 )k > 0,b=0 时，图象经过④象(2 )k > 0,b>0 时，图象经过⑤象限(3 )k > 0,b v 0 时，图象经过⑥象限(4 ) k v 0,b=0 时，图象经过⑦象限(5 ) k v 0,b>0 时，图象经过⑧象限(6 ) k v 0,b v 0 时，图象经过⑨象限4. 一次函数的性质，一次函数的增减性只与k的正负有关(1)k > 0时，y随x的增大而增大(2)k v 0时，y随x的增大而_©________5. 同一平面直角坐标系中直线y=k1X+b1和直线y=k2X+b2位置关系(1 )当k1=k2时，两直线平行(2)当k1z k2时，两直线相交，交点坐标为方程组丿y - "x + d的解y = k2x + b26. 求一次函数解析式常用待定系数法求一次函数解析式重难点剖析1. 一次函数与一次方程(组)，一元一次不等式(组)一次函数的值为0时，相应的自变量的值为方程的根；一次函数值大于(或者小于) 0, 相应的自变量的值为不等式的解集2. 用一次函数解决实际问题能熟练地根据图象的位置判断系数的情况或函数的变化趋势，又能依据函数的性质或系数的正负判断函数的图象的位置，注意把实际问题转化为数学问题3. 解本章内容的题目，要特别注意数形结合等数学思想方法的运用r b y温馨提示：①• y = kx （k 式0 ） ②• ,0 1 ③•（1,k ） ④• 一、二 ⑤• 一、 I k 丿 二、二 ⑥.一、三、四 ⑦•二、四 ⑧• 一、二、四 ⑨•二、三、四 ⑩•减小 ◎◎◎典型例题剖析与互练◎◎◎ 考点1： 一次函数图象和性质 例1 : 2011贵州遵义，7 ］若一次函数y = 2—mx —2的函数值y 随x 的增大而减小，则 【分析】因为y 随x 的增大而减小，所以 2 - m ：：： 0,解得：m • 2 ,本题应选D 【答案】D 互动练习 1- 1 • ［2011呼和浩特，12］已知关于x 的一次函数y 二mx • n 的图象如图所示,于点B ,连接AB ，/ a=75。

×2+( + )×10=1,解得 x=27,
经检验 x=27 是原方程的根.
答:乙工程队单独施工需要 27 个月才能完成任务.
(2)为保证该工程在两年内完工,且尽可能的减少成本,承建公司决定
让甲、乙两个工程队同时施工,并将该工程分成两部分,甲队完成其中
一部分工程用了a个月,乙队完成另一部分工程用了b个月,已知甲队施

此时自变量 x 的取值范围为 x<2.
1.(2022凉山)一次函数y=3x+b(b≥0)的图象一定不经过( D )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2022眉山)一次函数y=(2m-1)x+2的值随x的增大而增大,则点P(-m,
m)所在象限为( B )
A.第一象限 B.第二象限
[变式1] (2023成都高新区模拟)已知直线y=-2x+1过点(1,a)和(2,b),
则a >
b(选填“>”“<”或“=”).
[变式2] (2023天府新区模拟)一次函数y=(2m-1)x+3,若y随x的增大而
增大,则m的取值范围是
m>


.
待定系数法求一次函数解析式
[例2] 如图所示,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2).
(1)求m,n的值.
解:(1)由题意,得
解得
= ,
= .
+ = ,
+ = ,
(2)要使购进的甲、乙两种化妆品共200件的总成本不超过18 100元,
全部售出后的总利润不少于27 000元,该专卖店应该如何进货才能获

至25台之间,经与两个专卖店商谈,甲店同意打八折,乙店承诺先赠一台,其
余打八五折,这个学校从哪个专卖店购买电脑更划算?
分析:购买电脑的花费和电脑的台数有关,可以设购买的台数为x,用待定系
数法分别求出两种不同购买方式的函数解析式,再作比较.
解:设购买电脑x(15≤x≤25)台,在甲店需花费y甲=4 800×0.8x=3 840x(元),
位:km)与时间t(单位:h)的函数关系的图象,根据图象解答下列问题.
(1)A比B后出发几小时?B的速度是多少?
(2)在B出发后几小时,两人相遇?
解:(1)A比B后出发1 h,B的速度是20 km/h.
(2)设直线DE对应的函数解析式为s=kt+b,把D(1,0),E(3,90)的坐标代入得
+ = 0,
考点三 正比例函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)中的系数k.
考点四 一次函数的图象与性质
1.一次函数的图象及画法
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,我们称为直线y=kx+b.因为两点
确定一条直线,所以画一次函数的图象只需取两点即可,通常取直线与两坐
k<0
符号
b>0
b<0
b=0
一、二、四
二、三、四
二、四
图象经过
的象限
考点五 一次函数解析式的确定
常用待定系数法求一次函数的解析式,待定系数法的一般步骤是:
(1)设出函数解析式;
(2)根据已知条件求出未知的系数;
(3)具体写出这个解析式.
考点六 一次函数图象的平移
1.直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到的.当b>0

第10讲 一次函数第1课时 一次函数的图象与性质命题点1 一次函数的图象与性质1．(2011·河北T5·2分)一次函数y ＝6x ＋1的图象不经过(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2014·河北T6·2分)如图，直线l 经过第二、三、四象限，l 的解析式是y ＝(m －2)x ＋n ，则m 的取值范围在数轴上表示为(C)A BC D3．(2015·河北T14·2分)如图，直线l: y ＝－23x －3与直线y ＝a(a 为常数)的交点在第四象限，则a 可能在(D)A ．1＜a ＜2B ．－2＜a ＜0C ．－3≤a ≤－2D ．－10＜a ＜－44．(2016·河北T5·3分)若k ≠0，b ＜0，则y ＝kx ＋b 的图象可能是(B)A B C D命题点2 确定一次函数的解析式5．(2017·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy 中，A(0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E.点B ，E 关于x 轴对称，连接AB.(1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式；(2)设面积的和S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．解：(1)把y ＝0代入y ＝－38x －398，得x ＝－13.∴C(－13，0).1分把x ＝－5代入y ＝－38x －398，得y ＝－3.∴E(－5，－3).2分∵点B ，E 关于x 轴对称，∴B(－5，3)． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，－5k ＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝25，b ＝5.∴直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.5分(2)∵CD ＝8，DE ＝DB ＝3，OA ＝OD ＝5. ∴S △CDE ＝12×8×3＝12，S 四边形ABDO ＝12×(3＋5)×5＝20.∴S ＝32.8分(3)当x ＝－13时，y ＝25x ＋5＝－15≠0，∴点C 不在直线AB 上，即A ，B ，C 三点不共线．∴他的想法错在将△CDB 与四边形ABDO 拼接后看成了△AOC.10分6．(2018·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－12x ＋5的图象l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1交于点C(m ，4)． (1)求m 的值及l 2的解析式； (2)求S △AOC －S △BOC 的值；(3)一次函数y ＝kx ＋1的图象为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值．解：(1)把C(m ，4)代入一次函数y ＝－12x ＋5，可得4＝－12m ＋5，解得m ＝2，∴C(2，4)．设l 2的解析式为y ＝ax ，则4＝2a ，解得a ＝2. ∴l 2的解析式为y ＝2x.(2)过点C 作CD ⊥AO 于点D ，CE ⊥BO 于点E ，则CD ＝4，CE ＝2，∵y ＝－12x ＋5的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，令x ＝0，则y ＝5，令y ＝0，则x ＝10，∴A(10，0)，B(0，5)．∴AO ＝10，BO ＝5.∴S △AOC －S △BOC ＝12×10×4－12×5×2＝15.(3)k 的值为32或2或－12.命题点3 一次函数的平移7．(2013·河北T23·10分)见本书P46变式训练3重难点1 一次函数的图象与性质已知，函数y ＝(1－2m)x ＋2m ＋1，试解决下列问题：图1 图2(1)当m ≠12时，该函数是一次函数，当m ＝－12时，该函数是正比例函数；(2)当m ＝2时，直线所在的象限是第一、二、四象限； (3)函数的图象如图1所示，则m 的取值范围是－12<m<12；(4)当m<12时，y 随x 的增大而增大；(5)当函数y ＝(1－2m)x ＋2m ＋1向上平移3个单位长度时得到y ＝(1－2m)x ＋2，则m 的值为－1； (6)若函数图象与x 轴的交点坐标为A ，与y 轴的交点为B(0，3)，则△ABO 的面积为92；(7)函数图象必过点(1，2)；(8)若函数图象与直线y ＝x －1交于点(2，1)，则关于x 的不等式x －1>(1－2m)x ＋2m ＋1的解集是x>2； (9)当m ＝0时，y ＝x ＋1，将正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2按如图2所示方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x ＋1和x 轴上，则点B 10的坐标是(210－1，29)． 【变式训练1】 (2018·湘潭)若b ＞0，则一次函数y ＝－x ＋b 的图象大致是(C)【变式训练2】 (2018·石家庄裕华区一模)一次函数y ＝(m －1)x ＋(m －2)的图象上有点M(x 1，y 1)和点N(x 2，y 2)，且x 1>x 2，下列叙述正确的是(B)A ．若该函数图象交y 轴于正半轴，则y 1<y 2B ．该函数图象必过点(－1，－1)C ．无论m 为何值，该函数图象一定过第四象限D ．该函数图象向上平移一个单位长度后，会与x 轴正半轴有交点 方法指导根据图象经过的象限可确定k ，b 的符号：易错提示养成画图的习惯，注意数形结合的方法. 重难点2 确定一次函数的解析式(2018·唐山乐亭县一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A(－6，0)的直线l 1与直线l 2：y ＝2x 相交于点B(m ，4)．(1)求直线l 1的解析式；(2)直线l 1与y 轴交于点M ，求△AOM 的面积；(3)过动点P(n ，0)且垂直于x 轴的直线与l 1，l 2的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 上方时，直接写出n 的取值范围．【变式】 (4)将(3)中条件“过动点P(n ，0)且垂直于x 轴的直线l 1，l 2的交点分别为C ，D ”保持不变，“当点C 位于点D 上方时”改为“且CD ＝2”，求点C 的坐标．【思路点拨】 (1)点B 在直线y ＝2x 上，所以m ＝2，即点B(2，4)，利用待定系数法可得直线l 1的解析式；(2)直线l 1与y 轴的交点坐标，利用三角形的面积公式求出三角形的面积；(3)点C 位于点D 的上方，l 1>l 2，即当n<2时．(4)当CD ＝2时，需分点C 在点D 上方和下方进行讨论．【自主解答】 解：(1)∵直线y ＝2x 经过点B ， ∴4＝2m ，∴m ＝2，即B(2，4)． 设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵直线l 1的经过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－6k ＋b ，4＝2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝3.∴直线l 1的解析式为y ＝12x ＋3.(2)∵当x ＝0时，y ＝3，∴M(0，3)． ∴S △AOM ＝12×6×3＝9.(3)n<2.(4)①当点C 在点D 上方时，有12x ＋3－2x ＝2，解得x ＝23.此时点C 的坐标为(23，103)；②当点C 在点D 下方时，有2x －(12x ＋3)＝2，解得x ＝103.此时点C 的坐标为(103，143)．【变式训练3】 (2018·郴州)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，且∠AOC ＝60°，A 点的坐标是(0，4)，则直线AC 的解析式是y ＝－3x ＋4． 【变式训练4】 (2013·河北T23·10分)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P 从点A 出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x ＋b 也随之移动，设移动时间为t 秒． (1)当t ＝3时，求l 的解析式；(2)若点M ，N 位于l 的异侧，确定t 的取值范围；(3)直接写出t 为何值时，点M 关于l 的对称点落在坐标轴上． 解：(1)∵直线y ＝－x ＋b 交y 轴于点P(0，b)， ∴由题意，得b ＞0，t ≥0，b ＝1＋t. 当t ＝3时，b ＝4， ∴y ＝－x ＋4.(2)当直线y ＝－x ＋b 过点M(3，2)时，2＝－3＋b ， 解得b ＝5.∵5＝1＋t ，∴t ＝4.当直线y ＝－x ＋b 过点N(4，4)时，4＝－4＋b ， 解得b ＝8.∵8＝1＋t ，∴t ＝7. ∴4＜t ＜7.(3)当t ＝1时，该对称点落在y 轴上； 当t ＝2时，该对称点落在x 轴上．方法指导用待定系数法求函数解析式是必须掌握的一种方法．要熟练掌握解二元一次方程组的方法．一次函数的图象与坐标轴的交点坐标是直线上的特殊点，常常与其他点构成三角形等图形，也是常见的一种命题形式．易错提示注意“分类讨论”思想的应用． 重难点3 一次函数与方程、不等式的关系(2017·台州改编)如图，直线l 1：y ＝2x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋4相交于点P(1，b)．(1)求b ，m 的值；(2)直接写出关于x 的不等式2x ＋1<mx ＋4的解集；(3)垂直于x 轴的直线x ＝a 与直线l 1，l 2分别交于点C ，D.若线段CD 长为2，求a 的值．【思路点拨】 (1)把点P 的坐标代入l 1求出b ，再将(1，b)代入l 2求出m ；(2)观察图象，由两直线的交点P 的横坐标可得；(3)C ，D 两点横坐标相同时，线段CD 的长等于其纵坐标的差，但要注意有两种情况．【自主解答】解：(1)∵点P(1，b)在直线l 1：y ＝2x ＋1上，∴b ＝2×1＋1＝3.∵点P(1，3)在直线l 2：y ＝mx ＋4上， ∴3＝m ＋4.∴m ＝－1. (2)x<1.(3)当x ＝a 时，y C ＝2a ＋1，y D ＝4－a.∵CD ＝2，∴|2a ＋1－(4－a)|＝2，解得a ＝13或a ＝53.∴a 的值为13或53.【变式训练5】(2018·河北模拟)观察函数y 1和y 2的图象，当x ＝0，两个函数值的大小关系为(A)A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1≥y 2 【变式训练6】(2018·呼和浩特)若以二元一次方程x ＋2y －b ＝0的解为坐标的点(x ，y)都在直线y ＝－12x ＋b －1上，则常数b ＝(B)A.12B ．2C ．－1D ．1【变式训练7】 (2018·资阳)已知直线y 1＝kx ＋1(k ＜0)与直线y 2＝mx(m ＞0)的交点坐标为(12，12m)，则不等式组mx －2＜kx ＋1＜mx 的解集为(B)A ．x ＞12B.12＜x ＜32 C ．x ＜32D ．0＜x ＜32方法指导1．解决此类题一般是先找出两函数值相等时x 的值，然后过这点作x 轴的垂线，在这个点的左侧和右侧，必然存在不等关系，最后观察图象，上方的函数值大于下方的函数值．2.在坐标系内的线段长，若线段平行于x(y)轴，则线段长等于其横(纵)坐标的差．,易错提示)线段CD 长为2时，有两种情况，在交点P 的左右都有可能．1．(2018·玉林)等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是(B)A ．正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．二次函数2．(2018·沈阳)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是(C)A ．k>0，b>0B ．k>0，b<0C ．k<0，b>0D ．k<0，b<03．(2017·呼和浩特)一次函数y ＝kx ＋b 满足kb ＞0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过(A)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．(2017·怀化)一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P(－2，3)，且与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，则△AOB 的面积是(B)A.12B.14C ．4D ．85．(2018·唐山乐亭县一模)如图的坐标平面上有四直线l 1，l 2，l 3，l 4，其中方程3x －5y ＋15＝0对应的直线为(A)A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 46．(2018·济宁)在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝－2x ＋1的图象经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点．若x 1<x 2，则y 1>y 2.(填“>”“<”或“＝”)7．(2017·荆州)将直线y ＝x ＋b 沿y 轴向下平移3个单位长度，点A(－1，2)关于y 轴的对称点落在平移后的直线上，则b 的值为4．8．【分类讨论思想】(2018·昆明)如图，点A 的坐标为(4，2)，将点A 绕坐标原点O 旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A ′，则过点A ′的正比例函数的解析式为y ＝－43x 或y ＝－4x ．9．(2018·淮安)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(－2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y ＝3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1.(1)求k ，b 的值；(2)若点D 在y 轴负半轴上，且满足S △COD ＝13S △BOC ，求点D 的坐标．解：(1)当x ＝1时，y ＝3x ＝3， ∴点C 的坐标为(1，3)．将A(－2，6)，C(1，3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝6，k ＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝4.(2)当y ＝0时，－x ＋4＝0. 解得x ＝4.∴点B 的坐标为(4，0)．设点D 的坐标为(0，m)(m ＜0)， ∵S △COD ＝13S △BOC ，即－12m ＝13×12×4×3.解得m ＝－4.∴点D 的坐标为(0，－4)． 10．【数形结合思想】(2018·廊坊模拟)如图，正方形ABCD 的边长为2，BC 边在x 轴上，BC 的中点与原点O 重合，过定点M(－2，0)与动点P(0，t)的直线MP 记作l.(1)若l 的解析式为y ＝2x ＋4，判断此时点A 是否在直线l 上，并说明理由； (2)当直线l 与AD 边有公共点时，求t 的取值范围．解：(1)此时点A 在直线l 上． ∵BC ＝AB ＝2，点O 为BC 中点， ∴点B(－1，0)，A(－1，2)．把点A 的横坐标x ＝－1代入解析式y ＝2x ＋4，得 y ＝2，等于点A 的纵坐标2， ∴此时点A 在直线l 上．(2)由题意可得，点D(1，2)，及点M(－2，0)，当直线l 经过点D 时，设l 的解析式为y ＝kx ＋t(k ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋t ＝0，k ＋t ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，t ＝43.由(1)知，当直线l 经过点A 时，t ＝4.∴当直线l 与AD 边有公共点时，t 的取值范围是43≤t ≤4.11．(2018·保定竞秀区模拟)如图，已知直线l 1：y ＝－2x ＋4与直线l 2：y ＝kx ＋b(k ≠0)在第一象限交于点M.若直线l 2与x 轴的交点为A(－2，0)，则k 的取值范围是(D)A ．－2<k<2B ．－2<k<0C ．0<k<4D ．0<k<2 12．【数形结合思想】(2018·宿迁)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l ，若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l 的条数是(C)A ．5B ．4C ．3D ．2 13．(2018·河北模拟)若P(m ＋1，m －1)在直线y ＝－x ＋3的下方，则m 的取值范围是m ＜32．14．(2018·保定竞秀区二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的解析式为：y ＝kx ＋x －k ＋1.若将直线l 绕A 点旋转，如图所示，当直线l 旋转到l 1位置时，k ＝2且l 1与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ；当直线l 旋转到l 2位置时，k ＝－25且l 2与y 轴交于点D.(1)求点A 的坐标；(2)直接写出B ，C ，D 三点的坐标，连接CD ，求△ADC 的面积；(3)已知坐标平面内一点E ，其坐标满足条件E(a ，a)，当点E 与点A 距离最小时，直接写出a 的值．解：(1)当k ＝2时，y ＝3x －1， 当k ＝－25时，y ＝35x ＋75.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －1，y ＝35x ＋75，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点A 的坐标为(1，2)．(2)B(0，－1)，C(13，0)，D(0，75)．∴BD ＝125，OC ＝13.∴S △ADC ＝S △ADB －S △BDC ＝12×125×1－12×125×13 ＝45. (3)a ＝32.。

中考数学考点专题总复习《一次函数》考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一变量与函数变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。

常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。

【注意】1、变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。

2、区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。

函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量X和Y，并且对于X的每一个确定的值，Y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把X称为自变量，把Y称为因变量，Y是X的函数。

如果当X=A时Y=B，那么B叫做当自变量的值为A时的函数值。

【函数概念的解读】1、有两个变量。

2、一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。

3、对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。

函数定义域：一般的，一个函数的自变量X允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值A，函数对应的值为B，那么B叫做当自变量取值为A时的函数值。

函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

画函数图像的一般步骤：1、列表2、描点3、连线函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。

2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。

函数的三种表示法及其优缺点1、解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。