含有一次微商项的二阶常微分方程本征值问题自洽解的一种数值方法

(3)
k=0
k=0
k=0
其中的展开系数 pk 和 qk 是已知的，而 ak 是未知的．将这些展开式代入方程 (1)，合并同 幂项，将左边整理成一个幂级数，由于右边为零，故所有 (x − x0)k 的系数均必须为零，由
§2 Legendre 方程及其本征值问题
3
此可得 ak 间的一系列代数方程．求解这些代数方程即可用 a0 和 a1 表出 a2, a3, · · · ，从而 得到级数解．容易看出，a0 = c0，a1 = c1．如果不给定初始条件，则级数解中含有两个任意 常数 a0 和 a1，所以是方程 (1) 的通解．
下面补充讨论两个有关问题．它们与级数解法无关，也与常点或奇点无关．
首先，如果我们已经求得方程 (1) 的一个解 y1(x)（不管用什么方法），则第二解就可以用积分表出． 事实上，令 y2(x) = C(x)y1(x)，其中 C(x) 是未知函数．代入方程 (1)，容易得到 y1C +(2y1 +py1)C = 0，这是 C (x) 的一阶线性方程，容易求出 C (x)，再积分一次即得 C(x)，最后得到
y(x0) = c0, y (x0) = c1.
(2)
如果不附加初始条件，则通解中含有两个任意常数．
显然，方程 (1) 的解的行为取决于系数的行为．我们假定在复平面的某区域 D 内，p(x)
和 q(x) 除有限个孤立奇点外是单值解析的．级数解法就是在 D 内某点 x0 的邻域或去心邻 域内将 y(x) 展开为幂级数，即 Taylor 级数、Laurent 级数或更一般的幂级数（见后）．展开
∞
y(x) = akxk.
k=0
容易得到下列各式：
∞
∞

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘要现代学科中的许多研究课题都可以通过求解非线性方程的初值问题来解决。

因此，求解非线性方程的初值问题是许多专家与学者所关注的热点问题，具有很重要的现实意义。

在解决非线性方程的初值问题的发展过程中，许多数值解法被广大学者所提出，如Runge-Kutta方法、线性多步法、变分迭代法、牛顿法、欧拉法、同伦摄动法等。

何吉欢提出的同伦摄动法是结合传统的摄动理论和同伦技术的方法，克服了原有的传统摄动理论的不足，将许多复杂的非线性问题转化为更容易求解的线性问题，使问题得到解决。

该方法所求得的级数解能够快速收敛到真解，且取级数解的有限项就能快速地逼近方程的真解。

基于上述优点，该方法被广大学者应用到各领域中。

再生核方法是一种利用初始条件构造线性算子，通过求解简单的线性算子方程而求得原来复杂的非线性方程的一项分析技术。

但是同伦摄动法也有许多不足之处：（1）对于一些强非线性问题，该方法只在局部收敛；（2）由于算子是否为压缩算子难以验证，所以对于该方法的收敛性问题没有严格的证明。

基于以上两点，本文采用改进的同伦摄动法：对方程进行分段求解。

克服了传统的同伦摄动法的不足，同时本文还给出了严格的收敛性证明。

本文主要研究应用改进的同伦摄动法求解非线性Volterra积分—微分方程初值问题，同时结合再生核方法求解非线性二阶常微分方程初值问题。

并且对改进的同伦摄动法的收敛性给出严格的证明。

每章中数值算例部分的数值结果，充分说明改进的同伦摄动法在求解非线性问题时很有效。

关键词：同伦摄动法（HPM）；改进的同伦摄动法（MHPM）；再生核方法（RKM）；非线性Volterra积分—微分方程；非线性二阶常微分方程；初值问题哈尔滨工业大学理学硕士学位论文AbstractThe initial value problem of nonlinear equations can be used to solve many problems from modern subjects.It is the hot topic concerned by many experts and scholars,since it has an important practical significance.In the development process of solving the initial value problems of nonlinear equation,many numerical methods proposed by experts and scholars,such as Runge-Kutta method,Linear multi-step method,Variational iteration method,Newton method,Euler method,Homotopy perturbation method and so on.Homotopy perturbation method was first proposed by J.H.He in1998,this method combines the traditional perturbation method with homotopy technique,overcoming the shortcoming of perturbation theory,deforming a difficult problem into simple solving ing this method,the series solution can quickly converge to the true solution.A few several terms of the series solution can be used for approximation to the exact solution.Based on the above advantages,this method has been applied to various fields.Reproducing kernel method is an analytical technique,using the initial conditions of the equation to construct a linear operator,then we can solve the simple linear operator equation instead of the original complex one.However,there are disadvantages of the homotopy perturbation method:(1)For strongly nonlinear problems,this method only local converges;(2)Since the compression operator is difficult to verify,there is no strict convergence proof.Based on the above two points,the traditional homotopy perturbation method is modified,which means the interval is divided.This new method overcomes the shortcoming of traditional homotopy perturbation method,strict convergence proof is also given.The purpose of this paper is to apply the modified homotopy perturbation method to nonlinear second-order Volterra integro-differential equations,combining Reproducing kernel method to solve strongly nonlinear second-order ordinary differential equations with initial value problem.The convergence proof of the new method is given.Numerical results of every chapter show that the modified homotopy perturbation method is a fast and simple method.Keywords:homotopy perturbation method(HPM)，modified homotopy perturbation method(MHPM)，reproducing kernel method(RKM)，nonlinearsecond-order V olterra integro-differential equations，strongly nonlinearsecond-order ordinary differential equation，initial value problem哈尔滨工业大学理学硕士学位论文目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章绪论 (1)1.1课题来源及背景 (1)1.2常微分方程初值问题的研究现状 (3)1.3本文主要研究内容 (3)第2章用改进的同伦摄动法求解非线性二阶Volterra积分—微分方程及其收敛性分析 (5)2.1同伦摄动法的介绍 (5)2.2改进的同伦摄动法求解非线性二阶Volterra积分—微分方程 (6)2.3方程的收敛性证明 (7)2.4具体的计算过程 (13)2.5一些结论 (13)2.5.1N的选取 (13)2.5.2‘step’的选取 (13)2.5.3 的选取 (13)2.6数值算例 (14)2.7本章小结 (16)第3章同伦摄动—再生核法求解二阶常微分方程初值问题 (17)3.1引言 (17)3.2预备知识 (17)3.2.1同伦摄动法分析 (17)3.2.2再生核方法分析 (17)3.2.3方程的解 (18)3.3方程的解及其收敛性分析 (19)3.3.1改进的同伦摄动法求解方程 (19)3.3.2用再生核方法求解方程 (20)3.4方程的收敛性证明 (21)3.5数值算例 (25)3.6本章小结 (29)结论 (30)参考文献 (31)哈尔滨工业大学学位论文原创性声明和使用权限 (36)致谢 (37)哈尔滨工业大学理学硕士学位论文第1章绪论1.1课题来源及背景在当今的社会生活中，很多问题都与非线性问题相关。

类型
定解问题中的 边界条件
分离变量后的 边界条件
本征函数系
(1)
(2) (3) (4)
利克莱条件：(1) 连续或只有有限个第一类间断点；(2) 只 有有限个极值点，则 f (x) 在 [–l, l ] 上可展开为傅里叶级数
利用三角函数的正交关系，可得
量子力学中的正交完备矢量组： 设 F 为厄米算符，则 F 对应于不同本征值的本征矢
相互正交，这些本征矢构成正交完备矢量组。记正交完 备矢量组为 { | i > (i =1, 2, …)}，有
数集的正交性只是这里的特殊例子。
等本征函
4. 完备性定理 若函数 f (x) 在区间 [a,b] 有连续的一阶导数和分段连
续的二阶导数，且满足本征值问题的边界条件，则可利用 本征函数系{yn(x)} 将它展开为绝对且一致收敛的广义傅 里叶级数，即
其中展开式的系数为
备忘：傅里叶级数 一个以 2l 为周期的函数 f (x)，若在区间 [–l, l ] 满足狄
二阶线性常微分方程的普遍形式为 (6-4-1)
其中：A(x), B(x), C(x)——已知函数
—— 分离变量过程中引入的常数
方程 (6-4-1) 化为以下施图姆—刘维尔方程 (施—刘型方程)
(6-4-2)
其中：
核函数
已知函数
权函数
参数 勒让德方程、连带勒让德方程、贝塞尔方程均可化 为施—刘型方程：
(1) 存在无穷多个实的、分立的本征值 = n (n = 1,2,…)，
且对应着无穷多个本征函数 yn (x) (n = 1,2,…)； (2) 当同一本征值对应的本征函数不止一个时，称为简并。
证明：本征值 是实的。 若 为复数，施—刘型方程及其复共轭为

简化为
T '' = Δv a 2T v
令
T '' a 2T
=
Δv v
= −k 2
T '' a 2T
=
Δv v
= −k 2
分解为 T "+a 2k 2T = 0
Δv + k 2v = 0
称为亥姆霍兹方程
第一个方程的解为
T = C + Dt T = C cos kat + D sin kat
(k = 0) (k ≠ 0)
(m = 0,1,2,3L)
r2
d 2R dr 2
+
2r
dR dr
− l(l
+ 1) R
=
0
R = Crl + Dr−(l+1)
（2）、柱坐标系
Δu
=
∂ 2u
∂ρ 2
+
1
ρ
∂u
∂ρ
+
1
ρ2
∂ 2u
∂ϕ 2
+
∂ 2u ∂z 2
试图将变量变 ρ 与 θ 和 z 分离 代入
u(ρ,ϕ, z) = R(ρ)Φ(ϕ)Z(z)
d (r 2 dR ) = l(l +1)R dr dr
−1
sinθ
∂
∂θ
(sinθ
∂Y
∂θ
)
−
1
sin 2 θ
∂ 2Y
∂ϕ 2
= l(l
+ 1)Y
称为球函 数方程
上边第一式化为
r 2 d 2R + 2r dR − l(l +1)R = 0