紧束缚方法计算石墨烯能带结构

Tight-Binding方法在计算石墨烯能带中的应用施仲诚1、2，房鸿1(西安工业大学理学院，陕西西安 710032北京师范大学低能核物理研究所，北京100875;）摘要：通过引入紧束缚近似理论，使用MATLAB计算了石墨烯的能带和π能带图。

结果表明，考虑最近邻原子影响，在Ｋ-Γ-Ｍ-Ｋ方向的全能带图中，观察到了能带的简并特性及能带间的跳跃，与其他方法（如第一原理）符合得很好。

在正交基矢下，π能带（价带和导带）具有完全的对称性，加入轨道重叠后（即非正交基矢），这种对称性被破坏，具体表现为：价带靠近费米面，导带远离费米面，从能量的位移上可以发现，远离比靠近的趋势更为明显。

关键词：紧束缚近似；最近邻原子；能带；轨道重叠；费米面自从2004年，英国的两位科学家安德烈·盖姆和克斯特亚·诺沃塞洛夫等人在实验室中成功制备处单层石墨烯材料[1]以来，人们开始又重新审视前人对于石墨烯的数值计算工作，尤其使用紧束缚近似[2,3,4]的方法对于石墨烯最近邻原子轨道的能带（不考虑重叠积分）的计算工作，另一部分人则在此基础上考虑了重叠积分的修正。

紧束缚近似方法是折中于效率和精确度之间的一种算法，最初于1954年[5]提出，这种方法在体材料能带计算中显示出较大优势，并被适用于表面态和低维材料能带的计算，其模型被不断的修正，所得到的结果也越来越接近实验数据和第一性原理计算所得到的结果，与第一性原理计算方法不同，紧束缚近似计算方法需要一些拟合参数，但其计算效率高，物理图象清晰，因此既适合于能带的定量计算又适合定性分析，在物理学中得到广泛采用。

不过，由于石墨烯是sp2杂化，剩余1个未参与杂化的π轨道，杂化所形成的是σ键，与力学性质相关，π轨道在平面上形成离域大π键，与电学性质相关。

前人的很多工作集中在电学性质[3,6,7]的研究方面，这里我们对σ键形成的能带也进行了计算。

我们采用参考文献中通过实验数据和第一性原理计算方法[8]拟合出的数据所得到参数，使用Matlab编程计算了单层石墨烯在最近邻原子的能带。

石墨烯的能带结构
石墨烯是一个二维的单层碳原子晶体，其能带结构与三维晶体不同。

石墨烯的能带结构是一个简单的线性结构，其中存在两个无色散的Dirac点。

在石墨烯中，每个碳原子有三个近邻碳原子，它们在二维平面上形成一个六边形格子。

由于局部电子结构的共价键成键能达到几电子伏特(eV)级别，而高能电子或光子的能量竞相达到几百电子伏特级别，因此大部分情况下，我们只需要关注石墨烯最外层的价带和导带。

石墨烯的费米面在K点处与价带相交，这个交点是双价带结构中的能源极值点，称为Dirac点。

由于石墨烯的晶格结构以及碳原子的π轨道特性，这个点出现在唯一的两个对称点处，即K点和K'点。

在K点和K'点处，碳原子的高度对称性使得石墨烯中的电荷载流子表现出线性色散关系。

通过改变能带结构的形状和尺寸，可以调节石墨烯的电学性质，实现对电子传输的控制。

总之，石墨烯的能带结构具有独特的线性结构，其中包含两个无色散的Dirac点。

这种结构赋予了石墨烯优异的电学和热学性质，使其成为当今材料科学研究中的热点。

基于紧束缚模型的双层石墨烯能带结构作者：王影来源：《硅谷》2014年第21期摘 ;要 ;双层石墨烯是能隙可调控的半导体材料，由于具有奇特的电学性质和光学性质，因此，此类材料有望在光电子工业引起新的革命。

本文采用紧束缚模型方法，给出双层石墨烯动量表象的哈密顿矩阵，数值计算了能带结构，分析了双层石墨烯中三种层间跃迁对能带结构的影响。

关键词 ;双层石墨烯;紧束缚模型;能带结构中图分类号：TP212 ; ; ;文献标识码：A ; ; ;文章编号：1671-7597（2014）21-0022-01石墨烯是由碳原子紧密堆积形成的平面六角晶格结构的二维材料，由于其具有丰富的物理和化学性质，而广受关注[1-3]。

石墨烯在电子元件、晶体管、透明触控屏幕、光板、太阳能电池等领域具有潜在的应用。

单层石墨烯的价带和导带交于狄拉克点，在狄拉克点附近，具有线性的色散关系。

双层石墨烯同样是零能隙材料，但在狄拉克点附近是抛物线型色散关系。

实验和理论都证明在双层石墨烯中外加垂直平面的电场会出现0.1-0.3eV的能隙[4-5]，这意味着双层石墨烯在电子及光电子工业中具有巨大的潜在应用。

本文从紧束缚模型出发，推导了双层石墨烯在动量表象形式下的哈密顿矩阵，计算了能带，分析了双层石墨烯中三种层间跃迁对能带结构的影响，本文的推导及分析对双层石墨烯的实际应用具有一定的意义。

1 ;晶体结构和布里渊区单层石墨烯原子堆积形式是六角蜂窝状结构，如图1左侧所示，每个原胞包含A、B格点两个碳原子，其实空间晶格基矢可取为，其中，为碳-碳键键长。

连接最近邻碳原子之间（如图1左侧，中心A格点原子到最近邻的3个B格点原子）的3个矢量分别为。

六角蜂窝格子的倒格子仍然为相同的形状，倒格子原胞基矢为，第一布里渊区形状如图1右侧所示，同样为六角蜂窝格子，其中高对称性的特殊点在动量空间中坐标为，不等价的和又称为狄拉克点。

图1 ;单层石墨烯的几何结构及第一布里渊区图2 ;双层石墨烯结构图，左侧：平视图;右侧：俯视图石墨烯是由单层石墨烯按AA堆积，或者是AB（Bernal）堆积形成。

石墨烯电子能带结构的计算摘要：本文简要阐述了石墨烯的结构和主要特性，采用碳原子的SP2 杂化理论和能带理论，运用紧束缚近似方法计算了石墨的能带结构。

关键词：石墨烯，结构和性质，紧束缚近似，能带结构一、引言石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新材料。

是一种由碳原子以SP2杂化轨道组成六角型呈蜂巢晶格的平面薄膜，只有一个碳原子厚度的二维材料。

石墨烯目前是世上最薄，最坚硬，电阻率最小的材料。

而且电子迁移的速度极快，因此被期待可用来发展出更薄、导电速度更快的新一代电子元件或晶体管。

由于石墨烯实质上是一种透明、良好的导体，也适合用来制造透明触控屏幕、光板、甚至是太阳能电池。

二、石墨烯结构石墨烯是由碳六元环组成的两维(2D)周期蜂窝状点阵结构, 它可以翘曲成零维(0D)的富勒烯(fullerene),卷成一维(1D)的碳纳米管(carbon nano-tube, CNT)或者堆垛成三维(3D)的石墨(graphite), 因此石墨烯是构成其他石墨材料的基本单元。

石墨烯的基本结构单元为有机材料中最稳定的苯六元环, 是目前最理想的二维纳米材料。

理想的石墨烯结构是平面六边形点阵，可以看作是一层被剥离的石墨分子，每个碳原子均为sp2杂化，并贡献剩余一个p轨道上的电子形成大π键，π电子可以自由移动，赋予石墨烯良好的导电性。

二维石墨烯结构可以看是形成所有sp2杂化碳质材料的基本组成单元。

三、石墨烯特性1、电子运输石墨烯表现出了异常的整数量子霍尔行为。

其霍尔电导为量子电导的奇数倍，且可以在室温下观测到。

这个行为已被科学家解释为“电子在石墨烯里遵守相对论量子力学，没有静质量”。

2、导电性石墨烯结构非常稳定。

石墨烯中各碳原子之间的连接非常柔韧，当施加外部机械力时，碳原子面就弯曲变形，从而使碳原子不必重新排列来适应外力，也就保持了结构稳定。

这种稳定的晶格结构使碳原子具有优秀的导电性。

石墨烯中的电子在轨道中移动时，不会因晶格缺陷或引入外来原子而发生散射。

石墨烯能态密度
引言概述：
石墨烯作为一种新型的二维材料，具有出色的导电性、热传导性和机械性能，引起了广泛的研究兴趣。

石墨烯的能态密度是描述其电子能级分布的重要物理量，对于理解和设计石墨烯的电子性质具有重要意义。

本文将从五个大点出发，详细阐述石墨烯的能态密度。

正文内容：
1. 石墨烯的基本特性
1.1 石墨烯的结构特点
1.2 石墨烯的电子能级分布
1.3 石墨烯的导电性和热传导性
2. 石墨烯的能带结构
2.1 石墨烯的能带图像
2.2 石墨烯的费米能级
2.3 石墨烯的能带间隙
3. 石墨烯的能态密度计算方法
3.1 第一性原理计算方法
3.2 紧束缚模型计算方法
3.3 有效质量模型计算方法
4. 石墨烯的能态密度的影响因素
4.1 温度的影响
4.2 外加电场的影响
4.3 缺陷和杂质的影响
5. 石墨烯的能态密度的应用
5.1 石墨烯的能带调控
5.2 石墨烯的电子输运性质
5.3 石墨烯的光电性能
总结：
综上所述，石墨烯的能态密度是描述其电子能级分布的重要物理量。

石墨烯的能带结构、能态密度计算方法以及影响因素的研究为我们深入理解石墨烯的电子性质提供了重要的理论基础。

石墨烯的能态密度的应用涉及到能带调控、电子输运性质和光电性能等领域，对于石墨烯在电子器件、光电器件等领域的应用具有重要意义。

随着对石墨烯的研究不断深入，相信石墨烯的能态密度将在更多领域展现出其独特的应用价值。

石墨烯xxx长沙理工大学物理与电子科学学院摘要：分析了石墨烯的结构，介绍石墨烯的电子能带结构和量子力学对它的理论描述，并阐述了石墨烯的一些特性。

另外也讲述制备石墨烯的几种方法和特性表征。

最后是对石墨烯近几年的发展了解并展望未来。

引言：自从2004年石墨烯被发现以来，获得了科学界广泛关注。

石墨烯作为一种新型炭质材料，由单层碳原子紧密堆积成二维晶格结构。

它的理论比表面积达2600 m2／g，热导率为3 kw／m·K，室温下平面上的电子迁移率为1．5×10 cm2／V·s，拉伸模量和本征强度分别为1000 GPa和130 GPa。

石墨烯是零带隙半导体，其载流子迁移率比硅高100倍，在室温下具有微米级自由程和大的相干长度，是纳米电路的理想材料。

此外，石墨烯还具有完美的量子隧道效应及半整数的量子霍尔效应等一系列性质[1-2]。

这些优异的性能使得石墨烯在纳米电子器件、气体传感器、电池，超级电容器和储氢方面及纳米复合材料等领域有光明的应用前景。

一、石墨烯的结构石墨烯为复式六角晶格（图1），每个六边形结构中有两个碳原子，每个原子与最近邻的三个原子间形成三个盯键。

由于每个碳原子有四个价电子，所以每个碳原子又会贡献出一个剩余的P电子，它垂直于石墨烯平面，与周围原子形成未成键的电子。

这些1r电子在晶体中自由移动，赋予了石墨烯良好的导电性。

二、石墨烯的特点——电子能带结构石墨烯是二维碳原子蜂巢晶格，是由两个A型或B型的三角布拉维晶格(三角子晶格)组成．其载流子(电子和空穴)波函数具有双旋量，也就是说载流子除了通常的1／2自旋外，还有与它的子格自由度相联系的1／2赝自旋．石墨烯的电子能带结构可由最近邻紧束缚模型得到[3]．导带电子(π电子)能从一个碳原子的2p 轨道跃迁到与它最近邻的3个碳原子之一，跃迁振幅(共振积分)为γ≡t ≈3eV．色散关系(能量和动量的关系)为：E=±γ√‾(1+4cos(k₂•а)+4cos(k₂•а)cos(k₁•√‾₃•а ))， (1)其中，晶格常数а=0．246nm，碳原子的间距为а∕√‾₃=0．143nm．导带(CB，а= +1)和价带(VB，а=一1)分别对应上述色散关系中的不同正负号．导带和价带接触处为不等价的Dirac 点(分别对应能谷K和K´)，如图2所示[3]．能量E作为二维布洛赫波矢(也是动量)(k₁，k₂)的函数．六边形布里渊区上K或点K´(Dirac点)附近，色散关系是线性的，从局部来看相当于圆锥(见图2放大区)．费米能级位于Dirac点处，费米面也由Dirae点构成．价带(VB)填满电子，导带(CB)是空的．由此可见，未参杂石墨烯是无带隙的．在Dirae点附近，电子的能量只依赖动量且成线性关系，类似于无质量的相对论粒子．因此，在低能且靠近K和K´点时，电子由二维无质量Dirac本征方程描述：−ίhυσ•▽φ(r)∕2π=Εφ(r)， (2)这里，V =√‾₃•aπ／h≈1000000m／s是石墨烯电子的传输速度，相当于有效光速；φ(r)是电子波函数，E是能量，p→ίh∕2π▽是坐标表象下的动量算符．图2 紧束缚模型计算的石墨烯能带结构三、石墨烯的特性石墨烯最大的特性是室温下传递电子的速度比已知导体都快，运动速度为光速的1／300，远远超过了电子在一般导体中的运动速度，具有优良的导电性。

一.石墨烯的结构及性能简介：石墨烯是由单质C 构成的层状平面结构，每个C 通过2sp 杂化与周围C 原子构成正六边形的环，没个C 原子贡献剩余的一个p 轨道电子行成大π键，π电子可以自由移动，因而石墨烯有良好的导电性。

单层石墨烯厚度仅0.35mm ，约为头发丝直径的二十万分之一。

在石墨烯的每个六边形结构单元中含有2个C 原子，因为每个C 原子有1/3属于该六边形中，六边形的面积为0.052平方纳米，石墨烯的密度为0.77毫克每平方米。

石墨烯的结构非常稳定，碳碳键仅为1.42Å。

石墨烯内部的碳原子之间的连接很柔韧，当施加外力于石墨烯时，碳原子面会弯曲变形，使得碳原子不必重新排列来适应外力，从而保持结构稳定。

这种稳定的晶格结构使石墨烯具有优秀的导热性。

另外，石墨烯中的电子在轨道中移动时，不会因晶格缺陷或引入外来原子而发生散射。

由于原子间作用力十分强，在常温下，即使周围碳原子发生挤撞，石墨烯内部电子受到的干扰也非常小。

电子在石墨烯中运动时不易被散射，其迁移率可达)/(cm 10225s V ⋅⨯ ，是Si 中电子迁移率的140倍。

石墨烯最大的特性是其中电子的运动速度达到了光速的1/300，远远超过了电子在一般导体中的运动速度。

这使得石墨烯中的电子，或更准确地，应称为“载荷子”(electric charge carrier)，的性质和相对论性的中微子非常相似。

此外，石墨烯在是温下还是导电性很好的材料。

石墨烯还是已知材料中强度和硬度最高的材料，1平方厘米的石墨烯层片能承重4kg 。

因此在复合材料领域有很强的应用价值。

二.石墨烯的制备方法：I .机械剥离法虽然石墨烯同一六边形内的C 原子之间作用力很强，但由于其特殊的层状结构，层与层之间的范德瓦尔斯力却是很弱，因此便提供了人们直接将石墨烯撕下来的可能。

盖姆等人提供了一种简单的方法，就是用胶带黏住是名片的两侧反复剥离从而得到石墨烯。

这种方法得到的石墨烯一般在几微米十几微米之间，最大能到毫米量级，人们用肉眼便可观察。