广东省佛山市南海区2019-2020学年高二下学期期末数学试题

佛山市2019~2020学年普通高中第一学期期末高二教学质量检测数 学2020年1月本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必填写清楚答题卷上的姓名、班级、学号，并按要求粘贴好条形码.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 参考公式：ABC ∆的顶点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，则其重心坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭. 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线l 经过点()1,2P −，且倾斜角为135︒，则直线l 的方程为（ ） A. 30x y +−=B. 10x y +−=C. 10x y −+=D. 30x y −+=2. 命题p ：0x ∀≥，sin x x ≥，则p ⌝：（ ） A. 0x ∀<，sin x x < B. 0x ∀≥，sin x x < C. 0x ∃<，sin x x <D. 0x ∃≥，sin x x <3. 已知抛物线2y x =上的点M 到其焦点的距离为2，则M 的横坐标是（ ） A.32B.52C.74D.944. 圆22460x y x +−−=与圆22460x y y +−−=的位置关系为（ ） A. 外离B. 相切C. 相交D. 内含5. 过点()3,2的双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，则C 的方程为（ ）A. 221x y −=B. 225x y −=C. 221y x −=D. 225y x −=6. 函数()f x a =，则“0a ≥”是“[]01,1x ∃∈−，使()00f x ≥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知m 是平面α的一条斜线，直线l 过平面α内一点A ，那么下列选项中能成立的是（ ） A. l α⊥，且//l m B. l α⊥，且l m ⊥ C. l α⊂，且l m ⊥D. l α⊂，且//l m8. 正四棱柱1111ABCD A BC D −中，12AA AB =，则异面直线1AD 与1B D 所成角的余弦值为（ ）A. 110−B.110C. 10−D.109. 如图，长方体1111ABCD A BC D −中，4AB BC ==，1BB =E ，F ，M 分别为11A B ，11A D ，11B C 的中点，过点M 的平面α与平面AEF 平行，且与长方体的面相交，则交线围成的几何图形的面积为（ ）A. B.C. 12D. 2410. 已知()0,F c 为双曲线Γ：()222210,0y x a b a b−=>>的上焦点，若圆F ：()222x y c a +−=上恰有三个点到Γ的一条渐近线的距离为23a，则Γ的离心率为（ ）A.B.C.D.二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11. 瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点()4,0A −，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y −+=，则顶点C 的坐标可以是（ ） A. ()2,0B. ()0,2C. ()2,0−D. ()0,2−12. 在平面直角坐标系中，曲线C 上任意点P 与两个定点()2,0A −和点()2,0B 连线的斜率之和等于2，则关于曲线C 的结论正确的有（ ） A. 曲线C 是轴对称图形 B. 曲线C 上所有的点都在圆222x y +=外 C. 曲线C 是中心对称图形D. 曲线C 上所有点的横坐标x 满足2x >三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，其中第16题第一空2分，第二空3分. 13. 将边长为1的正三角形绕其一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为______. 14. 直线0x ay a +−=与直线()2310ax a y −−−=互相垂直，则a 的值为______. 15. 表面积为16π的球面上有A 、B 、C 三点，且2AB AC ==，2BC =，则球心到平面ABC 的距离为______.16. 在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D −中，点P 是正方体棱上一点，1PB PC λ+=. ①若4λ=，则满足条件的点P 的个数为______；②若满足1PB PC λ+=的点P 的个数为6，则λ的取值范围是______.四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知点()0,4A −，()2,0B ，()4,4C ，()5,1D −.（Ⅰ）判断A 、B 、C 、D 四点能否围成四边形，并说明理由； （Ⅱ）求ACD ∆的面积.18. 如图，四棱锥P ABCD −的底面为平行四边形，点E 、F 分别在CD 、BC 上，G 为PA 中点，且PE ⊥平面ABCD .（Ⅰ）若PF BC ⊥，求证：平面PBC ⊥平面PEF ； （Ⅱ）求证：//PC 平面BDG .19. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：210x y −−=，圆C 的圆心在直线l 上，半径为2.（Ⅰ）若圆C 被x 轴截得的弦长为C 的方程；（Ⅱ）已知()2,0P ，圆C 上存在点Q ，使得PQ OQ =，求圆心C 横坐标的取值范围. 20. 已知抛物线C ：24y x =，过定点()0,1P 的直线为l . （Ⅰ）若l 与C 仅有一个公共点，求直线l 的方程；（Ⅱ）若l 与C 交于A 、B 两点，直线OA 、OB 的斜率分别为1k 、2k ，试探究1k 与2k 的数量关系. 21. 如图，梯形ABCD 中，//AB DC ，4AB =，2AD DC CB ===，将BCD ∆沿BD 折到'BC D ∆的位置，使得平面'BC D ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：'AD BC ⊥；（Ⅱ）求二面角'B AC D −−的余弦值.22. 某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.（Ⅰ）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 至少是多少米？（结果取整数）（Ⅱ）如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）3.3≈，椭圆的面积公式为S ab π=，其中a ，b 分别为椭圆的长半轴和短半轴长.佛山市2019~2020学年普通高中第一学期期末高二教学质量检测数学参考答案2020年1月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1-5：BDCCB6-10：ACDAA二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11. AD 12. BC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.13.4π14. 0或2 15. 16. ①4 ②()(223,4+三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）因为()04220AB k −−==−，40242BC k −==−，即AB BC k k =，所以A 、B 、C 三点共线，故A 、B 、C 、D 四点不能围成四边形.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2AC k =，所以直线AC 的方程为24y x =−，即240x y −−=，点()5,1D −到直线AC 的距离d ==又AC ==所以ACD ∆的面积为113022AC d =⨯=.18.【解析】（Ⅰ）因为PE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PE BC ⊥， 又PF BC ⊥，PEPF P =，PE ⊂平面PEF ，PF ⊂平面PEF ，所以BC ⊥平面PEF .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PEF . （Ⅱ）连接AC 交BD 于O ，连接OG ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以OA OC =， 又G 为PA 中点，所以//OG PC ，又OG ⊂平面BDG ，PC ⊄平面BDG ，所以//PC 平面BDG . 19.【解析】（Ⅰ）设圆C ：()()22214x a y a −+−−=⎡⎤⎣⎦，因为圆C 被x轴截得的弦长为C 到x 轴的距离1d ==，即211d a =−=，解得0a =或1a =，所以圆C 的方程为()2214x y ++=或()()22114x y −+−=. （Ⅱ）题意等价于OP 的中垂线1x =与圆C 有公共点， 所以圆心C 到直线1x =的距离不大于半径2，即12a −≤. 解得13a −≤≤，即圆心C 横坐标的取值范围为[]1,3−.20.【解析】（Ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，l ：0x =，显然满足题意； 当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去y 整理得()()222410*k x k x +−+= 当0k =时，方程()*只有唯一解，满足题意，此时l 的方程为1y =.当0k ≠时，()222440k k ∆=−−=，解得1k =，此时l 的方程为1y x =+. 综上，直线l 的方程为0x =或1y =或1y x =+. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()*可知12224k x x k −+=−，1221x x k=， 又111111y kx k x x +==，222221y kx k x x +==， 所以12121212121124kx kx x xk k k x x x x ++++=+=+=， 即1k 与2k 满足的数量关系为：124k k +=.21.【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中，过D 作DH AB ⊥于H ，则1AH =，又2AD=，所以DH =，60DAH ∠=︒，30ABD ∠=︒，故90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥.又平面'BC D ⊥平面ABCD ，平面'BC D 平面ABCD BD =，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面'BC D ，又'BC ⊂平面'BC D ，所以'AD BC ⊥.（Ⅱ）以D 为原点，建立空间直角坐标系D xyz −如图所示，则()2,0,0A ，()0,23,0B ，()'0,3,1C ，()2,0,0DA =，()'2,3,1AC =−，()2,23,0AB =−，设平面'ADC 的法向量()1,,n x y z =，则110'0n DA n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x x y z =⎧⎪⎨−++=⎪⎩，解得03x z y =⎧⎪⎨=−⎪⎩，令1y =，得()10,1,3n =−，设平面'ABC 的法向量()2,,n x y z =，则220'0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2230230x y x y z ⎧−+=⎪⎨−++=⎪⎩，解得33x yz y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1y =，得()23,1,3n =，所以1212127cos ,727n n n n n n ⋅===−⨯，即二面角'B AC D −−的余弦值为77−. 22.【解析】（Ⅰ）建立直角坐标系xOy 如图所示，则点()6,5P 在椭圆22221x y a b+=上，将6b h ==与点()6,5P 代入椭圆方程，得11a =，此时221.811l a ==≈， 因此隧道设计的拱宽l 至少是22米.（Ⅱ）由椭圆方程22221x y a b +=，得2236251a b+≤，因为2236252651a b ab ⨯⨯≥+≥，即60ab ≥，302abS ππ=≥， 由于隧道长度为1.5千米，故隧道的土方工程量1.545V S π=≥，当V 取得最小值时，有65a b=且60ab =，得62a =，52b =， 此时212216.97l a ==≈，7.07h b =≈.①若8h b ==，此时217l a ==，此时1331785148ab V πππ⨯⨯===， ②若7h b ==，此时218l a ==，此时2339747.2544ab V πππ⨯⨯===，因为12V V >，故当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小.。

2019-2020学年广东省佛山市南海区七年级（下）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1．计算a3•a3的结果等于（）A．a9B．a6C．a27D．a02．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列事件中，随机事件是（）A．水中捞月B．明天太阳从西方升起C．抛一枚硬币，落地后硬币的正面朝上D．三角形的内角和是180°4．如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间直线最短C．两点之间线段最短D．垂线段最短5．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（）A．AM＝CN B．AB＝CD C．AM∥CN D．∠M＝∠N6．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：温度/℃﹣20﹣100102030声速/m/s318324330336342348下列说法错误的是（）A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740mD．当温度每升高10℃，声速增加6m/s7．若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个三角形的周长为（）A．18B．22C．24D．18或248．已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为18，则△ABE的面积为（）A．5B．4.5C．4D．99．若3x＝5，3y＝2，则3x﹣y的值为（）A．B．C．3D．﹣310．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠后，点C、点D的对应点分别为点C′和点D′，若∠1＝48°，则∠2的度数为（）A．138°B．132°C．121°D．111°二．填空题（共7小题）11．将0.000705用科学记数法表示为．12．如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，则∠AOD＝度．13．在一个不透明的盒子中装有n个小球，他们只有颜色上的区别，其中有3个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是．14．若x2+y2＝8，xy＝2，则（x﹣y）2＝．15．如图，△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC＝9cm，△BCE 的周长为15cm，则BC的长为cm．16．用七巧板摆成如图所示图形，一只蚂蚁在此图形上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是．17．如图，△ABC中，∠BDC＝90°，BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，若∠A＝40°，则∠F＝°．三．解答题18.计算：（π﹣3）0﹣|﹣2|+（）﹣2．19.尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．20.如图所示转盘平均分成10份，分别标有1，2，…，10这10个数字，转盘上有固定的指针，转动转盘，当转盘停止转动时，指针指向的区域对应的数字即为转出的数字（若指针指向分界处要重新转动，直至指到非分界处）．（1）转出的数字为奇数的概率是多少？（2）转出的数字是3的倍数的概率是多少？21.先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣y）2﹣2x2]÷4y，其中x＝﹣1，y＝2．22.已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．（1）试证明∠ABC＝∠ADC；（2）若∠ADC＝58°，求∠AEC的度数．23.通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干，取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（1）请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（a+b）2≠a2+b2（画图并写出过程）．（2）小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的长方形，则x＝，y＝，z＝．24.△ABC和△DBC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，延长CD、BA交于点E．（1）如图1，若AB＝AC，试说明BO＝EC；（2）如图2，∠MON为直角，它的两边OM、ON分别与AB、EC所在直线交于点M、N，如果OM＝ON，那么BM与CO是否相等？请说明理由．25.在抗击新冠肺炎疫情期间，司机小张开车免费将志愿者从A市送到B市，到达B市放下志愿者后立即按原路原速返回A市（志愿者下车时间忽略不计），而快递员小李则骑摩托车从B市向A市运送快递，他们出发时间相同，均沿两市间同一条公路匀速行驶，设两人行驶的时间为x（h），两人相距y（km），如图表示y随x变化而变化的情况，根据图象解决以下问题：（1）A、B两市之间的路程为km；点M表示的实际意义是；（2）小张开车的速度是km/h；小李骑摩托车的速度是km/h．（3）试求出发多长时间后，两人相距60km．2019-2020学年广东省佛山市南海区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．计算a3•a3的结果等于（）A．a9B．a6C．a27D．a0【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝a6，故选：B．2．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；B、是轴对称图形，故选项正确；C、不是轴对称图形，故选项错误；D、不是轴对称图形，故选项错误．故选：B．3．下列事件中，随机事件是（）A．水中捞月B．明天太阳从西方升起C．抛一枚硬币，落地后硬币的正面朝上D．三角形的内角和是180°【分析】直接利用随机事件的定义结合三角形内角和定理分别分析得出答案．【解答】解：A、水中捞月，是不可能事件，不合题意；B、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不合题意；C、抛一枚硬币，落地后硬币的正面朝上，是随机事件，符合题意；D、三角形的内角和是180°，是必然事件，不合题意．故选：C．4．如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间直线最短C．两点之间线段最短D．垂线段最短【分析】根据垂线段的性质解答即可．【解答】解：某同学的家在P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，故选：D．5．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（）A．AM＝CN B．AB＝CD C．AM∥CN D．∠M＝∠N【分析】利用三角形全等的条件分别进行分析即可．【解答】解：A、加上AM＝CN不能证明△ABM≌△CDN，故此选项符合题意；B、加上AB＝CD可利用SAS定理证明△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；C、加上AM∥CN可证明∠A＝∠NCB，可利用ASA定理证明△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；D、加上∠M＝∠N可利用ASA定理证明△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；故选：A．6．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：温度/℃﹣20﹣100102030声速/m/s318324330336342348下列说法错误的是（）A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740mD．当温度每升高10℃，声速增加6m/s【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．【解答】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴选项A正确；∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，∴选项B正确；∵342×5＝1710（m），∴当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m，∴选项C错误；∵324﹣318＝6（m/s），330﹣324＝6（m/s），336﹣330＝6（m/s），342﹣336＝6（m/s），348﹣342＝6（m/s），∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，∴选项D正确．故选：C．7．若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个三角形的周长为（）A．18B．22C．24D．18或24【分析】根据等腰三角形的两边长分别为4和10，分两种情况讨论：4为腰时；10为腰时；再由三角形的三边关系定理得出结论．【解答】解：∵一个等腰三角形的两边长分别为4和10，∴当4为腰时，三边长分别为4，4，10，∵4+4＝8＜10，∴不成立；当10为腰时，三边长分别为4，10，10，∴三角形的周长为24cm．故选：C．8．已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为18，则△ABE的面积为（）A．5B．4.5C．4D．9【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ABC＝×18＝9，∵BE是△ABD的中线，∴S△ABE＝S△ABD＝×9＝4.5．故选：B．9．若3x＝5，3y＝2，则3x﹣y的值为（）A．B．C．3D．﹣3【分析】根据同底数幂的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝3x÷3y＝5÷2＝，故选：A．10．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠后，点C、点D的对应点分别为点C′和点D′，若∠1＝48°，则∠2的度数为（）A．138°B．132°C．121°D．111°【分析】直接利用长方形的性质结合平行线的性质得出∠3＝∠6＝∠4，再利用四边形内角和定理得出答案．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠3＝∠6，∵把一张长方形纸片ABCD折叠后，点C、点D的对应点分别为点C′和点D′，∴∠3＝∠4＝∠6，∵∠1＝48°，∴∠5＝132°，∴∠6＝∠4＝＝69°，∴∠2＝180°﹣69°＝111°．故选：D．二．填空题（共7小题）11．将0.000705用科学记数法表示为7.05×10﹣4．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.000705用科学记数法表示为7.05×10﹣4．故答案为：7.05×10﹣4．12．如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，则∠AOD＝125度．【分析】根据图形求得∠COB＝∠COE+∠BOE＝125°；然后由对顶角相等的性质来求∠AOD的度数．【解答】解：∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°．又∵∠COE＝35°，∴∠COB＝∠COE+∠BOE＝125°．∵∠AOD＝∠COB（对顶角相等），∴∠AOD＝125°，故答案为：125．13．在一个不透明的盒子中装有n个小球，他们只有颜色上的区别，其中有3个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是15．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：由题意可得，＝0.2，解得，n＝15．故估计n大约有15个．故答案为：15．14．若x2+y2＝8，xy＝2，则（x﹣y）2＝4．【分析】直接利用完全平方公式去括号，再将已知代入求出答案．【解答】解：∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣4＝4．故答案为：4．15．如图，△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC＝9cm，△BCE 的周长为15cm，则BC的长为6cm．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，求出AC+BC＝15cm，再代入求出即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵△BCE的周长为15cm，∴BC+CE+BE＝15cm，∴BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝15cm，∵AC＝9cm，∴BC＝6cm，故答案为：6．16．用七巧板摆成如图所示图形，一只蚂蚁在此图形上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是．【分析】根据七巧板对应图形的面积，结合概率公式即可得到结论．【解答】解：设正方形的边长为a，则阴影部分的为×a×a++a2＝a2，∴它停在阴影部分的概率＝＝，故答案为：．17．如图，△ABC中，∠BDC＝90°，BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，若∠A＝40°，则∠F＝52.5°．【分析】想办法求出∠FBC+∠FCB即可解决问题．【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°，∵BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，∴∠FBD+∠FCD＝×50°＝37.5°，∴∠FBC+∠FCB＝37.5°+90°＝127.5°，∴∠F＝180°﹣127.5°＝52.5°，故答案为52.5．三．解答题18.计算：（π﹣3）0﹣|﹣2|+（）﹣2．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．【专题】511：实数；66：运算能力．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【解答】解：原式＝1﹣2+9＝8．19.尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．【考点】KB：全等三角形的判定；N3：作图—复杂作图．【专题】13：作图题．【分析】先作一个∠D＝∠A，然后在∠D的两边分别截取ED＝BA，DF＝AC，连接EF 即可得到△DEF；【解答】解：如图，△DEF即为所求．20.如图所示转盘平均分成10份，分别标有1，2，…，10这10个数字，转盘上有固定的指针，转动转盘，当转盘停止转动时，指针指向的区域对应的数字即为转出的数字（若指针指向分界处要重新转动，直至指到非分界处）．（1）转出的数字为奇数的概率是多少？（2）转出的数字是3的倍数的概率是多少？【考点】X4：概率公式．【分析】（1）由转盘平均分成10份，分别标有1，2，…，10这10个数字，且转出的数字为奇数的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）由转出的数字是3的倍数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵转盘平均分成10份，分别标有1，2，…，10这10个数字，转出的数字为奇数的有5种情况，∴转出的数字为奇数的概率是：＝；（2）∵转出的数字是3的倍数的有3种情况，∴转出的数字是3的倍数的概率是：．21.先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣y）2﹣2x2]÷4y，其中x＝﹣1，y＝2．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【专题】512：整式；66：运算能力．【分析】原式中括号中利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝（x2﹣4y2+x2﹣2xy+y2﹣2x2）÷4y＝（﹣3y2﹣2xy）÷4y＝﹣y﹣x，当x＝﹣1，y＝2时，原式＝﹣+＝﹣1．22.已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．（1）试证明∠ABC＝∠ADC；（2）若∠ADC＝58°，求∠AEC的度数．【考点】JA：平行线的性质．【专题】551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力．【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案（2）根据平行线的性质定理和角平分线的性质定理解答即可．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCE，∴∠ABC＝∠ADC，（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣58°＝122°，∵AE平分∠BAD，∴，∵AD∥BC，∴∠AEC＝∠DAE＝61°．23.通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干，取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（1）请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（a+b）2≠a2+b2（画图并写出过程）．（2）小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的长方形，则x＝2，y＝3，z＝7．【考点】4B：多项式乘多项式；4D：完全平方公式的几何背景．【专题】511：实数；512：整式；64：几何直观；68：模型思想；69：应用意识．【分析】（1）画出面积拼图，说明（a+b）2＝a2+2ab+b2，进而得出（a+b）2≠a2+b2；（2）利用多项式乘以多项式，根据结果得出答案．【解答】解：（1）如图，根据面积可得（a+b）2＝a2+2ab+b2；因此有（a+b）2≠a2+b2；（2）∵（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2，∴x＝2，y＝3，z＝7．故答案为：2，3，7．24.△ABC和△DBC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，延长CD、BA交于点E．（1）如图1，若AB＝AC，试说明BO＝EC；（2）如图2，∠MON为直角，它的两边OM、ON分别与AB、EC所在直线交于点M、N，如果OM＝ON，那么BM与CO是否相等？请说明理由．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力．【分析】（1）证明△BAO≌△CAE便可得结论；（2）证明△BOM≌△CNO便可得BM＝CO．【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABO+∠AOB＝∠DCO+∠DOC＝90°，∵∠AOB＝∠DOC，∴∠ABO＝∠DCO，∵∠EAC＝180°﹣∠BAC＝90°，∴∠BAO＝∠EAC，在△BAO和△CAE中，，∴△BAO≌△CAE（ASA），∴BO＝CE；（2）相等．理由如下：∵∠MON＝∠BAC＝90°，∴∠AMO+∠AOM＝∠AOM+∠AON＝90°，∴∠AMO＝∠AON，∴∠BMO＝∠NOC，由（1）知∠ABO＝∠DCO，在△BOM和△CNO中，，∴△BOM≌△CNO（AAS），∴BM＝CO．25.在抗击新冠肺炎疫情期间，司机小张开车免费将志愿者从A市送到B市，到达B市放下志愿者后立即按原路原速返回A市（志愿者下车时间忽略不计），而快递员小李则骑摩托车从B市向A市运送快递，他们出发时间相同，均沿两市间同一条公路匀速行驶，设两人行驶的时间为x（h），两人相距y（km），如图表示y随x变化而变化的情况，根据图象解决以下问题：（1）A、B两市之间的路程为240km；点M表示的实际意义是出发2小时小张与小李相遇；（2）小张开车的速度是80km/h；小李骑摩托车的速度是40km/h．（3）试求出发多长时间后，两人相距60km．【考点】FH：一次函数的应用．【专题】533：一次函数及其应用；68：模型思想；69：应用意识．【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据解答即可；（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得小张开车的速度和小李骑摩托车的速度；（3）由（2）的结论分情况列方程解答即可．【解答】解：（1）根据函数图象中的数据可得A、B两市之间的路程为240km，M表示的实际意义是出发2小时小张与小李相遇；故答案为：240；出发2小时小张与小李相遇；（2）小张开车的速度为：240÷3＝80（km/h），小李骑摩托车的速度为：240÷2﹣80＝40（km/h）．故答案为：80；40；（3）设出发x小时两人相距60km．由三种情况：相遇前：80x+40x+60＝240，解得x＝1.5；相遇后小张未到达B市前：80x+40x﹣60＝240，解得x＝2.5；小张返回途中：40x﹣80（x﹣3）＝60，解得x＝4.5；答：出发1.5，2.5，4.5小时，两人相距60km．。

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。