计算方法上机作业集合

计算方法上机作业——龙格库塔法龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种常用于求解常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）的数值解法。

它是由德国数学家卡尔·龙格（Carl Runge）和马丁·威尔海姆·库塔（Martin Wilhelm Kutta）在20世纪初提出的。

龙格库塔法的基本思想是通过数值逼近来计算微分方程的近似解。

在讲解龙格库塔法之前，我们先来简单回顾一下ODE的一阶常微分方程的基本形式：y′(y)=y(y,y)其中，y(y,y)是已知函数。

龙格库塔法的核心是使用差分逼近计算函数的斜率。

假设我们要求解的方程为：y′(y)=y(y,y),y(y)=y₀所需计算的点为y₀,y₁,...,yy，对应的函数值为y₀,y₁,...,yy，其中y是步长的个数。

龙格库塔法通过递推关系式来计算估计值，并不断更新当前点的函数值。

接下来以龙格库塔法的经典四阶形式为例进行说明。

该方法的基本方程如下：yy+1=yy+(y₁+2y₂+2y₃+y₄)/6y₁=ℎy(yy,yy)y₂=ℎy(yy+ℎ/2,yy+y₁/2)y₃=ℎy(yy+ℎ/2,yy+y₂/2)y₄=ℎy(yy+ℎ,yy+y₃)其中y表示当前步骤，ℎ表示步长，yy表示当前点的函数值，y₁,y₂,y₃和y₄则表示对应的斜率。

使用龙格库塔法，我们可以通过不断递归计算来求得指定区间（例如[y,y]）上的函数值。

具体步骤如下：1.确定求解区间[y,y]和初始点(y₀,y₀)以及步长ℎ。

2.初始化：设置yy=y₀，yy=y₀。

3.对所有y=0,...,y−1：计算y₁,y₂,y₃和y₄，根据上述递推关系式。

根据递推关系式计算yy+1更新当前点的函数值，即yy+1=y(yy+1)。

更新当前点的y值，即yy+1=yy+ℎ。

4.返回结果：最终求得的函数值。

需要注意的是，选择适当的步长对最终结果的精度和计算效率都有重要影响。

1.3集合的基本运算思考：我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？考查下列各个集合，你能说出集合C 与集合A 、B 之间的关系吗？(){}{}{}(){}{}{}是实数，是无理数，是有理数，，x x C x x B x x A C B A ======2;6,5,4,3,2,16,4,25,3,111.并集在上述两个问题中,集合A ，B 与集合C 之间都具有这样一种关系；集合C 是由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的.一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集，记作B A (读作“A 并B ”),即{}B x A x x B A ∈∈=或, .可用Venn 图1表示.图1这样，在问题（1）（2）中，集合A 与B 的并集是C ，即：CB A =2.交集考察下面的问题,集合A 、B 与集合C 之间有什么关系?(1){}{}{};8,12,8,5,3,10,8,6,4,2===C B A (2){}{}{}生月入学的高一年级女学年是某高中月入学的高一年级学生年是某高中，月在校的女学生年某高中920239202392023是x x C x x B x x A ===我们看到,在上述问题中,集合C 是由那些既属于集合A 且又属于集合B 的所有元素组成的.一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作B A (读作"A 交B ”),即{}.,B x A x x B A ∈∈=且 ，可用Venn 图2表示图2这样，在上述问题（1）（2）中，CB A = 3.补集在研究问题时,我们经常需要确定研究对象的范围.例如,从小学到初中,数的研究范围逐步地由自然数到正分数,再到有理数,引进无理数后,数的研究范围扩充到实数.在高中阶段,数的研究范围将进一步扩充.在不同范围研究同一个问题,可能有不同的结果.例如()(){}{};20322==--∈x x Q x 方程()()0322=--x x 的解集,在有理数范围内只有一个解2,即在实数范国内有三个解3-32，，即()(){}{}.3,3,20322-==--∈x x R x 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U .对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作{}.,A x U x x A C U ∉∈=且可用Venn 图3表示图34.并集的运算BA B B A A A A A A A A B B A ⊆⇔==∅=∅== 5.交集的运算()()分类讨论⎩⎨⎧∅≠∅=⇒∅≠∅=⊆⇔=∅=∅=∅==A A B B A BA AB A A A A A A A B B A 6.补集的运算()A A C C A C A U A C A U U U U =∅== 7.德摩根定律()()BC A C B A C B C A C B A C U U U U U U ==例1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,3,4C ．{}2,3,4D ．{}2,3【答案】D【分析】根据给定的条件，利用交集的定义求解作答.【详解】集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则{}2,3A B ⋂=.故选：D变式1-1．已知集合{3,0,2,,6}A π=-，*N B =，则A B = （）A ．{2,6}B ．{0,2,6}C ．{0,2,,6}πD ．{3,0,2,6}-【答案】A【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】因为集合{3,0,2,,6}A π=-，*B =N ，根据集合交集的运算，可得{2,6}A B = ．故选：A ．变式1-2．已知集合{}{}1,2,3,N2A B x x ==∈≤∣，则A B = （）A ．{}2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2D ．{}1,2,3【答案】C【分析】先求出集合B 中的元素，再求A B ⋂即可.【详解】{}{}{}1,2,3,N20,1,2A B x ==∈≤=∣，则{}1,2A B = 故选：C.变式1-3．已知集合{}3A x x =>，{}Z 26B x x =∈<<，则A B = （）A ．()35，B ．()45，C ．{}345，，D ．{}45，【答案】D【分析】根据题意结合集合的交集运算求解.【详解】因为{}{3},{6}3,4,5A xx B x x =>=∈<<=Z ∣∣2，所以{}4,5A B = .故选：D.变式1-4．已知集合{}16,{Z36}M xx N x x =≤≤=∈<<∣∣，则M N ⋂=（）A ．{}3,4B ．{}4C ．{}4,5,6D ．{}4,5【答案】D【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可.【详解】因为{}{}4,5,16N M xx ==≤≤∣，所以{}4,5M N ⋂=.故选：D例2．集合{}16A x x =<<，集合{}1,3,5,6,7B =，则A B = （）A ．{}7B ．{}1,3,5,6C ．{}3,5D ．{}3,5,7【答案】C【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}16A x x =<<，集合{}1,3,5,6,7B =，所以{}3,5A B = .故选：C.变式2-1．已知集合{}12A x x =-≤<，{}1,0,1,2B =-，则A B = （）A ．{}1,0,1,2-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}12x x -≤<【答案】B【分析】利用交集的定义运算即得答案.【详解】∵集合{}12A x x =-≤<，{}1,0,1,2B =-，∴{}1,0,1A B =- .故选：B.变式2-2．已知集合{20}A xx =-≤≤∣，{2,1,0,1,2}B =--，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{22}x x -≤≤∣C ．{2,1,0}--D ．{20}x -≤≤【答案】C【分析】根据交集的定义运算即可.【详解】因为{20}A xx =-≤≤∣，{2,1,0,1,2}B =--，所以{}2,1,0A B =-- ，故选：C.例3．设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，则A B ⋂等于（）A ．{|02}x x ≤≤B ．{}1|2x x -≤≤C ．{}|04x x ≤≤D ．{}1|4x x -≤≤【答案】A【分析】根据给定条件，利用交集的定义即可求解．【详解】因为{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，所以{|02}A B x x =≤≤ ，故选：A ．变式3-1．设全集为R ，集合{}|02A x x =<≤，{}|1B x x =>，则A B = （）A ．{}|01x x <≤B ．{}1|0x x <<C ．{}|12<≤x xD ．{}2|x x ≤【答案】C【分析】直接根据交集的定义求解即可.【详解】{}|02A x x =<≤ ，}|1B x x =>,{}|12A B x x ∴=<≤ .故选：C.变式3-2．已知集合{|24}A x x =≤<，集合{|3}B x x =≥，则A B = （）A ．∅B ．{34}x x ≤<∣C ．{23}x x ≤≤∣D ．{34}x x ≤≤∣【答案】B【分析】直接根据交集的概念求解即可.【详解】集合{|24}A x x =≤<，集合{|3}B x x =≥，则{|34}A B x x =≤< .故选：B.变式3-3．设集合{}03|M x x =<<，1{|}24N x x =≤≤，则M N ⋂等于（）A ．1{|0}2x x <≤B ．1{|3}2x x ≤<C ．{|34}x x ≤<D ．{|04}x x <≤【答案】B【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答.【详解】因为集合{}03|M x x =<<，1{|}24N x x =≤≤，所以1{|3}2M x N x =≤< .故选：B例4．已知集合{}{}1,2,3,4,1,2,4,6,8A B ==，则A B ⋃=（）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,4,6,8C ．{}1,2,3,4,6,8D ．{}1,2,6,8【答案】C【分析】根据并集的定义求得正确答案.【详解】已知集合{}{}1,2,3,4,1,2,4,6,8A B ==，所以{}1,2,3,4,6,8⋃=A B .故选：C变式4-1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}1,0,3B =-，则A B ⋃=（）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}2,3D ．{}3,0【答案】B【分析】根据并集的定义，即可求解.【详解】因为集合{}1,0,1,2A =-，{}1,0,3B =-，根据并集的定义可知，{}1,0,1,2,3A B ⋃=-.故选：B变式4-2．设集合{}3,2,1,0,1A =---，{}0,1,2,3,4B =，则A B ⋃元素的个数为（）A ．2B ．3C ．8D ．9【答案】C【分析】利用集合的并集运算求解.【详解】解：因为集合{}3,2,1,0,1A =---，{}0,1,2,3,4B =，所以A B ⋃{}3,2,1,0,1,2,3,4=---所以A B ⋃元素的个数为8，故选：C变式4-3．已知集合{}0,1,2,{N23}A B x x ==∈-<<∣，则A B ⋃=（）A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-【答案】C【分析】求出{0,1,2}B =，利用并集概念进行求解.【详解】{0,1,2}B =，故{}0,1,2A B = .故选：C变式4-4．设集合{},A a b =，{}1,3B a =+，若{}1A B ⋂=，则A B ⋃等于（）A ．{}0,1B ．{}0,3C ．{}0,1,1,3D ．{}0,1,3【答案】D【分析】利用交集的运算可得出a 、b 的值，在利用并集的定义可求得集合A B ⋃.【详解】因为{}1A B ⋂=，所以111a b +=⎧⎨=⎩，即01a b =⎧⎨=⎩，则{}0,1A =，{}1,3B =，所以{}0,1,3A B = ，故选：D ．例5．已知{}|20A x x =-<≤，{}|12=-<<B x x ，则A B ⋃=（）A ．{}|22x x -<<B ．{}|12x x -≤<C ．{}|10x x -≤≤D ．{}|10x x -<<【答案】A【分析】由并集的运算直接求解．【详解】因为{}|20A x x =-<≤，{}|12=-<<B x x ，则A B ⋃={}|22x x -<<．故选：A ．变式5-1．已知集合{|11}A x x =-≤≤，{|02}B x x =<≤，则A B ⋃=（）A ．{11}x x -≤≤∣B ．{|01}x x <≤C ．{|02}x x <≤D ．{|12}x x -≤≤【答案】D【分析】根据并集运算求解.【详解】因为集合{|11}A x x =-≤≤，{|02}B x x =<≤，所以A B ⋃={|12}x x -≤≤，故选:D.变式5-2．已知集合{}12A x x =-<<，{}03B x x =<<，则A B ⋃=（）A ．{}13x x -<<B ．{}10x x -<<C ．{}02x x <<D ．{}40x x -<<【答案】A【分析】根据集合的并集运算可得答案.【详解】因为{}12A x x =-<<，{}03B x x =<<，所以A B ⋃={}13x x -<<，故选：A.变式5-3．若集合{|11}{|02}A x x B x x =-<<=≤<，，则A B ⋃=（）A ．{|12}x x -<<B ．{|01}x x ≤<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】A【分析】根据集合的并集运算，即可得答案.【详解】由题意得集合{|11}{|02}A x x B x x =-<<=≤<，，则{|12}A B x x =-<< ，故选：A变式5-4．已知集合{}41A x x =<，{}368B x x =-<<，则A B ⋃=（）A ．14x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．1124x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．43x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．1324x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用并集的定义求解作答.【详解】依题意，1{|}4A x x =<，14{|}23B x x =-<<，所以4{|}3A B x x =< .故选：C例6．设集合{}{}1,2,3,4,5,2,3,5==U A ，则U A =ð（）A ．{}5B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,3,5【答案】B【分析】根据补集的定义求解即可.【详解】 集合{}{}1,2,3,4,5,2,3,5==U A ，{}1,4U A ∴=ð故选：B.变式6-1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2M =，则U M =ð（）A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4,5D ．{}1,2,3,4【答案】C【分析】根据补集的定义计算即可．【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，{}1,2M =，所以{}3,4,5U M =ð．故选：C ．变式6-2．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2,3,4A =，则U A =ð（）A ．∅B ．{}0C ．{}0,5D ．{}0,2,5【答案】C【详解】因为{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2,3,4A =，所以{}0,5U A =ð，故选：C.变式6-3．设集合U =R ，{2M x x =>或}2x ≤-，则U M =ð（）A ．{}22x x -<<B ．{}22x x -<≤C ．{2x x >或}2x <-D ．{2x x ≥或}2x ≤-【答案】B【分析】根据补集的运算可得答案.【详解】{}22U M x x =-<≤ð．故选：B ．例7．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,4,6,1,2,4,5U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{}3B ．{}6C ．{}3,6D ．{}2,3,4,6【答案】D【分析】由并集和补集的定义即可得出答案.【详解】集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,4,6,1,2,4,5U A B ===，则U ðB={}3,6，则A ⋃()U B ð={}2,3,4,6.故选：D.变式7-1．设全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{5,4,3}B =，则=U A B ⋂ð（）A ．{1,2,3,4,5}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}【答案】B【分析】根据补集和交集的含义即可得到答案.【详解】{}=0,1,2U B ð，则{}=1,2U A B ðÇ，故选：B.变式7-2．已知集合{}{}{}2,1,0,1,2,3,1,0,1,1,2 U A B =--=-=则()U A B ⋃=ð（）A ．{}2,3-B ．{}2,1,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3--【答案】A【分析】利用集合并集和补集概念求解.【详解】因为{}1,0,1,2A B ⋃=-,所以()U A B ⋃=ð{}2,3-，故选:A.变式7-3．已知集合{1A x x =≤或}3x >，{}2,1,2,3B =-，则()A B =R I ð（）A ．∅B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】C【分析】根据补集和交集定义直接求解即可.【详解】{}13A x x =<≤R ð，(){}2,3A B ∴=R ð.故选：C.变式7-4．已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2,3B =，则 U ð()A B ⋂=（）A ．{}2,3-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3--【答案】D【分析】由交集和补集的定义即可得出答案.【详解】解：由题意得{}1A B ⋂=，∴ U ð(){}2,1,0,2,3A B ⋂=--．故选：D.变式7-5．设{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =．则集合()U A B ⋃=ð（）A ．{}1,2,3,4,5,6B ．{}3C ．{}1,2,4,5,6,7,8D ．{}7,8【答案】D【分析】直接根据并集和补集的定义得答案.【详解】{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =，{}1,2,3,4,5,6A B ∴=U ，(){}7,8U A B = ð.故选：D.例8．已知集合{}24M x x =-<<，{}1N x x =-，则()R N M ⋂=ð（）A ．{}1x x -B ．{}4x xC ．{}2x x -D ．{}14x x -【答案】B【分析】利用补集和交集的定义求解即可.【详解】因为{}24M x x =-<<，所以R M =ð{}24x x x ≤-≥或，所以()R N M ⋂=ð{}4x x ≥.故选：B变式8-1．已知集合{|24}A x x =-<，R {|4}B x x =>ð，则A B = （）A ．{|2x x <-或4}x >B ．{|24}x x -<≤C ．{|2}x x <-D ．{|24}x x <≤【答案】B【分析】根据题意先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】{|2}A x x =>- ，{|4}B x x =≤，{|24}A B x x ∴⋂=-<≤．故选：B.变式8-2．已知全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}A =-，{}2B x x =≥，则()U A B ∩ð等于（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2-C ．{|2}x x <D ．{|12}x x -≤<【答案】A【分析】根据补集的运算，求得{|2}U B x x =<ð，结合交集的运算，即可求解.【详解】解：由集合{|2}B x x =≥，可得{|2}U B x x =<ð，又由合{1,0,1,2,3}A =-，可得(){1,0,1}U A B =- ð.故选：A.变式8-3．设集合{}|115A x x =≤+<，{}|2B x x =≤，则R ()A B = ð（）A ．{}|24x x <<B ．{}|02x x ≤≤C ．{}|04x x ≤<D ．{}|4x x <【答案】A【分析】求出集合A ，然后直接利用集合的交集与补集的概念求解即可．【详解】因为集合{}{}|115|04A x x x x =≤+<=≤<，{}|2B x x =≤，{}R 2B x x ∴=>ð，{}R ()|24A B x x ∴⋂=<<ð.故选：A ．变式8-4．设全集U =R ，{1A x x =≤-或}2x >，{},B y y x x ==∈R ，则()U A B ⋃=ð（）A ．{}1x x <-B ．{}10x x -<C ．{}12x x -<≤D ．{}1x x >-【答案】D【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由于{1A x x =≤-或}2x >，{}{},=0B y y x x y y ==∈≥R ,所以{}=12U A x x -<≤ð，因此(){}1U A B x x ⋃=>-ð，故选：D变式8-5．设集合{04}M x x =<<，{}35N x x =≤≤，则()()R R M N = 痧（）A ．{3x x <或4}x ≥B ．{34}x x ≤<C ．{0x x ≤或5}x >D ．{05}x x <≤【答案】C【分析】先求出R M ð和R N ð，再求交集即可.【详解】由已知得R {|0M x x =≤ð或4}x ≥，R {|3N x x =<ð或5}x >，()()R R {0M N x x ∴⋂=≤痧或5}x >.故选：C.变式8-6．{}0M x x m =+≥，{}24N x x =-<<，若U =R ，且()U M N ⋂=∅ð，则实数m 的取值范围是（）A ．2m <B ．2m ≤C ．2m ≥D ．2m ≥或4m ≤-【答案】C【分析】先求得U M ð，根据()U M N ⋂=∅ð求得m 的取值范围.【详解】因为{|0}M x x m =+≥，U =R ，所以{|}U M x x m =<-ð，{|24}N x x =-<<，因为()U M N ⋂=∅ð，所以2m ≥.故选：C例9．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3M =，{}3,5N =，则如图所示的阴影部分表示的集合是（）A ．{}3,4,5B ．{}1,3,5C ．{}1,2,5D ．{}2,4【答案】D【分析】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为()U M N ð，再利用集合的交并补运算即可得解.【详解】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为()U M N ð，因为{}1,3M =，{}3,5N =，所以{}1,3,5M N ⋃=，因为{}1,2,3,4,5U =，所以(){}2,4U M N ⋃=ð.故选：D.变式9-1．已知R 是实数集，集合{314},{10}A xx B x x =-<+≤=->∣∣，则下图中阴影部分表示的集合是（）A ．{43}x x -<≤∣B ．{41}xx -<<∣C ．{13}xx <≤∣D ．{}4xx ≤-∣【答案】D【分析】化简集合A ，B ，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答.【详解】依题意，{43},{1}A xx B x x =-<≤=<∣∣，由韦恩图知，阴影部分表示的集合是R ()ðA B ，而R {|4A x x =≤-ð或3}x >，所以{}R 4()xA B x =≤- ∣ð.故选：D变式9-2．图中U 是全集，A ，B 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()U AB ðB ．()U A B ⋂ðC ．()U A B ⋂ðD ．()()U U A B ⋂痧【答案】D【分析】由阴影部分的元素特点可直接得到结果.【详解】由Venn 图知，阴影部分的元素既不属于集合A ，也不属于集合B ，所以阴影部分表示的集合是U U U ()()()A B A B = 痧.故选：D变式9-3．如图，,,M P S 是全集I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()() ðI M P SD ．()()I M P S ð【答案】D【分析】根据Venn 图集合运算解决即可.【详解】观察Venn 图，可知阴影部分既在表示集合M 的区域中又在表示集合P 的区域中，即在表示集合,M P 的公共区域内，且在表示集合S 的区域外，即在集合I S ð中.根据集合运算的概念，可得阴影部分表示的集合为()()I M P S ð故选：D变式9-4．如图，U 是全集，M ，N ，P 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()M N P ⋂⋂B ．()M N P ⋃⋂C ．()()U M N P ⋂⋂ðD ．()()U M N P ⋃⋂ð【答案】C【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合M 的外部与集合N 集合P 交集内部的公共部分，求解即可.【详解】根据题意，阴影部分为集合M 的外部与集合N 集合P 交集内部的公共部分，即()()U M N P ⋂⋂ð.故选：C.变式9-5．已知全集U =R ，集合{}16,{33}A xx B x x =-≤≤=-<<∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}36x x ≤≤∣B ．{13}xx -<≤∣C ．{13}xx <≤∣D ．{31}xx -<≤-∣【答案】A【分析】由图可得阴影部分表示()U A B ð，然后用补集和交集的定义进行求解【详解】由图可得，图中阴影部分表示的集合为()U A B ð，因为{}16,{33}A xx B x x =-≤≤=-<<∣∣，所以{3U B x x =≤-ð或}3x ≥，(){}36U B A xx ⋂=≤≤∣ð，故选：A变式9-6．已知集合(){20},{10}M x x x N x x =-<=-<∣∣，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{12}xx ≤<∣的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法，结合四个选项的Venn 图逐一判断即可.【详解】()2002,101x x x x x -<⇒<<-<⇒<，选项A 中Venn 图中阴影部分表示()0,1M N = ，不符合题意；选项B 中Venn 图中阴影部分表示()[1,2)M M N = ð，符合题意；选项C 中Venn 图中阴影部分表示()(,0]N M N =-∞ ð，不符合题意；选项D 中Venn 图中阴影部分表示(),2M N =-∞ ，不符合题意，故选：B变式9-7．设全集I 是实数集R ，{2M x x =>或2}x <-与{13}N xx =<<∣都是I 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A ．{2}xx <∣B ．{}|21x x -≤<C ．{12}x x <≤∣D ．{22}xx -≤≤∣【答案】C【分析】求得{}22I M xx =-≤≤∣ð，而阴影部分表示的集合为()I N M ⋂ð，从而可求解.【详解】因为{}22I M xx =-≤≤∣ð，所以阴影部分表示的集合为(){12}I N M x x ⋂=<≤∣ð.故选：C.变式9-8．设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2【答案】B【分析】先求得集合{}2,1,0A =--，结合题意及集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}1Z 32,1,02A x x ⎧⎫=∈-<<=--⎨⎬⎩⎭，根据图中阴影部分表示集合B 中元素除去集合A 中的元素，即为{}1,2.故选：B.变式9-9．设全集U 及集合M 与N ，则如图阴影部分所表示的集合为（）A ．M N ⋂B ．M N ⋃C ．U M N ðD ．()U M N ð【答案】D【分析】根据集合并集，补集的定义即可判断．【详解】依题意图中阴影部分所表示的集合为()U M N ð．故选：D ．变式9-10．设集合{|12}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤≤，则Venn 图阴影区域表示的集合是（）A ．{|02}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤≤C ．{|04}x x ≤≤D ．{|14}x x ≤≤【答案】A【分析】利用交集的定义即可求解.【详解】由题意可知，Venn A B ⋂,所以{|12}{|04}{|02}A B x x x x x x =-≤≤≤≤=≤≤ .故选：A.例10．我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用()card A 表示有限集合A 中元素的个数.例如，{},,A a b c =，则()card 3A =.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有,,A B C 三类，那么，()card A B C =()()()()card card card card card card card A B C A B B C A C A B C ++---+ .某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可.【详解】设集合A ={参加足球队的学生}，集合B ={参加排球队的学生}，集合C ={参加游泳队的学生}，则()()()card 25,card 22,card 24A B C ===，()()()card 12,card 8,card 9A B B C A C === 设三项都参加的有x 人，即()card A B C x = ，()card 46A B C = ，所以由()card A B C =()()()()card card card card card card card A B C A B B C A C A B C ++---+ 即462522241289x =++---+，解得4x =，三项都参加的有4人，故选：C.变式10-1．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数为（）A ．50B ．60C ．70D ．80【答案】C【分析】由题意可知：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有10人，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，再计算即可得解.【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，使用过共享单车或移动支付的学生共有90位，使用过移动支付的学生共有80位，则可得：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有90-80=10人，又使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，即使用过共享单车的学生人数为10+60=70，故选:C.变式10-2．某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌､跳舞､书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（）A．27B．23C．25D．29【答案】A【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为++++++=.5211043227故选：A变式10-3．某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有（）A．98人B．106人C．104人D．110【答案】B【分析】根据韦恩图可求高一年级参加比赛的同学的人数.【详解】由上述韦恩图可得高一年级参加比赛的同学的人数为：11625748142106++---+=，故选：B.变式10-4．学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛．只参加球类一项比赛的人数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【分析】先将只参加田径比赛的人数，只参加球类比赛的人数，同时参加球类比赛和田径比赛的人数分别表示出来，再根据总人数为30人列出等式即可.【详解】设同时参加球类比赛和田径比赛的有x人，则只参加田径比赛的人数为：7x-，-；只参加球类比赛的人数为：9x可列等式：9427930+++-++-=，x x x可得：1x =，故只参加球类比赛的人数为：9918x -=-=，故选：C变式10-5．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，田赛和径赛都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（）A ．16人B ．18人C ．23人D ．28人【答案】C【分析】根据题意得到只参加田赛的学生人数和只参加径赛的学生人数，然后再加上都参加的，即可得到参加运动会的人数.【详解】根据题意可知，只参加田赛的学生有15510-=，只参加径赛的有1358-=人，所以参加运动会的人数为108523++=人.故选：C.变式10-6．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（）A ．120B ．144C ．177D ．192【答案】B【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解.【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,A B C 表示，则()63,()89,()47,()24card A card B card C card A B C ===⋂⋂=，，不妨设总人数为n ，韦恩图中三块区域的人数分别为,,x y z ，即()24,()24,()24card A B x card A C y card B C z ⋂=+⋂=+⋂=+，22x y z ++=，由容斥原理：15()()()()()()()n card A card B card C card A B card A C card B C card A B C -=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂638947(24)(24)(24)24x y z =++-+-+-++，解得：144n =，故选：B.例11．设集合{}24120A x x x =--=，{}20B x ax =-=.(1)若{}2,1,6A B =- ，求a 的值；(2)若A B B = ，求实数a 组成的集合C .【答案】(1)2a =(2)11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）求出集合A ，根据A B ⋃，即可得出1B ∈，从而即得；（2）由题可知B A ⊆，然后分类讨论，从而得出实数a 组成的集合．【详解】（1）由24120x x --=，解得2x =-或6x =，所以{}2,6A =-，因为{}2,1,6A B =- ，所以1B ∈，则120a ⋅-=，所以2a =；（2）因为A B B = ，则B A ⊆，当B =∅时，0a =；当{}2B =-时，1a =-；当{}6B =时，13a =，综上可得集合11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎩⎭.变式11-1．设集合{}{}(){}2221,1,33,210,10A a a a B x x x C x x a x a =--+-=-+==-++=.(1)讨论集合B 与C 的关系；(2)若a<0，且A C C ⋂=，求实数a 的值.【答案】(1)答案见解析(2)3a =-或12a =-【分析】（1）解方程得到,B C ，分两种情况，得到,B C 的关系；（2）根据交集结果得到C A ⊆，分类讨论，求出实数a 的值.【详解】（1）{}()(){}1,10B C x x x a ==--=，当1a =时，{}1B C ==；当1a ≠时，{}1,C a =，B 是C 的真子集.（2）当a<0时，因为A C C ⋂=，所以C A ⊆，所以{}1,a A ⊆.当233a a a +-=时，解得1a =（舍去）或3a =-，此时{}1,3,2A =-，符合题意.当1a a --=时，解得12a =-，此时1171,,24A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭符合题意.综上，3a =-或12a =-.例12．集合()(){}|520A x x x =-+≤，集合{}|121B x m x m =-≤≤+.(1)当3m =时，求A B ⋃，A ⋂；(2)若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】(1){27}A B x x =-≤≤ ∣，{25}A B x x =≤≤ ∣(2)()[]21,2-∞-- 【分析】（1）分别求解两个集合，再求集合的交，并集；（2）由条件可知，B A ⊆，再分B =∅和B ≠∅两种情况，求实数m 的取值范围.【详解】（1）解不等式()()520x x -+£，得25x -≤≤，所以{25}A xx =-≤≤∣，当3m =时，则{27}B xx =≤≤∣，所以{27}A B xx =-≤≤ ∣，{25}A B x x =≤≤ ∣；（2）因为A B B = ，所以B A⊆当B =∅时，121m m ->+，即2m <-，此时B A ⊆；当B ≠∅时，2m ≥-，则12215m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得:12m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是()[]21,2-∞-- .变式12-1．已知集合{13}A xx =-<<∣，{04}B x x =<<∣，{01}C x x a =<<+∣(1)求A B ⋃；()R A B ð；(2)若B C C = ，求实数a 的取值范围．【答案】(1){14}A B xx ⋃=-<<∣，R {10}A B x x ⋂=-<≤∣ð(2)3a ≤【分析】（1）根据并集的概念和运算即可求出A B ⋃，根据交集和补集的概念与运算即可求解；（2）由B C C = 得C B ⊆，分类讨论当C =∅、C ≠∅时a 的取值范围，进而求解.【详解】（1）由题意知：{14}A B xx ⋃=-<<∣；{0U B x x =≤ð或4}x ≥，所以(){10}U A B xx ⋂=-<≤∣ð；（2）若B C C = ，则C B ⊆，①当C =∅时，10a +≤，即1a ≤-，②当C ≠∅时，10a +>，即1a >-，所以1014a a +>⎧⎨+≤⎩，解得13a -<≤．综上所述：a 的取值范围为：3a ≤．例13．已知集合{}|27A x x =≤<，{}310|B x x =<<，{}|C x x a =<.(1)求A B ⋃；(2)若A C ⋂≠∅，求a 的取值范围.【答案】(1){}210|A B x x =≤<(2)()2,+∞【分析】（1）根据并集的定义计算可得；（2）根据A C ⋂≠∅即可得到2a >，从而得解.【详解】（1）解：因为{}|27A x x =≤<，{}310|B x x =<<，所以{}210|A B x x =≤< .（2）解：因为{}|27A x x =≤<，{}|C x x a =<且A C ⋂≠∅，所以2a >，即a 的取值范围为()2,+∞.变式13-1．已知集合{|231}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<≤．(1)若0a =，求A B ⋃；(2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】(1){|31}A B x x =-<≤U (2)(,1][2,)-∞-+∞ 【分析】（1）直接计算并集即可.（2）考虑A =∅和A ≠∅两种情况，得到4231a a <⎧⎨-≥⎩或410a a <⎧⎨+≤⎩，解得答案.【详解】（1）当0a =时，|31}A x =-<<，{|01}B x x =<≤，{|31}A B x x =-<≤U .（2）A B ⋂=∅当A =∅时，231a a -≥+，解得4a ≥，当A ≠∅时，4231a a <⎧⎨-≥⎩或410a a <⎧⎨+≤⎩，解得：24a ≤<或1a ≤-，综上所述：实数a 的取值范围(,1][2,)-∞-+∞ ．例14．设集合{}240A x x =-=，()(){}222150B x x a x a =+++-=，(1)若{}2A B ⋂=，求实数a 的值；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】(1)3a =-(2)]{}(,31a ∞∈--⋃-【分析】（1）由{}2A B ⋂=可知2B ∈，代入集合B 分类讨论a 的取值即可得3a =-；（2）根据并集结果可得B A ⊆，再对集合B 是否为空集进行分类讨论即可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）由集合{}240A x x =-=可得{}2,2A =-，由{}2A B ⋂=可得2B ∈，故244(1)50a a +++-=，解得1a =-或3a =-，当1a =-时，{}2,2B =-，此时{}2,2A B =- 不满足题意，舍去，当3a =-时，{}2B =，满足题意，故3a =-；（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，当224(1)4(5)0a a ∆=+--<时，即3a <-时，B =∅满足题意；当Δ0=时，即3a =-时，{}2B =满足题意；当0∆>时，即3a >-时，()221054a a ⎧+=⎨-=-⎩，解得1a =-，综上可得，3a ≤-或1a =-；即实数a 的取值范围为]{}(,31a ∞∈--⋃-.变式14-1．已知{}{}22|30,,|0,A x x mx x B x x x n x =+-=∈=-+=∈R R ，若{3,0,1}A B =- ，求实数,m n 的值.【答案】2,0m n ==.【分析】由韦达定理可知230x mx +-=的两根之积为3-，从而{}3,1A =-，再利用两根之和等于m -即可求m ，又{3,0,1}A B =- ，所以0B ∈，利用方程解得含义即可求得n【详解】因为230x mx +-=中2120m ∆=+>，且两根之积为3-，又{3,0,1}A B =- ，故{}{}2|30,3,1A x x mx x =+-=∈=-R ，所以312m -=-+=-，则2m =，由上知：0B ∈，所以0n =，代入得{0,1}B =，显然满足{3,0,1}A B =- .所以2,0m n ==.例15．已知集合{|22}A x x =-<<，{|1}B x x =>．(1)求集合R B ð；(2)设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】(1){}R 1B x x =≤ð(2)42a -≤≤-【分析】（1）根据补集的概念可得结果；（2）由A M M ⋃=，得A M ⊆，根据子集关系列式可求出结果.【详解】（1）∵{}1B x x =>，∴{}R 1B x x =≤ð．（2）∵A M M ⋃=，∴A M ⊆，∴262a a ≤-⎧⎨+≥⎩，解得42a -≤≤-.变式15-1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{|2324}x x -≤-≤，B ＝{|3}x m x m ≤≤+．(1)当m ＝1-时，求A B ⋂与U A B U ð；(2)若A B ⋃＝B ，求实数m 的取值范围．【答案】(1){|02}A B x x =≤≤ ，{|1U A B x x ⋃=<-ð或0}x ≥(2)[1,0]-【分析】（1）化简集合A ，当1m =-时，求出集合B ，求出U B ð，即可求出结果；（2）由A B B ⋃=得出A B ⊆，列出关于m 的不等式组，求解即可.【详解】（1）由已知，得{|02}A x x =≤≤，当1m =-时，{|12}B x x =-≤≤，故{|02}A B x x =≤≤ .{|1U B x x =<-ð或2}x >，{|1U A B x x ⋃=<-ð或0}x ≥.（2）∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，∴032m m ≤⎧⎨+≥⎩，解得10m -≤≤∴实数m 的取值范围为[1,0]-．变式15-2．已知集合{}1,2A =-，()(){}10B x x x a =+-=.(1)若1a =，求A B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值集合.【答案】(1){}1-；(2){}1,2-.【分析】（1）化简集合，然后根据交集的定义即得；（2）根据A B A ⋃=对a 进行分类讨论，从而求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()(){}{}|1101,1B x x x =+-==-，又{}1,2A =-，所以{}1A B ⋂=-；（2）由()()10x x a +-=解得11x =-，2x a =，若1a =-，则{}1B =-，A B A ⋃=，符合题意；若1a ≠-，由于A B A ⋃=，所以2a =；综上所述，实数a 的取值集合为{}1,2-.变式15-3．已知集合352A x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，{1B x x =<或}2x >，{}1C x k x k =<<+，全集U =R .(1)求()U A B ∩ð；(2)若A C A ⋃=，求k 的取值范围.【答案】(1)()312U A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭ð(2)15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据集合补集，交集运算求解即可；（2）由题知C A ⊆，再根据集合关系求解即可.【详解】（1）解：∵U =R ，{1B x x =<或}2x >，∴{}12U B x x =≤≤ð.又∵352A x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，∴()312U A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭ð.（2）解：∵A C A ⋃=，∴C A ⊆.∴5312k k ≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得152k -≤≤.∴k 的取值范围为15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例16．已知集合{}|16P x x x =<->或，{}|11Q x m x m =-≤≤+，全集为R .(1)求集合P R ð；(2)若()P Q P =R R 痧，求实数m 的取值范围.【答案】(1){}16x x -≤≤(2)(],2∞-【分析】(1)由已知结合集合补集的运算即可求解；(2)由()P Q P =R R 痧，则R Q P ⊆ð，然后对Q 是否为空集进行分类讨论即可求解.【详解】（1）{}|16P x x x =- 或，{}R |16P x x ∴=-≤≤ð.（2）由()P Q P =R R 痧得，R Q P ⊆ð，当Q=∅时，由{}|11Q x m x m =-≤≤+，可得11m m ->+，即0m <；当Q ≠∅时，由{}|11Q x m x m =-≤≤+，且R Q P ⊆ð，可得111116m m m m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得02m ≤≤，综上所述，实数m 的取值范围为(],2∞-.变式16-1．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{}14B x x x =≤≥或.(1)当3a =时，求A B ⋂；(2)若0a >，且A B ⊆R ð，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[][]1,14,5A B ⋂=-⋃(2)()0,1【分析】（1）3a =时化简集合A ，根据交集的定义写出A B ⋂；（2）根据A B ⊆R ð，得出关于a 的不等式，求出解集即可.【详解】（1）当3a =时，集合{}15A x x =-≤≤，{}14B x x x =≤≥或，∴[][]1,14,5A B ⋂=-⋃；（2）∵A B ⊆R ð，{}22A x a x a =-≤≤+（0a >），{}14B x x x =≤≥或，∴{}|14B x x =<<R ð，∴2124a a ->⎧⎨+<⎩，又0a >，解得01a <<.∴实数a 的取值范围是：()0,1.变式16-2．记不等式()0R a x a -≤∈的解集为A ，集合{|1B x x =<-或3}x >．(1)当1a =时，求A B ⋃；(2)若R A B ≠∅ ð，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()[),11,∞∞--⋃+(2)3a ≤【分析】（1）求出集合A ，代入1a =，进而可求得A B ⋃；（2）求出R B ð，再根据R A B ≠∅ ð可得实数a 的取值范围．【详解】（1）0a x -≤ ，x a ∴≥，即[),A a =+∞，当1a =时，[)1,A =+∞，又集合{|1B x x =<-或3}x >()[),11,A B ∞∞∴⋃=--⋃+；（2）由已知[]R 1,3B =-ð，R A B ⋂≠∅ ð，[),A a =+∞3a ∴≤.变式16-3．已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{22B x m x m =-≤≤+，}x R ∈．（1）若{}03A B x x ⋂=≤≤，求实数m 的值；（2）若()R A B A ⋂=ð，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{5m m >，或}3m <-．【分析】（1）结合交集的定义和{}03A B x x ⋂=≤≤分析可得2023m m -=⎧⎨+≥⎩，求解即可；（2）由题可知{2R B x x m =<-ð，或}2x m >+，再由()R A B A ⋂=ð可知R A B ⊆ð，由此得出满足题意的不等式求解即可.【详解】（1）因为{}03A B x x ⋂=≤≤，所以2023m m -=⎧⎨+≥⎩，所以21m m =⎧⎨≥⎩，所以2m =；（2）{2R B x x m =<-ð，或}2x m >+，由已知可得R A B ⊆ð，所以23m ->或21m +<-，所以5m >或3m <-，故实数m 的取值范围为{5m m >，或}3m <-．【点睛】本题考查集合之间的基本关系，考查集合的基本运算，考查逻辑思维能力和计算能力，考查分析能力，属于常考题.变式16-4．已知集合{|42}A x x =-≤≤-，集合{|0}B x x a =-≥．（1）若A B ⊆，求a 的取值范围；（2）若全集U =R ，且C U A B ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）{|4}a a ≤-（2）{|2}a a >-【解析】（1）结合数轴得到满足条件的不等式，即得；（2）{|}B x x a =≥，那么C {|}U B x x a =<，结合数轴得到满足条件的不等式，即得.【详解】解:{|42}A x x =-≤≤-，{|}B x x a =≥．（1）由A B ⊆，结合数轴（如图所示），可知4a ≤-，因此a 的取值范围为{|4}a a ≤-．（2）∵U =R ，∴C {|}U B x x a =<，要使C U A B ⊆，结合数轴（如图所示），可知2a >-故a 的取值范围为{|2}a a >-．【点睛】本题考查集合的子集和补集，结合数轴来求出变量取值范围.。

计算方法作业集计算方法是一种对计算过程和计算方法的总称，它包括了许多不同的算法和技术，如数值计算、符号计算、分布式计算等等。

在数学和计算机科学中，计算方法被广泛应用于各种领域，如科学计算、工程设计、数据处理等等。

下面是一些常见的计算方法及其简要描述。

1.迭代法迭代法是一种通过不断重复计算来逼近解的算法。

它通常由一个初始值开始，然后使用一个迭代公式来计算新的值，并将新值作为下一次迭代的输入。

重复执行这个过程，直到新值与旧值之差小于某个预定的阈值。

在数值分析中，迭代法被广泛应用于求解线性方程组、最优化问题等等。

2.枚举法枚举法是一种通过列举所有可能的情况来求解问题的算法。

它通常适用于组合优化问题，如旅行商问题、0-1背包问题等等。

枚举法在求解这些问题时，会列举出所有可能的状态，并逐个检查每个状态是否符合问题的要求。

在某些情况下，枚举法可以通过暴力法实现，即列举出所有可能的状态并逐个比较。

3.分治法分治法是一种将问题分解成若干个子问题，然后分别求解子问题，并将子问题的解合并成原问题的解的算法。

它通常被应用于求解大规模、复杂的问题，如归并排序、快速排序等等。

在分治法中，问题被分成若干个子问题，每个子问题都可以独立求解，然后通过合并子问题的解得到原问题的解。

4.贪心算法贪心算法是一种在每一步选择中都选取当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法。

这种算法在求解某些优化问题时具有良好的效果，如霍夫曼编码、最小生成树等等。

贪心算法的关键在于选取局部最优的选择，并希望能够得到全局最优解。

5.动态规划动态规划是一种通过将问题分解为相互重叠的子问题，并存储子问题的解，以避免重复计算的技术。

它通常被应用于求解最优化问题，如最长公共子序列、背包问题等等。

动态规划的关键在于将问题分解为相互重叠的子问题，并存储这些子问题的解以便后续使用。

通过这种方式，动态规划可以避免重复计算，从而提高算法的效率。

1集合的基本运算例题讲解题型一 并集运算一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与集合B 的并集,记作,读作“A 并B ”.即B A .{}B x A x x B A ∈∈=或, 求并集的方法（1）求两个有限集的并集 按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性.（2）求两个无限集的并集 借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.例1. 已知集合,,则【 】{}31≤≤∈=x N x A {}5,4,3,2=B =B A （A ）（B ） {}2{}3,2（C ） （D ）{}5,4,3,2{}5,4,3,2,1分析:将一个用描述法表示的集合转化为用列举法表示时,一定要弄清代表元素的含义或特征.求两个集合的并集运算时,可以按照并集的定义进行,也可以用Venn 图求解或借助于数轴求解.解:∵{}{}3,2,131=≤≤∈=x N x A ∴.=B A {}{}{}5,4,3,2,15,4,3,23,2,1= 选择【 D 】.例2. 已知集合,,则____________. {}1≥=x x A {}0322<--=x x x B =B A 分析:先解一元二次不等式,求出集合B ,然后把集合A 、B 在数轴0322<--x x 上画出来,它们对应图形所覆盖的全部范围即为.B A 解:∵{}{}310322<<-=<--=x x x x x B ∴.=B A {}{}{}1311->=<<-≥x x x x x x例3. 已知集合,,若,则等于【 】{}m A ,3,1={}m B ,1=A B A = m （A ）0或（B ）0或3 3（C ）1或 （D ）1或3 3分析:,由集合元素的互异性,得,排除C 、D 选项.{}m B ,1=1≠m 因为,根据并集的性质,所以,这样就将两个集合的并集运算A B A = A B ⊆转化为了这两个集合之间的关系,从而可以确定参数的值或取值范围. 解:∵,∴或A B A = 3=m m m =当时,解之得:（不符合题意,舍去）m m =0=m 1=m 综上,或.3=m 0=m 例4. 已知集合,,若,则实数的取值范围是{}012≤-=x x P {}a M =P M P = a __________.分析:∵,∴.P M P = P M ⊆解:{}{}11012≤≤-=≤-=x x x x P ∵,∴,∴P M P = P M ⊆P a ∈∴实数的取值范围是.a {}11≤≤-a a 例5. 已知集合,,且,求的值.{}x A ,3,2,1={}2,3x B ={}x B A ,3,2,1= x 分析:由题意可知:,所以,从而,且.A B A = A B ⊆A x ∈232≠x 解:分为三种情况:①当时,解之得:（不符合题意,舍去）;12=x 1-=x 1=x ②当时,解之得:;22=x 2±=x ③当时,解之得:.x x =20=x 综上所述,的值为0或或.x 2±1-注意:在求参数的值时,参数的值要满足集合元素的互异性.例6. 已知集合,,求.{}32>-=x x A {}a x x x B ->-=332B A 分析:对于含参集合参与的集合运算,要注意分类讨论.解:,.{}{}532>=>-=x x x x A {}{}3332-<=->-=a x x a x x x B 当≤5,即≤8时,;3-a a {}53>-<=x a x x B A 或 当时,即时,R .53>-a 8>a =B Aa 3例7.（易错题）已知集合,,且,求由的取值构{}1,1-=A {}1==mx x B A B A = m 成的集合.分析:因为,所以.由于集合B 是一个含参集合,所以要对集合B A B A = A B ⊆分和两种情况进行讨论.∅=B ∅≠B 解:∵,∴.A B A = A B ⊆当时,,满足;0=m ∅=B A B ⊆当时,或: 0≠m {}11-=⎭⎫⎩⎨⎧==m x x B {}1=B ①若,则,解之得:; {}1-=B 11-=m 1-=m ②若,则,解之得:. {}1=B 11=m1=m 综上所述,的取值构成的集合为.m {}1,0,1-例8. 设集合,,若,则实数{}52<<-=x x M {}122+<<-=t x t x N M N M = t 的取值范围是__________.分析:先将并集运算的结果转化为两个集合M , N 之间的关系M N M = ,从而列出关于参数的不等式（组）求解.注意含参集合的分类讨论. M N ⊆t 解:∵,∴.M N M = M N ⊆分为两种情况:①当时,有≥,解之得:≤; ∅=N t -212+t t 31②当时,则有:∅≠N ,解之得:≤2. ⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+<-51222122t t t t t <31综上所述,实数的取值范围是.t {}2≤t t 警示:在解决本题时,任意忽略的情况,另外要注意端点值能否取到. ∅=N 例9. 已知集合,,若,求实数的取值范围. {}2,1-=A {}01>+=mx x B B B A = m 分析:注意本题与例7的区别.解:∵,∴.B B A = B A ⊆分为三种情况:①当时,恒成立,∴R ,满足;0=m 01>{}=>+=01mx x B B A ⊆②当时,,有,解之得: 0>m {}⎭⎫⎩⎨⎧->=>+=m x x mx x B 10111-<-m 1<m ∴;10<<m ③当时,,有,解之得: 0<m {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<=>+=m x x mx x B 10121>-m 21->m ∴. 021<<-m 综上所述,实数的取值范围是. m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-121m m 题型二 交集运算一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为集合A 与集合B 的交集,记作,读作“A 交B ”.B A .{}B x A x x B A ∈∈=且, 求交集的方法（1）求两个有限集的交集 按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素.（或可借助于Venn 图）（2）求两个无限集的交集 借助于数轴进行计算.两个集合的解集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围.例10. 设集合,集合,则【 】{}01>+∈=x Z x A {}02≤-=x x B =B A （A ）（B ） {}21<<-x x {}21≤<-x x （C ） （D ）{}2,1-{}2,1,0分析:在进行集合的运算之前,要先弄清楚各个集合的本质.本题中集合A 的代表元素为整数,所以集合A 为范围内的整数集.x 1->x 解:∵,{}{}101->∈=>+∈=x Z x x Z x A {}{}202≤=≤-=x x x x B ∴.=B A {}{}2,1,021=≤<-∈x Z x 选择【 D 】.例11. 设集合,,若,则实数的取值范围{}21<≤-=x x A {}a x x B <=∅≠B A a 是__________.分析:说明集合A 、B 有公共元素,在数轴上集合A 、B 所对应的图形覆∅≠B A 盖的区域有公共部分.解:.{}1->a a例12. 设集合,,若,求实数{}52<<-=x x M {}122+<<-=t x t x N N N M = t 的取值范围.分析:若,则由交集的性质知,在得到这两个集合之间的关系N N M = M N ⊆后借助于数轴就可以列出不等式（组）进行求解了.解:∵,∴.N N M = M N ⊆分为两种情况:①当时,满足,有≥,解之得:≤; ∅=N M N ⊆t -212+t t 31②当时,则有:∅≠N,解之得:≤2. ⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+<-51222122t t t t t <31综上所述,实数的取值范围是.t {}2≤t t ★例13.（易错题）设集合,,则{}R x x y y A ∈+==,12{}R x x y y B ∈+==,1B A 等于【 】（A ）（B ） {}1≥y y {}2,1（C ） （D ）()(){}2,1,1,0∅错解:解方程组得:或,故选【 C 】. ⎩⎨⎧+=+=112x y x y ⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==21y x 错因分析:这里好多学生认为是求抛物线和直线的交点坐标所12+=x y 1+=x y 构成的集合,根源在于没有搞清楚集合A , B 的本质,没有弄清楚集合的代表元素的特征.分析:本题中的两个集合都是由函数值构成的,它们的代表元素是函数值.y 表示函数和函数的函数值的交集.B A 12+=x y 1+=x y 解:∵,R .{}{}1,12≥=∈+==y y R x x y y A {}=∈+==R x x y y B ,1∴R .{} 1≥=y y B A {}1≥=y y 选择【 A 】. 变式: 设集合,,则等于【 】(){}1,2+==x y y x A (){}1,+==x y y x B B A （A ）（B ） {}1≥y y {}2,1（C ） （D ）()(){}2,1,1,0∅例14. 已知集合,集合,则中元素的个(){}1,22=+=y x y x A (){}x y y x B ==,B A 数为【 】（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0解:解方程组得: ⎩⎨⎧==+xy y x 122或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2222y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2222y x ∴,共有2个元素.选择【 B 】. B A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22,22,22方法二:由后面的学习可以知道,方程是单位圆的方程（以原点为圆心,122=+y x 以1为半径的圆）.集合A 是由圆上的所有点构成的,集合B 是由直线122=+y x 上的所有点构成的,所以就是由单位圆与直线的交点构成的,如图所x y =B A 示,交点有两个,故中元素的个数为2.B A例15.（2018沈阳重点高中）设集合,.{}52≤≤-=x x A {}121-≤≤+=m x m x B （1）若,求A 的非空真子集的个数;{}52≤≤-∈=x Z x A （2）若,求实数的取值范围.B B A = m 分析:（1）子集、真子集个数的确定若集合A 含有个元素,则集合A :n （1）含有个子集;n 2（2）含有个非空子集;12-n （3）含有个真子集;12-n （4）含有个非空真子集.22-n （2）若,则,注意分类讨论.B B A = A B ⊆解:（1）{}{}5,4,3,2,1,0,1,2-52-=≤≤-∈=x Z x A∵集合A 中含有8个元素∴集合A 的非空真子集的个数为;2542-28=（2）∵,∴.B B A = A B ⊆分为两种情况:①当时,满足,有,解之得:;∅=B A B ⊆121->+m m 2<m ②当时,则有:∅≠B ,解之得:≤≤3. ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m 2m 综上所述,实数的取值范围是. m {}3≤m m 例16. 设,,其中R ,如果{}042=+=x x x A (){}011222=-+++=a x a x x B ∈x ,求实数的取值范围.B B A = a 解:{}{}4,0042-==+=x x x A ∵,∴B B A = A B ⊆分为两种情况:①当时,满足∅=B B B A = ∴,解之得:; ()[]()0141222<--+=∆a a 1-<a ②当时,或或.∅≠B {}0=B {}4-=B {}4,0-=B 若或,则有,解之得: {}0=B {}4-=B ()[]()0141222=--+=∆a a 1-=a 经检验,此时;{}0=B 若,则由根与系数的关系定理可得:{}4,0-=B ,解之得:. ()⎩⎨⎧=--=+-014122a a 1=a 综上所述,实数的取值范围是. a {}11-≤=a a a 或例17. 设集合,,若,求实数的{}3+≤≤=a x a x A {}51>-<=x x x B 或∅=B A a取值范围.分析:对于任意实数,都有,所以本题中集合A 不会是空集.a 3+<a a 解:∵,∴.3+<a a ∅≠A ∵∅=B A ∴,解之得:≤≤2. ⎩⎨⎧≤+-≥531a a 1-a ∴实数的取值范围是. a {}21≤≤-a a ★★例18.（综合性强）已知集合,集合()(){}011222>++++-=a a y a a y y A ,若: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==30,25212x x x y y B ∅=B A （1）求实数的取值范围;a （2）当恒成立时,求的最小值.ax x ≥+12a 分析:（1）求集合A 时要解含参一元二次不等式,可借助于因式分解:()()()()()()()()()[]11111122222222+--=-+--=++-+-=++++-a y a y a y a a y y a a ay a y y a a y a a y 对于集合B ,代表元素是,所以集合B 是函数值的集合,通过配方得:y ()2121252122+-=+-=x x x y ∵0≤≤3,∴2≤≤4,∴;x y {}42≤≤=y y B （2）这是与二次函数有关的恒成立问题,使用数形结合方法.解:（1）()(){}()()[]{}010112222>+--=>++++-=a y a y y a a y a a y y A ∵（这里作差比较与的大小） 04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+a a a 12+a a ∴a a >+12∴.{}12+><=a y a y y A 或 {}4230,25212≤≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==y y x x x y y B∵∅=B A ∴,解之得:≤或≤≤2. ⎩⎨⎧≥+≤4122a a a 3-3a ∴实数的取值范围是;a {}233≤≤-≤a a a 或（2）∵恒成立,即≥0恒成立.ax x ≥+1212+-ax x ∴≤0,解之得:≤≤2. ()42--=∆a 2-a ∴的最小值为.（雅慧,通过这道题你勇敢地挑战一下自己）a 2-题型三 补集运算全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作U .补集 对于一个集合A ,由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称集合A 的补集,记作C U A ,即C U A .{}A x U x x ∉∈=且,补集的性质①(C U A ); ②(C U A ); ③ C U (C U A );U A = ∅=A A =④ C U U ; ⑤ C U .∅=U =∅例19. 已知全集,集合,若C U A ,则实数的取{}60<<=x x U {}a x x A <<=1U ≠a 值范围是__________.分析: C U A 说明,且.U ≠∅≠A U A ⊆解:∵C U A ,∴,且.U ≠∅≠A U A ⊆∴实数的取值范围是.a {}61≤<a a 例20. 已知全集,集合,求C U A .{}5,4,3,2,1=U {}042=++=px x x A 分析:集合A 是由方程的解构成的,而方程可能无解、042=++px x 042=++px x 有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根,需要分类讨论.解:由题意可知:.U A ⊆分为两种情况:①当时,方程无实数根,∴,解之得: ∅=A 0162<-=∆p 44<<-p ∴C U A C U ;=∅{}5,4,3,2,1==U ②当时,则有≥0,解之得:≤或≥4. ∅≠A 162-=∆p p 4-p 设方程的两个实数根分别为 042=++px x 21,x x 由根与系数的关系定理可得::421=x x 若,则,符合题意,此时,C U A ; 4,121==x x 5-=p {}4,1=A {}5,3,2=若,则,符合题意,此时,C U A . 221==x x 4-=p {}2=A {}5,4,3,1=综上所述,当时,C U A ;44<<-p ={}5,4,3,2,1当时,C U A ;5-=p {}5,3,2=当时,C U A .4-=p {}5,4,3,1=例21. 已知,. {}31≤<-=x x A {}m x m x B 31+<≤=（1）当时,求;1=m B A （2）若C R A ,求实数的取值范围.⊆B m 分析:（1）求两个连续型实数集合的并集时,借助于数轴进行求解能将抽象的问题直观化,但要特别注意端点的实心和空心以及端点值的取舍;（2）求连续型实数集合的补集也是借助于数轴进行.解:（1）当时, 1=m {}{}4131<≤=+<≤=x x m x m x B ∴; {}{}{}414131<<-=<≤≤<-=x x x x x x B A （2）∵,∴C R A {}31≤<-=x x A {}31>-≤=x x x 或∵C R A ,∴分为两种情况:⊆B ①当时,有≥,解之得:≤; ∅=B m m 31+m 21-②当时,则有:或∅≠B ⎩⎨⎧-≤++<13131m m m ⎩⎨⎧>+<331m mm解之得:无解或.3>m 综上,实数的取值范围是.m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-≤321m m m 或★例22. 设全集,,,(){}R y R x y x I ∈∈=,,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=123,x y y x A (){}1,+==x y y x B 求C I A .B 解:()(){}2,1,123,≠+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=x x y y x x y y x A ∴集合A 是由直线上除点外的所有点构成的集合 1+=x y ()3,2∴C I A =(){}3,2∵(){}1,+==x y y x B ∴集合B 是由直线上所有的点构成的集合 1+=x y ∴C I A . =B (){}3,2附:函数,即的图象如图所示. 123=--x y 1+=x y ()2≠x例23. 设全集,,C U A ,求实数的值. {}32,3,22-+=a a U {}2,12-=a A {}5=a 分析:∵C U A ,∴,∴.还要注意. U ⊆U ∈55322=-+a a U A ⊆解:∵,C U A {}32,3,22-+=a a U {}5=∴5322=-+a a 整理得:,解之得:.0822=-+a a 4,221-==a aU4321B A 852917643B A U当时,,满足题意; 2=a {}3,2=A 当时,,不满足题意. 4-=a {}9,2=A 综上,实数的值为2.a 例24. 设全集,,( C U B ),, {}*,10N x x x U ∈<=U B U A ⊆⊆,{}9,1=A {}3=B A ( C U A )( C U B ),求集合A , B . {}7,6,4=分析:本题条件较多,考查集合的综合运算.重要结论如图所示,集合A , B 将全集U 分成了四部分,这四部分用集合表示如下: （1）①表示; B A （2）②表示(C U B ); A （3）③表示(C U A ); B （4）④表示(C U A )(C U B ).德·摩根定律（1）C U (C U A )(C U B ); ()=B A （2）C U (C U A )(C U B ).()=B A 解法一: {}{}9,8,7,6,5,4,3,2,1*,10=∈<=N x x x U ∵( C U A )( C U B ),∴C U {}7,6,4=()=B A {}7,6,4∴ {}9,8,5,3,2,1=B A ∵( C U B ) {}9,1=A ∴=B {}8,5,3,2∵,∴.{}3=B A {}9,3,1=A 解法二:由题意作出Venn 图如图所示: 由图可知:,. {}9,3,1=A {}8,5,3,2=B例25. 已知全集R ,集合,集合=U {}0,,32≠∈-==x R x x y y A 且,集合.⎭⎫⎩⎨⎧-+-==x x y x B 522{}a x a x C <<-=5（1）求集合( C U B );A （2）若,求实数的取值范围.()B A C ⊆a 分析:先来确定集合A , B 的本质:集合A 是函数的函数值构成()032≠-=x x y 的集合,即函数的值域;集合B 是使函数有意()032≠-=x x y xx y -+-=522义的自变量的值构成的集合.解:.{}{}{}330,,32<=<=≠∈-==x x y y x R x x y y A 且.{}52522<≤=⎭⎫⎩⎨⎧-+-==x x x x y x B ∴C U B {}52≥<=x x x 或∴( C U B );A {}53≥<=x x x 或（2）由（1）可知: {}32<≤=x xB A ∵,∴分为两种情况:()B A C ⊆①当时,满足,有≥,解之得:≤; ∅=C ()B A C ⊆a -5a a 25②当时,则有:,解之得: ≤3.∅≠C ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-<-3255a a aa a <25综上所述,实数的取值范围是.a {}3≤a a 例26. 若,,,且{}0232=+-=x x x A {}012=-+-=a ax x x B {}022=+-=mx x x C ,求的值和的取值范围.C C A A B A == ,a m 分析:设置本题的目的是帮助雅慧复习由集合间的基本关系确定参数的值或取值范围.本题要先将三个集合之间的运算及其结果转化为集合之间的关系:因为,∴.C C A A B A == ,A C A B ⊆⊆,本来由需要对集合B 分两种情况进行讨论,但考虑到集合B 中的方程结A B ⊆构比较复杂,所以先判断一下方程的根的情况: 012=-+-a ax x ∵≥0()()()22224414-=+-=---=∆a a a a a ∴方程总有两个实数根.012=-+-a ax x 也因此,在处理关系时,一定有,不再对集合B 进行分类讨论. A B ⊆∅≠B 解:{}{}2,10232==+-=x x x A {}()()[]{}011012=---==-+-=a x x x a ax x x B ∴集合B 中必含有元素1,∴. ∅≠B ∵,∴.A B A = A B ⊆①当,即时,,符合题意; 11=-a 2=a {}1=B ②当,即时,,符合题意. 21=-a 3=a {}2,1=B 综上,的值为2或3.a ∵,∴,分为两种情况:C C A = A C ⊆①当时,满足,有,解之得:;∅=C A C ⊆()082<--=∆m 2222<<-m ②当时,则或或:∅≠C {}1=C {}2=C {}2,1=C 若或,则,解之得:.{}1=C {}2=C ()082=--=∆m 22±=m 经检验,当时,或,不符合题意,舍去;22±=m {}2=C {2-=C 若,则由根与系数的关系定理可得:,解之得:,符合题意.{}2,1=C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=+=21221m 3=m 综上所述,的取值范围是或.m 2222<<-m 3=m 题型四 补集思想的应用（正难则反）对于某些问题,如果从正面求解比较困难,则可考虑先求解问题的反面,采用“正难则反”的解题策略.具体地说,就是将研究对象的全体实为全集,求出使问题反面成立的集合A ,则A 的补集即为所求.补集思想的原理或依据是:C U (C U A ).A =例27. 已知集合,,若,求{}R x m mx x x A ∈=++-=,06242{}0<=x xB ∅≠B A 实数的取值范围.m 分析:集合A 是方程的实数根构成的集合,意味着06242=++-m mx x ∅≠B A 方程有负根,则方程的根有以下三种情况:①两负根;②一负根,一零根;③一负根,一正根.分别求解相当麻烦.如果考虑的反面,先求方程无∅≠B A ∅=B A 实数根或两根均非负时的取值范围,然后再用补集思想求解时的m ∅≠B A m 取值范围解:若,则分为两种情况:∅=B A ①当时,,解之得:; ∅=A ()()062442<+--=∆m m 231<<-m ②当时,方程的两个实数根均为非负数,则有:∅≠A 06242=++-m mx x ,解之得:≥. ()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥+--=∆06204062442m m m m m 23综上所述,当时,.1->m ∅=B A ∴当时,实数的取值范围是.∅≠B A m {}1-≤m m 结论:一元二次方程有两个非负实数根的条件是:()002≠=++a c bx ax .⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=⋅≥-=+≥∆0002121ac x x a b x x 例28. 已知集合,,若,求实数{}a y a y y A <+>=或12{}42≤≤=y y B ∅≠B A a 的取值范围.解:当时,则有:∅=B A,解之得:≤或≤≤2. ⎩⎨⎧≥+≤4122a a a 3-3a ∴当时,实数的取值范围是.∅=B A a {}233≤≤-≤a a a 或∴当时,实数的取值范围是.∅≠B A a {}332<<->a a a 或例29. 若集合中至多有1个元素,则实数的取值范围是{}0232=++=x ax x A a __________.分析:题目要求“至多有1个元素”,若采取分类讨论的方法,求解比较麻烦,可考虑用补集思想解决问题.本题中集合A 至多有1个元素的反面是集合A 有两个元素,即方程有两个不相等的实数根.0232=++x ax 解:当集合A 中有两个元素时,方程有两个不相等的实数根,则有:0232=++x ax ,解之得:且 ⎩⎨⎧>-=∆≠0890a a 89<a 0≠a ∴集合A 中有两个元素时实数的取值范围是.a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠<089a a a 且∴集合A 中至多有1个元素时实数的取值范围是.a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≥089a a a 或总结:求集合运算中参数的思路（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系;（2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解、或解集为怎样的范围; （3）解方程（组）或不等式（组）来确定参数的值或取值范围. 题型五 集合中元素的个数若集合A 为有限集,则用card(A )表示集合A 中元素的个数. 如果集合A 中含有个元素,那么有card(A ). m m =（1）一般地,对于任意两个有限集合A , B ,有 card card(A )card(B )－card . ()=B A +()B A （2）一般地,对于任意三个有限集合A , B , C ,有card card(A )card(B )－card －card －card ＋ ()=C B A +()B A ()C A ()C B card .()C B A。

1 集合的概念与运算（一）目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法．重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……例题精析1：1、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （不确定）（2）好心的人 （不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么b b a a +可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__ 3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数， ∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括 号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合 例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}（3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考：何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 巩固提升：1、数集{}21,,x x x -中元素x 所满足的条件是 2、已知{}23,21,1A a a a =--+，其中a R ∈， ⑴若3A -∈，求实数a 的值；⑵当a 为何值时，集合A 的表示不正确。

集合的基本运算综合练习在数学中，集合是由一组确定的、不重复的对象组成的。

集合的基本运算包括并集、交集、差集和补集等。

通过综合练习集合的基本运算，我们可以更好地理解和掌握这些概念。

一、并集并集是指将两个或多个集合中的所有元素放在一起形成一个新的集合。

用符号"∪"表示并集。

例如，给定集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的并集可以表示为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

二、交集交集是指两个或多个集合中共有的元素构成的新集合。

用符号"∩"表示交集。

例如，给定集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的交集可以表示为A∩B={3}。

三、差集差集是指从一个集合中去掉与另一个集合共有的元素得到的新集合。

用符号"－"表示差集。

例如，给定集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。

四、补集补集是指一个集合相对于全集的差集。

用符号"'"表示补集。

例如，给定全集U={1, 2, 3, 4, 5}和集合A={1, 2, 3}，则A'={4, 5}。

通过上述基本运算的综合练习，我们可以更好地理解和应用集合概念和运算。

练习一：已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，求A∪B。

解答：将集合A和集合B中的所有元素放在一起，得到A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}。

练习二：已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，求A∩B。

解答：取集合A和集合B中共有的元素，得到A∩B={3, 4}。

练习三：已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，求A-B。

解答：从集合A中去掉与集合B共有的元素，得到A-B={1, 2}。

练习四：已知全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2, 3}，求A'。

第一次&第二次上机作业上机作业：1.在Matlab上执行：>> 5.1-5-0.1和>> 1.5-1-0.5给出执行结果，并简要分析一下产生现象的原因。

解：执行结果如下：在Matlab中，小数值很难用二进制进行描述。

由于计算精度的影响，相近两数相减会出现误差。

2.（课本181页第一题）解：（1）n=0时，积分得I0=ln6-ln5，编写如下图代码从以上代码显示的结果可以看出，I 20的近似值为0.012712966517465（2）I n =∫x n 5+x 10dx,可得∫x n 610dx ≤∫x n 5+x 10dx ≤∫x n 510dx,得 16(n+1)≤I n ≤15(n+1),则有1126≤I 20≤1105, 取I 20=1105,以此逆序估算I 0。

代码段及结果如下图所示结果是从I 19逆序输出至I 0，所以得到I 0的近似值为0.088392216030227。

（3）从I 20估计的过程更为可靠。

首先根据积分得表达式是可知，被积函数随着n 的增大，其所围面积应当是逐步减小的，即积分值应是随着n 的递增二单调减小的，（1）中输出的值不满足这一条件，（2）满足。

设S n 表示I n 的近似值，S n -I n =(−5)n (S 0−I 0) 根据递推公式可以导出此式),可以看出，随着n 的增大，误差也在增大，所以顺序估计时，算法不稳定性逐渐增大，逆序估计情况则刚好相反，误差不断减小，算法逐渐趋于稳定。

2.（课本181页第二题）（1）上机代码如图所示求得近似根为0.09058（2）上机代码如图所示得近似根为0.09064；（3）牛顿法上机代码如下计算所得近似解为0.09091第三次上机作业上机作业181页第四题线性方程组为[1.1348 3.83260.5301 1.78751.1651 3.40172.5330 1.54353.41294.93171.2371 4.99988.7643 1.314210.67210.0147][x1x2x3x4]=[9.53426.394118.423116.9237]（1）顺序消元法A=[1.1348,3.8326,1.1651,3.4017;0.5301,1.7875,2.5330,1.5435;3.4129,4. 9317,8.7643,1.3142;1.2371,4.9998,10.6721,0.0147];b=[9.5342;6.3941;18.4231;16.9237];上机代码（函数部分）如下function [b] = gaus( A,b )%用b返回方程组的解B=[A,b];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);dif=RB-RA;if dif>0disp('此方程组无解');returnendif RA==RBif RA==nformat long;disp('此方程组有唯一解');for p=1:n-1for k=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endend %顺序消元形成上三角矩阵b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);b(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1b(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*b(q+1:n)))/A(q,q);end %回代求解elsedisp('此方程组有无数组解');endend上机运行结果为>>A=[1.1348,3.8326,1.1651,3.4017;0.5301,1.7875,2.5330,1.5435;3.4129,4. 9317,8.7643,1.3142;1.2371,4.9998,10.6721,0.0147];b=[9.5342;6.3941;18.4231;16.9237];>> X=gaus A,b)此方程组有唯一解X =1.0000000000000001.0000000000000001.0000000000000001.000000000000000>>（2）列主元消元法A=[1.1348,3.8326,1.1651,3.4017;0.5301,1.7875,2.5330,1.5435;3.4129,4. 9317,8.7643,1.3142;1.2371,4.9998,10.6721,0.0147];b=[9.5342;6.3941;18.4231;16.9237];函数部分代码如下function [b] = lieZhu(A,b )%用b返回方程组的解B=[A,b];RA=rank(A);RB=rank(B);n=length(b);dif=RB-RA;format long;if dif>0disp('该方程组无解');returnendif dif==0if RA==ndisp('该方程组有唯一解');c=zeros(1,n);for i=1:n-1max=abs(A(i,i));m=i;for j=i+1:nif max<abs(A(j,i))max=abs(A(j,i));m=j;endend %求出每一次消元时绝对值最大的一行的行号if m~=ifor k=i:nc(k)=A(i,k);A(i,k)=A(m,k);A(m,k)=c(k);endd1=b(i);b(i)=b(m);b(m)=d1;%函数值跟随方程一起换位置endfor k=i+1:nfor j=i+1:nA(k,j)=A(k,j)-A(i,j)*A(k,i)/A(i,i); endb(k)=b(k)-b(i)*A(k,i)/A(i,i);A(k,i)=0;endend %完成消元操作，形成上三角矩阵b(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1sum=0;for j=i+1:nsum=sum+A(i,j)*b(j);endb(i)=(b(i)-sum)/A(i,i) ;%回代求解其他未知数endendelsedisp('此方程组有无数组解');endend上机运行，结果为>>A=[1.1348,3.8326,1.1651,3.4017;0.5301,1.7875,2.53 30,1.5435;3.4129,4.9317,8.7643,1.3142;1.2371,4.99 98,10.6721,0.0147];b=[9.5342;6.3941;18.4231;16.9237];X=lieZhu(A,b)该方程组有唯一解X =1.0000000000000001.0000000000000020.9999999999999990.999999999999999>>根据两种方法运算结果，顺序消元法得到结果比列主元消元法得到的结果精度更高。

计算方法上机报告姓名：学号：班级：上课班级:说明：本次上机实验使用的编程语言是Matlab 语言，编译环境为MATLAB 7。

11。

0，运行平台为Windows 7。

1. 对以下和式计算：∑∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=0681581482184161n n n n S n ，要求：① 若只需保留11个有效数字，该如何进行计算；② 若要保留30个有效数字，则又将如何进行计算；（1） 算法思想1、根据精度要求估计所加的项数,可以使用后验误差估计，通项为：142111416818485861681n n n a n n n n n ε⎛⎫=---<< ⎪+++++⎝⎭; 2、为了保证计算结果的准确性，写程序时,从后向前计算;3、使用Matlab 时,可以使用以下函数控制位数:digits （位数）或vpa(变量,精度为数)（2）算法结构1。

;0=s⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=681581482184161n n n n t n ； 2。

for 0,1,2,,n i =⋅⋅⋅if 10m t -≤end ；3。

for ,1,2,,0n i i i =--⋅⋅⋅;s s t =+（3)Matlab源程序clear；％清除工作空间变量clc; %清除命令窗口命令m=input（’请输入有效数字的位数m=’）; %输入有效数字的位数s=0;for n=0:50t=(1/16^n)＊(4/(8＊n+1)—2/（8*n+4)—1/(8＊n+5)—1/(8*n+6));if t〈=10^（—m) %判断通项与精度的关系break;endend;fprintf（'需要将n值加到n=％d\n',n-1); %需要将n值加到的数值for i=n—1：-1:0t=（1/16^i）＊（4/(8＊i+1)-2/（8*i+4)—1/（8*i+5)—1/（8*i+6））;s=s+t; ％求和运算ends=vpa(s，m）％控制s的精度（4）结果与分析当保留11位有效数字时,需要将n值加到n=7，s =3.1415926536;当保留30位有效数字时,需要将n值加到n=22,s =3。

计算方法上机作业作为一位学生，我经常需要完成各种数学计算。

无论是简单的加减乘除还是复杂的代数方程和数列求和，计算是我非常重要的一项能力。

然而，为了提高我的计算能力，我仍然需要不断的练习和实践。

下面是我在计算方法上机作业中遇到的一些题目，并附上了详细的解答过程。

1.求解方程组：{2x-3y=5{3x+4y=7解答：首先，我们可以通过消元法或代入法求解这个方程组。

这里我们选择代入法。

由第一个方程得：2x=3y+5将上式代入第二个方程中得：3(3y+5)+4y=7化简得：9y+15+4y=7继续化简：13y=-8得到：y=-8/13将y的值代入第一个方程得：2x-3(-8/13)=5化简得：2x=5+24/13继续化简：2x=65/13-24/13得到：2x=41/13最后，得到：x=(41/13)/2=41/26所以，方程组的解为：x=41/26，y=-8/132.求解不等式：2x+3>5x-1解答：首先，我们将不等式移项得：2>5x-2x-1继续化简：2>3x-1再次移项：3>3x继续化简：1>x所以，不等式的解集为：x<13.求函数f(x)=2x^2+3x-1的极值点。

解答：首先，我们利用求导的方法求解极值点。

对函数f(x)求导得：f'(x)=4x+3然后，令f'(x)=0化简得：4x=-3最后，得到：x=-3/4将极值点x=-3/4代入原函数得：f(-3/4)=2(-3/4)^2+3(-3/4)-1化简得：f(-3/4)=9/8-9/4-1最后，得到：f(-3/4)=-11/8所以，函数f(x)=2x^2+3x-1的极值点为x=-3/4，对应的函数值为f(-3/4)=-11/8通过这些题目的解答，我不仅巩固了计算方法的知识，也提高了我的计算能力和解题技巧。

我会继续努力学习和练习，以便更好地掌握计算方法。

1. 利用函数y=x 在x 1=100,x 2=121处的值，计算115 的近似值，并估计误差。

解：y 1=100 =10, y 2=121 =11.取x 1和x 2为节点作一次插值，得L 1(x)=x-121100-121 ×10 + x-100121-100×11 则 L 1(115)= 115-121100-121 ×10 + 115-100121-100×11 = -6-21 ×10 + 1521×11 = 27 ×10 + 57×11 = 257=10.7142857 ≈115误差：y=x ，y ′=12 x -0.5, y ″=- 12 × 12 x -1.5=- 14x -1.5, 115 - L 1(115)= 12 ×(- 14 ξ-1.5)×(115-100)×(115-121) 100＜ξ＜121所以|115 - L 1(115)|≤12 ×|(- 14×100-1.5)|×|(115-100)×(115-121)| = 18 ×11000×15×6 =0.011252. 给出函数表 x 0 1 2 4 5y 0 16 46 88 0 试求各阶差商，并写出牛顿插值多项式。

解：差商表k x k f[x k ] f[x k ,x k+1] f[x k ,x k+1,x k+2] f[x k ,x k+1,x k+2,x k+3] f[x k ,x k+1,x k+2,x k+3,x k+4]0 0 0 16 7 - 52 - 761 1 16 30 -3 - 2532 2 46 21 -10933 4 88 -884 5 0所以N 4=0+16（x-0）+7(x-0)(x-1) - 52 (x-0)(x-1)(x-2) - 76(x-0)(x-1)(x-2)(x-4) =16x+7x(x-1) - 52 x(x-1)(x-2) - 76x(x-1)(x-2)(x-4) 3. 给定数据表x 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 f(x) 0.79618 0.77334 0.74371 0.70413 0.65632 0.60228使用三次牛顿差分插值公式计算f(0.1581)及f(0.636).解：x k f kΔf kΔ2f kΔ3f kΔ4f kΔ5f k 0.125 0.79618 -0.02284 -0.00679 -0.00316 0.00488 -0.00460 0.250 0.77334 -0.02963 -0.00995 0.00172 0.000280.375 0.74371 -0.03958 -0.00823 0.002000.500 0.70413 -0.04781 -0.006230.625 0.65632 -0.054040.750 0.60228N3(0.125+0.125t)=0.79618-0.02284t-0.00679t(t-1)-0.00316t(t-1)(t-2)N3(0.1581)= N3(0.125+0.125×0.2648)= 0.79618-0.02284×0.2648-0.00679×0.2648×(0.2648-1)-0.00316×0.2648×(0.2648-1)×(0.2648-2)=0.790N3(0,636)=N3(0.125+0.125×4.088)=0.79618-0.02284×4.088-0.00679×4.088×(4.088-1)-0.00316×4.088×(4.088-1)×(4.088-2)=0.534上机作业例1：已知函数表：xi 0.56160 0.56280 0.56401 0.56521yi 0.82741 0.82659 0.82577 0.82495用三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时的函数近似值C语言程序设计：# include<stdio.h>float Lagrange(float x[],float y[],float xx,int n){int i,j;float *a,yy=0;a=new float[n];for(i=0;i<=n-1;i++){a[i]=y[i];for(j=0;j<=n-1;j++)if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);yy+=a[i];}delete a;return yy;}void main(){float x[4]={0.56160,0.56280,0.56401,0.56521};float y[4]={0.82741,0.82659,0.82577,0.82495};float xx=0.5635,yy;yy=Lagrange(x,y,xx,4);printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy);}运行结果：x=0.563500y=0.826116例2：已知函数表xi 0.4 0.55 0.65 0.8 0.9 yi 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 用牛顿插值多项式求N n(0.596)和N n（0.895）。

1．设I n 1 x ndx ，0 5 x（ 1）由递推公式 I n 5I n 11，从 I 0的几个近似值出发，计算I 20；n解：易得： I 0 ln6-ln5=0.1823, 程序为：I=0.182;for n=1:20I=(-5)*I+1/n;endI输出结果为： I 20= -3.0666e+010（ 2）粗糙估计 I 20，用 I n 1 1I n 1 1 ，计算 I 0；5 5n0.0079 1 x 20 1 x 200.0095因为dx I 20dx 6 5所以取 I 20 1(0.0079 0.0095) 0.0087 2程序为： I=0.0087;for n=1:20I=(-1/5)*I+1/(5*n);endII 0= 0.0083（ 3）分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因 )。

首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为E0 I 0 I 0，递推过程的舍入误差不计。

并记 E n I n I n，则有 E n 5E n 1 ( 5) n E0。

因为 E20( 5) 20 E0 I 20，所此递推式不可靠。

而在第二种递推式中E0 1E1 (1)n E n，误差在缩小，5 5所以此递推式是可靠的。

出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制，即算法是否数值稳定。

2．求方程e x10x 2 0 的近似根，要求x k 1x k 5 10 4，并比较计算量。

（1）在 [0， 1]上用二分法；程序： a=0;b=1.0;while abs(b-a)>5*1e-4c=(b+a)/2;if exp(c)+10*c-2>0b=c;else a=c;endendc结果： c =0.0903（ 2）取初值x0 0，并用迭代 x k 1 2 e x ；10程序： x=0;a=1;while abs(x-a)>5*1e-4a=x;x=(2-exp(x))/10;endx结果： x =0.0905（3）加速迭代的结果；程序： x=0;a=0;b=1;while abs(b-a)>5*1e-4a=x;y=exp(x)+10*x-2;z=exp(y)+10*y-2;x=x-(y-x)^2/(z-2*y+x);b=x;endx结果： x =0.0995（ 4）取初值x00 ，并用牛顿迭代法；程序： x=0;a=0;b=1;while abs(b-a)>5*1e-4a=x;x=x-(exp(x)+10*x-2)/(exp(x)+10); b=x;end x 结果： x =0.0905（ 5） 分析绝对误差。

数值计算方法上机题目11、实验1. 病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。

所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。

希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。

病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：考虑一个高次的代数多项式∏=-=---=201)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1）显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。

现考虑该多项式方程的一个扰动0)(19=+xx p ε (E1-2)其中ε是一个非常小的数。

这相当于是对（E1-1）中19x 的系数作一个小的扰动。

我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab 函数：“roots ”和“poly ”，输入函数u ＝roots （a ）其中若变量a 存储1+n 维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。

设a 的元素依次为121,...,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程0...1121=++++-n n n n a x a x a x a的全部根，而函数b=poly(v)的输出b 是一个n ＋1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。

可见“roots ”和“Poly ”是两个互逆的运算函数.ve=zeros(1,21); ve(2)=ess;roots(poly(1:20))+ve)上述简单的Matlab 程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess ”即是（E1-2）中的ε。

实验要求：（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。

计算方法作业集范文一、整数加减法计算问题（300字）整数加减法是我们学习数学的基础，也是我们日常生活中经常遇到的计算问题。

在整数加减法计算中，我们经常会遇到减法绝对值大于被减数的情况，这时我们需要进行借位操作。

例如，计算-9-7的结果时，我们可以先将问题转化为-9+(-7)，再利用加法的逆元性质进行计算，即-9+(-7)=-(9+7)=-16在整数加减法计算中，还需要注意进位的问题。

例如，计算-15+8的结果时，我们可以先进行取反运算，得到15+(-8)，然后进行正数加法运算，即15+(-8)=7另外，在整数加减法计算中，我们还可以利用拆分法进行计算。

例如，计算-13+5的结果时，我们可以将-13拆分成-10和-3，然后进行分别计算，即-10+5=-5，-3+5=2，最后将两个结果相加得到-13+5=-5+2=-3在实际应用中，整数加减法计算经常会涉及到财务、经济、物理等领域。

例如，在财务账目上进行损益计算时，需要准确计算各项收入和支出的总和，以确定损益情况。

在物理实验中，使用质量、长度、时间等量进行计算时，也需要进行整数加减法运算。

总之，整数加减法计算是我们学习数学的基础，也是我们日常生活中经常遇到的计算问题。

通过掌握加减法的计算方法，我们可以更好地解决实际生活和学习中遇到的各种计算问题。

二、小数乘除法计算问题（300字）小数乘除法是数学中较为复杂的计算问题之一、在小数乘法计算中，我们需要注意小数点的位置和小数位数的处理。

例如，计算2.5×0.3的结果，我们可以先去掉小数点，将2.5和0.3都乘以10，得到25和3，再进行乘法运算，即25×3=75，最后将结果除以100得到最终结果0.75在小数除法计算中，我们需要注意除数为0的情况。

除数为0时，计算结果是无穷大或无解。

例如，计算8.4÷0的结果时，我们可以得知结果为无穷大，表示该除法运算没有意义。

另外，在小数乘除法计算中，我们还可以利用科学计数法进行计算。

应用计算方法学院：自动化学院班级：硕1104班姓名：陈兆辉计算方法2班教师：张晓丹目录上机作业1 (3)上机作业2 (6)上机作业3 (10)上机作业4 (12)上机作业5 (17)上机作业6 (18)上机作业7 (19)上机作业11.分别用不动带你迭代法与Newton 法求解方程2x- ex +3=0的正根和负根解：（1）用不动点迭代法求方程的正根1）迭代公式：()231ln k P k P ++=，初值p0=1.02）程序：k=1;Tol=0.00001;p0=1.0;N=100;while k<=Np=log(2*p0+3);if abs(p-p0)<Tolbreak;endk=k+1;p0=p;enddisp(p);disp(k)3)显示结果：P= 1.9239K=11（2） 用不动点迭代法求解方程的负根1）迭代公式： 1(3)/2k p k p e +=-，初值p0=-1.02）程序：k=1;Tol=0.00001;p0=-1.0;N=100;while k<=Np=(exp(p0)-3)/2;if abs(p-p0)<Tolbreak;endk=k+1;p0=p;enddisp(p);disp(k)3）显示结果：P= -1.3734k=7(3)用牛顿法求方程的正根1）迭代公式：()1232k k p k k k p p e p p e +-+=--，初值p0=1.02）程序：k=1;Tol=0.00001;p0=1.0;N=100;while k<=Np=p0-(2*p0-exp(p0)+3)/(2-exp(p0));if abs(p-p0)<Tolbreak;endk=k+1;p0=p;enddisp(p);disp(k)3）显示结果：P=1.9239K=8（4）用牛顿法求解方程的负根1）迭代公式：()1232k k p k k k p p e p p e +-+=--，初值p0=-1.02）程序：k=1;Tol=0.00001;p0=-1.0;N=100;while k<=Np=p0-(2*p0-exp(p0)+3)/(2-exp(p0));if abs(p-p0)<Tolbreak;endk=k+1;p0=p;enddisp(p);disp(k)3）显示结果：P= -1.3734K= 44）结果分析：不动点迭代法是求解非线性方程的主要方法，其中牛顿法应用最广泛，它求解方程的单根时具有二阶收敛性，但是它要求较好的初始近似值，牛顿法比普通的迭代法收敛速度快，能较少的迭代达到理想的值。

集合的基本运算及相关题型作为数学的基础概念之一，集合在中学数学中起着重要的作用。

掌握集合的基本运算和相关题型，对于学生的数学学习和解题能力的提升至关重要。

本文将从集合的定义开始，逐步介绍集合的基本运算和常见题型，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用集合的知识。

1. 集合的定义集合是由一些确定的对象组成的整体。

这些对象称为集合的元素。

例如，{1, 2, 3, 4}就是一个集合，其中的1、2、3、4就是该集合的元素。

集合通常用大写字母表示，元素用小写字母表示。

2. 集合的基本运算2.1 并集两个集合A和B的并集，表示为A∪B，是由所有属于A或属于B的元素组成的集合。

例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

2.2 交集两个集合A和B的交集，表示为A∩B，是由同时属于A和属于B的元素组成的集合。

例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。

2.3 差集两个集合A和B的差集，表示为A-B，是由属于A但不属于B的元素组成的集合。

例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。

2.4 互补集对于给定的全集U，集合A的互补集，表示为A'或A^c，是由所有不属于A的元素组成的集合。

例如，U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2, 3}，则A'={4, 5}。

3. 相关题型3.1 集合的包含关系判断给定两个集合A和B，判断A是否包含于B，即A⊆B。

如果A的所有元素都属于B，则A⊆B。

例如，A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4}，则A⊆B。

3.2 集合的相等判断给定两个集合A和B，判断A是否等于B，即A=B。

如果A和B的所有元素都相同，则A=B。

例如，A={1, 2, 3}，B={3, 2, 1}，则A=B。

3.3 集合的运算题根据给定的集合和运算，求解集合的结果。

计算⽅法上机作业请注意! Pay attention!计算⽅法作业要求1.上机内容：只要求完成《计算⽅法》实验报告那⼀部分的内容。

2.试验报告要求：（1）要求写出解题的程序代码和结果，以及必要的⽂字说明。

（2）报告要求打印，封⾯上写清班级、学号和姓名。

（3）提交报告时间：2013年6⽉13号（16周周四）。

⽬录第⼀部分基本操作 (1)§1.Matlab的使⽤ (1)1-1.直接输⼊命令 (1)1-2.⽤M⽂件开发程序 (1)§2.M⽂件程序的主要语句和主要函数 (2)2-1.Matlab的数字特征 (2)2-2.主要语句 (3)2-3.常⽤函数 (4)2-4.⼏个常⽤的命令 (5)§3.矩阵的有关计算 (5)3-1.矩阵的输⼊ (5)3-2.矩阵/向量的运算 (6)3-3.矩阵的范数 (6)3-4.向量的范数 (7)3-5.矩阵的条件数 (7)3-6.矩阵的特征值和特征向量 (8)§4.Matlab绘图 (9)4-1.绘图的基本命令 (9)4-2.图形的交互编辑 (11)第⼆部分数值计算 (12)§1.⽅程求根 (12)1-1.⽜顿迭代法 (12)1-2.图解法确定迭代的初始点 (13)§2.线性⽅程组 (13)2-1.迭代法的收敛性 (13)2-2.线性⽅程组的病态问题 (14)2-3.求解线性⽅程组 (15)§3.插值和拟合 (16)/doc/b4c2d2dfc850ad02de8041fc.html grange插值 (16)3-2.代数多项式插值 (17)3-3.插值误差 (17)3-4.分段线性插值 (18)3-5.数据的曲线拟合 (18)§4.数值积分 (20)4-1.复合梯形求积公式 (20)4-2.复合Simpson求积公式 (20)§5.常微分⽅程的数值解法 (21)5-1.Euler⽅法 (21)5-2.改进的Euler⽅法 (23)5-3.四阶龙格-库塔⽅法 (24)习题 (27)⼀、⽅程求根 (27)⼆、线性⽅程组 (27)三、插值与拟合 (28)四、数值积分 (29)五、常微分⽅程 (30)《计算⽅法》实验报告 (31)⼀、⽅程求根 (31)⼆、线性⽅程组 (31)三、插值与拟合 (32)四、数值积分 (32)五、常微分⽅程 (33)第⼀部分基本操作§1.1.MatlabMatlab 的使⽤Matlab 的使⽤⽅法有两种：（1）在Matlab 的命令窗⼝（Matlab Command Windows ）中直接输⼊命令，即可得到结果；（2）在Matlab 的编辑窗⼝（Matlab Editor ）内编写M ⽂件，然后在命令窗⼝执⾏该⽂件，得到所需的结果。