九年级数学圆中的计算问题华东师大版知识精讲

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；3．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；4．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；6．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.两圆的五种位置关系可以概括为三类：要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为．【解析】由已知得BC ∥x 轴，则BC 中垂线为2412x -+== 那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为P(1,0) 则 22(11)(03)13r PA ==++-=【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°， 求CD 的长．【思路点拨】作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △OFD ，求CD 的长． 【答案与解析】作OF ⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ 32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2． 在Rt △OEF 中，∵ ∠DEB ＝60°，∴ ∠EOF ＝30°，∴ 112EF OE ==，∴ 223OF OE EF =-=． 在Rt △DFO 中，OF ＝3，OD ＝OA ＝3，∴ 22223(3)6DF OD OF =-=-=(cm)． ∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝26cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．举一反三： 【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．（2017•曲靖一模）如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 和∠BOC 互补，则弦BC 的长度为.【思路点拨】首先过点O 作OD ⊥BC 于D ，由垂径定理可得BC=2BD ，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案． 【答案】4.【解析】解：过点O 作OD ⊥BC 于D ， 则BC=2BD ，∵△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 与∠BOC 互补， ∴∠BOC=2∠A ，∠BOC+∠A=180°， ∴∠BOC=120°， ∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=（180°﹣∠BOC ）=30°， ∵⊙O 的半径为4， ∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2，∴BC=4．故答案为：4．【总结升华】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 举一反三：【变式】如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（ ）N MO C BAA．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题6】4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线CE与⊙O相切理由：连接OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线CE与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，(，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或(，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ， ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴∠ODB=∠ACB ， ∴OD ∥AC ，∵DF 是⊙O 的切线， ∴DF ⊥OD ， ∴DF ⊥AC ．（2）解：连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°， ∴∠ABC=∠ACB=67.5°， ∴∠BAC=45°， ∵OA=OE ，∴∠AOE=90°， ∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE =4π，S △AOE=8 ， ∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB 所在圆的圆心为O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【思路点拨】求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB 的长． 【答案与解析】连接OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交AB 于点F ，如图(2)． 由垂径定理，可知E 是AB 中点，F 是AB 的中点，∴ 12AE AB ==EF ＝2． 设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222(2)R R =-+． 解得R ＝4．∴ OE ＝2，12OE AO =，∴ ∠AOE ＝60°，∴ ∠AOB ＝120°．∴AB的长为120481803ππ⨯=(m)．∴帆布的面积为8601603ππ⨯=(m2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。

华师大版数学九年级下册27.3《圆中的计算问题》教学设计一. 教材分析《圆中的计算问题》这一节内容，主要让学生掌握与圆有关的一些计算公式和方法。

在本节课中，学生需要学习圆的周长、圆的面积、弧长和扇形的面积等计算公式，并能灵活运用这些公式解决实际问题。

教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握这些计算方法。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆的计算问题，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和辅导。

三. 教学目标1.理解圆的周长、圆的面积、弧长和扇形的面积等计算公式。

2.能够运用这些计算公式解决实际问题。

3.提高学生的计算能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.圆的周长和面积的计算公式。

2.弧长和扇形的面积的计算公式。

3.如何运用这些公式解决实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解，让学生理解和掌握圆的计算公式和方法。

2.例题解析法：通过分析例题，让学生学会如何运用计算公式解决实际问题。

3.练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识，提高计算能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示圆的计算公式和例题。

2.练习题：准备一些相关的练习题，供学生课堂练习和课后巩固。

3.教学黑板：准备一块黑板，用于板书和展示解题过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾平面几何中与圆有关的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示圆的周长、圆的面积、弧长和扇形的面积等计算公式，并简要讲解公式的推导过程。

3.操练（20分钟）教师给出一些例题，让学生运用所学知识解决问题。

学生在课堂上独立完成，教师进行讲解和辅导。

4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生巩固所学知识。

学生在课堂上独立完成，教师进行讲解和辅导。

中考总复习：圆综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角．考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r 1－r 2”时，要特别注意，r 1＞r 2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°． 要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n n n n n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：180n R l π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇． 3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．要点诠释：在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．考点六、求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1． （2015•石景山区一模）如图，A ，B ，E 为⊙0上的点，⊙O 的半径OC ⊥AB 于点D ，若∠CEB=30°，OD=1，则AB 的长为（ ）A ．B ．4C ．2D ．6【思路点拨】 连接OB ，由垂径定理可知，AB=2BD ，由圆周角定理可得，∠COB=60°，在Rt △DOB 中，OD=1，则BD=1×tan60°=，故AB=2．【答案】C ；【解析】连接OB ，∵AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB ，∴AD=BD ，即AB=2BD ，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1， ∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故选C ．【总结升华】弦、弦心距，则应连接半径，构造基本的直角三角形是垂径定理应用的主要方法．举一反三：【变式】如图，⊙O 的直径CD=5cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD=3：5．则AB 的长是（ ）A 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、221cm【答案】 解：连接OA ，∵CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，∴AB=2AM ，∵CD=5cm ，∴OD=OA=12CD=12×5=52cm ， ∵OM ：OD=3：5，∴OM=35OD=×=， ∴在Rt △AOM 中，AM =22OA OM -=2253()()22-=2，∴AB=2AM=2×2=4cm．故选C ．类型二、与圆有关的位置关系2．如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，过A 作AD ∥OC 交⊙O 于点D ，连接CD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝2，直径AB ＝6，求线段BC 的长．【思路点拨】要证明DC 是⊙O 的切线，因为点D 在⊙O 上，所以连接交点与圆心证垂直即可．【答案与解析】(1)证明：如图(2)，连接OD ．∵ AD ∥OC ，∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠A ，∴ OA ＝OD ，∴ ∠3＝∠A ，∴ ∠1＝∠2．∵ OD ＝OB ，OC ＝OC ．∴ △COD ≌△COB ，∴ ∠CDO ＝∠CBO ＝90°，∴ CD 是⊙O 的切线．(2)解：连接BD ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°．在△DAB 和△BOC 中，∵ ∠ADB ＝∠OBC ，∠A ＝∠2，∴ △DAB ∽△BOC ，∴AD BD OB BC =， ∴ OB BD BC AD =． 在Rt △DAB 中，由勾股定理得22226242BD AB AD =-=-=．∴ 342622BC ⨯==．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．【答案与解析】证法1：连接OE 、DE(如图(1))．∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．∵ G 是AD 的中点，∴ EG ＝12AD ＝DG ． ∴ ∠1＝∠2．∵ OE ＝OD ，∴ ∠3＝∠4．∴ ∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OEG ＝∠ODG ＝90°．∴ GE 是⊙O 的切线．证法2：连接OE 、ED(如图(2))．在△ADC 中，∠ADC ＝90°，∴ ∠A+∠ACD ＝90°．又∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．在△AED 中，∠AED ＝90°，G 是AD 中点，∴ AG ＝GE ＝DG ，∴ ∠A ＝∠AEG ．又∵ OE ＝OC ，∴ ∠OEC ＝∠ACD ．又∵ ∠A+∠ACD ＝90°，∴ ∠AEG+∠OEC ＝90°．∴ ∠OEG ＝90°，∴ OE ⊥EG ．∴ GE 是⊙O 的切线．类型三、与圆有关的计算3．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．【思路点拨】（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．【答案与解析】解：（1）（Ⅰ）如图连接BD，∵ AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴ BD==cm；（Ⅱ）如图所示，∵三个正方形的边长均为5，∴ A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴ OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）如图所示，连接OA，OB，∵ CE⊥AB，AC=BC，∴ CE是过A、B、C三点的圆的直径，∵ OA=OB=OD，∴ O为圆心，∴⊙O的半径为OA，OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2=10cm；（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，则有：，解得：，则ON=，∴直径为．【总结升华】此题比较复杂，解答此题的关键是找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．举一反三：【变式】如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．【答案】 解：（1）图1：∵点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，∴∠BAM=∠CBN ，又∵∠APN=∠BPM ，∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；同理可得：图2中，∠APN=90°；图3中∠APN=108°．（2）由（1）可知，∠APN=所在多边形的内角度数，故在图n 中，．4．如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【思路点拨】观察图形，可以适当进行“割”与“补”，使阴影面积转化为扇形面积.【答案】256π； 【解析】连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD． 答案：256π． 【总结升华】用等面积替换法将不规则的图形转化为简单的规则图形是解本类题的技巧．类型四、与圆有关的综合应用5．（2014•黄陂区模拟）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于D，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠PCB=∠BAC．（1）求证：AB=AC；（2）若sin∠BAC=35，求tan∠PCB的值．【思路点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理求得∠ADC=90°，根据弦切角定理求得∠PCB=∠CAD，进而求得∠CAD=∠BAD，然后根据ASA证得△ADC≌△ADB，即可证得结论．（2）作BE⊥AC于E，得出BE∥PC，求得∠PCB=∠CBE，根据已知条件得出=，从而求得=，根据AB=AC，得出tan∠CBE===，就可求得tan∠PCB=．【答案与解析】解：（1）连接AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCB=∠CAD，∵∠PCB=∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴AB=AC．（2）作BE⊥AC于E，∵PC是⊙O的切线，∴AC⊥PC，∴BE ∥PC ，∴∠PCB=∠CBE ，∵sin ∠BAC==， ∴=， ∵AB=AC ，∴tan ∠CBE===，∴tan ∠PCB=．【总结升华】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例2】【变式】已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状并说明理由；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF ，求证△DCE ≌△OCB ．【答案】(1)解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC,∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC=2212-=3．OF=213-,∴AF=AO+OF=213+．又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=3=BC ．而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE ≌△COB.6．如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙ O 相切于点A ，P 为⊙ O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙ O 相交于点C ，过点C 的切线与直线m 相交于点D ．（1）求证：△APC ∽△COD ．（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ．（3）试探索x 为何值时， △ACD 是一个等边三角形．【思路点拨】(1)可根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”来说明 △APC ∽△COD ； (2)根据相似三角形的对应边成比例,找出x 与y 的关系；(3)若△ACD 是一个等边三角形,逆推求得x 的值.【答案与解析】解 （1）∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线, ∴∠PAC ＝∠OCD ＝90°.由△DOA ≌△DOC ,得到∠DOA ＝∠DOC , ∴∠APC ＝∠COD , ∴△APC∽△COD.（2）由△APC∽△COD，得AP OC PC OD = , ∴y x 12= 则 xy 2= (3)若ACD △是一个等边三角形，则6030ADC ODC ∠=∠=，于是2OD OC =,可得2y =，从而1=x ,故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.【总结升华】本例是一道动态几何题.(1)考查了相似三角形的判定,证三角形相似有:两个角分别对应相等的两个三角形相似;两条边分别对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边分别对应成比例的两个三角形相似;(2)考查了相似三角形的性质.利用第一问的结论,得出对应边成比例,找出y 与x 间的关系.(3)动点问题探求条件.一般运用结论逆推的方法找出结论成立的条件.本题应从ACD △是一个等边三角形出发,逆推6030ADC ODC ∠=∠=，,于是2OD OC =，可得2y =，从而1=x , 故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例1】【变式】如图，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，30AMN =∠，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为（ ） Ａ．22 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2【答案】选B ；解：过B 作BB ′⊥MN 交⊙O 于B ′，连接AB ′交MN 于P ，此时PA+PB ＝AB ′最小．连AO 并延长交⊙O 于C ，连接CB ′，在Rt △ACB ′中，AC ＝2，∠C ＝190452⨯=°°， ∴ 2sin 45222AB AC '==⨯=°．。

华师大版数学九年级下册27.3《圆中的计算问题》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级下册27.3《圆中的计算问题》这一节主要讲述了圆中的计算问题，包括弧长、扇形的面积等计算。

这部分内容是圆的基础知识的进一步拓展，对于学生来说，掌握这部分内容对于理解圆的性质和解决实际问题具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆中的计算问题，他们可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，我将以引导学生理解圆中的计算问题为主线，通过实例分析和练习，帮助学生掌握计算方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握圆中的计算问题，如弧长、扇形的面积等计算方法。

2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习圆的性质和计算问题的兴趣，培养学生的耐心和细心。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆中的计算问题，如弧长、扇形的面积的计算方法。

2.教学难点：如何引导学生理解圆中的计算问题，并能够运用到实际问题中。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例分析法和练习法，引导学生主动探究圆中的计算问题。

2.教学手段：利用多媒体课件和板书，生动形象地展示圆中的计算问题。

六. 说教学过程1.导入：通过复习平面几何的基本知识，引导学生回顾圆的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.新课讲解：讲解圆中的计算问题，如弧长、扇形的面积的计算方法，并结合实例进行分析。

3.课堂练习：布置相关的练习题，让学生巩固所学知识，并能够运用到实际问题中。

4.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。

七. 说板书设计板书设计如下：1.圆中的计算问题–弧长计算公式：弧长 = 半径 × 圆心角–扇形面积计算公式：扇形面积 = 1/2 × 半径² × 圆心角2.实例分析–通过具体的实例，展示弧长和扇形面积的计算过程。

九年级数学 圆中的计算问题华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：§28.3 圆中的计算问题二. 重点、难点： 1. 重点：⑴弧长和扇形的面积； ⑵圆锥的侧面积和全面积 2. 难点：弧长和扇形面积公式的推导三. 知识梳理：（一）弧长和扇形的面积 1. 弧长的计算公式如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么，弧长的计算公式为：2360180n n rl r ππ=⋅=． 2. 扇形的面积公式如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形面积为213602n r S S lr π==或　说明：⑴对于弧长公式和扇形面积公式，无须死记硬背，应在明确其“来历”的基础上理解掌握．⑵在应用弧长公式180n rl π=或扇形面积公式2360n r S π=进行计算时，要注意公式中的n的意义，n 表示1°的圆心角的倍数，因此不带单位．⑶扇形的另一个面积公式12S lr =与三角形的面积公式有些类似．形式基本一样，可以联系起来记忆．（二）圆锥的侧面积和全面积如图，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．如图，沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长．圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和．说明：⑴研究圆锥的侧面积和全面积，必须先将其展开．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长．⑵若设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积就是其展开图——扇形的面积，122r l rl ππ⋅⋅=Ｓ＝；圆锥的全面积是侧面积与底面积的和，是2rl r ππ+．另外，知道扇形的半径和弧长，还可以求得扇形的圆心角．【典型例题】例1. 如图，一块长为8的正方形木板ABCD ，在水平桌面上绕点A 按逆时针方向旋转到ADEF 的位置，则顶点C 从开始到结束所经过的路径长为（ ）A. 16 ；B. 162 ；C. 8π ；D. 42π分析：在旋转过程中，AC 的长度保持不变，所以顶点C 从开始到结束所经过的路径长是以A 为圆心，AC 长为半径的90°的弧长，因为AC ＝82，所以，ππ241802890=⋅⋅=l ，故选D ．例2. 如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 互相外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ，则图中四边形内的四个扇形面积之和为（ ）A. 2π；B.π；C.32π ； D. 21π分析：根据题中的条件无法求出四个扇形的圆心角的度数，因而从整体考虑，可以发现四个扇形的圆心角分别是四边形的四个内角，所以四个扇形的圆心角的度数之和为360°，故选B ．例3. 如图，如果圆锥的底面圆的半径是8，母线长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是 ．分析：由圆锥的底面圆的半径是8，可以求出底面圆的周长，也就是扇形CAB 的弧长，再利用弧长公式2360180n n rl r ππ=⋅=即可求扇形的圆心角的度数． 解：∵圆锥底面圆的半径是8，∴BC l r C ==⋅=ππ162 ∵母线长为15∵180Rn l BC ⌒π=∴1801516⋅=ππn 192=n∴圆心角的度数为192°．例4. 如图，一把纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为17cm ，则贴纸部分的面积为_______．（结果保留π）分析：扇形面积公式有两个，一是2360n r S π=，另一个是12S lr =，贴纸部分的面积实际是由两个扇形的面积相减所得．由解意很容易列出关于所求贴纸部分的面积：2212025120(2517)360360ππ⋅⋅⋅⋅--＝187π（cm 2）．例5. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r ，扇形半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为A. R ＝2rB. R ＝94r C. R ＝3r D. R ＝4r分析：注意题中的“底面圆的半径”与“扇形的半径”是两个不同的概念．要找到圆的半径与扇形半径之间的关系，需要得到一个等量关系，由圆锥的有关概念，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，可得2πr ＝90180πR∴R ＝4r ∴答案选D例6. 如图所示，半径是10cm 的圆纸片，剪去一个圆心角是120°的扇形（图中阴影部分），用剩下部分围成一圆锥，求圆锥的高和底面圆的半径．分析：首先，根据题意画出圆锥体的示意图，从图中可知，要求圆锥的底面圆的半径需求出其所在圆的周长，而底面圆的周长为左图中剩下扇形的弧长，这样转化到求弧长的问题；关于圆锥的高，只要由底面半径与圆锥的母线长构造直角三角形即可．解：如答图中的甲、乙图，∵n ＝360°－120°＝240°，R ＝10cm ，如图（甲）所示，24010401801803OAmB n r l πππ⨯===扇形（cm ） 如图乙中连结O ′P ，则O ′P ⊥CD ，设⊙O ′半径为r ， ∵'',2OAmB O O C l C r π==扇形，∴4023r ππ=，∴r ＝203（cm ） ∴ O ′P ＝22'22201010533PD O D ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭（cm ）例7. 已知矩形ABCD 中，AB ＝1cm ，BC ＝2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径作41圆弧交AD 于F ，交BA 的延长线于E ，求阴影部分面积．分析：要求阴影部分面积，只须将它转化为求规则图形的面积的和差，故需连结BF ，ABF BFE S S S △扇形阴-=解：连结BF∵BC ＝2，F 点在以B 为圆心，BC 为半径的圆上 ∴BF ＝2∵矩形ABCD ，AB ＝1，BF ＝2 ∴∠ABF ＝60° ∴ππ323602602=⋅⋅=BFES 扇形3BA BF AF ,BAF Rt 22=-=∆中231321=⨯⨯=ABF S △∴ABF BFE S S S △扇形阴-= ＝2cm )2332(-π 答：阴影部分面积为2cm )2332(-π．例8. 如图已知圆锥的底面半径r ＝10cm ，母线长为40cm ．⑴求它的侧面展开图的圆心角和表面积；⑵若一只甲虫从A 点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA 的中点B ，它所走的最短路程是多少？SAB分析：⑴把圆锥的侧面沿母线SA 展开，如图 则⋂'AA 的长为2πr ＝20π，SA ＝40 所以20π＝40180n π⋅所以n ＝90°所以圆锥的侧面展开图的圆心角是90°S 表面＝S 侧＋S 底＝29040360π⋅＋π·102＝500π（cm 2）⑵由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A 点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA 的中点B 所走的最短路程是线段AB 的长在Rt △ASB 中，∠ASB ＝90°，SA ＝40，SB ＝20所以AB ＝22SA ＋SB ＝205cm答：圆锥的侧面展开图的圆心角是90°，圆锥的表面积是500π2cm ，甲虫所走的最短路程长205cm ．例9. 如图，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA 、OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个封闭图形的面积，那么P 和Q 的大小关系是（ ）A. P ＝Q ；B. P ＞Q ；C. P ＜Q ；D. 无法确定．分析：本题中两个封闭图形的面积不易直接求，可用代数方法来求，根据图形的对称性，另两个封闭图形的面积相等，不妨设为M ，再设OA ＝2r ，由图形可得M ＋Q ＝221r ⋅π，2M ＋P ＋Q ＝2r ⋅π，解得P ＝Q ，故选A ．[方法探究]在一个问题不能直接解决的情况下，就要善于从另一个角度来寻找其它的途径．本题是通过设未知数，把几何问题转化为代数问题，即通过方程思想，使问题迎刃而解．例10. 如图，秋千拉绳长AB 为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？解析：由题意要求圆弧BF 的长，只要求得圆心角∠BAF 的度数即可，根据左右对称，所以将∠BAC 置于一个直角三角形中来计算其度数．过点B 作BE ⊥地面于点E ，作BG ⊥AD 于点G ，则有GD ＝BE ＝2，又AD ＝AC ＋CD ＝3.5，所以AG ＝1.5，则在Rt ΔABG 中，AB ＝3，AG ＝1.5，所以∠BAC ＝60°，所以∠BAF ＝120°．则弧BF 的长＝1203180π⋅⋅＝2π≈6.3（米）．例11. 如图是某学校田径体育场一部分的示意图，第一条跑道每圈为400米，跑道分直道和弯道，直道为长相等的平行线段，弯道为同心的半圆型，弯道与同心的半圆型，弯道与直道相连接．已知直道BC 的长为86.96米，跑道的宽为1米（π＝3.14，结果精确到0.01米） ⑴求第一条跑道的弯道部分⋂AB 的半径；⑵求一圈中第二条跑道比第一条跑道长多少米？⑶若进行200米比赛，求第六道的起点F 与圆心O 的连线FO 与OA 的夹角∠FOA 的度数．解析：⑴弯道的半圆周长为400286.962-⨯＝113.04（米），由圆周长L ＝2πr ，所以半圆弧线长'l r π=，则第一道弯道部分的半径r ＝'113.043.14l π=＝36.00（米）⑵第二道与第一道的直跑道长相等，第二道与第一道的弯跑道的半径之差为1米，第二道与第一道的弯跑道长的差即为两圆周长之差，即2π（r ＋1）－2πr ＝2π＝6.28（米）．⑶从第一道200米，是以A 点为始点，第六道上的运动员需要跑86.96米的直道和113.04米的弯道，即弧长为113.04米，又第六道弯道半圆的半径为41米， 由弧长与半圆、圆心角的关系得n ＝，所以∠FOA ＝180°°°．【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 一个扇形的弧长是20πcm ，面积是240π2cm ，则扇形的半径是（ ）A. 6cmB. 21cmC. 24 cmD. 62 cm2. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°3. 底面圆半径为3cm ，高为4cm 的圆锥侧面积是（ ）A. 7. 5π2cmB. 12π2cmC. 15π2cmD. 24π2cm4. 扇形的半径OA ＝20cm ，∠AOB ＝135 ，用它做成一个圆锥的侧面，此圆锥底面的半径是（ ）A. B. C. 15cm D. 30cm5. 如图，⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是，则圆中的三个扇形即（三个阴影部分）的面积之和为（ ）A.12π2cm B.8π2cm C. 6π2cm D.4π2cm6. 一个圆锥的底面积是25π2cm ，母线长13cm ，则这个圆锥的侧面积是 ．7. 一个圆锥的侧面展开图是一个面积为8π的半圆，则这个圆锥的全面积是________． 8. 如图所示，已知⊙1O 内切于扇形AOB ，切点为C 、D 、E ，⊙1O 的面积为16π，∠AOB ＝60°，求扇形AOB 的周长和面积．9. 如图所示是一管道的横截面示意图，某工厂想测量管道横截面的面积，工人师傅使钢尺与管道内圆相切并交外圆于A 、B 两点，测量结果为AB ＝30cm ， 求管道阴影部分的面积为多少？【试题答案】1. C2. C3. C4. B5. B6. 65π2cm7.12π8. 24π提示：连结O 1C ，OO 1并延长OO 1，则必过切点E ，设⊙O 1的半径为r ∴1O S 圆21,16r S O ππ==圆，∴216r ππ=，r ＝4， ∴O 1C ＝4， ∵OA ，OB 切圆1O 于C ，D ，∠AOB ＝60°， ∴∠AOE ＝30° ∵∠COO 1＝30°，O 1C ＝4，∴O 1O ＝8， ∴R ＝OE ＝OO 1＋O 1E ＝8＋4＝12 ∴24412242,41801260+=⨯+=+==⨯=⋂⋂ππππr l l lAOB OAB AOB扇形∴224360OABn R S ππ==扇形． 9. 解：设钢尺AB 与管道内圆相切于C 点，连结OC 、OA ，则OC ⊥AB ，设OC ＝r ，OA ＝R ，∵AB ＝30cm ，OC ⊥AB ，∴AC ＝152AB=， ∴222222()15225S OA OC R r AC ππππππ=⋅-⋅=-=⨯=⨯=阴影（cm 2）。

九年级数学圆中的计算问题华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 圆中的计算问题【知识与技能】1. 探索归纳圆的弧长、扇形面积公式，会恰当运用公式进行弧长、扇形面积的有关计算。

2. 了解圆柱、圆锥的特征，认识圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形、扇形，并会计算侧面积及全面积。

【过程与方法】在探索归纳弧长、扇形面积公式时，体现了“从特殊到一般”的数学思维方法。

【情感、态度、价值观】在探求公式过程中，提高推理、归纳能力及应用意思，培养与他人合作能力，进一步发展我们对立体图形的了解，同时也增强空间立体感。

【教学过程】 1. 弧长公式：l n r=π180注意：（1）在弧长公式中，n 表示“1°”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“n ”和“180”不应再写单位。

（2）在计算时，若题目中没有标明精确度，可以用“π”表示弧长，如弧长是3π，π，15.π等。

（3）在弧长公式中已知l n r 、、中的任意两个量都可以求出第三个量。

2. 扇形：（1）定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

如图：（2）周长：扇形的周长等于弧长加上两个半径的长，即l r +2。

（3）面积：S n r =π2360或S lr =12注意：①公式S n r =π2360中的“n ”与弧长公式中“n ”的意义一样，表示“1°”圆心角的倍数，参与计算时不带单位。

②S lr =12与三角形面积公式S ah =12十分相似，为了便于记忆，可以把扇形看作曲边三角形，把弧长看作底，半径r 看作底边上的高。

③注意二个公式的区别。

如：已知半径r 、圆心角度数求S ，用S n r =π2360。

已知半径r 、弧长l 求S ，用S lr =12。

④已知：S l n r 、、、四个量中任意两个量，可以求出另外两个量。

3. 圆柱的侧面积与全面积（1）侧面展开图是矩形，一组对边等于母线长，另一组对边等于底面圆的周长。

27.3圆中的计算问题（一）教学内容：课本P58~61教学目标：1、掌握扇形的弧长和面积计算公式；会用公式求阴影部分的面积；2、对图形进行正确的切分，综合运用所学知识进行计算；教学重难点重点：掌握扇形的弧长和面积计算公式；会用公式求阴影部分的面积;难点：对图形进行正确的切分，综合运用所学知识进行计算；教学准备：课件教学方法：讲授法教学过程：一、引入100m,圆心角为90°, 1、提出问题：如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为你能求出这段铁轨的长度吗？（精确到0.1m）2、学生回答后，老师总结：我们容易石岀这段铁轨址圆周的j，所以，挟轨的氏度2二$ * "舱二50TT“ 15X08（卷｝.43、提出新的问题：如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢?二、思考与探索1、思考：如图，各圆心解所对的弧长分别是圆周长的几分之几？2、探索180（1 ）圆心角是180°，占整个周角的180，因此它所对的弧长是圆周长的36090（2）圆心角是90°，占整个周角的上0，因此它所对的弧长是圆周长的360（3）圆心角是45°，占整个周角的 _____________ ，因此它所对的弧长是圆周长的 _____________ ；（4 ）圆心角是1°,占整个周角的________________ ，因此它所对的弧长是圆周长的 _____________ ；（5）圆心角是n°，占整个周角的________________ ，因此它所对的弧长是圆周长的 _____________ ；3、教师总结如果弧长为I，圆心角的度数为n，圆的半径为r，那么，弧长为因此弧长的计算公式为I =4、提出问题扇形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关。

圆心角越大，扇形的面积也越大。

怎样计算圆心角为n的扇形的面积呢？三、思考与探索扇形的面积1、思考：如下图所示的各扇形面积分别是圆面积的几分之几?2、探索180(1 )圆心角是180°，占整个周角的180，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积360的______________ ;90(2)圆心角是90°，占整个周角的上0，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积360的______________ ;(3)________________________________________ 圆心角是45°，占整个周角的，因此圆心角是45。

初三数学第一学期 圆中的计算问题一. 本周教学内容： 1. 圆中的计算问题 2. 全章复习二. 重点、难点： 重点：1. 弧长公式、扇形面积公式的应用。

2. 圆柱、圆锥侧面积、全面积的应用。

3. 圆的认识、与圆有关的位置关系复习。

难点：1. 添加辅助线的规律。

2. 数学思想、方法渗透。

3. 最新中考题题型及解题方法剖析。

【典型例题】一. 圆中的计算问题例1. 一个小孩荡秋千，如图1所示，秋千链子的长OA 为，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD 恰好为60°，并且两边摆动角度相同。

求：（1）秋千摆至最高位置时与其摆到最低位置时的高度之差； （2）秋千从B 点摆到至D 点所走过的路程（结果都精确到）。

（2004年某某乌鲁木齐中考题）解析：由实例可抽象出如图2的扇形，从而（1）可用垂径定理解答。

而第（2）问即是求BD的弧长，可用弧长公式求解。

答案：（1）如图2，连接BD 交OA 于点C 于是∠BOA=∠DOA=30°，AO ⊥BD 在Rt △OCD 中，cos .3025543︒==OC OC ， OA OC -=-≈52543033.（米） （）的长（米）26025180262BD l BD⋂=⨯≈⋂π..答：（1）最高点与最低点的高度差约米，（2）从B 摆到D 所走过的路程约为米。

例 2. 若一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且它们的面积相等，则这个扇形的圆心角为____________度。

解析：设圆的半径为r则扇形的半径为3r ，圆的面积为πr 2，扇形的面积为n r π36032⋅()。

于是ππr n r 223603=⋅()，πππr n r nr 222360940=⋅=，所以n=40，即圆心角为40o 。

答案：40例3. 如图所示，已知扇形AOB 的圆心角为直角，若OA=4cm ，以AB 为直径作半圆，求图中阴影部分的面积。

解析：欲求图形中阴影部分的面积，必须分析阴影部分的面积的组成是否有直接的公式计算，如果是不规则的图形，则应分割为可求图形面积的和或差或倍数来解决。