21.1一元二次方程优秀课件
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人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
x
练一练
将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并 写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1） 4x(x+2) =25 （2）(3x-2)(x+1)=x-3 （3）x(x-4)=0
拓展延伸
已知关于x的方程 （a 2 — 4)x 2 — ax ＋ 2x ＋ a —2=0 ⑴ 若此方程是一元一次方程，则a的取值 范围是什么？ ⑵若此方程是一元二次方程，则a的取值 范围是什么？
使方程左右两边相等的未 知数的值.
谢谢
21.1 一,下列哪些是方程？
⑴
1 3
+
1 6
+
1 2x
=1.
⑵2x+y=16
⑶ 3x+y －1
⑷ 3x －4=2x+6
含有未知数的等式叫做方程. 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫 做一元一次方程.
情境引入
请根据题目意思列出方程,并化简： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax 2 是二 次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系 数；c 是常数项．
练一练
辨别下列各式是否为一元二次方程？ ① 4x 2 = 81 ② 2 ( x 2 - 1 ) = 3y
③ 3x ( x - 1 ) = 5 (x + 2) ④ 2x 2 + 3x - 1 ⑤ x2 1 1 0
3600
50㎝
x
100㎝
知识要点
一 一元二次方程的概念
等号两边都是整式, 只含有一个未知数( 一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的 方程叫做一元二次方程．
知识要点
二 一元二次方程的一般式 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理
练一练
将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并 写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1） 4x(x+2) =25 （2）(3x-2)(x+1)=x-3 （3）x(x-4)=0
拓展延伸
已知关于x的方程 （a 2 — 4)x 2 — ax ＋ 2x ＋ a —2=0 ⑴ 若此方程是一元一次方程，则a的取值 范围是什么？ ⑵若此方程是一元二次方程，则a的取值 范围是什么？
使方程左右两边相等的未 知数的值.
谢谢
21.1 一,下列哪些是方程？
⑴
1 3
+
1 6
+
1 2x
=1.
⑵2x+y=16
⑶ 3x+y －1
⑷ 3x －4=2x+6
含有未知数的等式叫做方程. 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫 做一元一次方程.
情境引入
请根据题目意思列出方程,并化简： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax 2 是二 次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系 数；c 是常数项．
练一练
辨别下列各式是否为一元二次方程？ ① 4x 2 = 81 ② 2 ( x 2 - 1 ) = 3y
③ 3x ( x - 1 ) = 5 (x + 2) ④ 2x 2 + 3x - 1 ⑤ x2 1 1 0
3600
50㎝
x
100㎝
知识要点
一 一元二次方程的概念
等号两边都是整式, 只含有一个未知数( 一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的 方程叫做一元二次方程．
知识要点
二 一元二次方程的一般式 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理
21.1一元二次方程-完整版课件PPT
21.1 一元二次方程
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一 个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖长方体 盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为3600cm²,那么铁皮 各角应切去边长为多少cm的正方形?
(2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？
(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？
总结一元二次方程的特殊形式：
当c=0时， ax2 bx 0a 0 当b=0时， ax2 c 0a 0 当b=0,c=0时， ax 2 0a 0
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
例4 若关于x的方程 (m 1)x2 x c x2 是一元二次 方程，求m的取值范围. 【解题过程】
解：原方程整理得（m 2）x2 x c 0, 因其是一元二次方程，所以m-2≠0， 即m≠2.
【思路点拨】先将原方程化为一般形式，再根据一元二次 方程的二次项系数不能为0，求出m的范围.
一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0(a 0)
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项．
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动4 一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0)
问题： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
重点、难点知识★▲
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
练习4：若关于x的方程 (m 1)xm2 1 x c 0 是一元二次 方程，求m的值. 【解题过程】
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一 个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖长方体 盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为3600cm²,那么铁皮 各角应切去边长为多少cm的正方形?
(2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？
(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？
总结一元二次方程的特殊形式：
当c=0时， ax2 bx 0a 0 当b=0时， ax2 c 0a 0 当b=0,c=0时， ax 2 0a 0
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
例4 若关于x的方程 (m 1)x2 x c x2 是一元二次 方程，求m的取值范围. 【解题过程】
解：原方程整理得（m 2）x2 x c 0, 因其是一元二次方程，所以m-2≠0， 即m≠2.
【思路点拨】先将原方程化为一般形式，再根据一元二次 方程的二次项系数不能为0，求出m的范围.
一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0(a 0)
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项．
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动4 一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0)
问题： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
重点、难点知识★▲
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
练习4：若关于x的方程 (m 1)xm2 1 x c 0 是一元二次 方程，求m的值. 【解题过程】
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程 课件
(3) x+3y=36 (6) y2- y = 6 + 3y2
(8) x2＋2x－3＝1＋x2
(9) (x+3)(2x-4)＝x2 x2＋2x－12＝0
(1)(6)(7)(8)(9)为一元二次方程
把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、 一次项系数和常数项：
方
程
一般形式
二次项 一次项 常数 系 数 系 数项
2.一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项，其中一次 项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按x 的降幂排列.特别注意的是“＝”的右边必须整理成0.
一元二次方程 判断下列方程是否为一元二次方程.
(1) x2+ x=36 (4) 2 +2=0
x (7) x2=0
(2数是方程 x2 – x – 6 = 0的解? -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
一元二次方程的根的概念：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次 方程的解，也叫做一元二次方程的根.
如果x=1是方程 x2 – c = 0 的一个根，那么常数c是多少？这个方程还有 其他根吗？如果有，请求出来.
想一想： 为什么要限制a≠0，b、c可以为零吗？
一元二次方程
一元二次方程的一般形式
二次项系数
一次项系数
a≠0 ax2 + bx +c = 0
二次项 一次项 常数项
一元二次方程
怎样判断一个方程是一元二次方程？
1.判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面，而是能化简必 须先化简，然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2.
3x2＝5x－1 3x2－5x＋1＝0 3 -5 1
21.1一元二次方程的概念课件
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
场.
即
（2）
3．思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程
x2－75x＋350=0 和 x2 － x=56. 显然，这两个方程都不是一元一次方程. 那么这两个方程与一元一次方程的区分在 哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）等号两边都是整式 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
36(50－2x)＝3600,
整理得：
x2－75x＋350=0 （1）
2．问题二 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安 排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多 少个队参加比赛?
分析: 全部比赛共 4×7=28场
是2的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般情势为
ax2 bx c 0 (a≠0），
一元二次方程的项及系数
3.一元二次方程的解的概念
二、 一元二次方程的概念 等式两边都是整式，只含有一个未知数，
并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二 次方程. 通常可写成如下的一般情势：
ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是已知数，a≠0)。 其中
ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；
bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数，
c 叫做常数项。
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
B mx2＋x－m2＝0
C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
练习巩固
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,
当k ≠3 时，是一元二次方程． 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k ≠±1 时，是一元二次方程． 当k ＝－1 时，是一元一次方程．
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
场.
即
（2）
3．思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程
x2－75x＋350=0 和 x2 － x=56. 显然，这两个方程都不是一元一次方程. 那么这两个方程与一元一次方程的区分在 哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）等号两边都是整式 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
36(50－2x)＝3600,
整理得：
x2－75x＋350=0 （1）
2．问题二 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安 排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多 少个队参加比赛?
分析: 全部比赛共 4×7=28场
是2的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般情势为
ax2 bx c 0 (a≠0），
一元二次方程的项及系数
3.一元二次方程的解的概念
二、 一元二次方程的概念 等式两边都是整式，只含有一个未知数，
并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二 次方程. 通常可写成如下的一般情势：
ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是已知数，a≠0)。 其中
ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；
bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数，
c 叫做常数项。
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
B mx2＋x－m2＝0
C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
练习巩固
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,
当k ≠3 时，是一元二次方程． 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k ≠±1 时，是一元二次方程． 当k ＝－1 时，是一元一次方程．
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
1） (x 3)(3x 4) (x 2)2
2）（x-2）(x+3)=8
3) 2x 2 2 3x
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分 折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒 的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去 多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
3600
50㎝
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整
理，都可以化为 ax2 bx c 的0形式,我们把
ax2 bx c 0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方
程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1）3x 2 5y 3
• （2）x 2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
一元二次方程解的概念
2）（x-2）(x+3)=8
3) 2x 2 2 3x
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分 折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒 的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去 多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
3600
50㎝
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整
理，都可以化为 ax2 bx c 的0形式,我们把
ax2 bx c 0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方
程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1）3x 2 5y 3
• （2）x 2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
一元二次方程解的概念
人教版九年级数学上册精品教学课件21.1一元二次方程
为_______．
4.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩 形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四
分之三 . 求挖去的圆的半径 xcm 应满足的方程（其中π
取3）.
150cm
解：设由于圆的半径为xcm，
则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意有，
200 150 3x 2 200 150
想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
20-x 20 32
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个
方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同
特点呢？
x2 75x 350 0 ① x2 x 56 0 ② x2-36x＋35=0 ③
程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,
系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
视频：一元二次方程一般式
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
4.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩 形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四
分之三 . 求挖去的圆的半径 xcm 应满足的方程（其中π
取3）.
150cm
解：设由于圆的半径为xcm，
则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意有，
200 150 3x 2 200 150
想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
20-x 20 32
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个
方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同
特点呢？
x2 75x 350 0 ① x2 x 56 0 ② x2-36x＋35=0 ③
程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,
系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
视频：一元二次方程一般式
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
人教版数学九年级上册21.1一元二次方程的解及其图像经典课件(共34张PPT)
么条件下此方程为一元二次方程？在什么条 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
解：把x＝2代入原方程得：
件下此方程为一元一次方程？ 1 二次函数y=ax2的
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：移项：ax —2bx＋a－ 2x ＝0 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和
5、二次函数y=ax2的图象有何性质？
2x x30 2 1 当 含a有<未0时知,抛数物的线等2y式=叫ax方2在程x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
二次函数y=ax2的性质
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？
含有未知数的等式叫方程
3x 50 2 伸展;当x=0时,函数y
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
v 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
v ＝5（1＋x）（1＋x）
v ＝5 （1＋x）2
v 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
❖ 整理得： x2＋10x－900＝0
解：把x＝2代入原方程得：
件下此方程为一元一次方程？ 1 二次函数y=ax2的
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：移项：ax —2bx＋a－ 2x ＝0 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和
5、二次函数y=ax2的图象有何性质？
2x x30 2 1 当 含a有<未0时知,抛数物的线等2y式=叫ax方2在程x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
二次函数y=ax2的性质
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？
含有未知数的等式叫方程
3x 50 2 伸展;当x=0时,函数y
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
v 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
v ＝5（1＋x）（1＋x）
v ＝5 （1＋x）2
v 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
❖ 整理得： x2＋10x－900＝0
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
21.1一元二次方程(22张ppt)课件
学习目标
?
1.理解一元二次方程的概念，掌握 一元二 次方程的一般 形式，正确认 识各项及其各项的系数； 2.灵活应用一元二次方程概念解决 有关问题。
要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的 上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度 比，等于下部与全部的高度比，雕像的下 部应设计为多高？
雕像上部的高度AC和下部的高度BC有怎样的关系？ A
1 部比赛共 x x 1 场． 2
列方程
1 xx 1 28 2
1 2 1 x x 28 2 2
整理，得 化简，得
x x 56
2
③
由方程③可以得出参赛队数．
问题３：新七(1)班成立，各新同学初次同班，为 表友谊，全班同学互送贺卡，全班共送贺卡1560 张，求七(1)班现有多少名学生？
解：设七(1)班有m名学生，则：
m(m-1)=1560
整理,得：m2-m=1560
化简,得：m2-m-1560=0 ④
由方程④可以得出参赛队数．
方程① ② ③ ④有什么特点？
x2＋2x－4=0 ①
x2－75x+350=0 ②
x2-x＝56 ③
m2-m-1560=0 ④
（１）这些方程的两边都是整式， （２）方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2. 像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
3 2 x 2a 0 2
中
练习：
1、已知x=1是关于x的一元二次方程 2x²+kx-1=0的一个根，求k的值.
2、已知x=0是关于x的一元二次方程 (a-1)x²+x+a²-1=0的一个根，求a的 值.
?
1.理解一元二次方程的概念，掌握 一元二 次方程的一般 形式，正确认 识各项及其各项的系数； 2.灵活应用一元二次方程概念解决 有关问题。
要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的 上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度 比，等于下部与全部的高度比，雕像的下 部应设计为多高？
雕像上部的高度AC和下部的高度BC有怎样的关系？ A
1 部比赛共 x x 1 场． 2
列方程
1 xx 1 28 2
1 2 1 x x 28 2 2
整理，得 化简，得
x x 56
2
③
由方程③可以得出参赛队数．
问题３：新七(1)班成立，各新同学初次同班，为 表友谊，全班同学互送贺卡，全班共送贺卡1560 张，求七(1)班现有多少名学生？
解：设七(1)班有m名学生，则：
m(m-1)=1560
整理,得：m2-m=1560
化简,得：m2-m-1560=0 ④
由方程④可以得出参赛队数．
方程① ② ③ ④有什么特点？
x2＋2x－4=0 ①
x2－75x+350=0 ②
x2-x＝56 ③
m2-m-1560=0 ④
（１）这些方程的两边都是整式， （２）方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2. 像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
3 2 x 2a 0 2
中
练习：
1、已知x=1是关于x的一元二次方程 2x²+kx-1=0的一个根，求k的值.
2、已知x=0是关于x的一元二次方程 (a-1)x²+x+a²-1=0的一个根，求a的 值.
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
21.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的概念，并 会判断一元二 次方程。
2.掌握一元二 次方程的一般形式 ，并且根据一般形式确定各 项的系数。
3.理解一元二次方程解的概念， 并能解决相关问题 。
重点：理解一元二次方
程的概念及其一般形式
难点：运用概念解决
问题
一.复习回顾
1.什么叫方程？我们学过那些方程？ 含有未知数的等式叫方程 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，并且未知数的最 高次数为1的整式方程 3.什么叫分式方程？ 分母中含有未知数的方程
二.探究新知
问题(1)： 要设计一座高2m的人体雕像,使它的
Hale Waihona Puke 上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部
与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米
?
AC BC
分析:
BC 2
A
2-x
C
设雕像下部高xm,于是得方程
x
x2 2(2 x)
B x2 2x 4 0
问题(2)： 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
2.下面哪些数是方程 x2 x 6 的0 根?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3.你能写出方程 x2 x 0的根吗?
三.当堂检测
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C(m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
行28场比赛,则应邀请多少个队参加比赛?
学习目标
1.理解一元二次方程的概念，并 会判断一元二 次方程。
2.掌握一元二 次方程的一般形式 ，并且根据一般形式确定各 项的系数。
3.理解一元二次方程解的概念， 并能解决相关问题 。
重点：理解一元二次方
程的概念及其一般形式
难点：运用概念解决
问题
一.复习回顾
1.什么叫方程？我们学过那些方程？ 含有未知数的等式叫方程 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，并且未知数的最 高次数为1的整式方程 3.什么叫分式方程？ 分母中含有未知数的方程
二.探究新知
问题(1)： 要设计一座高2m的人体雕像,使它的
Hale Waihona Puke 上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部
与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米
?
AC BC
分析:
BC 2
A
2-x
C
设雕像下部高xm,于是得方程
x
x2 2(2 x)
B x2 2x 4 0
问题(2)： 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
2.下面哪些数是方程 x2 x 6 的0 根?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3.你能写出方程 x2 x 0的根吗?
三.当堂检测
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C(m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
行28场比赛,则应邀请多少个队参加比赛?
21.1一元二次方程 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册
数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．
一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为
ax2 + bx + c = 0的形式,我们把ax2 + bx + c = 0(a,b,c为常数，a≠0）称
=1
+
+
+
课堂练习
1、判断下列各式哪些是一元二次方程．
① + +
不是
②9 − =
是
③ =0
是
④
−
+=
⑤ − + =
⑥ 3 -5=43
⑦ ( + )( − ) =
不是
不是
是
不是
2. 把下列方程化成一般形式，并指出各项系数
请在下面方框内填入相应的方程
一元一次方程
3x - 4=5
二元一次方程
2x+ 5y=10
分式方程
2
1 15
4y 1
获取新知
问题1 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角
各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制
作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，
方程
+ =
= +
一般形式
+ − =
− − =0
二次项系数
一次项系数
常数项
1
4
-12
3
-8
一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为
ax2 + bx + c = 0的形式,我们把ax2 + bx + c = 0(a,b,c为常数，a≠0）称
=1
+
+
+
课堂练习
1、判断下列各式哪些是一元二次方程．
① + +
不是
②9 − =
是
③ =0
是
④
−
+=
⑤ − + =
⑥ 3 -5=43
⑦ ( + )( − ) =
不是
不是
是
不是
2. 把下列方程化成一般形式，并指出各项系数
请在下面方框内填入相应的方程
一元一次方程
3x - 4=5
二元一次方程
2x+ 5y=10
分式方程
2
1 15
4y 1
获取新知
问题1 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角
各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制
作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，
方程
+ =
= +
一般形式
+ − =
− − =0
二次项系数
一次项系数
常数项
1
4
-12
3
-8
21.1一元二次方程 课件人教版数学九年级上册
一般形式
ax²+bx+c=0(a≠0)
其中(a≠0) 是一元二次方程的必要 条件；
解(根)
使方程左右两边相等的未知数的值.
21： 3.一元二次方程的根
【知识技能类作业】必做题：
1. 若x=1 是方程x²-2x+a=0 的根，则a=_ 1 2.关于x的方程(2a -4)x²-2x+a=0, 1)在什么条件下此方程为一元二次方程? 2)在什么条件下此方程为一元一次方程?
4.若a是一元二次方程x²+2x-3=0的一个根，则2a²+4a的值是 6
【综合拓展类作业】
5 . (1)当m 为何值时，关于x的方程(m²-1)x²+mx-2=0 是一元二次方程?
(2)已知关于x的一元二次方程(m²-1)x²+mx-3-m=0 的值 .
有一个根是0 , 求m
(3)在第(2)题中，如果要使已知方程有一个根是1,那么m 应该等于什么
(2)两个连续偶数的积为168,求较大的偶数x; x²-2x-168=0 (3)一个直角三角形的两条直角边的长的和是20,面积是25,求其中一条直角边的长x.
x²-20x+50=0
【知识技能类作业】必做题：
3.若一元二次方程2x²+(2k+1)x-(4k-1)=0 的二次项系数、一次项系 数、常数项的和是0,则k= 2. 4.方程2x²=-8 化成一般形式后，二次项系数为2 ,一次项系数为0 , 常数项为 8 ●
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：通过一元一次方程的概念，类比得 出一元二次方程的概念。
1.理解一元二次方程的概念，根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题.
21.1一元二次方程(一)PPT课件
解：去括号，得 3x2－3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的 一般形式： 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为 －10.
练习 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数 项： 2 2
1
5x 1 4x；
① ② 2 x x 56 0 ③
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程 1 10 x 900 0 是一元二次方程吗？ 2 x
二次项系数
一次项系数
例题1
下列方程中哪些是一元二次方程？
(1) x 2 x 5 0 (2)4 x 3 y 1 0
2
2
(3)ax bx c 0
2
2
(4) x( x 1) 2 0
1 2 (6)(m 2) 1 (5)a 0 a (1) ( 4) ( 6) 是一元二次方程的有：
B
x
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形 , 然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为 3600 平方厘米 , 那么铁皮各角应切 去多大的正方形? 分析:
?
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽 为 (50-2x)cm . x 根据方盒的底面积为3600cm2, 得 (100 2 x)(50 2 x) 3600 即
练习 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数 项： 2 2
1
5x 1 4x；
① ② 2 x x 56 0 ③
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程 1 10 x 900 0 是一元二次方程吗？ 2 x
二次项系数
一次项系数
例题1
下列方程中哪些是一元二次方程？
(1) x 2 x 5 0 (2)4 x 3 y 1 0
2
2
(3)ax bx c 0
2
2
(4) x( x 1) 2 0
1 2 (6)(m 2) 1 (5)a 0 a (1) ( 4) ( 6) 是一元二次方程的有：
B
x
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形 , 然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为 3600 平方厘米 , 那么铁皮各角应切 去多大的正方形? 分析:
?
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽 为 (50-2x)cm . x 根据方盒的底面积为3600cm2, 得 (100 2 x)(50 2 x) 3600 即
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》课件
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2.
你注意到了吗？一元 二次方程可能不止一 个根.
例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得 a2 2a 2 0 即a2 2a 2
2a2 4a 2018 2(a2 2a) 2018 2 2 2018 2022
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意 观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数 式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
×
x2=0
5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程m2-4=0，
解：由题意得 a b c 0 即a 12 b 1 c 0 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方 程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2
课堂小结
概念
一 元 二 一般形
次方程
式
根
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- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（C ）
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数
(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做
一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, bx 称为一次项, c 称为常数项.
a 称为二次项系数. b 称为一次项系数.
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、 c 可以为零吗？
解： 3和-2.
你注意到了吗？一元 二次方程可能不止一 个根.
例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求
2a2+4a+2018的值. 解：由题意得 a2 2a 2 0 即a2 2a 2 2a2 4a 2018 2(a2 2a) 2018 2 2 2018 2022
A.x2
1 x2
0
B. 3x2 5xy y2 0
C. x2 2 3x
D. ax2 bx c 0
温馨提示
1、看是否为整式方程；
2、化简后再判断；
3、一元，二次，二次项系数不为0；
小试牛刀
下列方程中哪些是一元二次方程？
（1）x 2x2 1 0 (2)4x2 3 y 1 0
(3) a2 +1 x2 bx c 0 a,b,c为常数
(4)a2 1 0
(5)m2 2 1
（6）
a
3z2+1
=
z
(3z-
1)（7）πy
y2
1
是一元二次方程的有：(1) (3) (5) (7)
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)(a2-4)y +2x2-3=0 (2)(a2-4)x2+2x-3=0 (3) (a－1)x |a|+1 －2x－a=0. (4)ax2－x=2x2
学习目标
1.理解一元二次方程及其有关概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点）
温故而知新
1、下列各式是方程吗？若是，叫什么方程？
（1）2x+1≥5
（2）3x-4=6(3) x 1 来自3 2(4) 1 2 x5
(5)2x2 5x 3 2x2 6
3600cm2 100cm
50cm
问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽 相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横 向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成 小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的 宽应为多少？
32
x 20
解：设小路的宽为xm， 由题意得：
(20-x)(32-2x)=570
1 x(x 1) 28. 2
化简，得：
问题2:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各 切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一 个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那 么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 xcm,则由题意得
x
化简，得
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别 与联系？
一元一次方程
一元二次方程
一般式 相同点 不同点
bx+c=0 (b≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
返回
2.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次 数是1的整式方程叫做一元一次方程.
一 一元二次方程的概念
问题1:西昌市政府组织了“恰同学少年”学校竞演活 动,参赛的每两个学校之间都要比赛一场,根据场地 和时间等条件,赛程计划安排28天,每天安排1场比赛, 共有多少个学校参加竞演?
解：设有x个学校参加竞演 由题意得：
温馨提示
1、一元、二次；
2、二次项系数不为0；
例3
原 方 程
5x2 1 4x 4x2 81
4xx 2 25
一
般 形
二次 项系
数
一次 项系
数
常数 项
式
5x2 4x 1 0 5 －4 －1
4x2 81 0 4 0 －81
4x2 8x 25 0 4 8 －25
注意 系数和项均包含前面的符号.
温故而知新
什么叫一元一次方程的解？
使一元一次方程等号两边相等的未知数的值叫 作一元一次方程的解.
二 一元二次方程的根 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫 作一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
方法点拨：1、代入法 2、整体思想
总结：告诉同学你有什么收获？ 告诉同学你有什么温馨提示？
课堂小结
概念
一 元 二 一般形
次方程
式
根
① 是整式方程； ② 含一个未知数； ③ 最高次数是2.
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件；
使方程左右两边相等的 未知数的值.
化简，得： x2-36x＋35=0
20-x 20
32-2x 32
观察与思考
观察所列出的3个方程 x2-36x＋35=0
（1）它们是一元一次方程吗？ （2）它们与一元一次方程有什么区别？ （3）它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
知识要点
一元二次方程的概念