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高中数学学习中的解析几何解题技巧解析几何是数学中的一个重要分支，也是高中数学中的一项重要内容。
在学习解析几何时，很多学生常常会遇到解题困难的情况。
本文将介绍一些高中数学学习中解析几何解题的技巧，帮助学生更好地应对解析几何题目。
一、利用图形性质确定方程解析几何问题常常涉及到图形的方程，而方程又是解题的基础。
在解析几何问题中，我们可以通过观察图形的性质，来确定方程的形式。
例如，当求解过点A和B的直线方程时，我们可以根据直线的斜率来确定方程的形式。
如果我们已知直线经过点A(-3,5)和B(2,4)，我们可以利用两点间的斜率公式来求解直线的斜率，即\[k = \frac{{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}} = \frac{{4-5}}{{2-(-3)}} = -\frac{1}{5}\]然后可以通过直线的斜率和已知点的坐标，使用点斜式或者斜截式公式得到直线的方程。
二、利用向量运算简化计算在解析几何中，向量是一项重要的工具。
通过向量的加减和数乘等运算，可以简化计算过程。
例如，当求解两条直线的夹角时，我们可以利用向量的点积公式来求解。
设两条直线的方程分别为\[ax+by+c=0\]和\[px+qy+r=0\]，则两条直线的夹角\(\theta\)满足：\[\cos{\theta}=\frac{{|ap+bq|}}{{\sqrt{{a^2+b^2}}\sqrt{{p^2+q^2}}}}\]通过向量的点积公式，我们可以利用方程的系数来求解直线的夹角，而无需对方程进行直接求解。
三、利用平移旋转变换简化题目解析几何中的平移、旋转等变换是解题过程中常常用到的工具。
通过适当的变换，可以将复杂的题目转化为简单的形式，便于求解。
例如，我们在求解直线与圆的位置关系时，可以通过平移变换将圆心移到坐标原点，从而简化题目。
设直线的方程为\(ax+by+c=0\)，圆的方程为\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)，我们可以通过平移变换将圆的方程转化为\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，其中\(a\)和\(b\)为圆心的坐标。
解析几何大题的解题步骤和策略
当涉及解析几何大题时，下面是一般的解题步骤和策略：
1.阅读理解：仔细阅读题目，理解问题陈述、已知条件和要求，
确保对问题的要求和约束有清晰的理解。
2.建立坐标系：根据题目描述和已知条件，确定合适的坐标系。
选择适当的坐标可以简化问题的计算和分析。
3.列出方程：根据题目的几何关系，用已知条件建立方程。
可
以利用距离公式、斜率公式、点斜式等几何关系公式来列出方程。
4.解方程组：利用求解方程组的方法来找到未知变量的值。
可
以使用代入法、消元法、梯度下降法等方法来求解方程组。
5.分析图形特征：通过计算、分析和绘制图形，找出图形的性
质和特征。
可以利用角度、长度等几何性质来推断和解答问题。
6.检查和回答：在得出计算结果之后，进行合理性检查，确保
计算的准确性。
最后，回答问题，给出相应的解释和结论。
在解析几何大题时，要善于运用几何知识和创造性思维，注意问题的合理性和准确性。
同时，从不同的角度分析和解决问题，灵活运用几何性质和解题策略，可以更好地应对解析几何大题。
根据具体的题目和难度，可能需要使用不同的方法和技巧，因此灵活性和实践经验也是很重要的因素。
目录解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线） (1)一、设点或直线 (1)二、转化条件 (1)（1）求弦长 (2)（2）求面积 (2)（3）分式取值判断 (2)（4）点差法的使用 (4)四、能力要求 (6)五、补充知识 (6)关于直线 (6)关于椭圆： (7)例题 (7)解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线）——————————————————一条分割线———————————————一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。
直线与曲线的两个交点一般可以设为等。
对于椭圆上的唯一的动点，还可以设为。
在抛物线上的点，也可以设为。
◎还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。
对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设（m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同）。
如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。
一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。
如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y=kx+m或x=my+n。
（注意：y=kx+m不表示平行于y轴的直线，x=my+n不表示平行于x轴的直线）由于抛物线的表达式中不含x的二次项，所以直线设为或x=my+n联立起来更方便。
二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。
下面列出了一些转化工具所能转化的条件。
向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于0），平行四边形斜率：平行（斜率差为0）、垂直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0，关于y=±x对称则斜率积为1（使用斜率转化一定不要忘了单独讨论斜率不存在的情况！）几何：相似三角形（依据相似列比例式）、等腰直角三角形（构造全等）有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单，三思而后行。
解析几何解答题技巧
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。
在解析几何的解答题中，需要注意以下几点技巧：
1. 建立坐标系：根据题目的具体情况，选择适当的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或参数方程。
坐标系的建立有助于将几何问题转化为代数问题，便于进一步求解。
2. 设点坐标：根据题目要求，设出未知点的坐标。
设点坐标时需要注意，所设的坐标应尽量满足题目的条件，便于求解。
3. 列出方程：根据题目的已知条件和设定的坐标，列出所需的方程。
列方程时需要注意，方程应尽可能简单，便于求解。
4. 解方程：根据所列的方程，解出未知数的值。
解方程时需要注意，解方程的方法应尽可能简单，便于计算。
5. 验证答案：解出答案后，需要进行验证，确保答案符合题目的条件和已知条件。
验证答案时需要注意，答案应尽可能准确，避免出现误差。
6. 总结答案：最后需要对答案进行总结，写出完整的答案。
总结答案时需要注意，答案应尽可能清晰，便于阅读和理解。
总之，在解析几何的解答题中，需要注意建立坐标系、设点坐标、列出方程、解方程、验证答案和总结答案等技巧。
同时还需要注意计算准确、思路清晰、表达简洁等要求。
解题宝典仔细研究可以发现，解析几何问题通常具有以下几个特点：（1）解题过程中的运算量较大；（2）选择题和填空题侧重于考查抛物线、椭圆、双曲线的定义和几何性质，解答题侧重于考查直线与椭圆、抛物线、双曲线的位置关系；（3）可从代数和几何两个角度入手，寻找解题的思路.在解答解析几何问题时，我们要抓住解析几何问题的特点，选用一些技巧来简化运算，提升解题的效率.一、巧用定义在解答与圆锥曲线定义有关的问题时，要将问题中的动点、定点、定直线与圆锥曲线上的点、焦点、准线等关联起来，根据圆锥曲线的定义来建立关于动点的关系式，求得各个参数a 、b 、c 、p 、r 的值，便可求得动点的轨迹方程或焦半径的长.例1.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为-3的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若 AF 1·AF 2=0，a =3-1，则F 2的坐标为.解：因为 AF 1·AF 2=0，所以AF 1⊥AF 2，因为k AF 2=-3，所以∠AF 1F 2=π6，则AF 1=3c ，AF 2=c ，由双曲线的定义得AF 1-AF 2=3c -c =2a ，则c =3=2，所以F 2已知条件中涉及了双曲线的两个焦半径AF 1、AF 2，于是联想到双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹，据此建立关于AF 1、AF 2的关系式，即可解题.运用圆锥曲线的定义来解题，能快速建立起焦点弦、参数之间的联系，起到简化运算的效果.二、数形结合在解答解析几何问题时，根据题意画出相应的曲线、直线，并将数量关系转化为几何关系，这样把数形结合起来，可使问题变得更加直观，便于分析.运用数形结合法解题，关键是画出相应的平面几何图形，灵活运用平面几何知识，如三角形、圆、平行四边形、梯形的性质来求解.例2.（2021年高考数学上海卷，第11题）已知抛物线C ：y 2=2px （p >0），若第一象限内的点A ，B 在抛物线C 上，焦点为F ，且|AF |=2，|BF |=4，|AB |=3，则直线AB 的斜率为______.解：如图所示，过点A ,B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为P ，Q ，作AM ⊥BQ ,垂足为M ，根据抛物线的定义可知|AP |=|MQ |=|AF |=2，|BQ |=|BF |=4，则|BM |=2，在Rt△AMB 中,由|AB |=3可得|AM |=|AB |2-|BM |2=5,所以直线AB 的斜率k =tan ∠ABM =|AM ||BM |=根据题目中所给的条件，作出相应的平面几何图形，将题目中的数量关系转化为几何关系，便可将数形结合起来，通过合理添加辅助线，构造出直角三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理就能求得直线AB 的斜率.三、设而不求设而不求是指设出相关的参数，但不求出参数的具体值，得到直线的方程、曲线的方程、点的坐标等，将其代入题设中进行运算，最后通过消元求得问题的答案.利用设而不求法解答解析几何问题，只需设出相关的参数，根据题意建立关系式，合理进行整体代换、消元即可.例3.（2021年福建省福州市高考数学调研试卷）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点.正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在椭圆C 上.（1）求C 的离心率；（2）若a=2，直线l 过点（1，0）且x 轴不重合，与椭圆C 交于M ，N 两点（M 在x 轴上方），直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，试判断k 1k 2是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.解：（1）略；（2）当a =2时，b =，所以椭圆C 的方程为x 2+3y 2=4，设直线l 的方程为x =my +1，m ≠0，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则y 2<0<y 1，由题意可得ìíîx =my +1,x 2+3y 2=4,消去x 可得(m 2+3)y 2+2my -3=0，得y 1+y 2=-2m m 2+3，y 1y 2=-3m 2+3，林毓琴41解题宝典N k OM 42。
数学新高考二卷解析几何题答题技巧数学新高考二卷解析几何题答题技巧引言在数学新高考二卷中，解析几何题占据了相当的比重。
解析几何作为数学的重要分支和应用工具，在高考中占据了相当的重要性。
本文将介绍一些针对解析几何题的答题技巧，帮助考生高效解题。
技巧一：熟悉基本公式和定理•需要熟练掌握点、线、面之间的距离公式和斜率公式，这是解析几何题解答的基础。
•熟悉三角形、四边形等图形的周长和面积公式，能够快速运用并进行变形。
技巧二：画图解题•解析几何题通常需要通过画图来帮助理解和分析。
画图可以更直观地看出问题中的条件和求解思路。
•细心观察图形中给出的线段、角度等信息，合理选择参考点和坐标系，有助于简化计算。
技巧三：几何性质的灵活运用•利用几何性质来解析几何题是解题的关键。
比如利用垂直角、对称性、相似三角形、共线等性质来辅助求解。
•注意总结并熟悉一些常见的几何性质和定理，如垂心、重心、外心等，能够快速应用于解题过程中。
技巧四：建立方程求解•对于一些解析几何题目，可以通过建立方程解决问题。
这要求我们善于将几何条件转化为方程，并利用方程进行进一步的推导。
•熟悉直线、圆等几何图形的方程表达式，并掌握解方程的方法，能够帮助快速解决相关问题。
技巧五：几何题与代数题互相转化•高考数学考题中的解析几何与代数题经常有联系，可以通过将几何问题转化为代数问题或者将代数问题图像化的方式来解决。
•将几何问题转化为代数问题可以通过引入变量、利用直线的斜率等方式进行，能够帮助快速解决相关问题。
结论解析几何作为数学的一部分，在高考中占有重要地位。
熟悉基本公式和定理，善于画图、灵活运用几何性质，掌握建立方程和几何与代数互相转化的技巧，将会有助于考生在解析几何题上取得更好的成绩。
通过不断练习和积累，相信考生们能够更加熟练地运用这些技巧，提高解题效率。
技巧六：分类讨论•在解析几何题中，有时候问题较为复杂，无法直接得到结论。
这时候可以采用分类讨论的方法，将问题进行分情况讨论，找到每种情况下的解决方法。
解析几何求解技巧解析几何是高等数学的重要分支之一，它主要研究几何图形的性质和相关问题的解法。
解析几何的求解技巧是解决几何问题的关键，下面将介绍几种常用的解析几何求解技巧。
一、坐标法：坐标法是解析几何中最常见的求解技巧。
它利用坐标系和坐标代数的方法，通过确定几何图形上的点的坐标，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
具体的求解步骤可以概括为：1. 建立坐标系。
根据题目所给条件，确定适当的坐标系，并选择合适的单位长度。
2. 确定几何图形上的点的坐标。
根据题目所给条件，推导出几何图形上点的坐标关系。
可以运用平面几何中的基本性质和定理，通过代数方法求解。
3. 转化为代数方程。
根据几何图形的性质和定理，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
这一步骤需要灵活应用代数方程的解法技巧。
4. 求解代数方程。
根据所得的代数方程，运用代数解法将方程求解。
5. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
二、向量法：向量法是解析几何中另一种常用的求解技巧。
它运用向量的概念和运算，通过向量的相等、垂直、平行等性质，推导出几何图形和问题的解法。
具体的求解步骤可以概括为：1. 确定坐标系和向量的表示。
建立适当的坐标系，确定向量的表示方法。
常用的表示方法有坐标表示法、定点表示法和参数表示法等。
2. 利用向量的性质和运算推导条件。
根据题目所给条件，利用向量的性质和运算，推导出几何图形上的条件和关系。
3. 利用向量之间的关系求解。
根据所得的几何图形上的条件，利用向量的关系，运用向量的加减、数量积、向量积等运算进行求解。
4. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
三、分析法：分析法是解析几何中辅助性的求解技巧。
它通过对几何图形的分析，将几何问题转化为具有明确几何意义的问题，并通过几何性质和定理的应用，求解问题。
解析几何11种方法解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法来研究几何对象。
以下是11种解析几何的方法：1.坐标法：这是解析几何中最基本的方法，通过引入坐标系，将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
2.参数法：当某些几何量（如距离、角度等）不容易直接求出时，可以引入参数，将问题转化为参数的求解问题。
3.向量法：向量是解析几何中的重要工具，它可以表示点、方向、速度等几何概念，通过向量的运算可以方便地解决许多几何问题。
4.极坐标法：在平面几何中，除了直角坐标系外，还可以使用极坐标系。
通过极坐标，可以方便地表示点和线的方程，并解决相关问题。
5.复数法：复数在解析几何中也有广泛应用，例如在解决圆的方程时，可以通过复数的方法简化计算。
6.三角法：在解析几何中，三角函数是重要的工具，它可以用来表示角度、长度等几何量，并解决相关问题。
7.面积法：在解决几何问题时，有时可以通过计算面积来找到解决方案，例如在解决三角形问题时。
8.解析法：通过解析几何的方法，可以将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
9.代数法：代数法是解析几何中的一种重要方法，通过代数运算和代数方程的求解，可以解决许多几何问题。
10.对称法：在解析几何中，有时可以通过观察图形的对称性来找到解决方案，例如在解决关于对称点、对称线的问题时。
11.数形结合法：数形结合是解析几何中的一种重要思想，通过将代数与几何相结合，可以更方便地解决许多问题。
以上就是解析几何的11种方法。
需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的问题选择合适的方法来解决。
几何问题的解析几何解法几何问题是数学中一类常见的问题类型，而解析几何则是解决这类问题的一种有效方法。
解析几何通过运用代数和几何的相互联系，以坐标系为基础，利用代数符号和方程式来研究几何图形的性质和变换。
本文将介绍几何问题的解析几何解法，并提供一些实例来加深理解。
一、直线的解析几何解法直线是几何中最基本的元素之一，通过坐标系的引入，我们可以用解析几何的方法来研究直线的性质和特点。
对于已知两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，要确定这两点之间的直线方程，可以使用以下公式：\[\frac{{y-y₁}}{{x-x₁}} = \frac{{y₂-y₁}}{{x₂-x₁}}\]这个公式称为点斜式，其中斜率为 \(\frac{{y₂-y₁}}{{x₂-x₁}}\)。
通过这个方程，我们可以得到直线的斜率、截距等重要信息，从而进一步理解和分析直线的特性。
二、圆的解析几何解法圆是另一类常见的几何图形，在解析几何中也有相应的解法。
已知圆心为C(a, b)，半径为r的圆，其方程可以表示为：\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\]在解析几何中，我们可以根据圆心和半径的信息，推导出关于圆的性质和变换的一系列公式。
例如，通过对圆心的平移、旋转和缩放等操作，我们可以得到新的圆的方程和特征。
这些解析几何的方法在实际问题中具有广泛的应用，例如在计算机图形学和物理学领域。
三、多边形的解析几何解法多边形是由多条线段组成的几何图形，其解析几何解法也是基于坐标系的引入和运用。
对于一个n边形，我们可以通过提取顶点的坐标，组成一个由点组成的集合。
通过连接这些顶点，我们可以得到多边形的边界。
进一步，我们可以运用向量加法、平移以及旋转等解析几何的方法来研究多边形的性质和变换。
除了以上提到的几何图形，解析几何还可以用于研究曲线、立体图形等问题。
通过引入坐标系，用代数的方法来解决几何问题，解析几何在数学领域扮演着重要的角色。
解析几何的出现极大地促进了几何学和代数学的发展。
解析几何题型及解题方法
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。
以下是一些常见的解析几何题型及其解题方法：
1. 求轨迹方程：给定一些条件，求动点的轨迹方程。
解题方法包括直接法、参数法、代入法等。
2. 判断位置关系：判断两条直线、两个圆、两条圆锥曲线等是否相交、相切、相离。
解题方法包括联立方程组消元法、判别式法、一元二次方程根的判别式法等。
3. 求弦长、面积、体积等：给定一个几何对象，求其长度、面积、体积等。
解题方法包括公式法、参数法、极坐标法等。
4. 求最值：给定一个几何对象，求其长度的最大值、最小值等。
解题方法包括导数法、不等式法、极坐标法等。
5. 证明不等式：通过几何图形证明不等式。
解题方法包括构造法、极坐标法、数形结合法等。
6. 探索性问题：通过观察、猜想、证明等方式探索几何对象的性质。
解题方法包括归纳法、反证法、构造法等。
以上是一些常见的解析几何题型及其解题方法，掌握这些方法可以帮助我们更好地解决解析几何问题。
同时，需要注意题目中的条件和限制，以及图形的位置和形状，以便更准确地解决问题。
解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化.例1 已知点T 是半圆O 的直径AB 上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB 为直腰作直角梯形B B A A ''，使A A '垂直且等于AT ，使B B '垂直且等于BT ，B A ''交半圆于P 、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线B A ''的方程； （2）计算出点P 、Q 的坐标；（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q.讲解: 通过读图, 看出'',B A 点的坐标.(1 ) 显然()t A -1,1', ()，，‘t B +-11 于是 直线B A '' 的方程为1+-=tx y ；（2）由方程组⎩⎨⎧+-==+,1,122tx y y x解出 ),(10P 、),(2221112t t t t Q +-+； （3）tt k PT 1001-=--=,t t t t tt t t t k QT1111201122222=--=-+-+-=)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q.需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例2 已知直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y轴分别交于R 、S ，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程．讲解：从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程,由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程，222222b a y a x b =+ 得.)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后，得关于x 的一元二次方程.02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=∆ 由已知，得△=0．即.2222m b k a =+ ①在直线方程m kx y +=中，分别令y=0，x =0，求得).,0(),0,(m S kmR -令顶点P 的坐标为（x ，y ）， 由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得 代入①式并整理，得 12222=+y b x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程．方程12222=+y b x a 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?例3已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.讲解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-b y a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b cabb a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则.11,315531152002002210kx y k k kx y k k x x x BE-=+=-=+=⋅-=+= ,000=++∴k ky x即7,0,03153115222=∴≠=+-+-k k k kk k k 又 故所求k=±7.为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程.例4 已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且∠F 1PF 2的最大值为90°，直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，△ABF 2的面积最大值为12．（1）求椭圆C 的离心率； （2）求椭圆C 的方程． 讲解：（1）设cF F r PF r PF 2||,||,||212211===, 对,21F PF ∆ 由余弦定理, 得1)2(2441244242)(24cos 22122212221221221212221121-+-≥--=--+=-+=∠r r c a r r c a r r c r r r r r r c r r PF F0212=-=e ， 解出 .22=e（2）考虑直线l 的斜率的存在性，可分两种情况：i) 当k 存在时，设l 的方程为)(c x k y +=………………①椭圆方程为),(),,(,122112222y x B y x A b y a x =+由.22=e 得 2222,2c b c a ==.于是椭圆方程可转化为 022222=-+c y x ………………② 将①代入②，消去y 得 02)(22222=-++c c x k x ,整理为x 的一元二次方程，得 0)1(24)21(22222=-+++k c x ck x k .则x 1、x 2是上述方程的两根．且221221122||k k c x x ++=-，2212221)1(22||1||k k c x x k AB ++=-+=，AB 边上的高,1||2sin ||22121k k c F BF F F h +⨯=∠=也可这样求解：||||212121y y F F S -⋅=||||21x x k c -⋅⋅=c k k k k c S 21||)211(2221222+++=.2141224412221||122224242422222c k k c k k k k ck k k c<++=+++=++=ii) 当k 不存在时，把直线c x -=代入椭圆方程得22221,2||,22c c S c AB c y ⨯==±=由①②知S 的最大值为22c 由题意得22c =12 所以2226b c == 2122=a故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12621222=+y x下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：c my x -=…………① （这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为：),(),,(,122112222y x B y x A by a x =+由.22=e 得：,,22222c b c a ==于是椭圆方程可化为：022222=-+c y x ……② 把①代入②并整理得：02)2(222=---c mcy y m于是21,y y 是上述方程的两根.||1)()(||122221221y y m y y x x AB -+=-+-=2)2(441222222++++=m m c c m m2)1(2222++=m m c , AB 边上的高212mc h +=,从而222222)2(122122)1(2221||21++=+⨯++⨯==m m cm c m m c h AB S.221111222222c m m c ≤++++=当且仅当m=0取等号，即.22max c S =由题意知1222=c , 于是 212,26222===a c b .故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12621222=+y x例5 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上.（１）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上，求此椭圆的方程.讲解:（1）设A 、B 两点的坐标分别为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=11).,(),,(22222211b y ax x y y x B y x A ，则由 得 02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ,根据韦达定理，得,22)(,2222212122221ba b x x y y b a a x x +=++-=++=+ ∴线段AB 的中点坐标为（222222,ba b b a a ++）. 由已知得2222222222222)(22,02c a c a b a ba b b a a =∴-==∴=+-+ 故椭圆的离心率为22=e . （2）由（1）知,c b =从而椭圆的右焦点坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线02:=-y x l 的对称点为,02221210),,(000000=⨯-+-=⋅--yb x b x y y x 且则解得 b y b x 545300==且 由已知得 4,4)54()53(,42222020=∴=+∴=+b b b y x故所求的椭圆方程为14822=+y x .例6 已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B两点， （1）如果324||=AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.讲解:（1）由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或， 所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或（2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由 点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22xy a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得).2(161)47(22≠=-+y y x适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.例7 如图，在Rt △ABC 中，∠CBA=90°，AB=2，AC=22。
