初一期中定义新运算

第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。

练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。

求27*9。

2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。

3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。

【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。

求3△(4△6)。

练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。

2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。

求30△（5△3）。

3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。

【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。

练习３1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。

2．规定，那么8*5=________。

3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么（6*3）÷（2*6）=________。

新运算知识点总结随着科学技术的不断发展和进步，数学也在不断地发展和完善。

新运算是数学中的一个重要的知识点，它包含了一系列新的运算方法和概念，为数学的发展和应用提供了新的思路和方法。

本文将就新运算的概念、特点和应用进行总结和分析。

一、新运算的概念新运算是指在传统的四则运算基础上，引入了一些新的概念和方法，扩展了数学运算的范围，使得数学运算更加丰富和多样化。

新运算的本质是对传统的运算方法进行改进和完善，以满足日益增长的数学需求和实际应用的要求。

新运算包括了加减乘除以外的运算，例如幂、根、对数、三角函数等，也包括了一些新的运算规则和框架，例如模运算、矩阵运算、高维运算等。

这些新的运算方法和概念为数学的发展和应用提供了新的思路和方法，使得数学更加丰富和多样化。

二、新运算的特点新运算有以下几个显著的特点：1. 多样性新运算方法的引入，使得数学运算更加多样化，不仅包括了加减乘除，还包括了更多的运算方法和概念，例如幂、根、对数、三角函数等。

这些新的运算方法丰富了数学的内容，使得数学更加多样化和有趣。

2. 应用性新运算方法的引入，使得数学运算更加贴近实际问题的需求，更加具有实用性。

例如，矩阵运算可以用于解决线性方程组和矩阵的问题；对数运算可以用于描述指数增长和衰减的规律；三角函数可以用于描述周期性变化的规律等。

这些新的运算方法丰富了数学的应用领域，使得数学更加具有实用性。

3. 抽象性新运算方法的引入，使得数学运算更加抽象化和一般化，不仅包括了具体的数值计算，还包括了更多的符号计算和推理推导。

例如，模运算可以用于描述同余关系和剩余类的性质；高维运算可以用于描述抽象空间和向量空间的性质等。

这些新的运算方法丰富了数学的抽象性，使得数学更加具有一般性。

4. 统一性新运算方法的引入，使得数学运算更加统一和完整，不仅包括了传统的四则运算，还包括了更多的补充和扩展。

例如，幂和根可以用于推广加减乘除的运算规则；对数和指数可以用于推广正负数的运算规则；三角函数和复数可以用于推广实数的运算规则。

定义新运算附答案我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 ×39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※ 5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝8x－13那么8x－13＝3 解出x＝2.例3、定义新的运算a ⊕b＝a×b＋a＋b.①求6 ⊕2，2 ⊕6；②求（1 ⊕2）⊕3，1 ⊕（2 ⊕3）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：① 6 ⊕2＝6×2＋6＋2＝20，2 ⊕6＝2×6＋2＋6＝20.②（1 ⊕2）⊕3＝（1×2＋1＋2）⊕3＝5 ⊕3＝5×3＋5＋3＝231 ⊕（2 ⊕3）＝1 ⊕（2×3＋2＋3）＝1 ⊕11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“⊕”是否满足交换律：a ⊕b＝a×b＋a＋bb ⊕a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以a ⊕b＝b ⊕a，因此“⊕”满足交换律.再看“⊕”是否满足结合律：（a ⊕b）⊕c＝（a×b＋a＋b）⊕c＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc ＋ac ＋bc ＋ab ＋a ＋b ＋c .a ⊕（b ⊕c ）＝a ⊕（b ×c ＋b ＋c ）＝a ×（b ×c ＋b ＋c ）＋a ＋b ×c ＋b ＋c＝abc ＋ab ＋ac ＋a ＋bc ＋b ＋c＝abc ＋ac ＋bc ＋ab ＋a ＋b ＋c .（普通加法的交换律） 所以（a ⊕ b ）⊕ c ＝a ⊕（b ⊕ c ），因此“⊕”满足结合律.说明：“⊕”对于普通的加法不满足分配律，看反例：1 ⊕（2＋3）＝1 ⊕ 5＝1×5＋1＋5＝11；1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1 ⊕（2＋3）≠ 1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3.例4、有一个数学运算符号“⊗”，使下列算式成立：2⊗4＝8，5⊗3＝13，3⊗5＝11，9⊗7＝25，求7⊗3＝？解：通过对2⊗4＝8，5⊗3＝13，3⊗5＝11，9⊗7＝25这几个算式的观察，找到规律：a ⊗b ＝2a ＋b ，因此7⊗3＝2×7＋3＝17.例5、x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以首先要计算出k 的值，k 值求出后，l △2的值也就计算出来了.我们设1△2=a ， (1△2）*3=a *3，按“*”的定义： a *3=ma+3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a *3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.解：因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36km=1n =2 m=2 n =23（舍去）m=3n =1有36k=64，解出k=971，这与k 是自然数矛盾，因此m=3，n =1，k=971 这组值应舍去.所以m=l ，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.课后习题1.a *b 表示a 的3倍减去b 的21，例如：1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6； ②7*（2*1）.2.定义新运算为 a ㊀b ＝b 1a +， ①求2㊀（3㊀4）的值； ② 若x ㊀4＝1.35，则x ＝？3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立：21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值. 4.定义两种运算“⊕”、“⊗”，对于任意两个整数a 、b ，a ⊕b ＝a ＋b ＋1， a ⊗b=a ×b －1，①计算4⊗[（6⊕8）⊕（3⊕5）]的值；②若x ⊕（x ⊗4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”，x △y=y ×2x ×m y×x ×6+（其中m 是一个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成立，求a 的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x *y=xy 1＋））（（A y 1x 1++，已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值. 8.a ※b=b÷a b a +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值. 9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为自然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++ =？课后习题解答1.2.3.所以有5x-2=30，解出x=6.4左边：8.解：由于9.解：按照规定的运算：x△10=x +（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1）=10x +（1+2+3+⋯+9）=10x + 45 因此有10x + 45=65，解出x=2.。

初中数学新定义运算在初中数学中，我们学习了加减乘除四则运算，但是在实际应用中，有时候需要用到其他的运算。

因此，我们需要引入新的定义运算。

一、绝对值运算绝对值运算是指将一个数的正负号去掉，得到它的非负值。

例如，|-3|=3，|5|=5。

二、取整运算取整运算是指将一个实数取整到最接近它的整数。

例如，[3.2]=3，[4.8]=5。

三、取余运算取余运算是指将一个整数除以另一个整数，得到的余数。

例如，7÷3=2余1，所以7 mod 3=1。

四、阶乘运算阶乘运算是指将一个正整数n乘以比它小的所有正整数的积。

例如，5!=5×4×3×2×1=120。

五、幂运算幂运算是指将一个数乘以自己若干次。

例如，2³=2×2×2=8，5²=5×5=25。

六、根号运算根号运算是指将一个数的平方根或者立方根等根号表示出来。

例如，√9=3，∛8=2。

七、比例运算比例运算是指将两个数的比值表示出来。

例如，1:2表示第一个数是第二个数的一半。

八、百分数运算百分数运算是指将一个数乘以100，表示成百分数的形式。

例如，0.5表示成百分数的形式是50%。

九、平均数运算平均数运算是指将一组数的和除以它们的个数，得到它们的平均值。

例如，1、2、3、4、5的平均数是(1+2+3+4+5)/5=3。

十、最大值和最小值运算最大值和最小值运算是指在一组数中找到最大值和最小值。

例如，1、2、3、4、5中最大的数是5，最小的数是1。

以上就是初中数学中常见的新定义运算。

通过学习这些运算，我们可以更好地理解数学知识，更好地应用数学知识。

第四讲定义新运算知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合例题精讲模块一、直接运算型【例 1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。

【解析】A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。

由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312【巩固】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。

6△（3△4）【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。

由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7【巩固】设a△2b a a b=⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____. 【解析】56552613=⨯-⨯=△52552221=⨯-⨯=△,1321216435=⨯-=△【巩固】P、Q表示数，*P Q表示P与Q的平均数，求3*(6*8)【解析】68373*(6*8)3*()3*7522++====【例 2】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。

定义新运算知识要点：定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

三、典型例题【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。

【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。

这里的“*”就代表一种新运算。

在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。

因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。

【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。

求3△(4△6)。

【思路导航】根据定义先算4△6。

在这里“△”是新的运算符号。

【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。

【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。

因此【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果－=×A，那么，A是几？【思路导航】这题的新运算被定义为：@ = （a－1）×a×（a＋1），据此，可以求出－= －，这里的分母都比较大，不易直接求出结果。

根据－=×A，可得出A = (－)÷= （－）×⑦= －1。

定义新运算【知识概括】定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

【典型例题】例1、假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。

【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。

这里的“*”就代表一种新运算。

在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。

因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。

练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。

求27*9。

2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。

3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。

例2、设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。

求3△(4△6)。

【思路导航】根据定义先算4△6。

在这里“△”是新的运算符号。

3△(4△6)＝3△【4×6－（4+6）÷2】＝3△19＝4×19－（3+19）÷2＝76－11＝65练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。

2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。

求30△（5△3）。

3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。

例3、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。

定义新运算一．定义新运算近几年的中考题中出现了一类“定义新运算”型的题目，这类题目以加、减、乘、除、乘方等运算为基础，定义了很多具有实际意义的新运算．这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算规律，其实质是给出了一种变换规则，以此考查同学们的思维应变能力和计算能力．解此类问题的关键是深刻理解所给的定义或规则，将它们转化成我们所熟悉的加、减、乘、除、乘方等运算．注意：解答定义新运算题，关键是要正确地理解新定义的算式的含义，在计算时，严格按照规定的法则代入数值，然后转化为常规的四则运算算式进行计算．一．考点：新定义运算二．重难点：新定义运算 三．易错点：新定义运算题模一：定义新运算例 1.1.1 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将()2101，()21011换算成十进制数应为：按此方式，将二进制()21001换算成十进制数的结果是__________． 【答案】 9． 【解析】 略．例1.1.2 ﹣2的绝对值是（ ） A ． ﹣2B ． 2C ． ﹣12D ．12【答案】B【解析】 |﹣2|=2．例1.1.3 现规定一种运算：*a b ab a b =+-，其中a ，b 为有理数，则3*5的值为（ ） A ． 11 B ． 12 C ． 13 D ． 14 【答案】C【解析】 该题考查代数式求值．将3a =,5b =代入上式得, 3*5353513=⨯+-=． 故答案选C三点剖析知识精讲例1.1.4 定义新运算如下：当a b ≥时，a b ab b ⊕=+，当a b <时，a b ab a ⊕=-， 则()22-⊕=____，若20x ⊕=，则x =________. 【答案】 2-；0【解析】 该题考查的是定义新运算． 由已知，∵22-<， ①对于20x ⊕=，若2x ≥，则2220x x ⊕=+=，即22x =-，解得1x =-，这与2x ≥矛盾，舍弃； ②若2x <，则220x x x ⊕=-=， 即0x =，满足题意，例1.1.5 在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文，现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的26个字母（不论大小写）按顺序依次对应1，2，3，……26这26个自然数，见以下表格：现给出一个公式：当126≤≤x 时，若x 不能被2整除，则'2=x ；若x 能被2整除，则'132=+xx ．将明文字母对应的数字x 按以上公式计算得到密文字母对应的数字'x ，比如明文字母为g ，则有71742+→→=→g d ，所以明文字母g 对应的密文字母为d ．（1）按照上述规定，将明文good 译成的密文是什么？写出你的计算过程； （2）按照上述规定，请你写出由密文字母'x 得到明文字母x 的公式；（3）按照（2）中得到的公式，密文gawqj 所代表的明文单词是什么？（直接写出结果）【答案】 （1）dhho ；（2）若'13x ≤，则2'1x x =-；若'13x >，则()2'13x x =-；（3）maths 【解析】 当126≤≤x 时，若x 为奇数，则对应的'x 必然不超过13；若x 为偶数，则对应的'x 必然大于13，因此在将密文翻译成明文时，需要看蜜文所对应的数字与13的大小关系，即“明文看奇偶，密文比十三”．随练1.1 我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：32101202121211⨯+⨯+⨯+⨯=．按此方式，则将十进制数6换算成二进制数应为__________． 【答案】 110 【解析】 略 随练1.2 用“⊕”定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有21a b b ⊕=+，例如272215⊕=+=，当m 为实数时，(2)m m ⊕⊕的值是（ ）随堂练习A ． 25B ． 21m +C ． 5D ． 26【答案】D【解析】 该题考察的是定义新运算． 根据题中的新定义得：2415m ⊕=+=， 则2525126m m m ⊕⊕=⊕=+=（）． 故答案是D ．随练1.3 定义一种新运算：观察下列式：1⊙3=1×4+3=7 3⊙（﹣1）=3×4﹣1=11 5⊙4=5×4+4=24 4⊙（﹣3）=4×4﹣3=13（1）请你想一想：a ⊙b= ；（2）若a ≠b ，那么a ⊙b b ⊙a （填入“=”或“≠”） （3）若a ⊙（﹣2b ）=4，请计算 （a ﹣b ）⊙（2a+b ）的值． 【答案】 （1）4a+b ，（2）≠，（3）6．【解析】 （1）∵1⊙3=1×4+3=7，3⊙（﹣1）=3×4﹣1=11，5⊙4=5×4+4=24，4⊙（﹣3）=4×4﹣3=13， ∴a ⊙b=4a+b ；（2）a ⊙b=4a+b ，b ⊙a=4b+a ，（4a+b ）﹣（4b+a ）=3a ﹣3b=3（a ﹣b ）， ∵a ≠b ，∴3（a ﹣b ）≠0，即（4a+b ）﹣（4b+a ）≠0， ∴a ⊙b ≠b ⊙a ；（3）∵a ⊙（﹣2b ）=4a ﹣2b=4， ∴2a ﹣b=2，（a ﹣b ）⊙（2a+b ） =4（a ﹣b ）+（2a+b ） =4a ﹣4b+2a+b ， =6a ﹣3b ， =3（2a ﹣b ） =3×2 =6．随练1.4 符号f 表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1）()10f =，()21f =，()32f =，()43f =，⋅⋅⋅ （2）122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，155f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，⋅⋅⋅ 利用以上规律计算()120122013f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________【答案】 2【解析】 该题考查的是规律题．根据（1）可知()1f n n =-，根据（2）可知1f n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，。

初一数学期中压轴题：定义新运算和程序运算_题型归纳初一数学期中压轴题：定义新运算和程序运算,仅供同学们参考学习,祝大家期中考试取得好成绩！一、【考点】程序运算、多次循环【人大附中期中】按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为853，则满足条件的x 的不同值最多有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】输出结果853可能是没有经过循环、经过1次或者多次循环后的结果【答案】A【易错点】注意题目中的x条件为正数，满足的有：213、53、13、3、0.5五个二、【考点】程序运算、二元一次方程按下面的程序计算，若开始输入的值x 为1，最后输出的结果为1；若开始输入的值x 为-1，，最后输出的结果为-3，则若开始输入的值x 为0.5，最后输出的结果为_________.【分析】分别将x=1和x=-1输入程序等到关于k、b的二元一次方程，求出k=2、b=-1【答案】-3/4三、【考点】有理数计算，错项相消【八十中期中】设f（k）=k+（k+1）++（3k），求f（4）-f（3）=（）A．365 B．63 C．356 D．7【分析】令等式中的k分别等于4、3【答案】C四、【考点】分类讨论【清华附期中】a为有理数，定义运算符号△：当a＞０时，△a＝－a；当a＜0时，△a=a；a=0时，△a=0，根据这种运算，则△（1+△2）等于（）A.3B.-3C.1D.-1【分析】△运算的本质是：△ａ=－|ａ|【答案】D五、【考点】有理数计算，错项相消【北大附期中】若规定一种新运算为【分析】先令a=2，b=1/2，代入公式，可得A= - 1；把A= - 1代入，令a=2001，b=2002【答案】1/2002000六、【考点】绝对值化简、等差数列求和【清华附期中】将1，2，3，，100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中的两个数记为a，b，代入中进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个值的和的最小值为____。

类型一 定义新运算“新定义”型问题，指的是命题老师用下定义的方式，给出一个新的运算、符号、概念、图形或性质等，要求同学们“化生为熟”、“现学现用”，能结合已有知识、能力进行理解，进而进行运算、推理、迁移的一种题型，这类题型往往是教材中一些数学概念的拓展、变式，是近几年中考数学命题的热点。

“新定义”型试题主要考查同学们学习新知识的能力，具体而言，就是考查大家的阅读理解能力、数学规则的选择与运用能力、综合运用数学知识分析问题解决问题的能力，有较强的数学抽象，旨在引导、培养大家在平时的数学学习中，能养成自主学习、主动探究的学习方式。

“定义新运算”是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 解决这类问题的关键是理解新运算规定的规则，明白其中的算理算法． 运算时，要严格按照新定义的运算规则，转化为已学过的运算形式，然后按正确的运算顺序进行计算．“定义新符号”试题是定义了一个新的数学符号，要求同学们要读懂符号，了解新符号所代表的意义，理解试题对新符号的规定，并将新符号与已学知识联系起来，将它转化成熟悉的知识，而后利用已有的知识经验来解决问题． 1．定义运算:m ☆n =21mn mn .例如: 4☆2=4×22-4×2-1=7.则1☆x =0方程的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根 【答案】A【解析】由定义新运算可得210x x ，∴△=411-14-1-2+=⨯⨯）（）（=5＞0，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题选A ． 2．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（ ） A ．x ＝4 B ．x ＝5 C ．x ＝6 D ．x ＝7 【答案】B【解析】根据新定义运算，把方程转化为分式方程．因为211(2)(2)4x x x ⊗-==---，所以原方程可转化为12144x x =---，解得x ＝5．经检验，x ＝5是原方程的解．3.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为"幸福数"．下列数中为"幸福数"的是（ ）A.205B.250C.502D.520【答案】 D【解析】设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意列出方程，求出解判断即可． 设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意得：（x +2）2﹣x 2＝（x +2﹣x ）（x +2+x ）＝4x +4，若4x +4＝205，即x ，不为整数，不符合题意；若4x +4＝250，即x ，不为整数，不符合题意；若4x +4＝502，即x ，不为整数，不符合题意；若4x +4＝520，即x ＝129，符合题意． 故选：D ．4．在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（ ）． A. 1- B. 1C. 0D. 2【答案】C【解析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算：2211☆=+-=+x x x ，又21x =☆，∴11x +=，∴0x =．故选：C ．5.对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算“⊕”如下：a ⊕b a b a b +-3⊕23232+-512⊕4＝______．2【解析】依题意可知12⊕4124124+-482．6．（乐山）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[－1.5]＝－2，那么：（1）当－1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是________；（2）当－1≤x ＜2时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方，则实数a 的范围是________．【答案】（1）0≤x ≤3；（2）a ＜－1或a ≥32．【解析】（1）根据符号[x ]表示不大于x 的最大整数，得到－1＜[x ]≤2时[x ]＝0，1，2；当[x ]＝0时，0≤x ＜1；当[x ]＝1时，1≤x ＜2；当[x ]＝2时，2≤x ＜3；从而x 的取值范围是0≤x ＜3；（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．令y 1＝x 2－2a [x ]＋3，y 2＝[x ]＋3，y 3＝y 2－y 1，由题意可知：y 3＝－x 2＋(2a ＋1)[x ]＞0时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方．①当－1≤x ＜0时，[x ]＝－1，y 3＝－x 2－(2a ＋1)，此时y 3随x 的增大而增大，故当x ＝－1时，y 3有最小值－2a －2＞0，得a ＜－1； ②当0≤x ＜1时，[x ]＝0，y 3＝－x 2，此时y 3≤0；③1≤x ＜2时，[x ]＝1，y 3＝－x 2+(2a ＋1)，此时y 3随x 的增大而减小，故当x ＝2时，y 3有最小值2a －3≥0，得a ≥32；综上所述，a ＜－1或a ≥32．7.对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b=2a+b ．例如3⊗4=2×3+4=10． （1）求2⊗（-5）的值；（2）若x ⊗（-y ）=2，且2y ⊗x=-1，求x+y 的值．【解析】（1）依据关于“⊗”的一种运算：a ⊗b=2a+b ，即可得到2⊗（﹣5）的值； （2）依据x ⊗（﹣y ）=2，且2y ⊗x=﹣1，可得方程组，即可得到x+y 的值．8.对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F (n )．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F (123)＝6． （1）计算：F (243)，F (617);（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y (1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：k ＝F (s )F (t ),当F (s )＋F (t )＝18时，求k 的最大值． 【解析】解：(1)F (243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；F (617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．（2）∵s ，t 都是“相异数”，s ＝100x ＋32，t ＝150＋y ，∴F (s )＝(302＋10x ＋230＋x ＋100x ＋23)÷111＝x ＋5，F (t )＝(510＋y ＋100y ＋51＋105＋10y )÷111＝y ＋6． ∵F (t )＋F (s )＝18，∴x ＋5＋y ＋6＝x ＋y ＋11＝18，∴x ＋y ＝7．∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数， ∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝2y ＝5或⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2或⎩⎨⎧x ＝6y ＝1． ∵s 是“相异数”， ∴x ≠2，x ≠3． ∵t 是“相异数”， ∴y ≠1，y ≠5． ∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2， ∴⎩⎨⎧F (s )＝6F (t )＝12或⎩⎨⎧F (s )＝9F (t )＝9或⎩⎨⎧F (s )＝10F (t )＝8，∴k ＝F (s )F (t )＝12或k ＝F (s )F (t )＝1或k ＝F (s )F (t )＝54, ∴k 的最大值为54．9.我们规定：形如()ax ky a b k k ab x b+=≠+、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当0a b ==时，“奇特函数”ax k y x b +=+就是反比例函数(0)ky k x=≠. （1） 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2） 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D 是OA 的中点，连结OB ，CD 交于点E ，“奇特函数”6ax ky x +=-的图象经过B ，E 两点.①求这个“奇特函数”的解析式； ②把反比例函数3y x=的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16103，请直接写出点P 的坐标．【解析】 （1）322x y x -+=+，是 “奇特函数”；（2）①296x y x -=-；②(7,5)或53,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或715,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(5,1)-.试题分析：（1）根据题意列式并化为322x y x -+=+，根据定义作出判断. （2）①求出点B ，D 的坐标，应用待定系数法求出直线OB 解析式和直线CD 解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B （9，3），E （3，1）代入函数6ax ky x +=-即可求得这个“奇特函数”的解析式.②根据题意可知，以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ 或BQEP ，据此求出点P 的坐标.试题解析：（1）根据题意，得，∵，∴.∴.根据定义，是 “奇特函数”.（2）①由题意得，.易得直线OB 解析式为，直线CD 解析式为，由解得.∴点E （3，1）.将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.②∵可化为，∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.∴关于点（6，2）对称.∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.由勾股定理得，.设点P到EB的距离为m，∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，∴.∴点P在平行于EB的直线上.∵点P在上，∴或.解得.∴点P的坐标为或或或.考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.10.定义[a，b，c]为函数y＝a x2+bx c+的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m＜0时，函数在x＞14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有___________【解析】解：根据定义可得函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m），①当m＝﹣3时，函数解析式为y＝﹣6x2+4x+2，∴224144(6)248,22(6)344(6)3b ac ba a-⨯-⨯--=-===⨯-⨯-，∴顶点坐标是（18,33），正确；②函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣12mm+，0），当m＞0时，1﹣（﹣12mm+）＝313222m+>，正确；③当m＜0时，函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴111444xm=->，错误；④当m≠0时，x＝1代入解析式y＝0，则函数一定经过点（1，0），正确．故选：①②④11.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝a，请用含a的代数式表示∠E.（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径.①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积.【解析】（1）根据外角的性质及角平分线的概念求解；（2）根据圆内按四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角的性质分别证明BE、CE为△ABC的内角及外角平分线即可；（3）①连结CF，根据遥望角的性质及同弧所对圆周角的性质证明∠BEC＝∠FAD，再由△FDE≌△FDA证明AD＝DE，最后由等腰直角三角形的性质求得∠AED的度数；②作AG⊥BE于点G，FM⊥CE于点M，根据相似三角形的判定证明△EGA∽△ADC，由相似三角形的性质及勾股定理求得△ACD边长，进而求得△DEF的面积．【答案】24.解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．∴∠E＝∠ECD－∠EBD＝12(∠ACD－∠ABC)＝12∠A＝12a（2）如图，延长BC到点T.∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC＋∠FBC＝180°，又∵∠FDE＋∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD＝BD，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD＋∠BCD＝180°，∠DCT＋∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.（3）①如图，连结CF.∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC ＝∠BAC ，∴∠BFC ＝2∠BEC ，∵∠BFC ＝∠BEC ＋∠FCE ，∴∠BEC ＝∠FCE ，∵∠FCE ＝∠FAD ，∴∠BEC ＝∠FAD ，又∵∠FDE ＝∠FDA ，FD ＝FD ，∴△FDE ≌△FDA(AAS)， ∴DE ＝AD ，∵∠AED ＝∠DAE ，∵AC 是⊙O 的直径∴∠ADC ＝90°，∴∠AED ＋∠DAE ＝90°，∴∠AED ＝∠DAE ＝45°. ②如图，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠FAC ＝∠EBC ＝12∠ABC ＝45°，∵∠AED ＝45°，∴∠AED ＝∠FAC ，∵∠FED ＝∠FAD ，∴∠AED －∠FED ＝∠FAC －∠FAD ， ∴∠AEG ＝∠CAD ，∴∠EGA ＝∠ADC ＝90°，∴△EGA ∽△ADC ，∴AE ：AC ＝AG:CD ∵在Rt △ABG 中，AG ＝22AB ＝42，在Rt △ADE 中，AE ＝2AD ，∴AD:AC ＝45，在Rt △ADC 中，AD2＋DC2＝AC2，∴设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有(4x)2＋52＝(5x)2，∴x ＝53，∴ED ＝AD ＝203，∴CE ＝CD ＋DE ＝353，∵∠BEC ＝∠FCE ，∴FC ＝FE ，∵FM ⊥CE ，∴EM ＝12CE ＝356，∴DM ＝DE －EM ＝56，∵∠FDM ＝45° ,∴FM ＝DM ＝56，∴S △DEF ＝12DE ·FM ＝259.12.若记y =f （x ）=221x x+，其中f （1）表示当x =1时y 的值，即f （1）=22111+=12；f （12）表示当x =12时y 的值，即f （12）=22111212512f ==+（）（）（）；…；则f （1）+f （2）+f （22111212512f ==+（）（）（））+f （3）+f （13）+…+f （2011）+f （12011）=．【解析】解：∵y =f （x ）=221x x+，∴f （1x ）=22111x x+（）（）=211x +，∴f （x ）+f （1x）=1， ∴f （1）+f （2）+f （12）+f （3）+f （12）+…+f （2011）+f （12011）=f （1）+[f （2）+f （12）]+[f （3）+f （13）]+…+[f （2011）+f （12011）]=12+1+1+…+1 =12+2010 =201012． 故答案为：201012． 13.定义在区间[m ，n ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意x ∈[m ，n ]均有| f (x ) – g (x ) |≤1，则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是非接近的，现有两个函数f 1(x ) = log a (x – 3a )与f 2 (x ) = log a ax -1(a > 0，a ≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]．（1）若f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a 的取值范围； （2）讨论f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？ 【解析】解：（1）要使f 1 (x )与f 2 (x )有意义，则有a x a a a x a x 31003>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-且 要使f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义， 等价于真数的最小值大于0 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠><<⇒>-+>-+1010032031a a a a a a a 且 （2）f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的⇔| f 1 (x ) – f 2 (x )|≤1 ⇔ax a x a a ---1log )3(log ≤1 ⇔|log a [(x – 3a )(x – a )]|≤1⇔a ≤(x – 2a )2 – a 2≤a1 对于任意x ∈[a + 2，a + 3]恒成立设h (x ) = (x – 2a )2 – a 2，x ∈[a + 2，a + 3]且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边⎪⎩⎪⎨⎧++⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇔)3( 1)2( )( 1)( max min a h a a h a x h a x h a ⎪⎩⎪⎨⎧+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧--⇔0192654 69 144 a a a a a a a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-⇔12579 12579 54 a a a 或 12579 0-<⇔a 当12579 0-<a 时 f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的 当12579 -< a < 1时，f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的． 14.定义：点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的自相似点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠BCP ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 是△ABC 的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M 是曲线y ＝3 3x(x ＞0)上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P 是OM 上一点，∠ONP ＝∠M ，试说明点P 是△MON 的自相似点；当点M 的坐标是( 3,3),点N 的坐标是( 3,0)时，求点P 的坐标；（2）如图3，当点M 的坐标是(3, 3),点N 的坐标是(2，0)时，求△MON 的自相似点的坐≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤标；（3）是否存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）∵∠ONP ＝∠M ，∠NOP ＝∠MON ，∴△NOP ∽△MON ，∴点P 是△MON 的自相似点；过P 作PD ⊥x 轴于D ，则tan ∠POD ＝MN ON ＝3,∴∠MON ＝60°，∵当点M 的坐标是(3,3),点N 的坐标是(3,0),∴∠MNO ＝90°，∵△NOP ∽△MON ，∴∠NPO ＝∠MNO ＝90°，在Rt △OPN 中，OP ＝ON cos60°＝32, ∴OD ＝OP cos60°＝32×12＝34,PD ＝OP ﹒sin60°＝32×32＝34,{{dbc 5494c .png }} ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34,34; （2）作MH ⊥x 轴于H ，如图3所示：∵点M 的坐标是(3,3),点N 的坐标是(2，0)， ∴OM ＝32＋(3)2＝23,直线OM 的解析式为y ＝33x ,ON ＝2，∠MOH ＝30°， 分两种情况：①如图3所示：∵P 是△MON 的相似点，∴△PON ∽△NOM ，作PQ ⊥x 轴于Q ，∴PO ＝PN ，OQ ＝12ON ＝1， ∵P 的横坐标为1，∴y ＝33×1＝33,{{eb 10936e .png }} ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫1,33; ②如图4所示：由勾股定理得：MN ＝(3)2＋12＝2，∵P 是△MON 的相似点，∴△PNM ∽△NOM ，∴PN ON ＝MNMO ,即PN 2＝223, 解得：PN ＝233, 即P 的纵坐标为233,代入y ＝33得：233＝33x , 解得：x ＝2，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,233; 综上所述：△MON 的自相似点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,33或⎝ ⎛⎭⎪⎫2,233; （3）存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点,M (3,3),N (23,0);理由如下： ∵M (3,3),N (23,0),∴OM ＝23＝ON ，∠MON ＝60°，∴△MON 是等边三角形，∵点P 在△MON 的内部，∴∠PON ≠∠OMN ，∠PNO ≠∠MON ，∴存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点． 15.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA= 32，求证：△ABC 是“好玩三角形”； （3））如图2，已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=2β，点P ，Q 从点A 同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC 和AD-DC 向终点C 运动，记点P 经过的路程为s ．①当β=45°时，若△APQ 是“好玩三角形”，试求a s的值； ②当tan β的取值在什么范围内，点P ，Q 在运动过程中，有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”．请直接写出tan β的取值范围．（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）依据（3）的条件，提出一个关于“在点P ，Q 的运动过程中，tan β的取值范围与△APQ 是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）【解析】解：（1）如图1，①作一条线段AB ，②作线段AB 的中点O ，③作线段OC ，使OC=AB ，④连接AC 、BC ，∴△ABC 是所求作的三角形．（2）如图2，取AC 的中点D ，连接BD∵∠C=90°，tanA=32，∴BC AC =32，∴设BC=3x ，则AC=2x ，∵D 是AC 的中点，∴CD=12AC=x∴BD=22223CD BC x x +=+=2x ，∴AC=BD∴△ABC 是“好玩三角形”；（3）①如图3，当β=45°，点P 在AB 上时，∴∠ABC=2β=90°，∴△APQ 是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，当P 在BC 上时，连接AC 交PQ 于点E ，延长AB 交QP 的延长线于点F ，∵PC=CQ ，∴∠CAB=∠ACP ，∠AEF=∠CEP ，∴△AEF ∽△CEP ，∴2AE AF AB BP sCE PC PC a s +===-．∵PE=CE ，∴2AEsPE a s =-．Ⅰ当底边PQ 与它的中线AE 相等时，即AE=PQ 时，2AE sPE a s =-，∴as =34，Ⅱ当腰AP 与它的中线QM 相等，即AP=QM 时，作QN ⊥AP 于N ，如图4∴MN=AN=12MP ．∴QN=15MN ，∴tan ∠APQ=153QNMNPN MN ==153，∴tan ∠APE=2AEs PE a s =-=153，∴a s =1510+12。

定义新运算专题简析：定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、等，这是与四则运算中的“∆、#、*、·”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

例题1。

假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。

练习1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。

例题2。

设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。

求3△(4△6).练习2设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。

如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。

那么7*4=？，210*2=？练习3如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，…..那么，4*4=？，18*3=？例题4。

规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1⑥ －1⑦ =1⑦×A ，那么A 是几？练习4规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……..如果1⑧ －1⑨ ＝1⑨×A ，那么A=？。

例题5设a ⊙b=4a-2b+12ab,求x ⊙（4⊙1）＝34中的未知数x 。

第一讲定义新运算一、教学目标：1、知识与技能：理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作。

2、过程与方法：经历新定义运算算式转化成一般的+、-、×、÷数学式子的过程，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力。

3、情意目标：通过将新定义运算转化成一般运算的过程，使学生感受数学中转化的思想方法；体验学习与运用数学法则、规定解决数学问题的成功．二、教学重难点：1、教学重点：理解新定义，按照新定义的式子代入数值。

2、教学难点：把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

三、教学方法：引导发现法四、教学过程：（一）导入：1、看图大比拼（准备几张生活中常见标志的图片）。

2、我做指挥官（用手势代替语言指挥）。

3、在下面的括号内填入适当的运算符号，使得等式成立。

5（）2=7 6（）3=3 100（）2=50 13（ )3=394、趣味引导：生活中我们都知道羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以当狼和羊在一起时，我们用△符号表示狼战胜羊：狼△羊= 羊△狼= 羊△羊= 狼△狼=在动画片《喜洋洋与灰太狼》中，羊群总是能化险为夷战胜狼，因此我们用☆符号表示羊战胜狼：羊☆狼= 狼☆羊= 羊☆羊= 狼☆狼=5、已知符号“#”表示a#b=a+b，求：3#5、5#9、88#13的值？（体现对应思想和解题的三个步骤）加强认识：已知符号“*”表示：a*b=b-a，求：3*9、60*72的值？小结：定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式；它是人们整合旧的运算规则，利用新的符合表示出的一种运算方式；解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，能够将新定义的运算方法转化为旧的运算规则。

一般新运算问题的解题三个步骤：（1）弄清新符号的算式意义；（2）找准问题中数字与定义算式中字母的对应；（3）将对应数字代入算式计算（二）例题引导：第一类：（直接运算型）例题引导：①表示求两个平均数的运算，则a①b=(a+b)÷2，当 a=5,b=15时，求a①b？例1：已知符号“△”表示：a△b=（a+b）×6，求：10△3, 6△9的值？练习：（1）对定义运算※为a※b=（a+b）×2。

初一数学期中压轴题：定义新运算和程序运算初一数学期中压轴题：定义新运算和程序运算,仅供同学们参考学习,祝大家期中考试取得好成绩！一、【考点】程序运算、多次循环【人大附中期中】按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为853，则满足条件的x 的不同值最多有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】输出结果853可能是没有经过循环、经过1次或者多次循环后的结果【答案】A【易错点】注意题目中的x条件为正数，满足的有：213、53、13、3、0.5五个二、【考点】程序运算、二元一次方程按下面的程序计算，若开始输入的值x 为1，最后输出的结果为1；若开始输入的值x 为-1，，最后输出的结果为-3，则若开始输入的值x 为0.5，最后输出的结果为_________.【分析】分别将x=1和x=-1输入程序等到关于k、b的二元一次方程，求出k=2、b=-1【答案】-3/4三、【考点】有理数计算，错项相消【八十中期中】设f（k）=k+（k+1）++（3k），求f（4）-f（3）=（）A．365 B．63 C．356 D．7【分析】令等式中的k分别等于4、3【答案】C四、【考点】分类讨论【清华附期中】a为有理数，定义运算符号△：当a＞０时，△a＝－a；当a＜0时，△a=a；a=0时，△a=0，根据这种运算，则△（1+△2）等于（）A.3B.-3C.1D.-1【分析】△运算的本质是：△ａ=－|ａ|【答案】D五、【考点】有理数计算，错项相消【北大附期中】若规定一种新运算为【分析】先令a=2，b=1/2，代入公式，可得A= - 1；把A= - 1代入，令a=2019，b=2019【答案】1/2019000六、【考点】绝对值化简、等差数列求和【清华附期中】将1，2，3，，100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中的两个数记为a，b，代入中进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个值的和的最小值为____。